2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-2)教师用书：第1章 导数及其应用 1.2.1、1.2.2

1.2 导数的运算
1．2.1 常数函数与幂函数的导数 1．2.2 导数公式表及数学软件的应用
1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1
x ，y ＝x 的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)
[基础·初探]
教材整理1 几个常用函数的导数 阅读教材P 14～P 15，完成下列问题．
【答案】 0 1 2x －1
x2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝x 3＋2，则y ′＝3x 2＋2.( ) (2)若y ＝1x ，则y ′＝1
x2.( ) (3)若y ＝e ，则y ′＝0.( )
【解析】(1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.
(2)由y＝1
x，∴y′＝－
1
x2.
(3)由y＝e，∴y′＝0.
【答案】(1)×(2)×(3)√
教材整理2基本初等函数的导数公式阅读教材P17，完成下列问题．
【答案】0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x
1
xln a
1
x
cos x－sin x
1．给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝1 2；
②y＝1
x2，则y′＝－2
x3；
③y＝2x，则y′＝2x ln 2；
④y＝log2x，则y′＝
1 xln 2.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.
【答案】 C
2．若函数f (x )＝10x ，则f ′(1)等于( ) A.1
10 B ．10 C ．10ln 10
D.110ln 10
【解析】 ∵f ′(x )＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10. 【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5
x3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .
【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
【自主解答】 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －5
＝－4x5.
(3)y ′＝(5
x3)′＝(x 35)′＝35x －25. (4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1
xln 5.
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“1
x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．
[再练一题]
1．若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x, 则f ′(x )－g ′(x )＝__________.
【导学号：05410008】
【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝1
xln 3， ∴f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－1
xln 3. 【答案】 3x 2－1
xln 3
(1)求质点在t ＝π
3时的速度； (2)求质点运动的加速度．
【精彩点拨】 (1)先求s ′(t )，再求s ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3.
(2)加速度是速度v (t )对t 的导数，故先求v (t )，再求导． 【自主解答】 (1)v (t )＝s ′(t )＝cos t ，∴v ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＝cos π3＝12.
即质点在t ＝π3时的速度为1
2. (2)∵v (t )＝cos t ，
∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t .
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
[再练一题]
2．(1)求函数f (x )＝
13x
在(1,1)处的导数；
(2)求函数f (x )＝cos x 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，22处的导数．
【解】 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x4， ∴f ′(1)＝－
1331
＝－13.
(2)∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＝－sin π4＝－22.
[探究共研型]
探究1 f (x )＝x ，f (x ) 【提示】 ∵(x )′＝1·x 1－1，(x 2)′＝2·x 2－1，(x)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 12′＝12x 12－1，
∴(x α)′＝α·x α－1.
探究
2 点P 是曲线y ＝e x 上的任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．
【提示】 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近，
则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又
y ′＝(e x )′＝e x ， ∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.
求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．
【精彩点拨】 错误!→错误!→
所求直线斜率k ＝－1
f′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3→利用点斜式写出直线方程
【自主解答】 因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，12的
切线斜率为
f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为2
3 3， 所求直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， 即y ＝23 3x －239π＋1
2
.
求曲线方程或切线方程时应注意：
(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.
[再练一题]
3．若将上例中点P 的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程． 【解】 ∵f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，
则曲线f (x )＝cos x 在点P (π，－1)处的切线斜率为f ′(π)＝－sin π＝0， 所以所求直线的斜率不存在， 所以所求直线方程为x ＝π.
[构建·体系]
1．已知f (x )＝x α(α∈Q ＋)，若f ′(1)＝1
4，则α等于( ) 【导学号：05410009】 A.1
3 B.12 C.18
D.14
【解析】∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝1 4.
【答案】 D 2．给出下列结论：
①若y＝1
x3，则y′＝－
3
x4；
②若y＝3
x，则y′＝
1
3
3
x；
③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
【解析】对于①，y′＝错误!＝错误!＝错误!，正确；
对于②，y′＝1
3x
1
3－1＝
1
3x－
2
3，不正确；
对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．
【答案】 B
3．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
【答案】 1
4．已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝__________.
【解析】设切点为(x0，y0)，∵y′＝1
x，∴k＝
1
x0，
∴y＝1
x0·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，∴y0＝ln x0，
∴ln x0＝x0
x0，∴x0＝e，∴k＝
1
e.
【答案】1 e
5．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________. 【解析】设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3x ln 3，①
所以k＝3x0ln 3，
所以y＝3x0ln 3·x，
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln 3·x0＝3x0，②
所以x0＝
1 ln 3
＝log3 e.
所以k＝eln 3.
【答案】eln 3
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)。