电大【高等数学基础】 导数与微分
高等数学导数与微分
高等数学导数与微分高等数学是大学数学的一门重要课程，其中导数与微分是其核心内容之一。
导数与微分是数学中研究函数变化率的重要工具，它们在物理、经济学、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将从导数与微分的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
导数是描述函数变化率的概念。
具体而言，对于给定的函数，其导数表示函数在某一点上的变化速率。
导数的定义是函数在某一点上的极限，即函数在该点附近随着自变量的微小变化而相应变化的极限值。
导数的计算可以通过求出函数的导数公式，或者利用极限的性质进行计算。
导数具有一些重要的性质。
首先，导数可以用来判断函数在某一点上的增减性。
如果函数在某一点的导数大于0，则函数在该点上是增函数；如果函数在某一点的导数小于0，则函数在该点上是减函数。
其次，导数还可以用来求函数的极值。
函数在极值点处的导数为0，因此可以通过求导数为0的点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以用来研究函数的凹凸性、拐点等性质。
微分是导数的一种应用形式。
微分可以看作是导数的微小增量，是函数值的变化量与自变量的变化量之间的关系。
微分可以用来求函数在某一点的近似值，也可以用来求函数的最值。
微分的计算可以通过求导数公式，或者利用微分的定义进行计算。
微分的应用在物理学中有着广泛的应用，比如在运动学中，通过求速度、加速度的微分可以得到物体的位移和速度等信息。
导数与微分在实际问题中有着广泛的应用。
在物理学中，导数与微分可以用来描述物体的运动状态，并求解运动的规律。
在经济学中，导数与微分可以用来分析市场需求曲线、供给曲线等经济现象。
在工程学中，导数与微分可以用来求解最优化问题，比如求解最小曲面积或最小路径等。
导数与微分还在计算机科学、生物学等领域中有着重要的应用。
高等数学中的导数与微分是数学的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过对导数与微分的研究，我们可以更好地理解函数的变化规律，并将其应用于实际问题的求解中。
导数与微分的理论基础和实际应用相互支撑，共同构成了数学中重要的一部分。
高等数学课件---导数与微分
x
2!
(3)取极限：
dy dx
lim
x0
y x
lim
x0
nx
n1
n(n 1) 2!
xn2x
(x)n1
nxn1,
即
xn nxn1 .（n 为正整数）
一般地，对 y x（ 是实数），也有 x x1.这个公式
在后面将给出证明.例如：
x
1
x2
1 2x
，
1 x
x 1
1 x2
第二节 求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理 1 设函数 u u（x） 与 v v（x）在点 x处可导, 则函数u（x） v（x）, u（x）v（x）,uv（（xx））（v（x） 0）也 在点 x处可导,且有以下法则:
(1) [u（x） v（x）] u（x） v（x）;
(2) [u(x)v(x)] u(x)v(x) u(x)v(x) ,
？ 注意: f (x0) [ f (x0) ]
4. 设
存在 , 则
lim
h0
f
( x0
h) h
f
(x0 )
___f_(_x_0_)_ .
小结
1.导数的概念:
导数的定义 左，右导数 导数的几何意义 变化率模型
2.可导与连续: 可导必定连续,连续不一定可导
3.求导举例:
求增量 算比值 取极限
4.已学过的导数公式
x0
x
x0
x
(当x→0 时, exlna 1与 xlna 是等价无穷小)
a x lim x ln a a x ln a x0 x
1,2,3合并
即
(ax) = ax lna .
高等数学基础教材答案详解
高等数学基础教材答案详解高等数学是大学阶段数学课程的重要组成部分，对于学生来说，理解并掌握其中的基础知识和解题方法至关重要。
本文将为大家提供高等数学基础教材中一些典型问题的答案详解，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 导数和微分导数是高等数学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在教材中常见的导数求解问题包括函数的基本求导法则、高阶导数、隐函数求导以及参数方程求导等。
我们以一个简单的例子来说明导数的求解过程。
例题：求函数f(x) = x^2在点x=2处的导数。
解答：根据导数的定义，导数可以通过求函数的极限来得到。
对于给定的函数f(x)，我们需要求解极限lim┬(h→0)(f(x+h)−f(x))/h，其中x=2。
代入函数f(x) = x^2并按照极限的运算法则进行计算，化简等式后可得到结果f'(2) = 4。
2. 积分和定积分积分是确定函数与坐标轴围成的面积的数学方法，定积分是对函数在一个区间上的积分。
教材中的积分和定积分问题种类繁多，包括基本积分法、换元积分法、分部积分法、曲线面积计算以及旋转体体积计算等。
下面我们通过一个简单的例子来解释定积分的求解方法。
例题：计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。
解答：定积分的计算可以通过求解不定积分并应用区间的边界值来完成。
对于给定的函数f(x)，首先求取不定积分∫(x^2)dx，得到F(x) = (x^3)/3 + C。
然后将区间的边界值代入不定积分的结果，即F(1) - F(0)，计算出定积分的值为1/3。
3. 无穷级数和幂级数无穷级数和幂级数是高等数学中的重要概念，它们用于描述某些序列的求和。
在教材中，常见的问题涉及级数的收敛性判断、级数求和、幂级数的收敛半径等。
我们通过一个典型的无穷级数例题来说明相关问题的解答过程。
例题：判断级数∑(n=1)⁺∞(1)/(2^n)的收敛性，并给出其和。
解答：通过级数收敛性判别法，我们可以知道当级数的公比小于1时，级数收敛。
导数与微分(高等数学)
(sec x) sec xtgx
(a x ) a x ln a
(loga
x)
1 x ln a
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x)
1
1 x
2
( x ) x1
(cos x) sin x
(cot x) csc2 x
(csc x) csc xctgx
(e x ) e x
x1
x1
lim f (x) lim(2x) 2
x1
x1
f (1) 2x x1 2
所以 f (x) 在 x 1 处连续
x2 1 x 1
题目的函数为：
f (x)
2x
x 1
f(1)
lim
x1
f (x) f (1) x 1
lim x1
x2 1 2 x 1
x2 1
lim
lim(x 1) 2
v
uv v2
uv
(v
0) .
(2) 反函数的求导法则
如果函数x ( y)的反函数为y f ( x),则有
f
(
x)
1 ( x)
.
（3）.复合函数的导数：
复合函数求导关键在于正确地分解复合 函数，正确地运用复合函数求导法则。
设y f (u),而u ( x)则复合函数y f [( x)]的导数为
3.y e f (x) , 求y及y
7、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
二阶导数 ( f ( x)) lim f ( x x) f ( x) ,
x0
x
记作
f
( x),
y,
d2y或d dx 2
2 f (x dx 2
高等数学基础教材答案第二版
高等数学基础教材答案第二版《高等数学基础教材答案第二版》第一章导数与微分1.1 导数的定义与计算方法导数的定义：对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，可以用以下公式计算：f'(x) = lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]1.2 导数的几何意义与物理应用通过导数的计算，我们可以得到函数在某一点处的切线斜率，进而了解函数的增减性和凸凹性。
在物理学中，导数也可以表示速度、加速度等物理量。
第二章不定积分与定积分2.1 不定积分不定积分，又称原函数或反导数，可以通过求导数的逆运算得到。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx。
2.2 定积分定积分是用来计算曲线下的面积或求解物理问题的有效工具。
定积分的符号表示为∫[a, b] f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a, b]上的面积。
第三章一元函数的应用3.1 曲线的切线与法线曲线的切线可以通过求导数得到切线的斜率，进而确定切线方程。
法线垂直于切线，并且切线和法线的斜率乘积为-1。
3.2 最值与最值问题通过求导数可以找到函数的极值点，进而确定函数的最大值和最小值。
在实际问题中，最值问题经常出现，如求解最优化问题等。
第四章多元函数与偏导数4.1 多元函数的概念多元函数是指依赖于多个变量的函数，如f(x, y)。
多元函数的图像可以用三维坐标系表示。
4.2 偏导数的定义与计算偏导数表示多元函数对某个变量的导数，其他变量视为常数。
偏导数的符号表示为∂f/∂x。
第五章重积分与曲线积分5.1 二重积分二重积分是对平面区域上的函数进行求和。
可以通过迭代积分或转换为极坐标系下的积分进行计算。
5.2 曲线积分曲线积分是沿曲线对函数进行积分的操作。
根据曲线的参数方程或者标量函数方程进行计算。
第六章数项级数6.1 数列与数列的极限数列是指一系列按照一定顺序排列的数，可以通过递推公式给出。
数列的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的变化趋势。
高等数学导数与微分ppt
h 则 tanα = 500
h
dα = 1 ⋅ 1 ⋅140 故sec α = 2 , ∴ d t 2 500
2
两边对 t 求导 500 1 dh dα 2 = 2 2 sec α ⋅ sec α = 1+ tan α 500 dt dt dh 已知 = 140 , 且h = 500 时, tanα = 1 , dt h=500 ( rad/ m ) in
若上述参数方程中 则由它确定的函数 利用新的参数方程
二阶可导, 二阶可导 且 可求二阶导数 . , 可得 dy ψ′(t ) : = G(t) = dx ϕ′(t )
x = ϕ(t )
d2 y d d = (G(t )) = (G(t )) dx 2 d x dx dt dt ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) = ϕ′(t ) ′2 (t ) ϕ
( x −1)( x − 2) 例6. 求 y = 的导数. 的导数 ( x − 3)( x − 4)
可以验证
′ u′( x) (ln | u( x) |) = u( x)
先两边取对数
1 ln y = [ ln(x −1) + ln(x − 2)− ln( x − 3) − ln( x − 4)] 2
由直线的点斜式公式， 由直线的点斜式公式， 得椭圆在点 处的切线方程
化简后得
注意 : 已知
×
t f ′′(t )
x = f ′(t ) d2 y 例如， 例如 y = t f ′(t ) − f (t ) , 且 f ′′(t ) ≠ 0, 求 2 . dx
dy dy / dt = 解: = dx dx / dt
r
πR (h− x)
电大《高等数学基础》形考任务2
解：
⑵
解：
⑶
解：因为
所以
⑷
解：因为
所以
⑸
解：
⑹
解：
=
⑺
解：
=
=
⑻
解：设
=
⑼
解：设
=
⒊在下列方程中，是由方程确定的函数，求：
解：将方程两边对x求导：
=
移项
所以：
⑵
解：将方程两边对x求导：
移项
所以：
⑶
解：
⑷
解：因为：
解得
⑸
解：将方程两边对x求导：
整理得：
⑹
解：将方程两边对x求导：
整理得：
⑺
解：将方程两边对x求导：
整理得：
⑻
解：将方程两边对x求导：
整理得：
⒋求下列函数的微分 ：
⑴
解：因为
=
所以
⑵
解：因为
=
所以dy= dx
⑶
解：设
则
=
=
所以dy= dx
⑷
解：设:
则
=
=
所以dy= dx
⒌求下列函数的二阶导数：
⑴
解：
⑵
解：
=
⑶
解：
⑷
解：
（四）证明题
设 是可导的奇函数，试证 是偶函数．
证明：因为 是奇函数，所以
又因为 可导，函数 为复合函数。
高等数学基础第二次作业
第3章导数与微分
（一）单项选择题
⒈设 且极限 存在，则 （B）．
A. B.
C. D.
⒉设 在 可导，则 （D）．
A. B.
C. D.
⒊设 ，则 （A）．
高等数学PPT导数和微分
它是在x处，y随x变化的变化率。
第四章
导数与微分
§ 4. 2
4.2 导数的基本公式与求导法则 求函数的导数，是我们经常要做的事情，但由定义求一个函数 的导数，是很麻烦的事情。 本节要做的，是从导数定义出发，推出一些导数的公式与法则。 然后，借助这些公式与法则来求导数，就方便多了。
4.2.1 基本初等函数的导数 例4.2.1．f (x) = c，即常值函数，求f ’(x)
解：由定义
f ( x △x) f ( x) cc c' lim lim 0 x 0 x 0 △x x
所以，常数的导数为0，即 c’ = 0
第四章
导数与微分
§ 4. 2
例4.2.2．f (x) = sinx，求f ’(x) 解：由定义
x x 2 cos x sin sin(x x) sin x 2 2 (sin x)' lim lim x 0 x 0 x x x sin x 2 cos x lim cos x lim x 0 x 2 x 0 2 (sinx)’ = cosx 所以，
(注意，本步用了加减同一项的因式分解技巧)
g ( x x) g ( x) f ( x x) f ( x) lim g ( x x) f ( x) x 0 x x
f ' ( x ) g ( x ) f ( x) g ' ( x )
②．再取极限： 按照物理学中瞬时速度的定义，
v lim v lim
t 0 t 0
O
t0
图4.1-3
t
S (t0 t ) S (t0 ) t
第四章
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2） 导数与微分
070713.设
)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h )
()2(lim
000
（ ）．
A
)(0x f ' B )(20x f ' C )(0x f '- D )(20x f '-
070113.设
)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim
000
（ ）．
(A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '-
060113.设
x x f e )(=，则=∆-∆+→∆x f x f x )1()1(lim
（ ）．A e 2 B e C
080713.下列等式中正确的是（ ）
A
dx x x d 1
)1(2-= B dx x 2)x 1d(= C dx d x x 2)ln22(= D 050713.下列等式中正确的是（ ）． A.xdx d arctan )1(
2= B.
2
)1(dx d -= C.dx d x x
2)2ln 2
(= D.xdx x d cot )(tan =
A 先单调下降再单调上升
B 单调下降
C 先单调上升再单调下降
D 单调上升
060713. 函数
622+-=x x y 在区间)5,2(内满足（ ）
． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
080724.函数
2)2(2+-=x y 的单调减少区间是 ．
080124.函数
1)(2-=x x f 的单调减少区间是 ．
070724. 函数2
x
e y -=的单调减少区间是 ．
070124.函数x y arctan =的单调增加区间是 ．
060724.函数1)1(2++=x y 的单调增加区间是 ． 060124.函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是 ．
050724.函数
)1ln(2x y +=的单调增加区间是 ．
080732.设
2sin sin x e y x +=，求y ' 解：2sin 2sin cos 2cos )(sin )(x x x e x e y x x +='+'='
080132.设2
x xe
y =，求
y ' 解：2
22222)()(x
x x x e x e e x e x y +='+'='
070732.设2sin x e y x -=，求'y 解：x xe x x e y x x 2cos )().(sin sin 2sin -='-'='
070132.设x x y e cos ln +=，求'y 解：x x
x y e sin )(ln -'=' 060732.设
x x e y x ln tan -=，求y '．
x
x x x x 12-
解：由导数四则运算法则得
x x x x
x x x x x y ++=
'+'+'='ln 2cos 1
)(ln ln )()(tan 222
050733.设
2cos ln x y =，求d y ．
解：
2222
2
2tan 2))(sin .(cos 1)(cos 1x x x x x
x y -='-='=
'， dx x x dx y dy 2tan 2-='=
6 060734.设y
y x =()是由方程3e y e x y +=确定的函数，求d y ．
解：等式两端求微分得：左端y e e
y y
d )(d ==， 右端dy y dx y x x 233
e )e (d +=+=
由此得
y y y x e y
d e d 3d 2x =+ 整理后得
x y e y y x
d 3
e d 2
-=
060134.设y
y x =()是由方程y x y e cos =确定的函数，求d y ．
解：等式两端求微分得 左端y x x y x y d cos )(cos d )cos (d +==右端y y y
d e )e
(d ==
由此得
y y x x x y y d e d c o s d s i n =+- 整理后得 y d =
050734.设y
y x =()是由方程y
x
y x 2sin 2=
确定的函数，求'y 解：等式两端求微分得： 左端y y x ydx x y x
d cos sin 2)sin (d 22
+== 右端2
22)2(
d y
xdy
ydx y x -==
2
)2(-+=
y y
22
即曲线
2x y =上的点（
23,26）和点（2
3
,26-）到点A （0，2）的距离最短 08014某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为r
V r rh r S
2π2π2π222+
=+=
2
2π4r V r S -
='， 由0='S ，得唯一驻点3
π
2V r =，此时3
π
4V h =。
由实际问题可知，当底半径3
π
2V r =与高3
π
4V h =时可使用料最省。
07074欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 设底边的边长为x ，高为h ，用材料为
y ，
由已知322
=h x
，2
32x
h =
，x x xh x y 12842
2+=+= 令012822=-='x x y ，解得4=x 是唯一驻点，此时24
32
2==h 。
由实际问题可知，4=x 是函数的极小值点，所以当4=x ，2=h 时用料最省。
07014某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
同08014
06074在抛物线
x y 42=上求一点，使其与x 轴上的点)0,3(A 的距离最短．
解：设所求点P （x ，y ），则满足
x y 42=，点P 到点A 的距离之平方为
222 d 与x x d L
+-==22)3(在同一点取到最大值，为计算方便求L 的最大值点，
令01)3(2=+-=
'x L ，得25=
x ，由此解出2
10
±=y
即曲线x y =2上的点（
2
5，
2
10
）和（
25，2
10
-
）到点A （3，0）的距离最短。