2019年高一(下)第三次月考数学试卷(文科)

2019年高一（下）第三次月考数学试卷(文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 复数i32i−1（i为虚数单位）的虚部是（）A.1 5iB.15C.−15i D.−152. 图中阴影部分表示的集合是（）A.B∩(∁U A)B.A∩(∁U B)C.∁U(A∩B)D.∁U(A∪B)3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.2B.4C.8D.164. 对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（）A.2.25，2.5B.2.25，2.02C.2，2.5D.2.5，2.255. 给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b−1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A.4B.3C.2D.16. 已知M={(x, y)|y−3x−2=3}，N={(x, y)|ax+2y+a=0}且M∩N=⌀，则a=()A.−6或−2B.−6C.2或−6D.−27. 已知p:∃x∈R，mx2+1≤0，q:∀x∈R，x2+mx+1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（）A.m≥2B.m≤−2C.m≤−2或m≥2D.−2≤m≤28. 下面使用的类比推理中恰当的是（）A.“若m⋅2=n⋅2，则m=n”类比得出“若m⋅0=n⋅0，则m=n”B.“(a+b)c=ac+bc”类比得出“(a⋅b)c=ac⋅bc”C.“(a+b)c=ac+bc”类比得出“a+bc=ac+bc(c≠0)”D.“(pq)n=p n⋅q n”类比得出“(p+q)n=p n+q n”9. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系，对每小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：由表中样本数据求得回归方程为y）A.点在直线左侧B.点在直线右侧C.点在直线上D.无法确定10. 设a>b>c，n∈N，且1a−b+1b−c≥na−c恒成立，则n的最大值是（）A.2B.3C.4D.6二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11. 已知f(x)=x2+2x⋅f′(1)，则f′(0)=________．12. 不等式3≤|5−2x|<9的解集为________．13. 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n⋅1⋅3•…•(2n−1)(n∈N)时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是________．14. 函数y=3√x−5+4√6−x的最大值________．15. 已知点A(0, 1)和点B(−1, −5)在曲线C:y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数）上，若曲线C在点A、B处的切线互相平行，则a−b+d=________．16. 已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为________．17. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=________，若a n=145，则n=________．三．解答题（共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共65分）18. 已知p:|x|≤2−m；q:x2−2x+1−m2≤0(m>0)，若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．19. 设全集U=R，M={m|方程mx2−x−1=0有实数根}，N={n|方程x2−x+n=0有实数根}，求(∁U M)∩N．20. 已知两正数x，y满足x+y=1，求z=(x+1x )(y+1y)的最小值．21. 已知函数f(x)=x2−2ax+5．(a>1)（1）若f(x)的定义域和值域均是[1, a]，求实数a的值；（2）若f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数，且对任意的x∈[1, a+1]，总有−4≤f(x)≤4，求实数a的取值范围．22. 已知f(x)=2ax−bx +lnx在x=1与x=12处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）设函数g(x)=x2−2mx+m，若对任意的x1∈[12,2]，总存在x2∈[12,2]，使得g(x1)≥f(x2)−lnx2，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1.【答案】 B【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求出复数z ，即可得复数z 的虚部． 【解答】解：i 32i−1=−i(−2i−1)(2i−1)(−2i−1)=−2+i 5=−25+15i故复数i 32i−1（i 为虚数单位）的虚部是15故选B 2.【答案】 A【考点】Venn 图表达集合的关系及运算 【解析】由韦恩图可以看出，阴影部分是B 中去掉A 那部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案． 【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是B 中去A 那部分所得， 即阴影部分的元素属于B 且不属于A ， 即B ∩(C U A) 故选：A 3.【答案】 C【考点】 循环结构 【解析】列出循环过程中S 与K 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：第1次判断后S =1，k =1， 第2次判断后S =2，k =2， 第3次判断后S =8，k =3，第4次判断后3<3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8． 故选C ． 4.【答案】 B【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数 【解析】根据频率分布直方图，结合众数和中位数的定义进行求解即可． 【解答】解：由频率分布直方图可知，数据在[2, 2.5]之间的面积最大，此时众数集中在[2, 2.5]内，用区间.2的中点值来表示，∴ 众数为2.25．第一组的频率为0.08×0.5=0.05，对应的频数为0.05×100=5， 第二组的频率为0.16×0.5=0.08，对应的频数为0.08×100=8， 第三组的频率为0.30×0.5=0.15，对应的频数为0.15×100=15， 第四组的频率为0.44×0.5=0.22，对应的频数为0.22×100=22， 第五组的频率为0.50×0.5=0.25，对应的频数为0.25×100=25， 前四组的频数之和为5+8+15+22=50，∴ 中位数为第4组的最后一个数据以及第5组的第一个数据，则对应的中位数在5组内且比2大一点， 故2.02比较适合， 故选：B ． 5.【答案】 C【考点】 命题的否定正弦函数的单调性 【解析】①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 中有一个为假命题，不一定p 、q 均为假命题；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论即可；④在△ABC 中，根据大边对大角及正弦定理即可进行判断． 【解答】解：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 中有一个为假命题，不一定p 、q 均为假命题；故错；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a >b ，则2a >2b −1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b −1”；正确；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x ∈R ，x 2+1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1<1；故错；④在△ABC 中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件．故正确． 其中不正确 的命题的个数是：2． 故选C ． 6.【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】集合M 表示y −3=3(x −2)上除去(2, 3)的点集，集合N 表示恒过(−1, 0)的直线方程，根据两集合的交集为空集，求出a 的值即可．【解答】解：集合M表示y−3=3(x−2)，除去(2, 3)的直线上的点集；集合N中的方程变形得：a(x+1)+2y=0，表示恒过(−1, 0)的直线方程，∵M∩N=⌀，∴若两直线不平行，则有直线ax+2y+a=0过(2, 3)，将x=2，y=3代入直线方程得：2a+6+a=0，即a=−2；若两直线平行，则有−a2=3，即a=−6，综上，a=−6或−2．故选：A．7.【答案】A【考点】复合命题的真假【解析】由题意，可先解出两命题都是真命题时的参数m的取值范围，再由pVq为假命题，得出两命题都是假命题，求出两命题都是假命题的参数m的取值范围，它们的公共部分就是所求【解答】解：由p:∃x∈R，mx2+1≤0，可得m<0，由q:∀x∈R，x2+mx+1>0，可得△=m2−4<0，解得−2<m<2因为pVq为假命题，所以p与q都是假命题若p是假命题，则有m≥0；若q是假命题，则有m≤−2或m≥2故符合条件的实数m的取值范围为m≥2故选A8.【答案】C【考点】类比推理【解析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质【解答】解：对于A：“若m⋅2=n⋅2，则m=n”类推出“若m⋅0=n⋅0，则m=n”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“若(a+b)c=ac+bc”类推出“(a⋅b)c=ac⋅bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于C：将乘法类推除法，即由“(a+b)c=ac+bc”类推出“a+bc =ac+bc(c≠0)”是正确的，对于D“(pq)n=p n⋅q n”类推出“(p+q)n=p n+q n”是错误的，如(1+1)2=12+12故选：C9.【答案】B【考点】线性回归方程【解析】由样本数据可得，x，y利用公式，求出b，a，根据点(a, b)满足54.2+18×3.1>100，即可确定点(a, b)与直线x+18y=100的位置关系．【解答】解：由题意，x=15(15+16+18+19+22)=18，y=15(102+98+115+115+120)=110，∑x i5i=1y i=9993，5xy=9900，∑x i25i=1=1650，n(x)2=5⋅324=1620，∴b=9993−99001650−1620=3.1，∴a=110−3.1×18=54.2，∵54.2+18×3.1>100，∴点(a, b)在直线右侧，故选：B．10.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】分离参数n，将不等式恒成立转化为求函数的最值，将函数分离常数将解析式变形为两部分的乘积是定值，利用基本不等式求出最值【解答】解：∵1a−b+1b−c≥na−c恒成立∴n≤a−ca−b+a−cb−c恒成立∴n≤a−ca−b+a−cb−c的最小值∵a−ca−b+a−cb−c=a−b+b−ca−b+a−b+b−cb−c=2+b−ca−b+a−bb−c≥4得n≤4．故选C．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11.【答案】−4【考点】导数的运算法则【解析】要求某点处函数的导数，应先求函数解析式f(x)，本题求函数解析式f(x)关键求出未知f′(1)．【解答】解：f′(x)=2x+2f′(1)⇒f′(1)=2+2f′(1)，∴f′(1)=−2，有f(x)=x2−4x，f′(x)=2x−4，∴f′(0)=−4．12.【答案】(−2, 1]∪[4, 7)【考点】绝对值不等式的解法【解析】不等式即：3≤2x−5<9①，或−9<2x−5≤−3②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式3≤|5−2x|<9，可得不等式3≤2x−5<9①，或−9<2x−5≤−3②．解①求得4≤x<7，解②求得−2<x≤1，综上可得，不等式的解集为(−2, 1]∪[4, 7)，故答案为：(−2, 1]∪[4, 7)．13.【答案】2(2k+1)【考点】数学归纳法【解析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求．【解答】解：当n=k时，左边等于(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…(2k)，当n=k+1时，左边等于(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)，故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是(2k+1)(2k+2)(k+1)=2(2k+1)，故答案为2(2k+1)．14.【答案】5【考点】函数的最值及其几何意义【解析】因为(√x−5)2+(√6−x)2=1，所以可以考虑用三角换元来求最值，设√x−5，√6−x一个为某个角的正弦，则另一个必为同角的余弦，再利用辅助角公式，化一角一函数，最后利用正弦函数的有界性即可求出y 的最大值．【解答】解：∵(√x−5)2+(√6−x)2=1，∴可设√x−5=sinα，则√6−x=cosα，(α∈[0, π2]y=3√x−5+4√6−x变形为y=3sinα+4cosα=5sin(α+⌀)，(tan⌀=43)当α+⌀=π2时，y有最大值5故答案为515.【答案】7【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′(1)=f′(−1)，再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可得出结论．【解答】解：设f(x)=ax3+bx2+d，∵f′(x)=3ax2+2bx，∴f′(0)=0，f′(−1)=3a−2b．根据题意得0=3a−2b，∴b=32a．又点A(0, 1)和点B(−1, −5)在曲线C上，∴{d=1−a+b+d=−5，解得：{a=−12d=1，∴b=−18∴a−b+d=7．故答案为：7．16.【答案】(−∞, 0)∪(12, 2)【考点】函数的单调性与导数的关系【解析】由函数y=f(x)(x∈R)的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式xf′(x)<0的解集．【解答】解：由f(x)图象特征可得，f′(x)在(−∞, 12)∪(2, +∞)上大于0，在(12, 2)上小于0，∴xf′(x)<0⇔{x<0f′(x)>0或{x>0f′(x)<0⇔{x<0x<12或x>2或{x>012<x<2⇔x<0或12<x<2，所以xf′(x)<0的解集为(−∞, 0)∪(12, 2)．故答案为：(−∞, 0)∪(12, 2)．17.【答案】35,10【考点】归纳推理【解析】仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及a n=145时，n的值即可．【解答】解：第一个有1个实心点，第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点， …第n 个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+...+3(n −1)+1=3n(n−1)2+n 个实心点，故当n =5时，3n(n−1)2+n =3×5×42+5=35个实心点．若a n =145，即3n(n−1)2+n =145，解得n =10故答案为：35，10．三．解答题（共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共65分） 18.【答案】解：∵ ￢p 是￢q 的必要非充分条件，∴ q 是p 的必要非充分条件，即p 是q 的充分不必要条件． 由x 2−2x +1−m 2≤0，得1−m ≤x ≤1+m ，m >0． 若m >2，则不等式|x|≤2−m 的解集为空集，满足条件．若0<m ≤2，则不等式|x|≤2−m 的解为m −2≤x ≤2−m ， 要使p 是q 的充分不必要条件，则{1−m ≤m −2,2−m ≤1+m,解得32≤m ≤2， 综上m ≥32．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】求出不等式对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论． 【解答】解：∵ ￢p 是￢q 的必要非充分条件，∴ q 是p 的必要非充分条件，即p 是q 的充分不必要条件． 由x 2−2x +1−m 2≤0，得1−m ≤x ≤1+m ，m >0． 若m >2，则不等式|x|≤2−m 的解集为空集，满足条件．若0<m ≤2，则不等式|x|≤2−m 的解为m −2≤x ≤2−m ， 要使p 是q 的充分不必要条件，则{1−m ≤m −2,2−m ≤1+m,解得32≤m ≤2， 综上m ≥32．19.【答案】解：对于集合M ，当m =0时，x =−1，即0∈M ； 当m ≠0时，△=1+4m ≥0，即m ≥−14，且m ≠0∴ m ≥−14，∴ C U M ={m|m <−14}而对于集合N ，△=1−4n ≥0，即n ≤14，∴ N ={n|n ≤14} ∴ (C U M)∩N ={x|x <−14}．【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】对于集合M 分m =0和m ≠0两种情况求解，当m ≠0时利用判别式大于等于零求出m 的范围，再根据补集的运算求出∁U M ；同理由对应的判别式大于等于零求出n 的范围，由交集的定义求出(∁U M)∩N ． 【解答】解：对于集合M ，当m =0时，x =−1，即0∈M ； 当m ≠0时，△=1+4m ≥0，即m ≥−14，且m ≠0 ∴ m ≥−14，∴ C U M ={m|m <−14}而对于集合N ，△=1−4n ≥0，即n ≤14，∴ N ={n|n ≤14} ∴ (C U M)∩N ={x|x <−14}． 20. 【答案】解：z =(x +1x )(y +1y )=xy +1xy +yx +xy =xy +1xy +(x+y)2−2xyxy=xy +2xy −2，令t =xy ，则0<t =xy ≤(x+y 2)2=14，（当且仅当x =y 时取等号）． 由f(t)=t +2t 在(0, 14]上单调递减，故当t =14时，f(t)=t +2t 有最小值334， 从而当且仅当x =y =12时，z 有最小值为334−2=254．【考点】基本不等式 【解析】将z 进行变形构造出适合基本不等式适用的结构，再利用基本不等式求最值． 【解答】解：z =(x +1x )(y +1y )=xy +1xy +yx +xy =xy +1xy +(x+y)2−2xyxy=xy +2xy−2，令t =xy ，则0<t =xy ≤(x+y 2)2=14，（当且仅当x =y 时取等号）．由f(t)=t +2t 在(0, 14]上单调递减，故当t =14时，f(t)=t +2t 有最小值334， 从而当且仅当x =y =12时，z 有最小值为334−2=254．21. 【答案】解：（1）∵函数f(x)=x2−2ax+5(a>1)，∴f(x)开口向上，对称轴为x=a>1，…∴f(x)在[1, a]是单调减函数，…∴f(x)的最大值为f(1)=6−2a；f(x)的最小值为f(a)=5−a2…∴6−2a=a，且5−a2=1∴a=2…（2）函数f(x)=x2−2ax+5=(x−a)2+5−a2．开口向上，对称轴为x=a，∵f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数，对称轴大于等于2，∴a≥2，a+1>3，f(x)在(1, a)上为减函数，在(a, a+1)上为增函数，f(x)在x=a处取得最小值，f(x)min=f(a)=5−a2，f(x)在x=1处取得最大值，f(x)max=f(1)=6−2a，∴5−a2≤f(x)≤6−2a，∵对任意的x∈[1, a+1]，总有−4≤f(x)≤4，∴{6−2a≤45−a2≥−4解得1≤a≤3；综上：2≤a≤3；【考点】函数恒成立问题函数的定义域及其求法函数的值域【解析】（1）确定函数的对称轴，从而可得函数的单调性，利用f(x)的定义域和值域均是[1, a]，建立方程，即可求实数a的值．（2）可以根据函数f(x)=x2−2ax+5=(x−a)2+5−a2．开口向上，对称轴为x=a，可以推出a的范围，利用函数的图象求出[1, a+1]上的最值问题，对任意的x∈[1, a+1]，总有−4≤f(x)≤4，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f(x)=x2−2ax+5(a>1)，∴f(x)开口向上，对称轴为x=a>1，…∴f(x)在[1, a]是单调减函数，…∴f(x)的最大值为f(1)=6−2a；f(x)的最小值为f(a)=5−a2…∴6−2a=a，且5−a2=1∴a=2…（2）函数f(x)=x2−2ax+5=(x−a)2+5−a2．开口向上，对称轴为x=a，∵f(x)在区间(−∞, 2]上是减函数，对称轴大于等于2，∴a≥2，a+1>3，f(x)在(1, a)上为减函数，在(a, a+1)上为增函数，f(x)在x=a处取得最小值，f(x)min=f(a)=5−a2，f(x)在x=1处取得最大值，f(x)max=f(1)=6−2a，∴5−a2≤f(x)≤6−2a，∵对任意的x∈[1, a+1]，总有−4≤f(x)≤4，∴{6−2a≤45−a2≥−4解得1≤a≤3；综上：2≤a≤3；22.【答案】解：（1）∵f(x)=2ax−bx +lnx,∴f′(x)=2a+bx2+1x，∵f(x)=2ax−bx+lnx在x=1与x=12处都取得极值，∴f′(1)=0，f′(12)=0，∴{2a+b+1=02a+4b+2=0，解得a=b=−13，当a=b=−13时，f′(x)=−23−13x2+1x=−2(x−1)(x−12)3x2，所以函数f(x)在x=1与x=12处都取得极值．∴a=b=−13；（2）由（1）知：函数y=f(x)−lnx=−23x+13x在[12,2]上递减，∴[f(x)−g(x)]min=−23×2+13×2=−76，又函数g(x)=x2−2mx+m图象的对称轴是x=m，①当m<12时：g(x)min=g(12)=14，依题意有14≥−76成立，∴m<12；②当12≤m≤2时：g(x)min=g(m)=m−m2，∴m−m2≥−76，即6m2−6m−7≤0，解得：3−√516≤m≤3+√516，又∵12≤m≤2，∴12≤m≤3+√516；③当m>2时，g(x)min=g(2)=4−3m，∴4−3m≥−76，解得m≤3118，又m>2，∴m∈ϕ；综上：m≤3+√516，所以，实数m的取值范围为(−∞,3+√516]．【考点】利用导数研究函数的最值函数在某点取得极值的条件【解析】（1）求导数f′(x)，由f(x)在x=1与x=12处都取得极值，得f′(1)=0，f′(12)=0，得关于a，b的方程组，解出a，b，然后检验；（2）对任意的x1∈[12,2]，总存在x2∈[12,2]，使得g(x1)≥f(x2)−lnx2，等价于g(x)min≥[f(x)−lnx]min，利用函数单调性易求[f(x)−lnx]min，按照对称轴在区间[12, 2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得g(x)min，然后解不等式g(x)min≥[f(x)−lnx]min可得答案；【解答】解：（1）∵f(x)=2ax−bx+lnx,∴f′(x)=2a+bx2+1x，∵f(x)=2ax−bx+lnx在x=1与x=12处都取得极值，∴ f ′(1)=0，f′(12)=0，∴ {2a +b +1=02a +4b +2=0，解得a =b =−13，当a =b =−13时，f′(x)=−23−13x 2+1x=−2(x−1)(x−12)3x 2，所以函数f(x)在x =1与x =12处都取得极值． ∴ a =b =−13；（2）由（1）知：函数y =f(x)−lnx =−23x +13x 在[12,2]上递减， ∴ [f(x)−g(x)]min =−23×2+13×2=−76， 又函数g(x)=x 2−2mx +m 图象的对称轴是x =m ，①当m <12时：g(x)min =g(12)=14，依题意有 14≥−76成立，∴ m <12； ②当12≤m ≤2时：g(x)min =g(m)=m −m 2，∴ m −m 2≥−76，即6m 2−6m −7≤0，解得：3−√516≤m ≤3+√516，又∵ 12≤m ≤2，∴ 12≤m ≤3+√516；③当m >2时，g(x)min =g(2)=4−3m ，∴ 4−3m ≥−76，解得m ≤3118， 又 m >2，∴ m ∈ϕ； 综上：m ≤3+√516，所以，实数m 的取值范围为(−∞,3+√516]．。