高中数学不等式的分类、解法(教资材料)

高中数学简单不等式的分类、解法

一、知识点回顾

1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。

2.一元二次不等式的解法

解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系：

二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228)

二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法

法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法

法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()

(x g x f a a

x g x f >⇔>；

0)()()(log )(log >>⇔>x g x f x g x f a a

0

()

(x g x f a

a

x g x f <⇔>；

)()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <<⇔>

7.三角不等式解法

利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法

根据解题需要，对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法

利用函数的单调性求解，化为基本不等式（有时还会结合奇偶性）

10.绝对值不等式解法（后面详细讨论） 二、练习：

（1）2

3440x x -++>解集为

（2

23x -

<< ）

（一化二算三写） （2）213

022

x x ++>解集为

（R ） (变为≤，则得∅)（无实根则配方） 三、例题与练习

例1已知函数)()1()(b x ax x f +•-= ，若不等式

0)(>x f 的解集为)3,1(-，则不等式0)2(<-x f 的

解集为 ),2

1()23,(+∞--∞ 解法一：由根与系数关系求出3,1-=-=b a ，得

32)(2++-=x x x f ，再得出新不等式，求解

解法二：由二次不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-得

0)(

∈-x 2),3()1,(+∞--∞ 得解集

变式 1. 已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，则不等式0>+n mx 的解集为 （m, n ）=（-4，-5），解集为)4

5

,(--∞ 例2：不等式

22

32

x x x -++≥0的解集是_____．

答案：（-2，-1）∪[2，+∞）

法一：化为不等式组 法二：数轴标根法 法三：化为整式不等式（注意等价性）

变式2：不等式0332

3<+--x x x 的解集为 . 答案：)1,()3,1(--∞

例3：解关于x 的不等式ax x ax -≥-222

分析：化为02)2(2

≥--+x a ax ，考虑分类标准：①a 与0的关系②

a

2

与-1的关系 变式3：①解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 解:原不等式可化为（ax-1）（x-1）<0 当a<0时，原不等式解集为),1()1

,(+∞-∞ a

当a=0时，x-1>0, 原不等式解集为(1,+ ∞) 当0

当a=1时，0)1(2

<-x ，原不等式解集为φ 当a>1时，原不等式解集为)1,1(a

②.解关于x 的不等式0)1(log 1

2<--x a a

答案：当a>1时，解集为)2log 2

1

,0(a

当0

1

,(a -∞

（总结指数与对数不等式解法）

思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.

例4：已知函数⎩

⎨⎧≤≥+=)0(,1)

0(,1)(2x x x x f ，

则不等式)2()1(2

x f x f >-的解集为

分析：考虑解题思路，有两种方向---函数不等式或分段解不等式

画出函数图像，结合图像易得不等式组

⎩⎨⎧>-<01022x x 或⎩⎨⎧≥-≥x

x x 210

22

得解集为)12,1(-- 变式4：定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f ≥)(的解集为 法一：结合图像求解；法二：化为不等式组 解集为{}),5[0]3,(+∞--∞ 例5：)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，a x e x f x --=sin )(，解不等式)2()1(f x f >-

分析：0≥x 时，0cos )(>-='x e x f x

，)(x f 在

),0[+∞上单调增，又它为偶函数，所以，不等式转化

为)2()1(f x f >-，化为21>-x ，得解集为),3()1,(+∞--∞

探究：改为奇函数，解集为

变式5：函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为__________________．

答案：(2,3)∪(－3，－2)

解析 由导函数图象知f (x )在(－∞，0)上为增函数；在(0，＋∞)上为减函数，

故不等式f (x 2－6)>1等价于－2

1.含参不等式求解要先考虑分类标准，做到不漏不重

2.要善于转化，化为不等式组或整式不等式或代数不等式，注意数形结合。 五、课后思考题

1.已知函数)(x f 的大致图像如图，则不等式

0)

1)((>-x

x x f 的解

集为

分析：化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>>-0)(01x f x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<<-0

)(0

1x f x x

进而得解集为),3()0,1(+∞-

2. 已知⎩

⎨⎧<-≥=)0(2)

0(2)(2x x x x x f x ，解不等式

8))((

分析：换元，设t x f =)(，先解不等式8)(

3.已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意x 1，

x 2≥0，若x 1≠x 2，则0)()(2

1

21<--x

x x f x f ，如果f ⎝⎛⎭⎫13＝3

4，且 3)(log 481>x f ，那么x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭

⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，2 C.⎝⎛⎦⎤12，1∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，18∪⎝⎛⎭

⎫1

2，2 答案 B 解析：43

)(log 8

1>x f ，由已知可得当x ≥0时，f (x )是减函数．又f (x )为偶函数，∴)log ()(log 8

181x f x f =， 由)31(43)log (81f x f =>得31log 81

1<<-

x ∴1

2

⎧>+-<-<-4

)2(2

222

2a a a ，解得 )4,2(∈a

教后记：知识点回顾用时较多，可简略（5分钟内）