高中数学不等式的分类、解法(教资材料)

高中数学简单不等式的分类、解法
一、知识点回顾
1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。

2.一元二次不等式的解法
解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系：
二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228)
二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法
法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法
法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()
(x g x f a a
x g x f >⇔>；
0)()()(log )(log >>⇔>x g x f x g x f a a
0<a<1时，)()()
()
(x g x f a
a
x g x f <⇔>；
)()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <<⇔>
7.三角不等式解法
利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法
根据解题需要，对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法
利用函数的单调性求解，化为基本不等式（有时还会结合奇偶性）
10.绝对值不等式解法（后面详细讨论） 二、练习：
（1）2
3440x x -++>解集为
（2
23x -
<< ）
（一化二算三写） （2）213
022
x x ++>解集为
（R ） (变为≤，则得∅)（无实根则配方） 三、例题与练习
例1已知函数)()1()(b x ax x f +•-= ，若不等式
0)(>x f 的解集为)3,1(-，则不等式0)2(<-x f 的
解集为 ),2
1()23,(+∞--∞ 解法一：由根与系数关系求出3,1-=-=b a ，得
32)(2++-=x x x f ，再得出新不等式，求解
解法二：由二次不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-得
0)(<x f 解集为),3()1,(+∞--∞ ，再由
∈-x 2),3()1,(+∞--∞ 得解集
变式 1. 已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，则不等式0>+n mx 的解集为 （m, n ）=（-4，-5），解集为)4
5
,(--∞ 例2：不等式
22
32
x x x -++≥0的解集是_____．
答案：（-2，-1）∪[2，+∞）
法一：化为不等式组 法二：数轴标根法 法三：化为整式不等式（注意等价性）
变式2：不等式0332
3<+--x x x 的解集为 . 答案：)1,()3,1(--∞
例3：解关于x 的不等式ax x ax -≥-222
分析：化为02)2(2
≥--+x a ax ，考虑分类标准：①a 与0的关系②
a
2
与-1的关系 变式3：①解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 解:原不等式可化为（ax-1）（x-1）<0 当a<0时，原不等式解集为),1()1
,(+∞-∞ a
当a=0时，x-1>0, 原不等式解集为(1,+ ∞) 当0<a<1时，原不等式解集为)1,1(a
当a=1时，0)1(2
<-x ，原不等式解集为φ 当a>1时，原不等式解集为)1,1(a
②.解关于x 的不等式0)1(log 1
2<--x a a
答案：当a>1时，解集为)2log 2
1
,0(a
当0<a<1时，解集为)2log 2
1
,(a -∞
（总结指数与对数不等式解法）
思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.
例4：已知函数⎩
⎨⎧≤≥+=)0(,1)
0(,1)(2x x x x f ，
则不等式)2()1(2
x f x f >-的解集为
分析：考虑解题思路，有两种方向---函数不等式或分段解不等式
画出函数图像，结合图像易得不等式组
⎩⎨⎧>-<01022x x 或⎩⎨⎧≥-≥x
x x 210
22
得解集为)12,1(-- 变式4：定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f ≥)(的解集为 法一：结合图像求解；法二：化为不等式组 解集为{}),5[0]3,(+∞--∞ 例5：)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，a x e x f x --=sin )(，解不等式)2()1(f x f >-
分析：0≥x 时，0cos )(>-='x e x f x
，)(x f 在
),0[+∞上单调增，又它为偶函数，所以，不等式转化
为)2()1(f x f >-，化为21>-x ，得解集为),3()1,(+∞--∞
探究：改为奇函数，解集为
变式5：函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为__________________．
答案：(2,3)∪(－3，－2)
解析 由导函数图象知f (x )在(－∞，0)上为增函数；在(0，＋∞)上为减函数，
故不等式f (x 2－6)>1等价于－2<x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2) 四、小结
1.含参不等式求解要先考虑分类标准，做到不漏不重
2.要善于转化，化为不等式组或整式不等式或代数不等式，注意数形结合。

五、课后思考题
1.已知函数)(x f 的大致图像如图，则不等式
0)
1)((>-x
x x f 的解
集为
分析：化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>>-0)(01x f x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<<-0
)(0
1x f x x
进而得解集为),3()0,1(+∞-
2. 已知⎩
⎨⎧<-≥=)0(2)
0(2)(2x x x x x f x ，解不等式
8))((<x f f
分析：换元，设t x f =)(，先解不等式8)(<t f ，得02<<-t 或30<≤t ，再转化为关于x 的不等式求解， 解集为)3log ,1(2-
3.已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意x 1，
x 2≥0，若x 1≠x 2，则0)()(2
1
21<--x
x x f x f ，如果f ⎝⎛⎭⎫13＝3
4，且 3)(log 481>x f ，那么x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭
⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，2 C.⎝⎛⎦⎤12，1∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，18∪⎝⎛⎭
⎫1
2，2 答案 B 解析：43
)(log 8
1>x f ，由已知可得当x ≥0时，f (x )是减函数．又f (x )为偶函数，∴)log ()(log 8
181x f x f =， 由)31(43)log (81f x f =>得31log 81<x ∴31log 318
1<<-
x ∴1
2<x <2. 4.已知)0,2(-A 、)0,2(B 、),2(a a C -，且ABC ∆是锐角三角形，求a 的取值范围。

分析：由题意可得⎩⎨
⎧>+-<-<-4
)2(2
222
2a a a ，解得 )4,2(∈a
教后记：知识点回顾用时较多，可简略（5分钟内）。