2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课件5：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
题型三 向量加法的应用
例 3 某人在静水中游泳，速度为 4 3千米/小时，他在水流速度为 4 千米/小时 的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速 度大小为多少？ 解：如图，设此人游泳的速度为O→B，水流的速度为O→A， 以O→A，O→B为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为O→A＋O→B＝O→C. 由勾股定理知|O→C|＝8，且在 Rt△ACO 中，∠COA＝60°， 故此人沿与河岸成 60°的夹角 顺着水流的方向前进，速度大小为 8 千米/小时．
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600( km)． 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km， 方向为北偏东 80°.
变式训练 3 在某地抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位地按北偏东 35°的方向飞行 800 km， 从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km. 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C.
答案：0
题型一 已知向量作和向量
[课堂探究]
例 1 如图，已知三个向量 a、b、c，试用三角形法则和平行四边形法则分别 作向量 a＋b＋c.
解：利用三角形法则作 a＋b＋c，如图①所示，作O→A＝a，以 A 为起点， 作A→B＝b，再以 B 为起点，作B→C＝c， 则O→C＝O→B＋B→C＝O→A＋A→B＋B→C＝a＋b＋c. 利用平行四边形法则作 a＋b＋c，如图②所示，作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 以O→A、O→B为邻边作▱OADB，则O→D＝a＋b，再以O→D、O→C为邻边作▱ODEC， 则O→E＝O→D＋O→C＝a＋b＋c.
2.2.1向量加法运算及其几何意义
1、不共线
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小
2、 共线
(1)同向
a
a+ b
b
(2)反向
a
b
a+ b
| a + b |= | a | + | b |
| a + b |< | a | + | b |
练习1：如图：已知向量 a 、 b用向量加法的三角形法则作出 a b。
(1) （2）
ab
a
(3)
b
b
a
ab ab
(4)
a
a
b
ab
b
练习2：如图，已知
a 、b
，用向量加法的平行四边形法则作出 a b
数的加法满足交换律与结合律,即对任 意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 任意向量a,b的加法是否也满足交换律 与结合律?
D D a a+b b B C
a+b+c
A a B b+c a+b
c C b
b
A a
a+ b = b+ a ( a + b) + c = a + (b + c )
(2)
。
(1)
b a
2.2.1向量加法运算及其几何意义
当向量a , 不是共线向量时, + b 又如何 b a 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
对 任 意 两 个 向 量 a，， b 有 | | a | - | b | | | a b | | a | | b |
|a + b |< |a |+ |b |
以 O A ， O B 为 邻 边 做 O A C B
O C O A O B a b.
b
a
连结OC，则
O
b
a a b
A
B
C
平行四边形法则
当向量a , 是共线向量时, + b 又如何 b a 作出来?
(1)同向
a
(2)反向
B
数的加法满足交换律与结合律，即对任 意a，b∈R，有a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
任意向量 足交换律与结合律？
a、 的加法是否也满 b
A
a O b aBiblioteka b B链接 a b
b
a
a+ b
b+ a
b
a
b A a c O
B
C
BC OB (a+b)+c=_____+____=______ OC
解：（ 1） OC OB ; OA
（ 2） BC FE AD ;
E
D
F
O
C
（ 3） OA FE 0 .
A
B
2.A B B C A C 3. A C C A 0 4.AB BC C A 0 5.P B O P O B 2O B
2.2.1 向量加法运算及其几何意义2.2.2 向量减法运算及其几何意义
(
)
点评：封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量．
跟踪训练 1．已知下列各式： → → → → → → → ＋BO＋OM ①AB＋BC＋CA；② AB＋MB → → → → → → → → ③OA＋OC＋BO＋CO；④AB＋CA＋BD＋DC
(
)
其中结果为0的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
→ ；③ → ；④0. 解析：①0；② AB BA
驶，同时河水的流速为v2，船的实际航行的速度的大小为4
km/h，方向与水流间的夹角是60°，求v1和v2.
→ 解析： 表示水流速度，AD 表示 AB 渡船速度，→ 表示船的实际速度． AC
AB⊥AD，在Rt△ABC中，AB＝ 4×cos 60°＝2，
→
AD＝4×sin 60°＝2 3 .
∴v1＝2 3 km/h，v2＝2 km/h.
它们的异同．
解析：我们学过实数间的运算、集合间的运算、函数 间的运算，今天又学到了向量间的运算．对于两个向量， 通过三角形法则或平行四边形法则，有唯一的和向量与之 对应．一般的，对于两个对象，通过一个法则都有唯一确
定的对象与之对应，这就是运算．运算可以帮助我们解决
很多的问题．
自测自评 1．下列等式正确的个数是( C ) ①a＋0＝a ②b＋a＝a＋b ＝0 ⑤a＋(－b)＝a－b A．2 B．3 ③－(－a)＝a ④a＋(－a) C．4 D．5
就是向量的和．这 种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则， 如图：
特殊情况：
4．运算律
(1)向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)向量加法的结合律：__________________. 练习1：三角形法则、平行四边形法则是否对所有向 量a，b求和都适用？ 三角形法则适合所有向量，平行四边形法则对于两个 向量共线时不适用．
课件4：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
所以 tan∠ACB＝4123＝ 33， 即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°. 所以 AD ＝8 3，∠BAD＝120°.
即船航行的速度为 8 3 km/h，方向与水流方向所成角为 120°.
答பைடு நூலகம்：D
2.设 E 是平行四边形 ABCD 外一点，如图所示，化简下 列各式： (1)D→E＋E→A＝___D_→_A___； (2)B→E＋A→B＋E→A＝___0___； (3)D→E＋C→B＋E→C＝____D→_B___； (4)B→A＋D→B＋E→C＋A→E＝____D→_C___.
3.如图所示，在四边形 ABCD 中，A→C＝A→B＋A→D， 试判断四边形的形状．
跟踪训练 3 某人在静止的水中的游泳速度为 2 3 km/h，如果 他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为 2 km/h，那么 他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？ 解：设此人在静水中的游泳速度为O→A，水流的速 度为O→B，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB， 如图所示，则此人的实际速度为O→C＝O→A＋O→B. 根据勾股定理知|O→C|2＝|O→A|2＋|O→B|2＝12＋4＝16， ∴|O→C|＝4. 又在 Rt△OBC 中，cos∠BOC＝||OO→→CB||＝24＝12. 所以此人沿与河岸夹角为 60°方向前进，速度大小为 4 km/h.
(2)D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B ＝(B→C＋C→D)＋D→B ＝B→D＋D→B ＝0.
(3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A ＝0. 小结 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意 各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
三角形法则
首尾相接连端点
平行四边形法则
起点相同连对角
注：两个向量的和仍是向量
思考
考察下列各图， a b 与 a b 的大小关系如何？ a b 与 a b 的大小关系如何？
C
a b b
B
a＋b
A
b b
a
a
a＋b
a＋b
ab ab
A
B
C
B
C
AC a b
A
AC a b
思考：AB BC ？
C
a b AB BC
AC
ab
A
a
b
B
AB BC AC
练习：
1、 AB BD 3、 BC CA
AD
BA
2、 BA AC BC
0 4、 OD DO OO
探究：数的加法有运算律，那么向量的加法呢？是否也有运算律呢？ 在向量运算加法的平行四边形法则中， 结合三角形法则，你会得到什么结论呢？
由于大陆和台湾没有直航， 因此王先生春节回老家探亲， 乘飞机要先从台北到香港， 再从香港到上海，则飞机的位移是多少?
上海
上海 台北 香港
b
c
台北
a
香港
C
1.位移 AB BC AC
2.力的合成
A B F1
F1 F2 F
F2
F
数的加法启示我们，从 运算的角度看， 可以认为AC是 AB与BC的和 F可以认为是F1与F2的和， 即位移、力的合成可以 看做是向量的加法。
A
B
CAB 60 .
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º 。
课件9：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
[规律方法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转化为数学问题求 解．本题实际是向量在物理上的一个简单应用，先根据三个已知速度(即已知向量) 之间的关系，作▱ABCD 是问题的关键．因为本题是求方向，所以可以转化为平面 几何中求角度的问题．
跟踪训练
5．一艘船以 8 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，由于水流的原因， 船的实际航行速度的大小为 4 5 km/h，则水流速度的大小为________．
课堂小结
1． 求作向量和时，应慎用三角形法则，平行四边形法则及向量的多边形法则， 要注意向量是否共线，当向量共线时，平行四边形法则便不能适用了． 2．模一定的向量 a 和 b，当向量 a 和 b 的方向发生变化时，其和向量 a＋b 也会发生变化， 当 a 与 b 共线且同向时，a＋b 的模最大，|a＋b|＝|a|＋|b|；当 a 与 b 共线且反向时，不妨 设|a|＞|b|，此时 a＋b 的模最小，|a＋b|＝|a|－|b|；当 a 与 b 不共线时，有||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|.
(2)平行四边形法则：
已知两个不共线向量 a，b，作 OA ＝a OB ＝b，以 a，b 为邻边作▱OACB，
则 以O为 起点
的对角线 OC 就是 a 与 b 的和，如图．这种作
两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．对于零向量与任一向量 a，
规定：a＋0＝ 0 ＋ a＝ a .
知识点二 加法的运算律
解：根据题意可知∠BAC＝90°，| AB |＝| AC |＝300 km，则可得| BC |＝300 2 km. 又由于∠ABC＝45°，A 地在 B 地东偏南 60°的方向处，可知 C 地在 B 地东偏南 15°的方向处． 即飞机从 B 地向 C 地飞行的方向是东偏南 15°，B、C 两地的距离为 300 2 km.
课件7：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2．在△ABC 中，必有A→B＋C→A＋B→C等于( )
A．0
B．0
C．任一向量
D．与三角形形状有关
【解析】A→B＋C→A＋B→C＝A→B＋B→C＋C→A＝A→C＋C→A＝0.
故选 B．
【答案】B
3．化简(A→B＋M→B)＋(B→O＋B→C)＋O→M＝______. 【解析】(A→B＋M→B)＋(B→O＋B→C)＋O→M＝(A→B＋B→C)＋ (B→O＋O→M)＋M→B＝A→C，故答案为A→C. 【答案】A→C
2．运算律 (1)a＋b＝b＋a； (2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
自主演练 1．如下图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论错误的 是( )
A．A→B＝D→C C．B→A＋B→C＝A→C
B．A→D＋A→B＝A→C D．A→D＋C→B＝0
【解析】∵B→A＋B→C＝B→D，∴C 中的结论错误．故选 C． 【答案】C
A．F→E
B．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ→C
C．D→C
D．F→C
【解析】F→A＋A→B＋2B→O＋E→D＝F→E＋E→D＝F→D＝A→C.
【答案】B
3．若 O 是△ABC 内的一点，且O→A＋O→B＋O→C＝0，则
O 是△ABC 的( )
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
【解析】O→A＋O→B＋O→C＝0，∵O→A＋O→B是以O→A，O→B为 邻边作平行四边形的对角线且过 AB 的中点，设为 D， 则O→A＋O→B＝2O→D，∴2O→D＋O→C＝0.∵D 为 AB 的中点， 同理 E，F 为 AC，BC 中点，∴满足条件的点 O 为△ABC 三边中线交点，故为重心． 【答案】B
(2)课本中对向量加法是釆用三角形法则来定义的，这种 定义，对两个向量共线时同样适用，但是当两向量共线 时，平行四边形法则就不适用了．但在处理某些问题时， 平行四边形法则有它一定的优越性，因此向量加法的三 角形法则和平行四边形法则都应熟练掌握．
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2．2.1 向量加法运算及其几何意义
知识点一向量加法的定义及其运算法则
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)向量求和的法则
向
量
求
和
的
法
则
三角形法
则
已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作AB
→
＝a，BC
→
＝b，
则向量AC
→
叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB
→
＋BC
→
＝AC
→
.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a
平行四边
形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC
→就是a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
知识点二向量加法的运算律
交换律a＋b＝b＋a
结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
概念理解：
1．0＋a＝a＋0＝a.( ) 2．AB
→
＋BC
→
＝AC
→
.( )
3．AB
→
＋BA
→
＝0.( ) 4．AB
→
＋BC
→
>AC
→
.( )
5．|AB
→
|＋|BC
→
|＝|AC
→
|.( )
类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
1.如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
(1) (2)
2、如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量．
(1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________；(3)OA →＋FE →＝________.
类型二 向量加法运算律的应用
(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．
(2)向量求和的多边形法则：A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A 1——→＝A 1A n —→.特别地，当A n 和A 1重合时，A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4
—→＋…＋A n －1A 1——→＝0.
1、化简： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.
2.向量(AB →＋PB →)＋(BO →＋BM →)＋OP →化简后等于 。
类型三 向量加法的实际应用
向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键．
1、在静水中船的速度为20m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
引申探究
若本例中条件不变，则经过1h ，该船的实际航程是多少？
若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．
2、用两根绳子把重10N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，
求A 和B 处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
练习：
1．化简AE →＋EB →＋BC →等于( )
2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )
A ．0
B.BE →
C.AD →
D.CF →
3．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( )
A ．1 B. 2 C ．3 D ．2 2
4.如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形为( )
A ．矩形
B ．正方形
C ．平行四边形
D ．菱形
5.如图，已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点(靠近D 点)，求作：
(1)AO →＋AC →；(2)DE →＋BA →.。