人教版八年级数学下册

第十六章二次根式

16．1二次根式

第1课时二次根式的概念

1．理解二次根式的概念．

2．二次根式有意义的判定．

重点

二次根式的概念．

难点

利用a(a≥0)的意义解答具体题目．

一、创设情境，导入新课

请同学们完成以下两个问题：

1．正方形的面积为S，则正方形的边长为________．

2．一个直角三角形的一条直角边为1，斜边为2，则另一直角边为________．

出示问题，引导学生观察和总结式子的特点．

学生计算结果，然后观察总结式子的特点．

二、合作交流，探究新知

探究1二次根式的概念

形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．

出示问题：3，s(s≥0)，a2＋1等有什么共同特征，引导学生归纳概念，并让学生判

断a，－5，3

a，1－a是不是二次根式．

学生交流、讨论，最后师生共同总结．

探究2 1.－1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a<0时，a有意义吗？

学生通过思考交流，最后归纳总结：只有非负数才有算术平方根．三、运用新知，深化理解

例1下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；

(4)3

13；(5)

1

5－

1

6；(6)3－x(x≤3)；

(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；(10)（a－b）2(ab≥0)．

【分析】要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．

解：因为11，（－7）2，

15－1

6

＝1

30

，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.3

13的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．

【方法总结】判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“

”；(2)被开方数是非负数．

例2 求使下列式子有意义的x 的取值范围． (1)

1

4－3x

；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，

列不等式(组)求解．

解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，1

4－3x

有意义；

(2)由题意得?????3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－x

x －2有意义；

(3)由题意得?

????x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5

x 有意义．

【方法总结】含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 例3 (1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；

(2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根．

【分析】(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，从而算出y x 的平方根．

解：(1)根据题意得???2a ＋8＝0，b －3＝0，解得???a ＝－4，

b ＝ 3.

则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，

解得x ＝4；

(2)根据题意得?????x －3≥0，

3－x ≥0，

解得x ＝3，则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方

根为±8.

【方法总结】二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都

为0.

四、课堂练习，巩固提高 1．教材P3练习．

2．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业． 五、反思小结，梳理新知 1．二次根式的概念．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业

1．学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业． 2．教材P5习题16.1第1，7题．

第2课时 二次根式的性质

1．理解a (a ≥0)是一个非负数．

2．探究并归纳(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝a (a ≥0)，并利用这些结论解决具体问题．

重点

a (a ≥0)是一个非负数；(a )2＝a (a ≥0).a 2＝a (a ≥0)． 难点

综合运用性质a 2＝|a |进行化简和计算．

一、创设情境，导入新课

a 2等于什么？

我们不妨取a 的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a 2的值，看看有什么规律．

22＝4＝2；（－2）2＝4＝2； 32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；… 你能概括一下a 2的值吗？ 二、合作交流，探究新知

探究1 二次根式的基本性质：(a )2＝a (a ≥0) 出示问题：若a ≥0，则(a )2等于多少？

经过一系列计算，学生逐步悟出其中的基本性质． 探究2 二次根式的基本性质： 1．计算：

42＝________；

0.22________；

???

?452

＝________；202＝________. 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ＞0时，a 2＝________. 2．计算：

（－4）2＝________；

（－0.2）2＝________；

???

?－452

＝________；

（－20）2＝________.

观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ＜0时，a 2＝________. 3．计算：02＝________，当a ＝0时，a 2＝________. 归纳总结：

将上面做题过程中得到的结论综合起来，得出二次根式的一条非常重要的性质：

a 2＝|a |＝????

?a （a ≥0）；0；－a （a <0）.

即时训练

22＝_______，

0.12＝_______，

???

?232

＝______， 02＝_______， （－3）2＝______， a 2＝______． 探究3 典例分析 教材P3例2，P4例3.

教师巡视，让做得好的学生上黑板演示，给做得不好的学生订正． 学生独立完成，对照黑板上的答案更正． 探究4 代数式的意义

观察下列式子：m ＋n ，ab ，2，πr 2，a (a ≥0)，2x －3y ，…，它们有什么共同特点？与式子a ＋b >0，2x －y ＝0有什么不同？

下列式子中，指出哪些不是代数式？

①3>2；②12x －1

3

y ；③a ；④0；⑤a ＋b ＝b ＋a .

教师提问、点拨、帮助学生分析、总结．

学生观察、思考、正确判断代数式与方程等式、不等式的区别． 三、运用新知，深化理解 例1 化简：

(1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2. 【分析】根据二次根式的性质进行计算即可．

解：(1)(5)2＝5；(2)52＝5；(3)（－5）2＝5；(4)(－5)2＝5.

【方法总结】利用a 2＝|a |进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．

例2 在实数范围内分解因式．

(1)a 2－13；(2)4a 2－5；(3)x 4－4x 2＋4.

【分析】由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式．

解：(1)a 2－13＝a 2－(13)2＝(a ＋13)(a －13)； (2)4a 2－5＝(2a )2－(5)2＝(2a ＋5)(2a －5)；

(3)x 4－4x 2＋4＝(x 2－2)2＝[(x ＋2)(x －2)]2＝(x ＋2)2(x －2)2.

【方法总结】一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续

分解因式，这就需要把一个非负数表示成平方的形式．

例3已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（a＋1）2＋2（b－1）2－|a －b|.

【分析】根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．

解：从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.

【方法总结】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．

例4已知x为实数时，化简x2－2x＋1＋x2.

【分析】根据a2＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答．

解：x2－2x＋1＋x2＝（x－1）2＋x2＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x ＋(－x)＝1－2x；当0＜x≤1时，x－1≤0，原式＝1－x＋x＝1；当x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.

【方法总结】利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子a2＝|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P4练习．

2．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业．

五、反思小结，梳理新知

1.a(a≥0)是一个非负数．

2．(a)2＝a(a≥0)．

3.a2＝|a|.

六、布置作业

1．学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业．

2．教材P5习题16.1第2～10题．

16．2二次根式的乘除

第1课时二次根式的乘法

1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．

2．会进行简单的二次根式的乘法运算．

重点

会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算． 难点

二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．

一、创设情境，导入新课

计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？

1.25×9＝_______，25×9＝_______；

2.4×36＝_______，4×36＝_______．

出示问题，引导学生观察运算结果，发现和总结式子有什么规律，指几名学生回答，其余学生补充．

学生计算，观察，分小组讨论．全班交流，体会结果特点． 二、合作交流，探究新知 探究1

1．参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空．

4×9______4×9；

100×36______100×36. 2．利用计算器计算填空．

(1)2×3________6； (2)2×5________10； (3)5×6________30；

3．二次根式的乘法法则是什么？字母表达式怎样？

引导学生发现结论，可要求学生举一些类似的式子．总结二次根式的乘法法则． 学生先完成填空，再观察，分析，合作交流，总结结论．注意公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)中a 、b 的取值范围．

探究2

把a ·b ＝ab 反过来，可以得到积的算术平方根的性质： ab ＝a ·b .

思考：(1)a 、b 的取值有什么特点？

(2)这个公式与二次根式的乘法在用法上有什么区别和联系？ 引导、点拨、教师点评：可与整式乘法和因式分解类比． 先自主探索，再小组合作，分析、总结，交流． 三、运用新知，深化理解

例1 式子x ＋1·2－x ＝（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( ) A ．x ≤2 B ．x ≥－1 C ．－1≤x ≤2 D ．－1＜x ＜2

【分析】根据题意得?

????x ＋1≥0，

2－x ≥0，解得－1≤x ≤2.故选C.

【方法总结】运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数

均是非负数这一条件．

例2 计算： (1)3×5；(2)

1

4×64； (3)627×(－3 3)； (4)3418ab ·???

?

－2a

6b 2a . 【分析】有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要

化为最简形式．

解：(1)3×5＝3×5＝15； (2)

1

4

×64＝1

4

×64＝16＝4； (3)6 27×(－3 3)＝－1827×3＝－1881＝－18×9＝－162； (4)34 18ab ·???

?

－2

a 6

b 2a ＝－34·2a ·

18ab ·6b 2a ＝－32a ·36×3b 3＝－3

2a

·6b 3b ＝

－9b

a

3b . 【方法总结】在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．

例3 小明的爸爸做了一个长为588π cm ，宽为48π cm 的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．

【分析】根据矩形和圆的面积公式，构造等式进行计算． 解： 设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π×48π＝168π(cm 2)，所以πr 2＝168π，r ＝242 cm(r ＝－242舍去)．

答：这个圆的半径是242 cm.

【方法总结】把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想． 四、课堂练习，巩固提高 1．教材P7练习．

2．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业． 五、反思小结，梳理新知 1．二次根式的乘法法则： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0) 2．积的算术平方根：

ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0) 六、布置作业

1．学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业． 2．教材P10习题16.2第1题．

第2课时 二次根式的除法

1．会进行简单的二次根式的除法运算．

2．使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算． 3．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的二次根式化成最简二次根式．

重点

会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算． 难点

会进行二次根式的除法运算和最简二次根式的运用．

一、创设情境，导入新课

光明中学有一块直角三角形的空地让九年级一班学生建一个花池．已知直角边AC ＝5

2

m ，BC ＝6 m ，你能求出斜边AB 的长吗？

在上面的问题中，你会计算

169

4

的结果吗？学习这节课后，你将很容易地解答这类问题．

出示问题，分析，点拨方法，适时设疑． 学生动手计算，体会结果． 二、合作交流，探究新知 探究1

1．计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？

(1)9

16

________，9

16

＝________； (2)

16

36

＝________，16

36

＝________． 规律：

9

16

______916；1636

______16

36

. 2．总结二次根式的除法法则： a b

＝a b (a ≥0，b >0)，

反过来得到商的算术平方根的性质：

a b ＝a

b

(a ≥0，b >0) 教师引导学生，发现结论：二次根式的除法和商的算术平方根的性质与前面学习的积的算术平方根的性质和二次根式的乘法类似，应注意前后联系．

教师引导，分析a ，b 取值不同的原因．

学生先自主探索，再小组讨论，总结方法． 理解a ，b 的取值不同的原因．

学生举例，验证两个公式的正确性． 探究2

通过分析可以得到，二次根式有如下两个特点： (1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 三、运用新知，深化理解 例1 计算： (1)

0.76

0.19

；(2)－123

÷554； (3)6a 2b 2ab

；(4)5÷???

?－5

145. 【分析】本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方

数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．

解：(1)0.76

0.19＝0.76

0.19＝4＝2； (2)－

123

÷5

54

＝－123÷5

54

＝－53×54

5

＝－18＝－3 2； (3)6a 2b 2ab ＝

6a 2b

2ab

＝3a ； (4)5÷?

??

?

－5

145＝－5÷595＝－5×15

×59＝－15×53＝－1

3

. 【方法总结】利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．

例2 若

a 2－a ＝a

2－a

，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ≤2 C ．0≤a ＜2 D ．a ≥0 【分析】根据题意得?

????a ≥0，

2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.

【方法总结】运用商的算术平方根的性质：b a ＝b

a

(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．

例3 化简： (1)

17

9

；(2)3c 3

4a 4b 2

(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 【分析】运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．

解：(1)17

9＝16

9＝

16

9

＝

4

3；

(2)

3c3

4a4b2

＝

3c3

4a4b2

＝

c

2a2b3c.

【方法总结】被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．

例4座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2πl

g，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒

2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?

【分析】由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除以周期得到次数．

解：∵T＝2π0.5

9.8≈1.42，

60

T＝

60

1.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次

滴答声．

【方法总结】解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P10练习．

2．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业．

五、反思小结，梳理新知

1．二次根式的除法运算．

2．商的算术平方根．

3．最简二次根式．

被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

六、布置作业

1．学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业．

2．教材P10～11习题16.2第2～11题．

16．3二次根式的加减

第1课时二次根式的加减

能够正确进行简单的二次根式加减法的运算．

重点

二次根式加减法的运算．

难点

探讨二次根式加减法运算的方法，快速准确进行二次根式加减法的运算．

一、创设情境，导入新课

小明家的客厅是长7.5 m，宽5 m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8 m2和18 m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？

Ｋ

二、合作交流，探究新知

1．习题引入

问题(1)计算下列各式．

①2 2＋3 2；②2 8－3 8＋5 8；

③2 5＋5＋5＋2.

问题(2)下列计算是否正确？为什么？

①8－3＝8－3；

②4＋9＝4＋9；

③9×16＝9×16；

④3 2－2＝2 2.

教师可点拨：将问题(1)中①的2看成x，应怎样计算？8是最简二次根式吗？引导学生，发现结论．问题(2)可提问学生口答，学生相互补充．

学生在小组讨论的基础上总结规律：二次根式加减时，可先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．

并通过问题验证．

2．探索思考

(1)在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？

(2)比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？

(3)什么样的二次根式才能合并？

引导、点拨、教师点评：

(1)能继续使用．

(2)二者运算类似，都是系数的加减运算．

先自主探索，再小组合作，交流．

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就可以合并．

3．应用验证

学生完成教材P13的例题．

教师引导、点拨、分析．

计算过程中，提示学生将二次根式的加减与整式的加减相比较，强调哪些二次根式能合并，哪些二次根式不能合并．

学生先自主学习、再合作．

养成良好的分析问题、解决问题的能力和习惯．

总结二次根式加减法则：二次根式相加减，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．

三、运用新知，深化理解

例1已知最简二次根式2a＋b与a＋b

3a－4能够合并同类项，求a＋b的值．

【分析】利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可．

解：∵最简二次根式2a＋b与a＋b

3a－4能够合并同类项，∴a＋b＝2，2a＋b＝3a－4，

解得a＝3，b＝－1，∴a＋b＝3＋(－1)＝2.

【方法总结】根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．

例2母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2 m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?

【分析】先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长．

解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450)＝4×(20 2＋15 2)＝140 2≈197.96(cm)．因为1.2 m＝120 cm＜197.96 cm，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78 cm的金色细彩带．

【方法总结】利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P13练习．

2．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业．

五、反思小结，梳理新知

1．被开方数相同的最简二次根式．

2．二次根式的加减．

一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

六、布置作业

1．学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业．

2．教材P15习题16.3第1～3题．

第2课时二次根式的混合运算

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算．

重点

熟练进行二次根式的混合运算．

难点

混合运算的顺序、乘法公式的综合运用．

一、创设情境，导入新课

已知：矩形的长是5 2＋2 3，宽是6，求它的面积．

你能求出这个矩形的面积吗？

通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题．

教师出示问题，引导学生列出算式(5 2＋2 3)× 6.怎样计算呢？

学生观察、分析、列式，思考计算方法．

二、合作交流，探究新知

1．探究1

(1)怎样计算：(3－2 2)(2 3－2)?

小组讨论，全班交流．

类比：怎样计算(a－b)(a＋2b)?

(2)怎样计算：(3－2 2)(3＋2 2)?

回顾：(a－b)(a＋b)＝__________________．

(3)(3－2 2)2呢？

教师引导学生，发现结论：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式的乘法法则和公式仍然适用．

学生先自主探索，再小组讨论，总结方法．

理解a，b的作用，整式运算中的a，b是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表任意实数，当然也可以代表二次根式．

2．验证：

教材第14页例3

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．

教材第14页例4

教师引导、点拨、让两名学生到黑板板书．

师生点评：

(1)应用乘法的分配律计算；

(2)计算方法与多项式除以单项式类似．

注意：结果要化成最简二次根式．

先独自思考，再小组合作，然后再到黑板板书，其余学生分组练习，与老师一起分析、总结、交流，掌握运算的规律和方法．

3．探究2

(1)试一试：化去下列各式分母中的根号．

①1

2

；②

6

5 3

；③

4

3－5

；④

2

7＋5

.

思考：①什么叫做分母有理化？怎样进行分母有理化？

②互为有理化因式的概念是什么？一个含二次根式的代数式只有一个有理化因式吗？ (2)2＋3的有理化因式是________； x －y 的有理化因式是________； x ＋1－x －1的有理化因式是_______ 教师引导、点拨、提示．

教师点评：一个含二次根式的代数式不止一个有理化因式．如2＋3的有理化因式是2－3，也可以是2(2－3)或a (2－3)．

学生先自主、再合作，总结分母有理化的概念． 学生口答，纠错，相互补充． 三、运用新知，深化理解 例1 计算：

(1)12

223

×9 145

÷35

； (2)????312－2 13＋48÷2 3＋?

??

?132

； (3)2－(3＋2)÷3.

【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．

解：(1)原式＝1

2

×9×

83×145×53＝12×9×2 29

＝2； (2)原式＝????6 3－2 33＋4 3÷2 3＋13＝28 33×12 3＋13＝143＋13＝5； (3)原式＝2－(3＋2)×

13＝2－3＋23

＝2－1－2 3

3.

【方法总结】二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

例2 对于任意的正数m ，n 定义运算※为m ※n ＝???m －n （m ≥n ），

m ＋n （m

计算(3※2)×(8

※12)的结果为( )

A ．2－4 6

B ．2

C ．2 5

D ．20

【分析】∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.

【方法总结】弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．

四、课堂练习，巩固提高 1．教材P14练习．

2．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业． 五、反思小结，梳理新知

这节课你学到了哪些知识？你有什么收获？

(1)二次根式的混合运算应注意什么？

(2)分母有理化在二次根式的混合运算中有什么作用？

(3)如何正确找出一个二次根式的有理化因式？

注意：有理化因式一般只写最简单的形式，如：x－y的有理化因式是x＋y.

六、布置作业

1．学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业．

2．教材P15习题16.3第4～9题．

第十七章勾股定理

17．1勾股定理

第1课时勾股定理

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理．

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习．

重点

1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想．

2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．

难点

了解利用拼图验证勾股定理的方法．

一、创设情境，导入新课

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

二、合作交流，探究新知

探究：直角三角形的性质

1．让学生画一个直角边为3 cm和4 cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜边AB的长．以上这个事实是我国古代3000多年前一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成

直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3，长的直角边(股)的长是4，那么斜边(弦)的长是5.

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量斜边AB的长．

你是否发现32＋42与52的关系，52＋122和132的关系，即________，________

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

由上面的几个例子我们猜想：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么________＋________＝________

勾股定理的证明：

已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边为a、，b，c.

求证：a2＋b2＝c2.

方法一：

分析：(1)让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明．

(2)拼成如图所示，其等量关系为：________.

(3)发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明．

(4)勾股定理的证明方法，达300余种．这个古老的精彩的证法，出自我国古代数学家之手．

方法二：

分析：图①，图②中的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等．

左边S＝________.

右边S＝________.

左边和右边面积相等，即________．

化简可证．

归纳总结：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2，这个定理叫勾股定理．

三、运用新知，深化理解

例1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，CD⊥AB于D，求：

(1)AC的长；

(2)S△ABC；

(3)CD的长．

【分析】(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB ＝BC·AC即可求出CD.

解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，∴AC＝AB2－BC2＝12 cm；

(2)S△ABC＝1

2CB·AC＝

1

2×5×12＝30(cm

2)；

(3)∵S△ABC＝1

2AC·BC＝

1

2CD·AB，∴CD＝

AC·BC

AB＝

60

13cm.

【方法总结】解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．

例2在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．【分析】本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．

解：此题应分两种情况说明：

(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；

(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.

【方法总结】解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．

例3探索与研究：

方法1：如图：

对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；

方法2：如图：

该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？

【分析】方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD 的面积之和解答．

解：方法1：S

正方形ACFD

＝S

四边形ABFE

＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋1

2

(b ＋a )(b －a )，整理得

2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；

方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S

四边形

ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S

四边形

ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，即

12

b 2

＋12ab ＝12c 2＋1

2

a (

b －a )，整理得b 2＋ab ＝

c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2. 【方法总结】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．

例4 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E 的面积是________．

【分析】根据勾股定理的几何意义，可得正方形A 、B 的面积和为S 1，正方形C 、D 的面积和为S 2，S 1＋S 2＝S 3，即S 3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.

【方法总结】能够发现正方形A 、B 、C 、D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和即是最大正方形的面积．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P24练习．

2．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业．

五、反思小结，梳理新知

1．勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.

2．勾股定理的证明

“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．3．勾股定理与图形的面积．

六、布置作业

1．学生完成《探究在线·高效课堂》相关作业．

2．教材P28习题17.1第1，7，8题．

第2课时勾股定理的应用

1．会用勾股定理解决简单的实际问题．

2．树立数形结合的思想．

重点

熟练运用勾股定理解决实际问题．

难点

掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．

一、创设情境，导入新课

勾股定理在实际生产生活当中有着广泛的应用．勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试．

二、合作交流，探究新知

探究：勾股定理的实际应用

1．教材P25页例1

分析：(1)在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角．

(2)让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？

(3)指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

(4)转化为勾股定理的计算，采用多种方法．

(5)注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣．

2．教材P25页例2

分析：(1)在△AOB中，已知AB＝2.6，AO＝2.4，利用勾股定理计算OB.

(2)在△COD中，已知CD＝2.6，CO＝1.9，利用勾股定理计算OD，则BD＝OD－OB，通过计算可知BD≠AC.

(3)进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD.

3．教材P26页探究

分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论．

变式训练：在数轴上画出表示3－1，2－2的点．

三、运用新知，深化理解

例1如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)?

【分析】开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．

解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝BC2－AC2＝12米.6秒后，B′C ＝13－0.5×6＝10米，则AB′＝B′C2－AC2＝5 3(米)，则船向岸边移动的距离为(12－5 3)米．

【方法总结】本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将已知条件转化到同一直角三角形中求解．

例2如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100 3 km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100 km到达目的地C点，求出A，C两点之间的距离．