10非正弦周期电流电路 [兼容模式]

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非正弦周期电流电路
f ( t ) a0 [ak cos( k1 t ) bk sin( k1t )]
k 1

其中各个系数按下式求解：
1 T 1 T2 a0 f ( t )dt T f ( t )dt T 0 T 2 2 T 2 T2 ak f ( t )cos( k1 t )dt T f ( t )cos(k1 t )dt T 0 T 2 1 2 f ( t )cos( k1t )d(1t ) 0 1 f ( t )cos( k1 t )d(1 t )
O
1 2 1 3 14 15 1 k 1
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非正弦周期电流电路
四、傅里叶级数与波形对称性的关系
1、偶函数，关于纵轴对称 f ( t) f ( t)
－
f (t)
1 T/2 T/2 O t bk f ( t )sin( k1 t )d(1 t ) 1 0 1 f ( t )sin( k1 t )d(1 t ) f ( t )sin( k1 t )d(1 t ) 0 1 0 1 f ( t )sin( k1 t )d( 1 t ) f ( t )sin( k1 t )d(1 t ) 0 1 0 1 f ( t )sin( k1 t )d(1 t ) f ( t )sin( k1 t )d(1 t ) 0 0
[a2cos(21 t ) b2sin(21 t )] [ak cos( k1 t ) bk sin( k1 t )]
a0 [ak cos( k1 t ) bk sin( k1 t )]
k 1

(k 1 2 3
k 1
k 1 2 3
比较可知
A0 a0
Akm cos( k1 t k ) = ak cos( k1t ) bk sin( k1t )
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非正弦周期电流电路
ak cos( k1 t ) bk sin( k1 t ) a b [
T/2 T
t 1t
非正弦周期电流电路
1 2 bk f ( t )sin( k1t )d(1 t ) 0 1 1 2 Em sin( k1t )d(1 t ) Em sin( k1t )d(1 t ) 0 2 Em 2 Em 1 sin( k t )d( t ) [ cos( k t ) ] 1 1 1 0 0 k 2 Em [1 cos( k )] f (t) k Em t T/2 T k为偶数 0 1t 2 O 4 Em Em k为奇数 k 4 Em 1 1 则 f (t ) [sin(1 t ) sin(31 t ) sin(51 t ) ] 3 5
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2、奇函数，关于原点对称 f (t) f (t)
f (t)
－T/2
T/2
O t 1 ak f ( t )cos( k1 t )d(1 t ) 1 0 1 f ( t )cos( k1 t )d(1 t ) f ( t )cos( k1 t )d(1 t ) 0 1 0 1 f ( t )cos( k1 t )d( 1 t ) f ( t )cos( k1 t )d(1 t ) 0 1 0 1 f ( t )cos( k1 t )d(1 t ) f ( t )cos( k1 t )d(1 t ) 0 0 a0 0
非正弦周期电流电路
第10章 非正弦周期电流电路
§10.1 非正弦周期信号的谐波分析 §10.2 10 2 非正弦周期信号的有效值和平均值 §10.3 非正弦周期电流电路的功率 §10.4 非正弦周期电流电路的计算
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非正弦周期电流电路
本章要点
熟练掌握非正弦电流、电压有效值和平均功率的 计算。 掌 理 了 握非正弦周期电流电路的计算方法。 解非正弦周期电流的概念。 解周期函数分解为傅里叶级数的方法； 非正弦电流、电压的平均值的计算。
e
偶函数 奇函数
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非正弦周期电流电路
三角函数系及其正交性 1、三角函数系
cos x , sin i x , cos( ( 2 x ), ) sin( i ( 2 x ), ) , cos( ( nx ), ) sin( i ( nx ), )
2、三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间 [, ] 上的积分等于零。
k arctan( bk ak )
ω1 2/T
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f ( t ) a0 [ak cos( k1 t ) bk sin( k1 t )]
k 1

A0 Akm cos( k1 t k )
k 1
A0 周期函数f(t)的恒定分量(或直流分量)。
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3、奇谐波函数，镜对称
f (t)
f ( t ) f ( t T 2)
a2 k b2 k 0
O
－T/2
T
t
4、任意一个函数都可以分为两个这样的函数之和：
f (t ) f e (t ) f o (t )
其中
1 f ( t ) [ f ( t ) f ( t )] 2 1 o f ( t ) [ f ( t ) f ( t )] 2
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非正弦周期电流电路
§10.1 10 1 非正弦周期信号的谐波分析
一、非正弦周期信号
1、概念 同频 正弦 电源 线性 电路 非正弦信号 激 励 非线性 电路 非正弦 电压或 电流
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非正 同频 弦电 正弦 压或 稳态 电流 响应
非正弦周期电流电路
一、非正弦周期信号
1、概念 几个例子： 实际的交流发电机发出的非正弦电压波形 收音机、电视机收到的非正弦信号电压或电流 应用于自动控制、计算机等技术领域的脉冲信号 非正弦电流可分为周期的和非周期的两种。本 章主要讨论在非正弦周期电压、电流或信号的作用 下，线性电路的稳态分析和计算方法。
A1m cos(ω1t 1 ) 称为基波，其频率与原函数相同。
其他各项统称为高次谐波，即2次、3次、…谐波。
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非正弦周期电流电路
三、非正弦周期信号的频谱
为了直观地表示一个周期函数分解为傅里叶级 数后包含哪些频率分量以及各分量所占的比重，用 长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的 高低顺序把它们依次排列起来，这样得到的图形称 为该周期函数的幅度频谱。
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非正弦周期电流电路
f ( t ) a0 [ak cos( k1 t ) bk sin( k1t )]
k 1

其中各个系数按下式求解：
2 T 2 T2 bk f ( t )sin( k1 t )dt T f ( t )sin( k1 t )dt T 0 T 2 1 2 f (t ) )sin( ( k1 t )d( ) (1 t ) 0 1 f (t ) )sin( ( k1 t )d( ) (1 t )



cos(nx )dx 0 sin(kx ) cos(nx )dx 0 sin(kx ) sin(nx )dx 0 cos(kx ) cos(nx )dx 0



sin(nx )dx 0 ( k n 1 2 3 ) ( k n 1 2 3 k n) ( k n 1 2 3 k n)
2 k 2 k
Байду номын сангаас
ak
2 2 ak bk
cos( k1 t )
bk
2 2 ak bk
sin( k1 t )]
Akm cos( ( k1 t k )
综合比较可知 ：
A0 a0 ak Akm cos k bk Akm sin k
2 2 bk Akm ak
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f ( t ) a0 [ak cos( k1 t ) bk sin( k1 t )]
k 1

工程上傅里叶级数常用另一种形式：
f ( t ) A0 A1m cos(1 t 1 ) A2m cos(21 t 2 ) Akm c cos os( k1 t k ) A0 Akm cos( cos( k1 t k )
频谱
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§10.2 10 2 非正弦周期信号的有效值和平均值
一、非正弦周期电流和电压的有效值
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非正弦周期电流电路
例10.1 10 1 求图示周期性矩形信号f(t)的傅里叶级数展开 式及其频谱。 解： f(t)在第一个周期内的表达式为 f(t) Em 0≤t ≤(T/2) f (t) f(t) Em (T/2)≤t ≤T Em
T
1 2 O 则 a0 0 f ( t )dt 0 Em T 1 2 ak f ( t )cos( k1 t )d(1 t ) 0 1 1 2 Em cos( k1 t )d(1 t ) Em cos( k1 t )d(1 t ) 0 2 Em cos( k1 t )d(1 t ) 0 0 返回 上页 下页