江苏2018版高考数学复习平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示教师用书理苏教版

第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示教师用书 理苏教版1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3.平面向量共线的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . 【知识拓展】1.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( √ )1.(教材改编)如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有______.(填序号)①若λ，μ满足λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0；②对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe 1＋μe 2成立的实数λ，μ有无数对； ③线性组合λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量； ④当λ，μ取不同的值时，向量λe 1＋μe 2可能表示同一向量. 答案 ①③解析 ①正确.若λ≠0，则e 1＝－μλe 2，从而向量e 1，e 2共线，这与e 1，e 2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.②不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.③正确.平面α内的任一向量a 可表示成λe 1＋μe 2的形式，反之也成立；④不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe 1和μe 2确定后，其和向量λe 1＋μe 2唯一确定.2.(教材改编)给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应. 其中正确说法的个数是________. 答案 3解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误.3.(2015·课标全国Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________. 答案 (－7，－4)解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(－4，－3)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4). 4.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝________. 答案 －12解析 由已知条件可得m a ＋n b ＝(2m ，3m )＋(－n ，2n )＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1).∵m a ＋n b 与a －2b 共线，∴2m －n 4＝3m ＋2n－1，即n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12. 5.(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________. 答案 (1，5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝______________.(2)(2016·苏锡常镇调研)如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为________.答案 (1)23a ＋13b (2)65解析 ∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b . ∵E 是OD 的中点，∴DE EB ＝13，∴DF ＝13AB .∴DF →＝13AB →＝13(OB →－OA →)＝13×[－12BD →－(－12AC →)] ＝16AC →－16BD →＝16a －16b ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b＝23a ＋13b . (2)因为BG →＝2GO →，所以AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13AB →＋13AC →.因为CD →∥AG →，所以设CD →＝mAG →，从而AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋m 3AB →＋m 3AC →＝(1＋m 3)AC →＋m 3AB →.因为AD →＝15AB →＋λAC →，所以m 3＝15，λ＝1＋m 3＝65.思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m的值为________.答案311解析 设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝__________. (2)(2016·盐城模拟)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m ，4)，且a ∥b ，则2a －b ＝________. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43 (2)(4，－8)解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b＝(－5，2)＋(－8，－6)＝(－13，－4). 所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.(2)因为向量a ＝(1，－2)，b ＝(m ，4)，且a ∥b ， 所以1×4＋2m ＝0，即m ＝－2，所以2a －b ＝2×(1，－2)－(－2，4)＝(4，－8).思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.(1)(2016·江苏宿迁三校模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝______.(2)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为__________. 答案 (1)4 (2)(2，72)解析 (1)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3). ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.(2)设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4，3)，又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝y －，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________. 答案 (3，3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ).又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3).方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3，3). 命题点2 利用向量共线求参数例4 (2016·常州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，若a ∥b ，则锐角θ＝________.答案 45°解析 由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，∴cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，∴θ＝45°.思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量.(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________.(2)设OA →＝(－2，4)，OB →＝(－a ，2)，OC →＝(b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________.答案 (1)(2，4) (2)3＋222解析 (1)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )， 则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )， AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，∴(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4).(2)由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λb ＋，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋ 222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立).11.解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动.若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值.思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征. 规范解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B (－12，32).[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分]所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[11分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]1.(2016·江苏苏州暑期测试)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(2，y )，且a ＋2b ＝(5，－3)，则x ＋y ＝________. 答案 －1解析 由题意得a ＋2b ＝(x ＋4，1＋2y )＝(5，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4＝5，1＋2y ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以x ＋y ＝－1.2.已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为__________. 答案 (5，14)解析 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5).由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.3.(2016·江苏南京开学测试)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(m ，4)，且a ∥(2a ＋b )，则实数m 的值为________. 答案 2解析 方法一 由题意得a ＝(1，2)，2a ＋b ＝(2＋m ，8)， 因为a ∥(2a ＋b )，所以1×8－(2＋m )×2＝0，故m ＝2.方法二 因为a ∥(2a ＋b )，所以存在实数λ，使得λa ＝2a ＋b ，即(λ－2)a ＝b ， 所以(λ－2，2λ－4)＝(m ，4)，所以λ－2＝m 且2λ－4＝4，得λ＝4，m ＝2. 方法三 因为a ∥(2a ＋b )，所以a ∥b ，所以4＝2m ，即m ＝2.4.已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c ＝__________.(用a ，b 表示) 答案 12a －32b解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .5.已知A (7，1)，B (1，4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 2解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x ，4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝－x ，y －1＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3，3).又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.6.已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为________.答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系(图略)， OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ).∵tan 30°＝3nm＝33， ∴m ＝3n ，即m n＝3.7.在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则向量BD →的坐标为__________. 答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5).8.设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12. 9.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 的中点.若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝______.答案 43解析 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →， 又AC →＝λAE →＋μAF →＝(12λ＋μ)AB →＋(λ＋12μ)AD →， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43. *10.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________.答案 (－1，0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0).11.(2016·四川改编)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.答案 494解析 建系如图，则易知B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3).设M (x ，y )，P (a ，b )，∵PM →＝MC →，∴⎩⎨⎧ x －a ＝3－x ，y －b ＝0－y ⇒⎩⎨⎧ a ＝2x －3，b ＝2y ，即P (2x －3，2y )，又∵|AP →|＝1.∴P 点在圆①x 2＋(y －3)2＝1上，即(2x －3)2＋(2y －3)2＝1，整理得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14(记为圆②)， 即M 点在该圆上，求|BM →|的最大值转化为B 点到该圆②上的一点的最大距离，即B 到圆心的距离再加上该圆的半径：|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋122＝494. 12.(2016·扬州中学质检)在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为________.答案 102 解析 以矩形相邻两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (5，0)，D (0，3)，设∠PAB ＝α，则P (52cos α，52sin α)， 因为AP →＝λAB →＋μAD →，所以(52cos α，52sin α)＝λ(5，0)＋μ(0，3)， 所以λ＝12cos α，μ＝156sin α， 故5λ＋3μ＝52cos α＋52sin α＝102sin(α＋π4)， 由已知得0<α<π2，所以π4<α＋π4<34π， 所以22<sin(α＋π4)≤1， 所以5λ＋3μ的最大值为102. 13.(2016·江苏南京二十九中月考)设G 为△ABC 的重心，若△ABC 所在平面内一点P 满足PA →＋2BP →＋2CP →＝0，则|AP →||AG →|的值为________. 答案 2解析 令三角形为等腰直角三角形(如图)，则根据重心坐标公式得重心G 的坐标为(1，1)，根据PA →＋2BP →＋2CP →＝0，可设P (x ，y )，则有2(x －3，y )＋2(x ，y －3)＝(4x －6，4y －6)＝(x ，y )，所以x ＝2，y ＝2，所以P (2，2)，所以|AP →||AG →|＝2. 14.已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b ).(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标.解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2). ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3).。