6-2拉普拉斯变换的反演
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6-2拉普拉斯变换的反演
1 0 x2 a2
p2
p x2
dx
p2
p a2
0 ( x2
1 a2
p2
1
x2 )dx
p2
p a2
[ 1 arctg a
x a
1 arctg p
x ]
p
p2
p 1
a2
[ a
2
1 p
]
2
0
p pa 1 p2 a2 2 ap 2a p a
再反演回去： I (t) eat 2a
p
0t
这样，实际把对 f (t) 的积分变换成对 f (t) 的拉普拉斯变换的积分，当然，反过来亦可，就 t
看哪个好算.
此为初稿，疏漏之处，敬请指正
数学物理方法
拉普拉斯变换的反演
丁成祥
例： sin tdt 1 dp arctgp
0t
0 p2 1
02
5. 普遍反演公式 普遍反演公式就是：
_ [sin t ]
t
dq arctg q arctg p
p q2 2
p 2
上述性质也可用于计算定积分：
因为：
f (q)dq
f (t)e pt dt
（因为
f (q)dq 的拉普拉斯逆变换为 f (t) ）.
p
0t
p
t
取 p 0 的情况，即得：
f (q)dq
f (t)dt
t 0
sin
cos 0
(t
)d
2
f0 02
[cos
0t
cos
t
]
3. 像函数导数的反演
已知： _ 1[ f ( p)] f (t) ，则_ 1[ f (n) ( p)] (t)n f (t)
拉普拉斯逆变换
即得
1 2π j
j
F
(
s)
e
st
d
j
s
n k 1
Res [
F (s)est ,
sk
].
(返回)
18
第九章 拉普拉斯变换
§9.3 Laplace 逆变换 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
附：将实系数真分式 F (s) P(s) / Q(s) 化为部分分式
1. Q(s) 含单重一阶因子旳情况 若 Q(s) 含单重一阶因子 (s a) , 即 Q(s) (s a)Q1(s) ,
第九章 拉普拉斯变换
解 措施二 利用留数法求解
(1) s1 2, s2 1 分别为 F (s) 旳一阶与二阶极点，
Res[ F (s)est,
2]
1 (s 1)2
est
s2
e2t,
Res[ F (s)est, 1] ( est ) et t et.
s 2 s1
(2) f (t ) Res[ F (s)est, 2 ] Res[ F (s)est, 1]
上面讨论了 Q(s) 含单重和多重一阶因子旳情况，假如是 在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。
但假如仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。
因为实系数多项式旳复零点总是互为共轭地成对出现旳， 即假如复数 z a jb 为 Q(s) 旳零点，那么它旳共轭复数 z a jb 也必为 Q(s) 旳零点。 所以，Q(s)必具有(实旳) 二阶因子 (s z)(s z ) (s a)2 b2 .
(1) s1 3 , s2,3 1 2i 为 F (s) 旳一阶极点，
Res[ F (s)est, 3 ] 2e3t,
数学物理方法 第六章 拉普拉斯变换
− − −
ω
p2 + ω2
1 (3)由于 2 ⇔ sin ωt , ⇔ e −( R L ) t p + ω2 p+R L 引用卷积定理完成反演， E0 t −( R L )( t −τ ) E0 −( R L ) t ( R L )τ ( R L) sin ωt − ω cos ωt t j (t ) = sin ωτdτ = {e [e ] |0 } 2 2 2 ∫0 e L L R L +ω E0 ( R L) sin ωt − ω cos ωt E0 ωe −( R L ) t = + 2 2 2 L R L +ω L R 2 L2 + ω 2
wuxia@
至于它在初始时刻之前的值，不关心，不妨 设f(t)=0 (t<0)。 为了获得宽松的变换条件，把f(t)加工为 g(t)=e-σt f(t). e-σt 是收敛因子，即，正实数σ 的值选的足够大，以保证g(t)在(-∞,∞)上绝 对可积。 于是，可以对g(t)做傅里叶变换，
− 3 2
wuxia@
−
（二）查表法
e −τp 例2：求 解： 1 1 查表得 , ⇔ πt p e −τp 1 再利用延迟定理 ⇔ p π (τ − t ) p 的原函数.
wuxia@
ω p+λ 例3：求 和 的原函数。 2 2 2 2 ( p + λ) + ω ( p + λ) + ω
t0 ∞ − p ( ξ + t0 )
dξ = e
− pt0
∫
∞
t0
f (ξ )e
− pξ
dξ = e
− pt0
−
f ( p)
ω
p2 + ω2
1 (3)由于 2 ⇔ sin ωt , ⇔ e −( R L ) t p + ω2 p+R L 引用卷积定理完成反演， E0 t −( R L )( t −τ ) E0 −( R L ) t ( R L )τ ( R L) sin ωt − ω cos ωt t j (t ) = sin ωτdτ = {e [e ] |0 } 2 2 2 ∫0 e L L R L +ω E0 ( R L) sin ωt − ω cos ωt E0 ωe −( R L ) t = + 2 2 2 L R L +ω L R 2 L2 + ω 2
wuxia@
至于它在初始时刻之前的值，不关心，不妨 设f(t)=0 (t<0)。 为了获得宽松的变换条件，把f(t)加工为 g(t)=e-σt f(t). e-σt 是收敛因子，即，正实数σ 的值选的足够大，以保证g(t)在(-∞,∞)上绝 对可积。 于是，可以对g(t)做傅里叶变换，
− 3 2
wuxia@
−
（二）查表法
e −τp 例2：求 解： 1 1 查表得 , ⇔ πt p e −τp 1 再利用延迟定理 ⇔ p π (τ − t ) p 的原函数.
wuxia@
ω p+λ 例3：求 和 的原函数。 2 2 2 2 ( p + λ) + ω ( p + λ) + ω
t0 ∞ − p ( ξ + t0 )
dξ = e
− pt0
∫
∞
t0
f (ξ )e
− pξ
dξ = e
− pt0
−
f ( p)
拉普拉斯变换性质及反演
b p a
p f( ) a
数学物理方法
（7）卷积定理
若 f1 ( p) L[ f1 (t )] ， f 2 ( p) L[ f 2 (t )]
t
则 L[ f1 (t )* f 2 (t )] f1 ( p) f 2 ( p) ，其中 积。 在傅里叶变换中我们定义了两个函数的卷积： f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
a y ( p) y ( p) 2 2 p p 1
1 1 解得 y ( p ) a ( 2 4 ) p p
1 3 从而 y (t ) a (t t ) 6
数学物理方法
（三）黎曼－梅林反演公式* 在 上两种方 法都不能 求出原函 数 时 ， 原 则 上 总 是 可 以 采 用
n
数学物理方法
（4）相似性定理
1 p L[ f (at )] f ( ) a a
（5）位移定理 L[ e t f( t) f ( ] p 请大家仿照傅里叶积分变换验证。
)
计算 eat cos t ， e at sin t ， eat cht ， eat sht 的拉普拉斯变换函数。 解：略。 例 6.2.6
e ap 1 解：由于 的原函数为 H (t ) ，应用延迟定理有 p p 1 的原函数为 H (t a) ，又由位移定理有 的原函 pb bt 数为 e 。应用卷积定理，有
t e ap 1 L [ ] H ( a)e b (t ) d 0 p ( p b)
t 1 1 L [ 2 ] ( )et d t 1 et 0 p p 1 1
6.3 拉普拉斯变换的反演
数学物理方法
第六章-拉普拉斯变换
(2) 求 L[t ]
1 ∞ 1 − pt ∞ 1 ∞ − pt 1 ∞ − pt 1 − pt L[t] = ∫ t ⋅ e dt = − ∫ t ⋅ d(e ) = − [t ⋅ e ] 0 + ∫ e dt = ∫ e dt = 2 . 0 p0 p p 0 p0 p
− pt ∞
L[e st ] (3) 求
L[e ] = ∫ e ⋅ e
st st 0 ∞ − pt
dt = ∫ e
0
∞
−( p − s ) t
1 −( p − s )t dt = − e p−s
∞ 0
1 = . p−s
Re P > Re s
(4) 求 L[te st ]
L[te ] = ∫ te ⋅ e
st st 0 ∞ − pt
dt = ∫ te
θ = arccos
R R +ω L
2 2 2
.
Re P > 0
高阶导数的
L[ f ( n ) (t )] = p n L[ f (t )] − p n −1 f (0) − p n − 2 f ' (0) − K − pf ( n − 2 ) (0) − f ( n −1) (0)
(3) 积分定理
1 L[ ∫ ψ (τ ) dτ ] = L[ψ (t )]. 0 p
例 (1) 解如下交流 RL 电路的方程。
d L j + Rj = E0 sin ωt , dt j (0) = 0.
有源的非齐次方程
A. Lpj + Rj = E0 p 2 + ω 2 ,
ω
E0 E0 1 ω ω B. j = = , 2 2 2 2 Lp + R p + ω L p + R / L p +ω
数学物理方法课件：6-拉普拉斯变换
t
[ e p f2 ( )d ]e p f1( )d f1( p) f2 ( p)
00 15
例 在LR串联电路中加上一方形脉
冲电压E
E(t)
0E,0 ,
t
0
T
t
T
E (t )
求电路中的电流 i (t)，设 i (0)=0。
解
L di Ri E (t) dt
(1)
由(2)得 I ( p) 1 E( p)
f(t) f(t-t0)H(t-t0)
o
t0
t
14
(7)卷积定理 L [ f1(t) f2 (t)] f1( p) f2 ( p).
其中 L [ f1(t)] f1( p), L [ f2 (t)] f2 ( p),
t
τ
f1(t) * f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
2. Laplace 变换即(6.1.3)式存在的条件
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第一类间 断点外，函数 f(t) 及其导数是处处连续的，
（2） 存在常数 M>0 和 0，使对于任何t (0 t < ), 有
| f (t) | Me t
的下界称为收敛横标，以0 表示。大多数函数都满足这 个充分条件
L
L0
E0
R E0
R
Rt
(1 e L ),
RT
Rt
(e L 1)e L ,
0t T t T
16
本节作业： 第95页 （1，2，4）
17
§6.2 Laplace 变换的反演
反演：由像函数求原函数
（一）有理分式反演法
若像函数
f ( p) G( p) H ( p)
[ e p f2 ( )d ]e p f1( )d f1( p) f2 ( p)
00 15
例 在LR串联电路中加上一方形脉
冲电压E
E(t)
0E,0 ,
t
0
T
t
T
E (t )
求电路中的电流 i (t)，设 i (0)=0。
解
L di Ri E (t) dt
(1)
由(2)得 I ( p) 1 E( p)
f(t) f(t-t0)H(t-t0)
o
t0
t
14
(7)卷积定理 L [ f1(t) f2 (t)] f1( p) f2 ( p).
其中 L [ f1(t)] f1( p), L [ f2 (t)] f2 ( p),
t
τ
f1(t) * f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
2. Laplace 变换即(6.1.3)式存在的条件
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第一类间 断点外，函数 f(t) 及其导数是处处连续的，
（2） 存在常数 M>0 和 0，使对于任何t (0 t < ), 有
| f (t) | Me t
的下界称为收敛横标，以0 表示。大多数函数都满足这 个充分条件
L
L0
E0
R E0
R
Rt
(1 e L ),
RT
Rt
(e L 1)e L ,
0t T t T
16
本节作业： 第95页 （1，2，4）
17
§6.2 Laplace 变换的反演
反演：由像函数求原函数
（一）有理分式反演法
若像函数
f ( p) G( p) H ( p)
第6章拉普拉氏变换
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例：求 L[sint] , L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
j
E0 Lp R
p2 2
E0 L
1 pR/L
p2 2
j
E0
Rt
eL
*sin t
L
j
E0
Rt
eL
*sin t
L
j E0
t R (t )
e L sin d
L0
R2
E0
L2 2
(R sin
t
L cos
t)
E0L R2 L2 2
e(R/ L)t
例：求常微分方 程初值问题
y'''2 y" y' 4
p R 2L
(
R )2 2L
1 LC
I (t)
2L
1
[ R ( R )2 2L 2L LC e 2L 2L LC }
( R )2 1
2L LC
例：积分
I
0
sin 2 x2
txdx
解： I ( p)
1(1
p ) 1 dx
0 2 p p2 4x2 x2
2
1 f (t)e( i) tdt
2 0
令
p i
记
G( ) f ( p) 2
G() 1 f (t)e( i) tdt f ( p)
拉普拉斯变换的反演公式
拉普拉斯变换的反演公式
拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将一个函数从时间域转换到频率域。
在工程学、物理学、数学和其他领域中，拉普拉斯变换被广泛应用。
在这篇文章中，我们将探讨拉普拉斯变换的反演公式。
拉普拉斯变换的反演公式是指，如果我们知道一个函数的拉普拉斯变换，那么我们可以通过反演公式将其转换回时间域。
具体来说，如果我们有一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换为F(s)，那么反演公式可以表示为：
f(t) = (1/2πi) ∫γ [F(s) e^(st) ds]
其中，γ是一个逆时针围绕所有极点的曲线，i是虚数单位，e是自然对数的底数，s是复变量。
这个公式的意义是，我们可以通过对F(s)进行逆拉普拉斯变换，得到原始函数f(t)。
这个过程可以看作是将一个函数从频率域转换回时间域的过程。
需要注意的是，拉普拉斯变换的反演公式并不总是适用。
如果函数F(s)有无穷多个极点，或者它的极点不在γ内部，那么反演公式就不成立。
此外，如果F(s)的极点在γ上，那么反演公式也需要进行修正。
在实际应用中，我们通常会使用一些数值方法来计算拉普拉斯变换的反演。
这些方法包括数值逆拉普拉斯变换、快速逆拉普拉斯变换等。
这些方法可以帮助我们更快、更准确地计算反演公式。
拉普拉斯变换的反演公式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们将一个函数从频率域转换回时间域。
在实际应用中，我们需要注意反演公式的适用条件，并使用适当的数值方法来计算反演。
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[ p 2 y( p) py(0) y(0)] 2[ py( p) y(0)] y( p) 0
( p 2 2 p 1) y( p) y(0) 0 (0) y 解得 y ( p) ( p 1) 2
反演
y(t ) y(0)tet
将t=1，y=2代入
再由位移定理
et f (t )≒ f ( p )
p t t cos t e sin t e ≓ ≓ ( p )2 2 ( p )2 2 e ap 例4：求 的原函数。 p ( p b) e ap e ap 1 p( p b) p pb 1 e ap ∵ ≓ H (t a) ≓ e bt pb p t e ap b ( t ) d ∴ ≓ 0 H ( a)e p ( p b)
ey(0) 2 y(0) 2e1
y(t ) 2tet 1
三、黎曼—梅林反演公式：
1 a i pt f (t ) f ( p ) e dp a i 2i Re s[ f ( p)e pt ]
全平面
p=σ+iω在p平 面上应用留 数定理
§6.2 拉普拉斯变换的反演
求拉普拉斯变换的反演即为在已知像函数情况下 求原函数(即为求反演积分)。我们分不同情况按 下述方法来求。 一、 有理分式反演法 若像函数是有理分式，只要把有理分式分解为分 项分式之和，然后利用拉氏变换的基本公式，就 能得到相应的原函数。
p 3 2 p 2 9 p 36 例1 ：(P96)求 f ( p) 的原函数。 4 p 81
解：(分解成分项分式，再利用典型结果) ∵p4-81=(p2+9)(p+3)(p-3)
D ，求出ABCD ∴令 f ( p) A B Cp 2 p 3 p3 p 9
1 1 1 1 p 1 f ( p) 2 2 p 3 2 p 3 p 9 1 1 1 1 p 1 3 2 2 p 3 2 p 3 p 9 3 p2 9
f (t ) 1 3 t 1 3t 1 e e cos 3t sin 3t 2 2 3
二、查表法：
p e 例2：求
解：
p 的原函数。 1 1 ∵ ≓ (查表：P394) p t
e p ≓ p
再由延迟定理： f (t t0 )≒ e pt0 f ( p)
1 ∴ (t ) p 例3：求 2 2和 2 2 的原函数 ( p ) ( p ) p 解：∵ ≓ ≓ cost sin t 2 2 2 2 p p
H ( a)e
a
t
b ( t )
d H (t b (t a ) ]H (t a) b
例5：求解边值问题
y 2 y y 0 y(0) 0，y(1) 2
解：对方程进行拉普拉斯变换，并记 y ( p) L [ y(t )] 则得像函数满足的方程
( p 2 2 p 1) y( p) y(0) 0 (0) y 解得 y ( p) ( p 1) 2
反演
y(t ) y(0)tet
将t=1，y=2代入
再由位移定理
et f (t )≒ f ( p )
p t t cos t e sin t e ≓ ≓ ( p )2 2 ( p )2 2 e ap 例4：求 的原函数。 p ( p b) e ap e ap 1 p( p b) p pb 1 e ap ∵ ≓ H (t a) ≓ e bt pb p t e ap b ( t ) d ∴ ≓ 0 H ( a)e p ( p b)
ey(0) 2 y(0) 2e1
y(t ) 2tet 1
三、黎曼—梅林反演公式：
1 a i pt f (t ) f ( p ) e dp a i 2i Re s[ f ( p)e pt ]
全平面
p=σ+iω在p平 面上应用留 数定理
§6.2 拉普拉斯变换的反演
求拉普拉斯变换的反演即为在已知像函数情况下 求原函数(即为求反演积分)。我们分不同情况按 下述方法来求。 一、 有理分式反演法 若像函数是有理分式，只要把有理分式分解为分 项分式之和，然后利用拉氏变换的基本公式，就 能得到相应的原函数。
p 3 2 p 2 9 p 36 例1 ：(P96)求 f ( p) 的原函数。 4 p 81
解：(分解成分项分式，再利用典型结果) ∵p4-81=(p2+9)(p+3)(p-3)
D ，求出ABCD ∴令 f ( p) A B Cp 2 p 3 p3 p 9
1 1 1 1 p 1 f ( p) 2 2 p 3 2 p 3 p 9 1 1 1 1 p 1 3 2 2 p 3 2 p 3 p 9 3 p2 9
f (t ) 1 3 t 1 3t 1 e e cos 3t sin 3t 2 2 3
二、查表法：
p e 例2：求
解：
p 的原函数。 1 1 ∵ ≓ (查表：P394) p t
e p ≓ p
再由延迟定理： f (t t0 )≒ e pt0 f ( p)
1 ∴ (t ) p 例3：求 2 2和 2 2 的原函数 ( p ) ( p ) p 解：∵ ≓ ≓ cost sin t 2 2 2 2 p p
H ( a)e
a
t
b ( t )
d H (t b (t a ) ]H (t a) b
例5：求解边值问题
y 2 y y 0 y(0) 0，y(1) 2
解：对方程进行拉普拉斯变换，并记 y ( p) L [ y(t )] 则得像函数满足的方程