2021-2022学年上海市嘉定区九年级一模数学试卷含答案

2021学年上海市嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列函数中是二次函数的是（）（A ）1-=x y ； （B ）21x y =； （C ）22)2(x x y --=； （D ）)1(-=x x y ． 2．已知抛物线2)1(2+-=x a y 的顶点是此抛物线的最低点，那么a 的取值范围是（） （A ）0≠a ； （B ）1≠a ； （C ）1>a ； （D ）1<a ． 3．在△ABC 中，︒=∠90C ，6=AC ，2=BC ，那么下列各式中正确的是（）（A ）31tan =A ； （B ）31cot =A ； （C ）31sin =A ； （D ）31cos =A ．4．在△ABC 中，10==AC AB ，52cos =B ，那么BC 的长是（）（A ）4； （B ）8； （C ）212； （D ）214． 5．已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（）（Aa =； （Bb =； （Ce b =； （Db a =．6．如图1，已知AB ∥CD ∥EF ，53::=AE AC ，那么下列结论正确的是（）（A ）32::=DF BD ； （B ）32::=CD AB ； （C ）53::=EF CD ； （D ）52::=BF DF ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．抛物线22+=ax y 经过点)62(,-，那么=a ．8．抛物线122+--=x x y 的对称轴是 ．9．抛物线1)3(2-++=x x m y 在对称轴右侧的部分是上升的，那么m 的取值范围是 ． 10．将抛物线x x y 22-=向左平移2个单位，得到一条新抛物线，这条新抛物线的表达式是 ．11．在△ABC 中，︒=∠90C ，41cos =B ，4=BC ，那么=AB ． 12．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 之比是43:，那么=∠BAC sin ． 13．如图2，飞机在目标B 的正上方A 处，飞行员 测得地面目标C 的俯角︒=30α，如果地面目标B 、C 之间的距离为6千米，那么飞机离地面 的高度AB 等于 千米．（结果保留根号）14．已知32::=y x ，那么=+y y x :)( ． 15．已知向量a 、b 、x 满足)(3)(2x b x a -=-，试用向量a 、b 表示向量x ，那么x = ．16．如图3，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，3=AD ， 2=BD ，那么DE BF :的值是 ．17．在梯形ABCD 中，BC AD //，对角线AC 与BD 相交于点O ，如果△AOD 、△BOCα AC B图2 AB C D E图3 F图4A A C D EF图1B的面积分别是21cm 、24cm ，那么梯形ABCD 的面积等于 2cm ． 18．如图4，在△ABC 中，︒=∠90C ，2=BC ，52=AB ，点D 在边AC 上， 3:1:=AD CD ， 联结BD ，点E 在线段BD 上，如果A BCE ∠=∠，那么=CE ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：160cos 245sin 245cot 45tan 30cot 60tan -︒+︒+︒︒+︒⋅︒．20．（本题满分10分）如图5，在梯形ABCD 中，BC AD //，点E 在线段AD 上，CE 与BD 相交于点H ，CE 与BA 的延长线相交于点G ，已知3:2:=AE DE ，DE BC 4=，10=CE ． 求EH 、GE 的长．21．（本题满分10分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分4分）已知二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点)23(-,A 、)32(-,B 、)10(,C ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标． 22．（本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分）如图6，在航线l 的两侧分别有两个灯塔A 和B ，灯塔A 到航线l 的距离为3=AC 千米，灯塔B 到航线l 的距离为4=BD 千米，灯塔B 位于灯塔A 南偏东︒60方向．现有一艘A B C D E G H 图5轮船从位于灯塔B 北偏西︒53方向的N （在航线l 上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A 正南方向的点C （在航线l 上）处． （1）求两个灯塔A 和B 之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：73.13≈，80.053sin ≈︒，60.053cos ≈︒，33.153tan ≈︒）23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图7，已知正方形ABCD 和正方形BEFG ，点E 在边BC 上，点G 在边AB 的延长线上，联结AE ，并延长AE 交CG 于点K ． （1）求证：△ABE ∽△CKE ；（2）如果CG 与EF 交于点H ，求证：AB FH BE ⋅=2．24．（本题满分12分，每小题满分各4分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 两点在直线x y 21=上，如图8．二次函数22-+=bx ax y 的图像也经过点A 、B 两点，并与y 轴相交于点C ，如果BC ∥x 轴，点A 的横坐标是2．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数图像的对称轴与BC 交于点D的负半轴上，如果以点E 、O 、B 且相似比不为1，求点E 的坐标；（3）设这个二次函数图像的顶点是M ，求∠tan图7图825．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与边CD 垂直，43=AC AB ，四边形ABCD 的周长是16，点E 是在AD 延长线上的一点，点F 是在射线AB 上的一点，CDF CED ∠=∠． （1）如图9，如果点F 与点B 重合，求AFD ∠的余切值；（2）如图10，点F 在边AB 上的一点．设x AE =，y BF =，求y 关于x 的函数关系式并写出它的定义域；（3）如果2:1:=FA BF ，求△CDE 的面积．A BCD备用图A BCDE F 图10A CDE F (B )图9嘉定区2021学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷参考答案一、1. D ；2. C ；3. A ；4. B ；5. A ；6. D .二、7.1；8.直线1-=x ；9. 3->m ；10.x x y 22+=；11.16；12.54；13.32； 14.3:5；15. a b 23-；16.32；17.9；18.25.三、19．解：160cos 245sin 245cot 45tan 30cot 60tan -︒+︒+︒︒+︒⋅︒ 12122221133-+⨯++⨯= ………………………6分1123+-+= …………………………3分23+= ……………………………………………1分20．解：∵AD ∥BC ∴HC EHBC DE = ……………1分 ∵DE BC 4= ∴41=BC DE ……………………1分 ∵10=CE ∴EH HC -=10 ………………1分 ∴EHEH -=1041 ……………………………1分 ∴2=EH ……………………………1分∵DE BC 4=,3:2:=AE DE∴83=BC AE ……………………………1分 ∵AD ∥BC ∴GCGEBC AE = ………………………1分 ∵10=CE ∴GE GC +=10 ……………………1分 ∴GEGE +=1083 ……………………………1分 ∴6=GE ……………………………1分21．解：（1）由题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=++1,324,239c c b a c b a ……………………3分解这个方程组，得 1=a ，4-=b ………………………………2分所以，这个二次函数的解析式是142+-=x x y . …………………1分（2）3)2(144414222--=+-+-=+-=x x x x x y …………2分所以，这个二次函数图像的顶点坐标为)3,2(- ………………2分22.解：（1）由题意，得︒=∠=∠90BDM ACM ,3=AC ,4=BDA B CDE G H 图5︒=∠=∠60DBM CAM …………1分在Rt △ACM 中，AM AC CAM =∠cos , ∴AM 360cos =︒∴6=AM ………1分在Rt △BDM 中，BM BD DBM =∠cos , ∴BMBD=︒60cos ∴8=BM ………1分∴14=+=BM AM AB 千米 …………1分答：两个灯塔A 和B 之间的距离为14千米.（2）在Rt △ACM 中，ACMCCAM =∠tan ,∴360tan MC =︒∴33=MC ……1分 在Rt △BDM 中，DB DM DBM =∠tan , ∴460tan DM=︒∴34=DM ……1分∴37=+=DM MC CD ……1分在Rt △BDN 中，DBDNDBN =∠tan , 由题意，得︒=∠53DBN∴453tan DN=︒∴︒=53tan 4DN ……1分∴︒-=-=53tan 437DN CD CN ……1分 设该轮船航行的速度是V 千米/小时由题意，得6010)53tan 437(÷︒-=V∴7.40≈V （千米/小时 ） ……1分 答：该轮船航行的速度是7.40千米/小时. 23.证明（1）∵四边形ABCD 是正方形∴CB AB =，︒=∠90ABC ……1分 ∵四边形BEFG 是正方形∴BE BG FG ==，︒=∠90CBG ……1分 ∴︒=∠=∠90CBG ABE ……1分 ∴△ABE ≌△CBG ……1分∴ECK BAE ∠=∠ ……1分∵CEK AEB ∠=∠∴△ABE ∽△CKE ……1分（2）由题意，得︒=∠=∠=∠90ABE F CEF ∴FG ∥BC …1分∴FGH ECK ∠=∠ …1分∵ECK BAE ∠=∠∴FGH BAE ∠=∠ …1分 ∴△ABE ∽△GFH …1分∴ FHBEFG AB = …1分 ∵BE FG =∴ FHBEBE AB = ∴AB FH BE ⋅=2…1分图7 A M N D B C 图6 l24. 解：（1）∵二次函数22-+=bx ax y 的图像与y 轴相交于点C∴点C 的坐标为)2,0(-， ………1分 ∵ BC //x 轴 ∴点B 的纵坐标是2-,∵点A 、B 两点在直线x y 21=上，点A 的横坐标是2 ∴点A 的坐标为)1,2(，点B 的坐标为)2,4(--由这个二次函数的图像也经过点A )1,2(、B )2,4(--，得 ⎩⎨⎧-=--=-+224161224b a b a 解这个方程组，得 41=a ，1=b ………2分 这个二次函数的解析式是2412-+=x x y ………1分（2）根据（1）得，二次函数2412-+=x x y 图像的对称轴是直线2-=x∴点D 的坐标为)2,2(-- ………1分∴52=OB , 2=BD∵BC //x 轴∴BOE OBD ∠=∠∴以点E 、O 、B 组成的三角形与△OBD 相似有可能以下两种：① 当OEBDOB BO =时△BOD ∽△OBE ，显然这两相似三角形的相似比为1 与已知相似比不为1矛盾，这种情况应舍去 ………1分 ② 当OB BD OE BO =时△BOD ∽△OEB ，∴52252=OE ∴10=OE ………1分 又点E 在x 轴的负半轴上∴点E 的坐标为 )0,10(- ………1分 （3）过点C 作AM CH ⊥,垂足为H根据（1）得，二次函数的解析式是2412-+=x x y 的顶点坐标为)3,2(--M 设直线AM 的解析式为b kx y +=，易得1=k ，1-=b∴直线AM 的解析式为1-=x y ………1分 设直线AM 与x 轴、y 轴的交点分别为点P 、Q ， 则点P 的坐标为)0,1(,点Q 的坐标为)1,0(- ∴△OPQ 是等腰直角三角形，︒=∠45OQP ∵HOC OQP ∠=∠∴︒=∠45HOC ∵点C 的坐标为)2,0(-，∴1=CQ∴22==HQ HC ………1分 又22=MQ∴223=-=HQ MQ MH ………1分 ∴31tan ==∠MH HC AMC ……1分25.（1）解：如果点F 与点B 重合，设DF 与AC 交于点M∵CD AC ⊥∴︒=∠90DCA∵四边形ABCD 是平行四边形∴CD ∥AB ∴︒=∠=∠90DCA CAB 在Rt △CAB 中，设k AB 3=∵43=AC AB ∴kAC 4= ∴k AB AC BC 522=+= ………1分 ∵四边形ABCD 的周长是16∴16)(2=+BC AB即 16)53(2=+k k ∴1=k ∴3=AB ,5=BC ,4=AC ……1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形∴221===AC CM AM ………1分∴23cot ==∠AM AB AFD ………1分 （2）解：∵CD ∥AB ∴FAD EDC ∠=∠,AFD CDF ∠=∠∵CDF CED ∠=∠∴AFD CED ∠=∠ ∴△CDE ∽△DAF ………1分∴ADDC AF DE = ………1分 由题意，得5==BC AD ,=DE 5-x ， 3==AB DC ,y AF -=3∴5335=--y x ………1分 ∴33435+-=x y ………1分定义域是：5345≤<x . ………1分（3）解：点F 在射线AB 上都能得到：△CDE ∽△DAF∴2)(AD DC S S DAF CDE =∆∆ ………1分 ①当点F 在边AB 上∵2:1:=FA BF ，3=AB ∴2=AF ，由题意，得AC AF S DAF ⋅=∆21∵4=AC ∴4422121=⨯⨯=⋅=∆AC AF S DAF∴2)53(4=∆CDE S ∴2536=∆CDE S ……2分②当点F 在AB 的延长线上∵2:1:=FA BF ，3=AB ∴6=AF由题意， 得AC AF S DAF ⋅=∆21∴1221=⋅=∆AC AF S DAF∴2)53(12=∆CDE S ∴25108=∆CDE S ……2分A BC DE F 图10A C DEF (B )图9 M综上所述，△CDE 的面积是2536或25108.。