1-3梯度-散度-旋度

“三度”、“三定理”
梯度、散度、旋度
1.标量的梯度
2.矢量的通量、散度、高斯定理
3.矢量的环流、旋度、斯托克斯定理
4.亥姆霍兹定理
5.坐标系(复习)
——“三度”、“三定理”
梯度、散度、旋度(English)
Gradient——grad Divergence——div Curl——curl
标量的“梯度”
等值面：
•等温线•等高线
等值面
b a
c
d ？“爬山”
同样的增量情况下沿什么方向最“陡”？
——数学模型：标量函数U ，
沿某个方向的变化率情况
o
dl
dl
l +du u +u l
——数学模型
标量函数U,沿某个方向的变化率情况
等值面
l
∆方向导数：
dl dU l
U ⇒
∆∆梯度是表示标量最大空间增长率
的大小和方向的矢量。

dn
dU
a gradU U n
G ==∇Gradient——grad
标量沿其他方向的变化率
l n l a U n U
l
n n U l U G •∇=∂∂=∂∂∂∂=∂∂)(cos ,θ引申出去：
l
d U dU G
•∇=)(∇
引入算符——哈密顿算符：
Hamiltonian
不同坐标系下的表示
柱面坐标系中：
z
a y a x a z y x
∂∂
+∂∂+∂∂=∇G G G 笛卡儿坐标系中：球坐标系中：ϕ
θθϕθ∂∂⋅+∂∂+∂∂=∇sin 11R a R a R a R
G G G z a r a r a z
r ∂∂+∂∂+∂∂=∇G G G ϕϕ1如何记忆？
dz
a dy a dx a l d z y x G
G G G ++=笛卡儿坐标系中微分长度
∇⇒dl
d
z
a y a x a z y x
∂∂
+∂∂+∂∂=∇G G G 柱面坐标系中微分长度
∇⇒dl
dU
dz
a d r a dr a l d z r G G G G +⋅+=)(ϕϕz
a r a r a z
r ∂∂+∂∂+∂∂=∇G G G ϕϕ1球坐标系中微分长度
∇⇒dl
dU
)
sin ()(ϕθθϕθd R a d R a dR a l d R ⋅⋅+⋅+=G
G G G ϕθθϕ
θ∂∂⋅+∂∂+∂∂=∇sin 11R a R a R
a R G G G 例题
已知：θθcos ),(0⋅⋅==R V R V V 求：
令：V
E −∇=G
?
=E G 法一：直接法——求坐标系梯度公式！
ϕ
θθϕ
θ∂∂⋅+∂∂+∂∂=∇sin 11R a R a R a R G G G ?
=−∇=V E G
答案1
)sin cos (V a a V E R θθθG
G G −−=−∇=
答案2
法二：分析法——找规律！
x
y
z
ϕ
θ
R
z
V R V R V V ⋅=⋅⋅==00cos ),(θθ利用笛卡儿坐标系！z
a y a x a z y x
∂∂
+∂∂+∂∂=∇G G G 0
V a V E z G G −=−∇=？
答案1
答案2
)sin cos (V a a V E R θθθG
G G −−=−∇=0
V a V E z G G −=−∇=都对!!
作业：求解直角坐标、秋坐标彼此间的关系
θθθsin cos a a a R Z G
G G −=?=x a G ?=y a G ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ϕθa a a a a a R z y x G G G
G G G
?????????矢量的“通量”和“散度”
矢量沿某一有向曲面的面积分为通过的通量。

A K S K A K S K
矢量沿某一有向曲面的面积分称为通过该面的通量。

∫⋅s
S
d A K
K 通量(Flux )dS
a S d n G K =S
C
⎟⎟
⎟
⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎛∆•→∆=∫V s d A V A div S G G G 0lim 散度
定义：单位体积的净流散通量
柱面坐标系中：z
A y A x A A z
y x ∂∂+∂∂+∂∂=•∇G 笛卡儿坐标系中：球坐标系中：
ϕ
θθθθϕθ∂∂⋅⋅+⋅∂∂⋅⋅+⋅∂∂⋅
=•∇A R A R A R R R A R sin 1)sin (sin 1
)(122G z A A r A r r r A z
r ∂∂+∂∂⋅+⋅∂∂⋅=
•∇ϕ
ϕ1)(1G
不同坐标系下的表示
?
)(?•∂∂
+∂∂+∂∂=•∇z
a y a x a z y x G G G z a y a x a z
y x ∂∂
+∂∂+∂∂=∇G G G 笛卡儿坐标系中：
散度
⎟⎟
⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛∆•→∆=∫V s d A V A div S
G G G 0lim 散度定义
定义：单位体积的净流散通量
那么：
∫∫•=•∇S
V
s
d A dv A G G G
)(Divergence——div
A
A div G
G •∇=散度定理
∫∫•=•∇S
V
s
d A dv A G G G )(矢量场散度的体积分
＝该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量
也叫“高斯定理”
——Gauss ’s Law
矢量的“环量”
矢量的环量：该矢量沿闭合路径的标量线积分
矢量沿闭合路径的环量＝A G
C l d A C
G G ∫•水的漩涡
dl
a l d l G
G =C
A
G
θ
矢量的“旋度”
⎟⎟
⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛∆•→∆==∫S l d A S A curl A rot C
G G G G 0lim 旋度的定义
Curl——curl
——面环流密度
——方向：面元的取向使净环量值最大
——大小：无限小面元，单位面积上A 的净环量
z
y
x
z y x
z y x
AB AB B B B A A A e e e B A a B A K K K
G
K K =⋅⋅=×)sin (θ笛卡儿坐标系中
z
y x z y x
B B B z y x e e e B ∂∂∂∂∂∂=
×∇K K K G z
a y a x a z y x
∂∂
+∂∂+∂∂=∇G G G
?)
(?)(?)((?)(?)−+−+−=×=×y x z x z y z y x B A a B A a B A a B A G
G G G G )
?()?()(x y z z x y y z x B B x a B B z a B z B y
a B −∂∂+−∂∂+∂∂
−∂∂=×∇G G G G z
a y a x a z
y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇G G G 斯托克斯定理
∫∫•=•×∇C
S
l
d A S d A G
G G G )(矢量场旋度的开放面的面积分
＝该矢量沿包围该表面的封闭曲线的积分
——S tokes ’s L aw。