第十三章应力状态分析

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§13-2 平面应力状态分析
1. 求斜截面上的应力
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Fn 0
dA ( xdAcos )sin ( xdAcos )cos ( ydAsin )cos ( ydAsin )sin 0
Ft 0
dA ( xdAcos )cos ( xdAcos )sin ( ydAsin )sin ( ydAsin )cos 0
各向同性材料在平面应力状态下，当变形微小 时，线应变只与该点处的正应力相关，而与切应力 无关。在线弹性且变形微小时，可将任意的平面应 力状态看作两个单向应力状态和一个纯剪切应力状 态的叠加。
对单向应力状态： E，泊松比 ， G
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平面应力状态下的应变：
x
x
根据胡克定律：
x
E
1
2
( x
y)
y
1
E
2
(
y
x
)
45
x
2
y
x
45
x
2
y
x
45
1 E
(
45
45 )
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45
45
1 E
(
45
45 )
x
E
1
(
x
2
y
45 )
x
E
1
( 135
x
2
y
)
一般地说，要确定一点处的
平面应力状态，必须测定三个方
向的线应变；只有在确切知道该
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2. 应力状态分析的方法
取研究对象 截开并考察平衡
讨论结果
单元体：一点处取出的边长无限小的正立方体。
应力特点：单元体各表面上的应力视为均匀分布。 平行面上的应力相等。相邻垂直面上的切应力根 据切应力互等定理确定。
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对于自由扭转的构件，其材料处于纯剪切应 力状态，故可根据构件横截面上的切应力与纯剪 切时材料的许用应力加以比较来建立强度条件。
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但对于一般的情况，例如梁在横力弯曲时， 在梁的横截面上，除去离中性轴最远的和中性轴上 的各点以外，在其他各点处既有正应力又有切应力， 材料处于复杂的应力状态。当需要按照这种点处的 应力对梁进行强度计算时，必须考虑两种应力对材 料强度的综合影响。要解决这类情况下的强度计算 问题，就需要全面的研究一点处的应力状态。
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角度的取值范围和对应关系：
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3. 主应力与主平面
单元体内切应力为零的截面称为主平面，主平 面上的正应力是单元体内各截面上正应力的极值， 称为主应力。
可以证明，受力物体内任何一点处至少有三个 相互垂直的主平面和三个相应的主应力。
低碳钢轴向拉伸时，沿45º斜截面（最大切应力 面）滑移而产生屈服流动。断口有颈缩现象。
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低碳钢扭转： 沿横截面剪断破坏。
铸铁扭转： 沿斜截面拉断破坏。
铸铁的所谓扭转破坏，其实质上是沿45º方向拉 伸引起的断裂。
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作构件强度计算时，对于轴向拉压和纯弯曲的 构件，由于其材料处于单向拉伸或压缩状态，故可 根据构件横截面上的正应力与也是单向拉伸（压缩） 时材料的许用应力加以比较来建立强度条件。
平面应力状态
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单向应力状态
平面应力状态
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4. 小结
(1) 一点的应力随截面方位的改变而变化。
x
2
y
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x cos2
(2) 切应力极值：
(
x
y )2
2
2 x
2
1
2
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可以证明，代表不平行于任一主应力的任意斜 截面上的应力的点必定落在三个以主应力作出的应
力圆之间。即图中代表abc截面上的应力 和 的D
点，必定落在三个应力圆所围成的阴影范围内。在
-直角坐标系内，代表单
元体任何截面上应力的点， 必定在三个应力圆的圆周 上以及由它所围成的阴影 范围以内。
的主应力，约定三个主应力按代数值大小排序。
1 2 3
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分类
(a) 单向应力状态：只有一个主应力不为零。
(b) 平面（二向）应力状态 有两个主应力不为零。
(c) 空间（三向）应力状态 三个主应力均不为零。
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6. 平面（二向）应力状态分析
第十三章 应力状态分析
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第 13 章 应力状态分析
§13-1 概 述 §13-2 平面应力状态分析 §13-3 平面应力状态下的胡克定律 §13-4 三向应力状态
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§13-1 概 述
1. 应力状态的概念
应力状态 ： 过一点所有各方向截面上的应力全部情况称
109Pa， =0.25，外径D =120 mm，内径d =80 mm，
求M。
解： T (T M )
Wp
WP
π
D3(1 16
4)
a
1 E
( 45
45 )
1 ( )
E
(1 )
E
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例题 13－1
a
(1
E
)
b
1 E
( 45
45 )
1 ( )
E
(1 )
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三向应力状态
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三向应力状态
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1. 最大切应力
max
1
3
2
作用在平行于主应力2 且自1作用面逆时针转45°
的面上，它使分离体有顺
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tan(20
)
(
x
x
y
)
/
2
20
arctan
x
2 x
y
1
x
2
y
(
x
2
y
)2
2 x
2
x
2
y
(
x
2
y
)2
2 x
3 0
平面（二向）应力状态为有两个主应力不等于 零的应力状态。
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t
an(20
)
(
x
x
y
)/
2
20
arctan
x
2 x
y
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思考题 13－1
如图所示的三个单元体是否处于平面应力状态？
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思考题13 -1参考答案：
单向应力状态 平面应力状态 单向应力状态
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思考题 13-2
根据图示应力圆是否可知，对于图(a)示的单 元体，(1) 垂直于 x y平面的截面上之最大切应力其
FN / A F / A F F
p F / A F cos / A 0 cos
0 cos2 , 0(sin 2 ) / 2 00 时,
max 0 450 时,
max 0 / 2
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类似地，受扭杆件通过杆内任意一点所作各个 截面上的应力也随着截面的方位而改变。
值为max=(1-2)/2，作用在自1作用截面逆时针旋
转45º的面上；(2) 该截面上还有正应力，其值为
(1+2)/2。
(a)
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思考题 13-3
求图示应力状态下单元体的与纸面垂直的任意 斜截面上的应力。
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平面应力状态的应力圆
1 2 3
平面应力状态
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应力圆表达了与主应力为零的面相垂直的诸截 面上应力情况。事实上即使那个面上的主应力不为 零而单元体处于三向应力状态时，因为平行于该主 应力的那组截面上的应力不受它的影响，而按平面 应力状态绘出的通过表示主
应力1、2的点A1 A2之应
力圆，仍然表示那组截面 上的应力情况，即代表平 行于该主应力的诸截面上 应力的情况。
E
=
2 (1 ) 400106
E
2 (1 ) 400 106
E
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例题 13－1
T
Wp
Wp
π
D3(1 16
4)
2T (1 ) 400 106
EWP T 200 106 EWp
1
8.71 kN m
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平面应力状态下由测点处的线应变求应力
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7
45, min 45, max
根据对应力状态的分析，可以了解杆件中材料 破坏的力学因素，并建立强度条件。
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回顾单向应力状态的情况
铸铁轴向拉伸： 沿横截面拉断破坏，断 口平齐。
铸铁轴向压缩： 沿斜截面剪断破坏。 （超过了铸铁材料的 抗剪强度）
每个面上应力均匀分布，相 互平行的一对面上应力相等， 且等于杆件相应截面上该点 的应力。
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应力符号规定： 正应力—拉为正，压为负，切应力—从坐标轴 正向看，绕单元体内任意点顺时针转时为正， 反之为负。 (2) 点的应力状态分类
主平面 无切应力，只有正应力的平面。
主应力 主平面上的正应力。 对任一点必存在三个相互垂直的主平面及相应
(1) 已知:单元体各面应力 大小，求任一斜截面上 的应力。由平衡方程
Fn Ft
0 0
得
x
2
y
x
2
y
cos 2
x sin 2
x
2
y sin
2
x
cos 2
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(2) 求最大、最小正应力及其方位—主应力及主方向
令 0 0
得 tan 2 0 2 xy /( x y)
2
x2
标准圆方程： x a2 y b2 r2
应力圆圆心：
x
2
y
,0
半径：
x
2
y
2
2 x
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应力圆与单元体的对应关系： (1) 点与面对应。 (2) 倍角与角对应。
作应力圆：(1) 注意截面的选取 (2) 注意应力的符号，特别是切应力
求斜截面上的应力： (1) 找准起始点 (2) 角度的旋转以C为圆心 (3) 旋转方向相同 (4) 2倍角的关系 (5) 应力的符号
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x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x cos2
(
x
y )2
2
2
(
x
y )2
2
x2
(10 1) (10 2) (10 3)
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2. 作应力圆
应力圆方程：(
x
y )2
2
2
(
x
y )2
为该点的应力状态。 应力状态分析 ：
分析一点的应力随截面方位改变而变化的规 律。 应力状态分析的目的：
为强度分析打基础。了解强度破坏的力学因 素。
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通过杆内任意一点所作各个截面上的应力随着 截面的方位而改变。
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例如轴向拉压时杆件斜截面上的应力分析。
点处两个不为零的主应力之方向
的ຫໍສະໝຸດ Baidu况下，才只需测定这两个主
应力方向的线应变。
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§13-4 三向应力状态
三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力 均不为零。
1 2 3
平面应力状态（三向应力状态的特例）
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单向应力状态（三向应力状态的特例）
0
1 arctan( 2
2 xy x
)
y
0
1 arctan( 2
2 xy x
)
y
π 2
max
min
xy
2
(
x
2
y
)2
2 xy
另一主应力为零。
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max , min
由主应力为:
1 , 2 0, 3 .
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(3) 正应力极值：
1 2
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
(4) 主平面·主应力·主方向
tan 2 0
2 x y z
右图为平面应力状
态的应力图，3=0。
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5. 点的应力状态分析
(1) 基本概念，描述方法及其分类(回顾） 描述方法：单元体法，即三 个方向均为无穷小的立方体 特点：
应力圆如右图。
(5) 常见的平面应力状态
已知 : x , y 0, xy
代入公式求得
max
min
2
( 2)2 2
问题:在基本变形中, 杆件内那些点为上述应力
状态？根据上述结果可以确定三个主应力的顺序
吗?
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§13-3 平面应力状态下的胡克定律
E
y
E
y
y
E
x
E
zxyGEx
(
x
y
)
上式即为平面应力状态下的胡克定律。
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平面应力状态下的胡克定律的另一表达式：
x
1
E
2
(
x
y
)
y
E
1
2
(
y
x )
z 0 x G xy 注意：z = 0，但z≠0。
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例题 13－1 已知|a |+|b |= 40010-6 ，E=200