工程力学：第20课_第13章 应力状态分析(2)
《工程力学》实验应力分析
r 1 2 3 4 2(1 )M
上下表面
M
r 2(1 )
E M
E r 2(1 )
R3 R4
R2 t2
R1
B
R1
R2
A
C
R4
R3
D
21
13.3 测量电桥的接法及其应用
例2 通过应变测量(1)求偏心载荷F;(2) 求e.试确定
布片、接桥方案。截面bh
y
e
y
解：(1)测F
z x
F Fe F 分析：
Me
Me
25
13.4 二向应力状态下主应力方向已知时的应力测定
1
3
B
R1
R2
A
C
R4
R3
D
解: 应力分析
1 3
沿与轴线成450方向为主方向,
故沿主应力方向布片.
采用全桥接法.
r 1 2 3 4 41
1
r
4
26
13.4 二向应力状态下主应力方向已知时的应力测定
1
3
B
R1
R2
A
C
R4
工程力学
第13章 实 验 应 力 分 析
1
第13章 实验应力分析
§13.1 概述 §13.2 电测应力分析的基本原理 §13.3 测量电桥的接法及应用 §13.4 二向应力状态下主应力已知时
的应力测定 §13.5 二向应力状态下主应力未知时
的应力测定
2
13.1 概 述
一. 为什么要进行实验应力分析
例1 已知E， , 测定max, 试确定布片、接桥方案。
M
R1
M
解：第一方案，
R2
工程力学课后习题答案
工程力学课后习题答案工程力学练习册学校学院专业学号教师姓名第一章静力学基础1-1 画出下列各图中物体A，构件AB，BC 或ABC的受力图，未标重力的物体的重量不计，所有接触处均为光滑接触。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）1-2 试画出图示各题中AC杆（带销钉）和BC杆的受力图（a）（b）（c）（a）1-3 画出图中指定物体的受力图。
所有摩擦均不计，各物自重除图中已画出的外均不计。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）第一章静力学基础 9第二章平面力系2-1 电动机重P=5000N，放在水平梁AC 的中央，如图所示。
梁的A端以铰链固定，另一端以撑杆BC支持，撑杆与水平梁的夹角为30 0。
如忽略撑杆与梁的重量，求绞支座A、B处的约束反力。
题2-1图∑∑=︒+︒==︒-︒=PF F F F F FB A y A B x 30sin 30sin ,0030cos 30cos ,0 解得: N P F F B A 5000===2-2 物体重P=20kN ，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另一端接在绞车D 上，如图所示。
转动绞车，物体便能升起。
设滑轮的大小及轴承的摩擦略去不计，杆重不计，A 、B 、C三处均为铰链连接。
当物体处于平衡状态时，求拉杆AB 和支杆BC 所受的力。
题2-2图∑∑=-︒-︒-==︒-︒--=030cos 30sin ,0030sin 30cos ,0P P F F P F F FBC y BC AB x解得:P F P F AB BC 732.2732.3=-=2-3 如图所示，输电线ACB 架在两电线杆之间，形成一下垂线，下垂距离CD =f =1m ，两电线杆间距离AB =40m 。
电线ACB 段重P=400N ，可近视认为沿AB 直线均匀分布，求电线的中点和两端的拉力。
题2-3图以AC 段电线为研究对象，三力汇交N F NF F F F F F FC A GA y C A x 200020110/1tan sin ,0,cos ,0=======∑∑解得：ααα2-4 图示为一拔桩装置。
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位yx xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1xzyy Eσσμσε+-=)]([1yxzz Eσσμσε+-=Gzxzxτγ=Gyzyzτγ=，Gxyxyτγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：zMyIσ=bIQSzz*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。
在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。
工程力学第13章应力状态分析
FS 2 50kN MFl 25kNm
8 ⑵ 求C 点在横截面上的正应力、切应力
M y 2 5 1 0 3 6 0 0 1 0 3/4
CIz 2 0 0 6 0 0 3 1 0 1 2/1 21 .0 4 M P a
C 3 2 F b h S(14 h y 2 2)2 2 3 0 0 5 0 6 0 0 1 0 3 1 0 6(14 6 0 1 0 5 2 0 2 1 0 1 0 6 6)
63.7sin240o( 76.4)cos240o 2
10.7MPa
x 63.7MPa y 0 x76.4MPa
⑶ 求D 点的主应力和主方向及最大切应力
m m a in x x 2y (x 2y)2x 2
63.7 2
(63.7)2(76.4)2 2
114.6M P a
50.9M
Pa
1 1 1 4 . 6 M P a2 03 5 0 . 9 M P a
D63.7MPa D76.4MPa
⑵ 作出D点的应力状态图
x 63.7MPa y 0 x76.4MPa
120o
x 2 y x 2 yc o s2 xsin 2
6 3 .7 6 3 .7 c o s2 4 0 o ( 7 6 .4 ) sin 2 4 0 o 22
50.3M Pa
x 2ysin2xcos2
同理：平行于主应力σ2和σ3方向的任意斜面 II 和 III 上的正 应力和切应力分别与σ2和σ3无关，可分别由应力圆 II 和 III 表
示。
三向应力状态中空间任 意方向面上的正应力和切 应力对应于应力圆I、II、 III所围阴影区域内某一点 的坐标值。
工程力学-应力状态
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
如何在工程力学中进行应力分析？
如何在工程力学中进行应力分析？在工程力学领域，应力分析是一项至关重要的任务。
它能够帮助工程师了解结构或材料在受到外力作用时内部的受力情况，从而评估其强度、稳定性和可靠性，为设计安全、高效的工程结构提供关键的依据。
那么，如何进行有效的应力分析呢？首先，我们需要明确应力的基本概念。
应力，简单来说，就是单位面积上所承受的内力。
当物体受到外力作用时，内部会产生抵抗这种外力的力，这种力在单位面积上的表现就是应力。
应力的单位通常是帕斯卡（Pa）或兆帕（MPa）。
在实际的工程力学中，进行应力分析的第一步是确定所研究对象的受力情况。
这包括对各种外力的分析，如集中力、分布力、力偶等。
例如，在桥梁设计中，需要考虑车辆的重量产生的集中力，以及风荷载产生的分布力。
为了准确地描述这些外力，我们通常会建立一个力学模型，将复杂的实际情况简化为易于分析的形式。
接下来，选择合适的分析方法是关键。
常见的应力分析方法有理论分析法、实验法和数值模拟法。
理论分析法基于力学的基本原理和公式进行推导和计算。
例如，对于简单形状和受力情况的结构，可以使用材料力学中的公式来计算应力。
比如，对于受拉伸或压缩的直杆，可以通过力除以横截面积来计算正应力；对于受扭转的圆轴，可以通过扭矩除以抗扭截面系数来计算切应力。
然而，这种方法通常只适用于简单的几何形状和受力情况，对于复杂的结构往往难以直接应用。
实验法是通过对实际结构或模型进行物理实验来测量应力。
常见的实验方法包括电测法、光测法等。
电测法是在结构表面粘贴电阻应变片，当结构受力产生变形时，应变片的电阻会发生变化，通过测量电阻的变化可以推算出应变，进而计算出应力。
光测法则利用光的干涉原理，如光弹性法，来观察结构内部的应力分布。
实验法能够直接获取实际结构的应力数据，但往往成本较高，且实验过程可能会对结构造成一定的破坏。
数值模拟法则是借助计算机软件对结构进行建模和分析。
常见的数值方法有有限元法、边界元法等。
有限元法将结构离散成有限个单元，通过求解每个单元的平衡方程，得到整个结构的应力和变形。
工程力学第13章应力状态分析和强度理论
max
m in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
——主应力的大小
3)、 切应力 的极值及所在截面
由
x
y
2
sin 2
xy cos 2 ,
令 d
0
d 1
tan
21
x 2 xy
y
(1 ; 1 1 900 )
——最大切应力 所在的位置
z
x
y y
x
z x
2
I 3 1
(1)求平行于σ1的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ1 无关.
1
3
II 2
(2)求平行于σ2的方向面的应力σα、 τα ,其上之应力与σ2 无关.
2
III 1 3
2
(3)求平行于σ3的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ3 无关.
例2、槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢 块的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, μ = 0.3。
Fy
解：1) 研究对象ຫໍສະໝຸດ 正方形钢块y F 80 MPa, A
x
?,
z 0.
x 0, y ?, z ? .
y
x b
a
c x x
y
b x
x
a y
c
y t
n 单元体各面面积
x bc : dA
ab: dAcos ac : dAsin
设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：
弹性力学应力状态2
+
∂σ
y
∂y
+
∂ τ zy ∂z
+Y = 0
∂ τ yz ∂τ z ∂σ z + + +Z = 0 ∂x ∂y ∂z
切应力互等定理
σ ij = σ
ji
2－10 静力边界条件－－应力与面力的关系 － 静力边界条件－－ －－应力与面力的关系
2 2 2 2 τ n = p 2 − σ n = p x + p y + p z2 − σ n
剪应力
已知物体内一点的9个应力分量， 已知物体内一点的 个应力分量，就可求出 个应力分量 任一斜截面上的全应力和正应力、剪应力。 任一斜截面上的全应力和正应力、剪应力。
四、应力张量
使用应力张量可以完整地描述一点的应力状态
2. 将Px、Py、Pz投影到 轴上，得x’面上的正应力： 投影到x’轴上 面上的正应力： 、 、 投影到 轴上， 面上的正应力
3. 将Px、Py、Pz分别向 、z’轴投影，得x’面上沿 方 分别向y’、 轴投影 轴投影， 面上沿y’方 、 、 分别向 面上沿 向的剪应力和沿z’的剪应力 的剪应力： 向的剪应力和沿 的剪应力：
三、平面问题的应力坐标转换公式
2－4 －
主应力、 主应力、应力张量不变量
主平面是指剪应力为零的平面 主平面是指剪应力为零的平面 应力主轴为主平面法线方向（或主方向） 应力主轴为主平面法线方向（或主方向） 为主平面法线方向 主应力为主平面的正应力 主应力为主平面的正应力
一、应力状态的特征方程
A点处有一个主面n 点处有一个主面 剪应力为0 剪应力为 正应力即全应力
2 2 2 + (σ z − σ m )(σ x − σ m ) − τ xy − τ yz − τ zx ]
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y
1 0 ,
1
0
2
20
2
,
2
最大切应力K点、最小切应力M点：
max min
CK
x
2
y
2
2 x
10
第十三章 应力状态分析(2)
oB
K
0 C E( y , y )
M
最大正应力A点作用面的方位：
D( x , x )
R
20 x
max
OC CA
x
y
2
x
2
y
2
2 x
FA
D
tan20
DF CF
2 x x y
max
( x y ) 2 ( x y ) 2
tan0
FD BF
x
x min
x max y
0
[
2
,
2
]
11
例：平面应力状态下，物体内一点O 在 A、B 两截面上的应力如图所示，试求 该点的最大正应力和切应力及A、B两截 面的夹角θ。
图解法： 按比例尺画出应力圆
解析法：构造如图所示微体
B
B
15
x
x
2 15
2
x 15 cos
2
sin 2(90 )
2(90 ) 15sin 2(90 ) 15cos 2(90 ) 20MPa
40MPa
两个未知数， 两个方程，求解得：
y
x
47MPa 35.5
故：
max
x
y
2
(
x
y )2
2
2 x
52.9MPa
x y
x
x
2
y
2
2 x
,
cos
21
2
sin 21
x y
x
x
2
y
2
2 x
, cos
21
2
x
2
y
2
2 x
x
2
y
2
2 x
max min
x
y
2
x
2
y
2
2 x
0 0
7
第十三章 应力状态分析(2)
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
y
2
sin2
xcos2
第十三章 应力状态分析(2)
方法一：解析法（求三角函数极值）
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
x
2
y
sin2
xcos2
正应力取极值：
该面上切应力为零！
d 0 d
2
x
2
y
sin2
xcos2
0
tan
20
2x x
y
1 0
2
0
2
0
4
,
4
微体内最大、最小正应力及其作用面 对应切应力：
sin 21
d 0 d
2
x
2
y
cos2
xsin2
0
tan
21
x 2 x
y
微体内最大与最小切应力 及其作用面对应的正应力：
max min
x
2
y
2
2 x
1
x
2
y
最大与最小切应力作用面与主平面关系：
tan
2 0
2 x x
y
tan
21
x 2 x
y
tan 20
1
tan 21
ct an 21
2
y
2
2 x
9
第十三章 应力状态分析(2)
oB
K
D( x , x )
R
C
20 x
FA
E( y , y )
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
最大正应力A点、最小正应力B点：
max min
OC
CA
x
2
y
x
2
y
2
2 x
tan20
DF CF
2 x x y
2
0
=actan
2 x x
第十三章 应力状态分析(2)
§13-3 极值应力与主应力
一、平面应力状态的极值应力
y y
y
x
x x
y
y y'
x
x' x
yP
yp
xP
xp
x-y坐标系
x´-y´坐标系
xp-yp坐标系
同一点的应力状态有无穷多种表达形式。在无穷多种表达形式中有 没有一种简单的、但又能反映一点应力状态本质的表达形式？
max c ( c 15)2 152 52.9MPa max ( c 15)2 152 21.9MPa
AB
arcsin 2 35.5o
BC
14
第十三章 应力状态分析(2)
观察与思考：
对于平面应力状态： •是否一定存在正应力为零 的面？
•是否一定存在切应力为零的 面？如果有，有几个？
2 x
FA
E( y , y )
D
tan20
DF CF
2 x x y
0
[
4
,
4
]
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
max
tan0
FD
BF x
x min
x max y
0
[
2
,
2
]
最大正应力截面实际方位
最大切应力K点、最小切应力M点：
max min
CK
x
oB
K
0 C
D( x , x )
R
20 x
FA
E( y , y )
D
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
max
•正应力最大与最小的面，切 应力有什么性质？
•切应力最大与最小的面，正 应力有什么性质？
15
第十三章 应力状态分析(2)
二、主应力
K
D( x , x )
R
C
20 x
oB
max
(
x
y )2
2
2 x
21.9MPa
B
15MPa x
x
A
O
15MPa
15MPa
13
解析法（利用应力圆）
A(15,15)
E
2
C
B(40,20)
D
第十三章 应力状态分析(2)
B 40MPa
A 15MPa
20MPa O
15MPa
设应力圆圆心横坐标为σc,由几何关系得：
AC BC c 152 152 c 402 202 c 31MPa
FA
E( y , y )
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
主平面－切应力为零的截面
主平面微体－相邻主平面相互垂 直， 构成一正六面形微体 主应力－主平面上的正应力（最 大、最小的正应力）
2
主应力符号与规定－ 1 2 3
1
（按代数值排列）
微体中最简单的应力状态，三
3
5
第十三章 应力状态分析(2)
应力转轴公式:
应力圆
x
2
y
x
2
y
cos2
xsin2
o
D
C x
y
F
x
2
y
sin2
xcos2
y
x+y)/2 x-y)/2
x
问题：一点处具有代表性的极值应力的大小及方位？
① 微体内最大、最小正应力及其作用面方位、该面内切应力大小？ ② 微体内最大、最小切应力及其作用面方位、该面内正应力大小？ 6
1cm 10MPa
最大正应力点在D点，进行测量；最大切 应力点在E点，进行测量；对A、B两截面
的夹角进行测量
max 53MPa 36
max 22MPa
第十三章 应力状态分析(2)
B 40MPa
20MPa
O
A 15MPa
15MPa
A(15,15) E
2
C
B(40,20)
D
12
第十三章 应力状态分析(2)
t
an
21
2
0
1
4
8
第十三章 应力状态分析(2)
方法二：图解法（利用应力圆）
K
缺点：最无大法正直应接力判A断点α0、对应最的小是正最应大力还B是点最：小正应
oB
0 C
R2 0x来自D(x ,面力x) ，作E用点面mm转（ainxα例0对如O应，C最D小点CA正转应α0力对x 作2应用最y 面大 ）正？应 x力2作 y用2