第二章_Volterra_方程的求解

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第二类Volterra型积分方程的逐次迫近解法

Ｉｌｆ（ｘ）ｌ。ｄｘ＝Ｄ
下面应用逐次迫近法解第二类ｖｏｌｔｅｒａ型积分方程为此
先将方程写成下面形式：
，ｘ
‘ Ｐ（Ｘ）ｏ（Ｘ）＋ｌ（）【）＋ｚ（Ｘ）＋・・・＋ｌ（Ｘ）＋ … ｌｌ，（ｘ）
ｆｂ
（ｐ（Ｘ）ｆ（Ｘ）＋
ｆＫｍ（Ｘ，ｓ）ｆ（ｓ）ｄｓ
Ｋ１ｘ，Ｓ）＝Ｋｘ，ｓ）
（１ — ４）
其中Ｋ（ｘ，ｓ）由下面递推关系确定：
ｆ
‘ Ｐ（Ｘ）＝ｆＫ（ｘ，ｓ） ‘ Ｐ（ｓ）ｄｓ＋ｆ（ｘ）
解：
ｆ
（Ｘ）：ｆ（Ｘ）
，Ｘ
，
（Ｘ）：ＩＫ（ｘ，Ｓ）ｏ（ｓ）ｄｓ
，Ｘ
ｚ
（Ｘ）＝ｆＫ（ｘ，ｓ）ｌｌＪｔ（ｓ）ｄｓ
，ｘ
‘ Ｐ１（Ｘ）ｆ（ｌｘ）＋ｆＫ（Ｘ，Ｓ） ‘ Ｐ０（ｓ）ｄｓ
Ｆｒｅｄｈｏｌｒｎ型积分方程和ｖｏｌｔｅｒｒａ型积分方程的区别在于如果近似解（２ — ４）是收敛的，则它的极限给出了方程（２积分限，前者的积分上限为常数，后者的积分上限为变数１）的解，并表示为以下无穷级数的形式：现在讨论Ｆｒｅｄｈｏｌｍ型方程的一种形式，即方程的核Ｋ（ｘ，ｓ）当Ｓ＞Ｘ是恒等于零，这时称它为Ｖｏｌｔｅｒｒａ型方程。因此Ｖｏｌｔｅｒｒａ型第二类方程有以下形式：口１１

Volterra积分微分方程的正周期解的多解性

维普资讯
６６
四川师范大学学报（自然科学版）
的正周期解的存在性，中ａｔＥＣＲ，０其（）（（，＋
；０ｔ，）＝ｔｙ，＞０是常数．一步，＋Ｙ，）进
∞），（＋）＝ａｔ，（，）ＥＣＲ ×［，＋）ａｔ（）ｇｔｙ（０ ∞］［，，＋∞），（，）＝ｇｔ，）＞００）ｇ￡Ｙ（＋Ｙ，是一个常数，（）ＥＣ（ ∞ ，］０ｋｒ（一０，［，＋ ∞））且
中图分类号：１５１Ｏ７．４文献标识码：Ａ文章编号：０１３５２０）１０５０１０－９（０８０－６－５８０
１引言及预备知识
时滞微分方程的渐近性态和周期解的存在性
ｆｋｒｇ￡（＋ｒ）ｒ（）（，ｔ）ｄ，Ｙ
则方程（）至少存在一个一１周期解．本文将讨论如下具分布时滞的微分方程
Ｙ（）＝一ａ￡ＹＹｔｔ（，）（）＋
ｏｔ
得出了保证方程（）（）２一５正一周期解的存在性和多解性的充分条件，这些条件推广和改进了文［］１
维普资讯
２００８年１月第３卷第１１期
四川师范大学学报（自然科学版）
ＪｕａｏｉｕｎＮｒｌｎｖｒｉ（ａｒｌｃｅｃ）ｏｒｌｆｅａｏｍａＵｉｓｙＮｔａＳｉｎｅｎＳｈｅｔｕ
Ｊｎ２０ａ．，０８

lotka-volterra方程中的相关参数的确定

lotka-volterra方程中的相关参数的确定Lotka-Volterra方程是一种描述捕食者和猎物之间相互作用的动力学模型。

它由两个关联的微分方程组成，其中捕食者的数量和猎物的数量随时间的变化被描述。

在Lotka-Volterra方程中，有一些参数需要确定，以使模型能够适应特定的捕食者和猎物系统。

以下是确定这些参数的一些常见方法：
1.实验观测：通过实验观测获得的数据可以用来确定模型中
的参数。

这可能涉及到监测和记录捕食者和猎物数量随时间的变化。

2.相关研究：进行相似生态系统或相似物种之间的研究，以
获得类似系统中参数的估计。

这可能包括文献综述、野外观察或实地调查。

3.参数估计：使用统计方法，如最小二乘拟合或最大似然估
计，根据已有的数据拟合模型，并得出参数的估计值。

4.灵敏度分析：进行灵敏度分析来评估参数对模型结果的影
响程度。

这可以帮助确定对模型结果影响较大的参数，并优先考虑对这些参数进行准确估计。

需要注意的是，参数的确定是一个复杂的过程，并且涉及到模型假设的验证，数据收集和分析，在参数估计中使用统计技术，以及考虑误差和不确定性。

另外，根据具体的应用和研究目的，还会引入其他的参数
或因素，以更好地刻画特定系统的行为。

因此，参数的确定应该根据具体情况进行，并结合领域知识和相关实验和观测数据。

第二类Volterra积分方程的一种特殊解法

０引言
首先考虑第二类Ｖｏｔ，者需要储存网格点的所前
有值而后者只需固定数目网格点的信息．于方程对（）１的这种储存，加可以接受应用谱方法的全局基更
函数．（）１
假定（）的解充分光滑，此情况下，必要１式在有利用高次数值方法例如谱方法来解方程（）对于方１．
程（）现已有很多数值方法例如配制法、１，内积积分
法，Ｂｕｎｒ．而，少有人提及利用谱逼近见ｒｎｅＣ然 ¨ 很
王金婵
（州学院数学系，东德州２３２）德山５０３
擒薹：究了求解Ｖｏｅｒ积分方程的方法，点介绍了基于谱方法解决Ｖｌｒａ型积分方程的一种新研ｌｒａ型ｔ重ｏｔｒｅ的数值解法，ｇｎｒ配制法得到充分的应用，进行了严格的误差分析，明在核函数和原函数充分光滑时，值ｌｅｄｅｅ并表数
得到高次精度的主要困难在于解（）中的积３式
分项，别的，于充分小的值，（）特对 “ ｓ有很少的信
息可以利用，为此，把积分区间［１］转换到［一，一
１１上，，］然后选择恰当的求积规则．实上，事首先作
一
个线性变换
收稿日期：２１０ — Ｏ０１— ７２
作１介：王金蝉（９０一，，Ｉｌ１８）女山东庆云人，讲师，硕士，究方向：研信息与计算科学．

volterra积分方程和积分微分方程

文章标题：探索Volterra积分方程和积分微分方程近年来，数学领域中的一个研究热点就是关于Volterra积分方程和积分微分方程的探索。

这两种方程作为微分方程的一种延伸和拓展，具有更广泛的应用领域和更丰富的数学内涵。

在本文中，我们将深入探讨Volterra积分方程和积分微分方程的基本概念、性质和应用，以对这两种方程有更全面的理解。

1. Volterra积分方程Volterra积分方程是由意大利数学家Vito Volterra在20世纪初提出的一种特殊类型的积分方程。

它的一般形式可以表示为：\[ y(t) = f(t) + \int_{a}^{t} K(t, s)y(s)ds \]其中，\( f(t) \) 是已知函数，而 \( K(t, s) \) 是积分核函数。

这种积分方程与常见的微分方程有着本质的区别，它描述了系统状态在过去时间的影响，因此在建模动态系统、生态学、经济学等领域中得到广泛的应用。

2. 积分微分方程积分微分方程是微分方程的一种拓展，它在描述动态系统的行为时更为有效和准确。

一般形式可以表示为：\[ \frac{dy(t)}{dt} = f(t, y(t)) + \int_{a}^{t} K(t, s)y(s)ds \]积分微分方程在研究振动系统、生物学等领域有着重要的应用价值，能够更准确地描述系统状态的演化过程。

3. 深入探讨从数学角度来看，Volterra积分方程和积分微分方程的研究涉及到广泛的数学理论和方法。

通过对积分核函数的性质、解的存在唯一性和稳定性等进行深入的分析，可以揭示这两种方程在动力系统、控制理论中的重要性。

对解的逼近算法、数值求解方法等也是研究的重点之一。

4. 应用领域近年来，随着数据科学和人工智能的发展，Volterra积分方程和积分微分方程在系统建模、数据拟合、信号处理等领域得到了广泛的应用。

通过结合深度学习、强化学习等技术，这两种方程能够更好地挖掘数据之间的关联性，从而为实际问题提供更准确、更有效的解决方案。

第二章_Volterra_方程的求解

第二章 Volterra 方程的求解 §2.1 第二类Volterra 方程求解积分方程是近代数学的一个重要分支，它与微分方程、泛函分析、计算数学和有机分析等有着紧密的联系.同时，它也是解决力学、数学物理和工程技术等问题的一种重要工具.本章首先介绍积分方程的基本概念，其次利用压缩映照原理讨论积分方程的可解性及逐次逼近方法，并扼要介绍Fredholm 定理，讨论一些非线性积分方程的解法.第二类Volterra 方程一般形式为：()(,)()()xax K x t t dt f x ϕλϕ=+⎰ ,(2.1.1)A ．化为常微分方程求解例2.1.10().xx te t dt x ϕ-=⎰ 解由0()xxtee t dt x ϕ-=⎰，得0()xt xe t dt xe ϕ--=⎰,求导得(),x x x e x e xe ϕ---=- 即()1x x ϕ=-.例2.1.2 0()().xx x t dt e ϕϕ=+⎰解求导得()().x x x e ϕϕ'=+ 定解条件00(0)() 1.t dt e ϕϕ=+=⎰化为微分方程,(0) 1.x e ϕϕϕ'⎧=+⎨=⎩ 容易得到()(1)xx x e ϕ=+.定理2.1.1 如果第二类Volterra 方程(2.1.1)的核(,)K x t 为()x t -的(1)n -次多项式01(,)()()()K x t a x a x x t =+-22()()2!a x x t +-11()()(1)!n n a x x t n --++--, 令11()()()(1)!x n ay x x t t dt n ϕ-=--⎰，21()()()(2)!x n ay x x t t dt n ϕ-'=--⎰，， ()()()n y x x ϕ=.则(2.1.1)可化为常微分方程求解. ()(1)01[]().n n n y a y a y f x λ---++= 例2.1.3()434()()xxx e x x t t dt ϕϕ=+---⎰.解 0()434()()x xxx ex x t dt t t dt ϕϕϕ=+--+⎰⎰，()43()()()xxx e t dt x x x x ϕϕϕϕ'=+--+⎰()43()xxx e t dt ϕϕ'=+-⎰,()4()xx e x ϕϕ''=-,()4(),(0)0,(0)7.xx e x ϕϕϕϕ''⎧=-⎨'==⎩ ()22cos 5sin xx e x x ϕ⇒=-+. B.迭代法首先,一般地,如12,ϕϕ为方程()(,)()bax K x t t dt ϕλϕ=⎰, (2.1.2)的解,则它们的任意线性组合也是方程之解.显然()0x ϕ≡为上面方程之解,称之为平凡解,如()x ϕ为上面方程之解,且()x ϕ不恒为零,称之为非零解或非平凡解.定义 2.1.1 凡使齐次方程(2.1.2)具有非平凡解的那些λ值,称为特征值,而对应于特征值的那些解称为特征函数.下面研究方程(2.1.1)之解,有定理定理 2.1.2 设核(,)K x t 在区域a t x b ≤≤≤上连续,()f x 在[,]a b 上连续,则方程(2.1.1)有唯一解()x ϕ,且()x ϕ可表示为212()()()()x f x x x ϕλϕλϕ=++()nn x λϕ+++， (2.1.3) 其中,1()(,)(),,xa x K x t f t dt ϕ=⎰1()(,)()xn n ax K x t t dt ϕϕ-=⎰，R λ∀∈，解的展开级数(2.1.3)一致收敛. 推论 2.1.3 Volterra 方程()(,)()bax K x t t dt ϕλϕ=⎰没有特征值。

三种方法解决voterra方程

东南大学电气工程学院MATLAB数学建模实验报告三种方法解析Vol terra方程刘海东(16006213)2008/12/13一、实验目的:通过MATLAB实现书上含初值一阶Volterra方程纽的解析，在解析过程之中注意加深对三种方法：向祈欧拉公式、改进的欧拉公式和四阶龙格-库塔公式的理解，注意各个方法的细节和精度比较。

进一步熟悉MATLAB编程。

二、实验原理：在数学建模理论课上，我们在书上6. 4节中介绍了Volterra模型，并用相平面分析法对问题作了简要分析。

随后我们又在6.7节中学习到了常微分方程数值解，学习了欧拉方法和龙格- 库塔方法，所以我们尝试借助6. 7节中的数值方法来考虑如下Volterra方程：坷=“（1-0・1心），x2 = x2（-0.5 + 0.02Xj）, Xj（0） = 25,X2（0） = 2.为了跟书上的解析图相对应，我选取区间t e ［04习：步长/i=0.1o1）向前欧拉公式（1阶箱度）：我们先根据步长将区间分为150等分，在其中任一区间K/J上（OSk V150* wZ）取对应左端点-的“伙）和孔伙）作为递推山伙+ 1）和£伙+ 1）的初值，将其带入到向前欧拉公式组得到如下方程组：X］伙+ 1）=册（加- 0.1兀2伙）］, x2（k + 1） = X2（J）［-0.5 + 0.02 旺伙）］, “（0） = 25山2（0） = 2・这样，我们就可以根据初值层层递推出对应后面150个t值的x值。

具体在MATLAB中的实现过程：首先将各•自初值賦予初始变童，并将步长输入。

根据步长.在取定循环值t=0. 1:0. 1:15形成一个150次的循环，循环过程为：根据上面方程组的前两行带入初值求解下一次数值，然后将下次数值作为初值不停迭代下去，即得到150个要求的值。

因为总数据太过庞大，我数据输出只输出了t在[0,2]上的数据，为使结果更为形象直观，我在把全部结果其标注在图形上，并随后进行30阶拟合成Volterra解析曲线。

非线性Volterra积分方程

一类第二种非线性Volterra 积分程积分数值解法1前言微分程和积分程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分程对于问题的解决比微分程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较便，结果也比较完美,所以研究积分程便得越来越有用,日益受到重视. 积分程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分程。

所以最早研究积分程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分程，并用两种法求出了它的解,第一的积分程便是以Abel 命名的程.该程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该程称为广义Abel 程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分程.但是Fourier 其实已经求出了一类积分程的反变换，这就说明在早些时候积分程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分程.积分程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和Volterra 奠定的，积分程主要是研究两类相关的程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个程被命名为Fredholm程和Volterra程。

后来又有德国数学家D.Hilbert进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。

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例 0()()().xx x t x t dt ϕϕ=+-⎰解 (,),(), 1.K x t t x f x x λ=-== 0()()x f x x ϕ⇒==，33310()(),3232xx x xx t x tdt ϕ=-=-=-⨯⎰320()()()32xt x t x dt ϕ=--⨯⎰4301()32x t t x dt =--⨯⎰51,5432x =⋅⋅⋅ ，21()(1)(21)!n nn x x n ϕ+=-⋅+，故可得35()sin .3!5!x xx x x ϕ=-++=下面给出迭代解的其他形式.0()()x f x ϕ=，10()(,)()xa x K x t x dt ϕϕ=⎰(,)(),xa K x t f t dt =⎰21()(,)()xax K x u u duϕϕ=⎰(,)[(,)()]x ua aK x u K x t f t dt du =⎰⎰ [(,)(,)]()xxat K x u K u t du f t dt =⎰⎰.记1(,)(,),K x t K x t =21(,)(,)(,).xtK x t K x u K u t du =⎰22()(,)(),,xa x K x t f t dt ϕ⇒=⎰1(,)(,)(,).x n n t K x t K x u K u t du -=⎰()(,)()xn n ax K x t f t dt ϕ⇒=⎰，01()()(,)()xnn an x x K x t f t dtϕϕλ∞=⇒=+∑⎰101()(,)()x n n an x K x t f t dt ϕλλ∞-==+∑⎰0()(,,)()xax R x t f t dt ϕλλ=+⎰，11(,,)(,)n n n R x t K x t λλ∞-==∑，称(,)n K x t 为n 次迭核,为(,,)R x t λ解核.例 0()()xxx e t dt ϕϕ=+⎰，解1(,)(,)1,1,K x t K x t λ===21111(,)(,)(,)xt K x t K x t K t t dt =⎰1(),xtdt x t ==-⎰31211(,)(,)(,)xtK x t K x t K t t dt =⎰211()(),2xtx t t t dt -=-=⎰1()(,)(1)!n n x t K x t n --=-，可得1()1()(,,1)(1)!n x t n x t R x t e n -∞-=-==-∑，所以()0().xxx t t x xx e ee dt e xe ϕ-=+⋅=+⎰例 222()().xx x t x e et dt ϕϕ-=+⎰解 221(,),x t K x t e-=21(,)(,)(,)x tK x t K x K t d μμμ=⎰ 222222(),xx t x t t e ed ex t μμμ---=⋅=⋅-⎰221()(,).(1)!n x tn x t K x t en ---=⋅- 可得1(,,1)n n R x t K ∞==∑2211()(1)!n x tn x t en -∞-=-=⋅-∑22()..x t x t ee--=所以22222()().xx x t x t t x xx e ee e dt eϕ--+=+⋅⋅=⎰C ：卷积型Volterra 方程()()()()xx f x K x t t dt ϕϕ=+-⎰，(2.1.3)对于此类特殊形式的方程,我们用Laplace 变换求解.设()f x 连续,具有指数阶,即0,0,|()|xM f x Me μμ∃>>≤.定义：()()().pxL f f x edx F p ∞-==⎰其中,p a bi =+实数,a b μ>为实数.称()F p 为函数f 的Laplace 变换. L 变换有与F 变换类似的性质，这是两种常用的积分变换.称下面积分为函数12f f 和的卷积：12120()()()().xf f x f t f x t dt *=-⎰定理2.1.4(卷积定理)1212()()()L f f L f L f *=⋅, (2.1.4) 对第二类Volterra 方程(2.1.3)()()()().xx f x K x t t dt ϕϕ=+-⎰两边用Laplace 变换,利用卷积定理得,()()()(),L L f L K L ϕϕ=+⋅ 即()()1()L f L L K ϕ=-, (2.1.5)对(2.1.5)求Laplace 逆变换,得1()()()1()L f x L L K ϕ-=-, (2.1.6)(2.1.6)即为方程(2.1.3)的解. 例 0()sin 2cos()().xx x x t t dt ϕϕ=+-⎰解201(sin )sin 1pxL x x e dx p ∞-=⋅=+⎰,202(cos )cos 1pxp L x x e dx p ∞-=⋅=+⎰,推出(sin )()1(cos )L x L L x ϕ=-2211211p p p +=-+ 21(1)p =-, 查Laplace 逆变换表,容易得出21(1)p -逆变换为xxe .所以方程解为()xx x e ϕ=⋅ 例 0()1sin()().xx x t t dt ϕϕ=+-⎰解 01(1),pxL e dx p∞-==⎰21(sin ),1L x p =+所以(1)()1(sin )L L L x ϕ=-21111p p =-+311p p=+, 所以1311()()x L p p ϕ-=+11311()()L L p p--=+21.2x =+§2.2 第一类Volterra 方程定理2.2.1 对第一类Volterra 方程(,)()()xaK x t t dt f x ϕ=⎰, （2.2.1）若(,),()K x t f x 可微，(,)0,K x x ≠(),a x b ≤≤且(,)(,)K x t K x x x∂∂与分别在[,]a b 及三角域a t x b ≤≤≤上连续，()0f a =，则（2.2.1）与第二类Volterra 方程(,)()()(),(,)(,)x xa K x t f x x t dt K x x K x x ϕϕ''+=⎰（2.2.2）等价.证明注意含参变量积分求导公式()()()()((,))(,)b x b x x a x a x f x t dt f x t dt '=⎰⎰(,())()(,())(),f x b x b x f x a x a x ''+-（2.2.3）对（2.2.1）两边求导⇒(,)()(,)()(),xx aK x x x K x t t dt f x ϕϕ'+=⎰因为(,)0K x x ≠，同除之得(,)()()(),(,)(,)x xa K x t f x x t dt K x x K x x ϕϕ'+=⎰此外，容易看出（2.2.1）有解，则()0,f a =这是必要条件，也称为相容性条件. 例 2303[14()()]().2x t x t x t dt x ϕ+-+-=⎰ 解两边求导2()[43()]()3xx x t t dt x ϕϕ⇒---=⎰,这是一个第二类卷积型Volterra 方程.用Laplace 变换2[][43][]3[]L L x L L x ϕϕ--⋅=，得2[]([4]3[])[]3[],L L L x L L x ϕϕ--⋅=234618[]()[]L L p p p ϕϕ⇒--=，218[](46)L p p p ϕ=-+233446p p p p -+=+-+336p p -⋅=--作逆变换2233cos sin .x xe ϕ⇒=--例 20sin(())(),0.xa x t t dt x a ϕ-=≠⎰解两边求导2cos[()](),xx a a x t t dt ϕ⇒=-⎰再求导22()sin[()]()xa x a a x t t dtϕϕ⇒=⋅-⋅-⎰222(),a t a x ϕ⇒=⋅-221()(2)x a x aϕ⇒=+.例 0sin()() 1.xx x t t dt e ϕ-=-⎰解求导得，0cos()().xxx t t dt e ϕ-=⎰注意：这是一个第一类Volterra 方程，00.e ≠所以无解.习题21、用迭代法解方程 ①20()1().xx x x t dt ϕϕ=-+⎰②0()()().xx x x t t dt ϕϕ=--⎰ ③0()1().xx t dt ϕϕ=+⎰ ④0()1()().x x x t t dt ϕϕ=+-⎰ ⑤0()1().xx x t dt ϕϕ=+⎰⑥222011()1().21xxx x t dt tϕϕ+=+-+⎰ 2、求下列核的解核①(,) 1.K x t = ②(,).K x t t = ③(,).K x t xt =④(,).x tK x t e -= ⑤(,)2.K x t x = ⑥(,)2().K x t x t =--3、设Volterra 方程之核仅依赖于变量之差，即()(,)()().xx K x t t dt f x ϕϕ=+⎰证明它的迭核与解核也仅依赖于变量之差.x t -4、如111()(,),()0.()K x K x t K t K t =≠试证：解核为()11()(,,)()x t K x R x t e K t λλ-=.5、解方程①222011()().11xtx t dt xx ϕϕ+=+++⎰ ②222()2().xx xx t x eet dt ϕϕ+-=+⎰③0cos()().x xx t t dt e ϕ-⋅=⎰ ④2220(2)().xx t t dt x ϕ+-=⎰⑤0()().xx x tx e e t dt ϕϕ-=+⎰⑥0()sin .xx t e t dt x ϕ-=⎰⑦0()4()().xx t x t dt x ϕϕ=-+⎰例1sin xtdx dt tππ⎰⎰00sin sin ()()x x t t x dt x dt dxt t ππππ'=-⎰⎰⎰00sin ()sin x x dx xdx xππ=--=⎰⎰0(cos ) 2.x π=-=例21120sin y y dy x dx x ⎰⎰12201()sin ()y t xyy ydy t dt t t ==⋅-⎰⎰ 134011(sin )y y tdt dy t=-⎰⎰1440111()(sin )4y y tdt dy t '=-⎰⎰14140441011111(sin )()(sin )44y y y tdt y tdt dyt t '=-+⎰⎰⎰ 114400111sin sin 44y ydy ydy y ==⎰⎰ 1011cos (1cos1)44y =-=-.。