甘肃省白银十中2017届高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年甘肃省白银十中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=cos x}，则图中阴影部分表示的区间是（）A．[﹣1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）2．若点P在角的终边上，且P的坐标为（﹣1，y），则y等于（）A．B．C．D．3．给出以下四个判断，其中正确的判断是（）A．命题p：∃α∈R，使幂函数y=xα图象经过第四象限；命题q：在锐角△ABC中，sinA＞cosB，则p∧q为真B．命题：“正切函数y=tan x在定义域内为增函数”的逆否命题为真C．在区间（a，b）连续的函数f（x），f（a）•f（b）＜0是f（x）在区间（a，b）内有零点的充要条件D．命题p：函数f（x）=x2﹣2x仅有两个零点，则¬p是真命题4．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则弦长AB=（）A．2 B．2sin 1 C．2sin 2 D．sin 15．已知α∈（，π），sin（α+）=，则=（）A．B．C．D．6．关于函数y=tan（2x﹣），下列说法正确的是（）A．最小正周期为πB．是奇函数C．在区间上单调递减D．为其图象的一个对称中心7．已知x1=dx，x2=e﹣1.1（其中e为自然对数的底数），实数x3满足，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x1＞x2＞x3B．x2＞x1＞x3C．x3＞x2＞x1D．x3＞x1＞x28．把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再把函数图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=f（x）的图象，则函数y=f（x）的图象上最高点与最低点之间的距离的最小值为（）A． B．C． D．9．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴正方向滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），设y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域为S，则直线x=t从t=0到t=4所匀速移动扫过区域S的面积D与t的函数图象大致为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=的图象上恰好有两对关于原点对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，0）∪（4，+∞）C．（0，4）D．（﹣∞，0）11．函数f（x）=﹣2ax+2a+1图象经过四个象限的必要而不充分条件是（）A．﹣＜x＜﹣B．﹣2＜a＜0 C．﹣＜a＜﹣D．﹣1＜a＜﹣12．设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最终答案填在题中的横线上）13．函数y=x与f（x）=2﹣x2围成的封闭图形的面积为．14．已知sinα﹣cosα=﹣，π＜α＜，求tanα的值．15．函数f（x）是定义在[﹣4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式＜0的解集为16．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＞0，f（x）•f（y）=f（x+y），且f（1）=，当x∈（0，+∞）时f（x）＜1，关于x的不等式f（a）•f（﹣2﹣xe x）﹣4＞0（其中e为自然对数的底数）恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）计算：﹣lg0.4﹣2lg0.5﹣14×（2）已知P（sinα，cosα）在直线y=x，求+2sinαcosα的值．18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19．已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为12x+y﹣1=0．（1）求b，c的值；（2）若方程f（x）﹣m=0有三个解，求m的取值范围．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（1）求的值；（2）求函数g（x）=f（x）+f（x+）的对称轴与单调区间．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，有f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范围．22．己知函数f（x）=ae x+x2，g（x）=sin+bx，直线l与曲线y=f（x）切于点（0，f（0））且与曲线y=g（x）切于点（1，g（1））．（I）求a，b的值和直线l的方程．（Ⅱ）证明：f（x）＞g（x）2016-2017学年甘肃省白银十中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=cos x}，则图中阴影部分表示的区间是（）A．[﹣1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据定义得到阴影部分的集合为∁U（A∪B），求出集合A，B的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：由题意知，A={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}，B={y|﹣1≤y≤1}，A∪B={x|﹣1≤x＜2}，则∁U（A∪B）即图中阴影部分所表示的区间，区间为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），故选C．2．若点P在角的终边上，且P的坐标为（﹣1，y），则y等于（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，求得y的值．【解答】解：∵点P在角的终边上，且P的坐标为（﹣1，y），∴tan（﹣）=﹣tan=﹣tan=﹣=，∴y=，故选：B．3．给出以下四个判断，其中正确的判断是（）A．命题p：∃α∈R，使幂函数y=xα图象经过第四象限；命题q：在锐角△ABC中，sinA ＞cosB，则p∧q为真B．命题：“正切函数y=tan x在定义域内为增函数”的逆否命题为真C．在区间（a，b）连续的函数f（x），f（a）•f（b）＜0是f（x）在区间（a，b）内有零点的充要条件D．命题p：函数f（x）=x2﹣2x仅有两个零点，则¬p是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】通过幂函数的性质判断A的正误；正切函数的单调性判断B的正误；零点判定定理以及充要条件判断C的正误；函数的零点个数判断D的正误；【解答】解：对于A，因为幂函数y=xα图象恒不过第四象限角，命题p是假命题；命题q 是真命题，则p∧q为假命题；对于B，正切函数y=tan x在每个周期内为增函数，故命题为假；对于C，f（a）•f（b）＜0是f（x）在区间（a，b）内有零点的充分不必要条件；对于D，做出y=x2和y=2x，可知x=0时02﹣20＜0，x=﹣1时，（﹣1）x2﹣2﹣1＞0，可知x ∈（﹣1，0），x=2，x=4也是函数的零点，有三个交点，故命题p为假，¬p是真命题；故选：D．4．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则弦长AB=（）A．2 B．2sin 1 C．2sin 2 D．sin 1【考点】扇形面积公式．【分析】由已知利用扇形面积公式，可求扇形的半径和弧长，过O作OH⊥AB于H，解三角形即可得解AB的值．【解答】解：设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则：，解得：，∴圆心角α==2．如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH=1 rad．∴AH=1•sin 1=sin 1（cm），∴AB=2sin 1（cm）．故选：B．5．已知α∈（，π），sin（α+）=，则=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+）的值，进而利用诱导公式可求的值．【解答】解：∵α∈（，π），α+∈（，），sin（α+）=，∴cos（α+）=﹣=﹣，∴=sin（α++）=cos（α+）=﹣．故选：C．6．关于函数y=tan（2x﹣），下列说法正确的是（）A．最小正周期为πB．是奇函数C．在区间上单调递减D．为其图象的一个对称中心【考点】正切函数的奇偶性与对称性．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出函数y=tan（2x﹣）的最小正周期，判断它的奇偶性以及单调性、对称中心．【解答】解：函数y=tan（2x﹣）最小正周期为T==，A错误；令2x﹣≠+kπ，k∈Z，解得x≠+，k∈Z，∴f（x）的定义域为{x|x≠+，k∈Z}，其定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，B错误；又周期函数在其定义域内无单调减区间，∴f（x）无单调减区间，C错误；令2x﹣=，k∈Z，解得x=+，k∈Z，∴f（x）的对称中心为（﹣+，0），k∈Z；当k=1时，f（x）的对称中心为（，0），D正确．故选：D．7．已知x1=dx，x2=e﹣1.1（其中e为自然对数的底数），实数x3满足，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x1＞x2＞x3B．x2＞x1＞x3C．x3＞x2＞x1D．x3＞x1＞x2【考点】定积分．【分析】分别计算三个数的大小；x1利用定积分计算；x2结合指数函数判断，x3结合函数y=与函数y=lgx的交点进行判断．【解答】解：x1=dx=，x2=e﹣1.1＜，实数x3是为函数y=与函数y=lgx的交点的横坐标，由作图可知x3＞1．如图：所以x3＞x1＞x2．故选：D．8．把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再把函数图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=f（x）的图象，则函数y=f（x）的图象上最高点与最低点之间的距离的最小值为（）A． B．C． D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意根据正弦函数的平移变换规律可求函数y=f（x）的解析式，利用正弦函数的图象和性质即可利用勾股定理计算得解．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，再把函数y=sin（2x+）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（x+）的图象，其周期为2π，最大值为1，最小值为﹣1，可得：最高点与最低点距离为：=．故选：A．9．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴正方向滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），设y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域为S，则直线x=t从t=0到t=4所匀速移动扫过区域S的面积D与t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，先画出y=f（x）最终构成图象，即得到其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域为S，再由图象选出直线x=t从t=0到t=4所匀速移动扫过区域S的面积D与t的函数图象．【解答】解：由题意得，从顶点A落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，下面考查P点的运动轨迹，知正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，再以C为圆心，旋转90°，这时候以CP为半径，因此y=f（x）最终构成图象如下：由图得，两个相邻零点间的图象与x轴所围区域S为曲线与x轴围成的封闭图形，则直线x=t从t=0到t=4所匀速移动扫过区域S的面积D与t的函数变化：从O到B面积相同时间内越来越大，D随着t变化得越来越快，从B到D面积相同时间内越来越小，D随着t变化得越来越慢，故D与t的函数变化图象大致为D中的图象，故选：D．10．已知函数f（x）=的图象上恰好有两对关于原点对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，0）∪（4，+∞）C．（0，4）D．（﹣∞，0）【考点】分段函数的应用；二次函数的性质．【分析】若函数f（x）=的图象上恰好有两对关于原点对称的点，则当x＞0时，x2﹣2ax+2a=﹣（﹣x）2即x2﹣ax+a有两个解，解得实数a的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=的图象上恰好有两对关于原点对称的点，则当x＞0时，x2﹣2ax+2a=﹣（﹣x）2即x2﹣ax+a有两个解，所以，解得a∈（4，+∞）．故选：A．11．函数f（x）=﹣2ax+2a+1图象经过四个象限的必要而不充分条件是（）A．﹣＜x＜﹣B．﹣2＜a＜0 C．﹣＜a＜﹣D．﹣1＜a＜﹣【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x），求导，f′（x）=ax2+ax﹣2a=a（x﹣1）（x+2），由题意可知：f（﹣2）＜0，且f（1）＞0，即可求得a的取值范围，根据a的取值范围，根据集合的关系，即可求得函数f（x）图象经过四个象限的必要而不充分条件为﹣2＜a＜0．【解答】解：由f（x）=﹣2ax+2a+1，求导f′（x）=ax2+ax﹣2a=a（x﹣1）（x+2）．若a＜0，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣2或x＞1，令f′（x）＞0，解得：﹣2＜x＜1，由题意可知：f（﹣2）＜0，且f（1）＞0，，解得：﹣＜a＜﹣，若a≥0，则无解，∴数f（x）=﹣2ax+2a+1图象经过四个象限的充要条件为{a丨﹣＜a＜﹣}，由题意可知：函数f（x）图象经过四个象限的必要而不充分条件为：﹣2＜a＜0．故选：B．12．设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数对称性，周期性得出图象判断即可，注意特殊值的运用．【解答】解：∵当x∈[0，1]时，f（x）=x3．∴当x∈[1，2]时，2﹣x∈[，0，1]，∴f（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）3，当x∈[0，]时，函数g（x）=|xcos（πx）|，当x∈[，]时，函数g（x）=﹣xcos（πx），∵f（x），g（x）都为偶函数，f（0）=g（0）=0，f（1）=g（1）=1，g（）=g（）=0据图象可知，函数还在（﹣，0）（0，）（，1）（1，）上各有一个零点，∴共有8个零点故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最终答案填在题中的横线上）13．函数y=x与f（x）=2﹣x2围成的封闭图形的面积为．【考点】定积分．【分析】首先求出两个函数的交点，然后利用定积分表示封闭图形的面积，计算定积分．【解答】解：由得到，所以函数y=x与f（x）=2﹣x2围成的封闭图形的面积为==；故答案为：．14．已知sinα﹣cosα=﹣，π＜α＜，求tanα的值．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】利用平方关系和商数关系即可得出．【解答】解：由sinα﹣cosα=﹣，sin2α+cos2α=1，得5cos2α﹣cos α﹣2=0∴cos α=或cos α=﹣∵π＜α＜，∴cos α＜0．∴cos α=﹣，∴sin α=﹣．因此tan α==2．15．函数f（x）是定义在[﹣4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式＜0的解集为（﹣，﹣1）∪（1，）【考点】偶函数；函数奇偶性的性质．【分析】先求出不等式在[0，4]上的解集，再由偶函数的对称性求出在[﹣4，0）上，不等式的解集，将这2个解集取并集．【解答】解：在[0，1]上，f（x）≥0，cosx＞0，不等式不成立．在（1，4]上，f（x）＜0，要使不等式成立，必有cosx＞0，∴x∈（1，），∴在[0，4]上，不等式的解集是（1，），再由偶函数的对称性知，在[﹣4，0）上，不等式的解集是（﹣，﹣1），∴不等式的解集是（1，）∪（﹣，﹣1）．16．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＞0，f（x）•f（y）=f（x+y），且f（1）=，当x∈（0，+∞）时f（x）＜1，关于x的不等式f（a）•f（﹣2﹣xe x）﹣4＞0（其中e为自然对数的底数）恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣）．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用定义判断函数的单调性，根据函数的单调性把恒成立问题转化为求函数最值问题解决．【解答】解：对于∀x1＞x2，f（x1）﹣f（x2）=f（x2+x1﹣x2）﹣f（x2）=f（x2）[f（x1﹣x2）﹣1]，又x1﹣x2＞0，所以f（x1﹣x2）＜1，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在R上单调递减．f（0）•f（0）=f（0+0）得f（0）=1或0（舍），f（﹣1）•f（1）=f（﹣1+1）得f（﹣1）=2，从而f（﹣2）=4，所以原不等式f（a）•f（﹣2﹣xe x）﹣4＞0等价于f（a﹣2﹣xe x）＞f（﹣2）所以a﹣2﹣xe x＜﹣2即a＜xe x恒成立，令t=xe x，t'=e x（1+x），当x＞﹣1时，函数递增，当x＜﹣1时，函数递减，所以当x=1时，函数取最小值为﹣，所以a＜﹣．故答案为（﹣∞，﹣）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）计算：﹣lg0.4﹣2lg0.5﹣14×（2）已知P（sinα，cosα）在直线y=x，求+2sinαcosα的值．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】（1）化根式为分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简求值；（2）由题意可得tanα，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简求值．【解答】解：（1）原式=（）+|（﹣2）3|﹣（lg0.4+lg0.25）﹣14×=+8﹣（﹣1）﹣7=．（2）∵由题意可得：cos，可得：tanα=2，∴+2sinαcosα=+=+=﹣1+=﹣．18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．（2）利用定义域和值域求得f（x）在区间上的最值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=sin（2x+）+1，∴函数f（x）的最小正周期为T==π．（2）由（1）的计算结果知，f（x）=sin（2x+）+1，当x∈[，]时，2x+∈[，]，由正弦函数y=sin t在单调递减，在上单调递减．当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2；当2x+=，即x=时，f（x）取最小值﹣+1．综上，f（x）在区间上的最大值为2，最小值为﹣+1．19．已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为12x+y﹣1=0．（1）求b，c的值；（2）若方程f（x）﹣m=0有三个解，求m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）根据导数几何意义，导数的几何意义、切点坐标的应用，得到关于b，c的方程组，解得即可．（2）利用导数求出函数的单调区间，可得函数的极值，利用方程f（x）﹣m=0有三个解，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=3x2+2bx+c，∴k=f'（1）=3+2b+c=﹣12①，又∵f（1）=﹣11，∴﹣，11=1+b+c②，由①②解得：b=﹣3，c=﹣9；（2）f'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），∴f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增．∴f（x）得极大值f（﹣1）=5，极小值为f（3）=﹣27，∵方程f（x）﹣m=0有三个解，∴﹣27＜m＜5．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（1）求的值；（2）求函数g（x）=f（x）+f（x+）的对称轴与单调区间．【考点】正弦函数的单调性．【分析】（1）利用两角差的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=2sin（ωx+φ﹣），由f（x）是偶函数，可得φ=+kπ（k∈Z），结合范围0＜φ＜π，可求φ，利用周期公式可求ω，即可求得函数解析式为f（x）=2cos 2x．利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求值得解．（2）利用三角函数恒等变换的应用可得解析式g（x）=2sin（2x+），令2x+=+kπ，k∈Z，即可解得对称轴方程，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，即可解得单调递增区间，令+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得单调递减区间．【解答】解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2[sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin （ωx +φ﹣）．因为f （x ）是偶函数，则φ﹣=+k π（k ∈Z ）， 所以φ=+k π（k ∈Z ），又因为0＜φ＜π， 所以φ=，所以f （x ）=2sin （）=2cos ωx ．由题意得=2•，所以ω=2．故f （x ）=2cos 2x ．因此=2cos=．（2）g （x ）=2cos 2x +2cos 2（x +）=2cos 2x +2cos （2x +）=2cos 2x ﹣2sin 2x=2sin （2x +），令2x +=+k π，k ∈Z ，解得对称轴x=﹣+k π，k ∈Z ，令﹣+2k π≤2x +≤+2k π，解得：﹣+k π≤x ≤﹣+k π，k ∈Z ，令+2k π≤2x +≤+2k π，解得：﹣+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，所以函数g （x ）的对称轴x=﹣+k π，k ∈Z ，单调递增区间为：[﹣+k π，﹣+k π]，k ∈Z ，单调递减区间为：[﹣+k π，+k π]，k ∈Z ．21．已知函数f （x ）=ax 2﹣（a +2）x +lnx（1）当a=1时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程 （2）若对任意x 1，x 2∈（0，+∞），x 1＜x 2，有f （x 1）+2x 1＜f （x 2）+2x 2恒成立，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题． 【分析】（1）a=1时，求f （x ）的导函数，计算曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率k ，写出该点处的切线方程；（2）由题意设g（x）=f（x）+2x，（x＞0），g（x）应是增函数，即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求出a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x2﹣3x+lnx，f（1）=﹣2，∴，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=0；所以在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣2；（2）令g（x）=f（x）+2x=ax2﹣ax+lnx，（x＞0）；由题意知g（x）在（0，+∞）单调递增，所以g'（x）=2ax﹣a+≥0在（0，+∞）上恒成立，即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立；令h（x）=2ax2﹣ax+1，（x＞0）；则①若a=0，h（x）=1≥0恒成立，②若a＜0，二次函数h（x）≥0不恒成立，舍去③若a＞0，二次函数h（x）≥0恒成立，只需满足最小值，即，解得0＜a≤8；综上，a的取值范围是[0，8]．22．己知函数f（x）=ae x+x2，g（x）=sin+bx，直线l与曲线y=f（x）切于点（0，f（0））且与曲线y=g（x）切于点（1，g（1））．（I）求a，b的值和直线l的方程．（Ⅱ）证明：f（x）＞g（x）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得切线的斜率和切线方程，再由切线唯一，即可求得a，b和切线方程；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣（x+1）=e x+x2﹣x﹣1，运用导数，求得最小值大于0，再设G（x）=x+1﹣g（x），由正弦函数的值域可得G（x）≥0，即可得到f（x）＞g（x），即可得证．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ae x+2x，g′（x）=cos+b，即有f（0）=a，f′（0）=a，g（1）=1+b，g′（1）=b，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线为y=ax+a，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线为y=b（x﹣1）+1+b，即y=bx+1．依题意，有a=b=1，直线l方程为y=x+1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）=e x+x2，g（x）=sin+x．设F（x）=f（x）﹣（x+1）=e x+x2﹣x﹣1，则F′（x）=e x+2x﹣1，当x∈（﹣∞，0）时，F′（x）＜F′（0）=0；当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞F′（0）=0．F（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，故F（x）≥F（0）=0．设G（x）=x+1﹣g（x）=1﹣sin，则G（x）≥0，当且仅当x=4k+1（k∈Z）时等号成立．由上可知，f（x）≥x+1≥g（x），且两个等号不同时成立，因此f（x）＞g（x）．2016年12月15日。