高中数学-余弦定理(1)
高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)
a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，
6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)
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数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
【解析】(1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6＝
4×602－3×602＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190，所以 BC2－9BC ＋20＝0，解得 BC＝4 或 BC＝5.
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第六章 平面向量及其应用
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任
何三角形．
()
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形． ( )
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第六章 平面向量及其应用
易错警示 解题漏条件致误
在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2<b2＋c2，求A的取 值范围．
错解：∵a2<b2＋c2，∴b2＋c2－a2>0. ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2>0.
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第六章 平面向量及其应用
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人教A版高中数学高二必修5课件余弦定理(一)
第三边所对的角是直角.
1.1.2 余弦定理(一)
32
1.1.2 余弦定理(一)
5
[预习导引]
1.余弦定理 三角形中任何一边的 平方等于其他两边的 平方 的和 减去这两边与它们的 夹角 的余弦的积的 两倍 . 即a2＝b2＋c2－2bccos A ，b2＝ c2＋a2－2cacos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .
1.1.2 余弦定理(一)
1.1.2 余弦定理(一)
9
(2)在△ABC中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角 形.
解 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.
即 c2－
6c＋1＝0，解得 c＝
6＋ 2
2 或 c＝
6－ 2
2 ，
1.1.2 余弦定理(一)
10
当c＝
6＋ 2
1.1.2 余弦定理(一)
8
当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 21＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°. 法二 由正弦定理得 sin C＝csibn B＝3 33×21＝ 23， 由b＜c，∴C＝60°或120°， 当C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理得 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6， 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形. ∴a＝3.
解 ∵c＞a，c＞b，∴角C最大. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即37＝9＋16－24cos C，∴cos C＝－12， ∵0°＜C＜180°，∴C＝120°. ∴△ABC的最大内角为120°.
1.1.2 余弦定理(一)
17
规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理 求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据 边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解. (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k， 从而转化为已知三边解三角形.
6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。
高中数学必修二课件：余弦定理
要点2 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题 (1)已知两边及其夹角，解三角形； (2)已知三边，解三角形． 要点3 推论 在△ABC中(1)c2＝a2＋b2⇔C为__直_角___； (2)c2>a2＋b2⇔C为___钝_角___； (3)c2<a2＋b2⇔C为__锐__角___．
1．判断下列命题是否正确． (1)勾股定理是余弦定理的特例． (2)余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素． (3)在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一．
课后巩固
1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－
3 5
，则三角形
的第三边长为( B )
A．52
B．2 13
C．16
D．4
解析 设第三边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×－35＝52，∴x＝2 13.
2．在△ABC中，a＝3，b＝ 7，c＝2，那么B等于( C )
A．30°ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 ∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴( 3)2＝a2＋12－2a×1×cos 2π 3 ， ∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0. ∴a＝1或a＝－2(舍去)．∴a＝1.
5．在△ABC中，a2＋abb2c＋c2(coas A＋cobs B＋cocs C)＝____12____．
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
(2)推论：cos A＝____2_b_c____，cos B＝____2_a_c____， cos C＝____2_a_b____．
(3)余弦定理的另一种常见变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos
B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
高中数学第二章解三角形2.1.2余弦定理课件北师大版必修5
1
2
3
4
5
1.在△ABC 中,已知 a=5,b=4,C=120°,则 c 的长为(
A. 41
C. 41或 61
)
B. 61
D. 21
1
解析: 因为 c2=a2+b2-2abcos C,所以 c2=52+42-2×5×4× - 2 =61,即
c= 61.
答案:B
1
2
3
4
5
2.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是(
角A,B,C的对边,且b2,c2是关于x的一元二次方程x2-(a2+bc)x+m=0的
两根.
(1)求角A的大小;
(2)若 a= 3 ,设B=θ,△ABC的周长为y,求y=f(θ)的最大值.
分析:(1)利用余弦定理求出角A;(2)先利用正弦定理将△ABC的周
长y表示成关于θ的函数,再结合三角函数的性质进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)在△ABC中,依题意有b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,
所以 cos
2
+2 -2
A=
2
1
2
= ,
π
3
又因为 A∈(0,π),所以 A= .
π
3
(2)由 a= 3,A= ,及正弦定理得
sin
=
所以 b=2sin B=2sin θ,c=2sin C=2sin
1 .2
余弦定理
学 习 目 标
1.掌握余弦定理及其证明.
2.会用余弦定理解决两类解三角形问题.
3.能综合应用正弦定理与余弦定理解决三角形
余弦定理-高一数学课件(北师大版2019必修第二册)
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、余弦定理
3，余弦定理与勾股定理的关系：
在△中,由余弦定理得 = + − ，若角 = °,
则 = ，于是 = + − · · = + ，
这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
探究一
思考：
三角形中边角关系很丰富，本节继续研究，如已知两边及其夹角，
怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它的三角呢？
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
探究一
我们利用向量来研究：
如图，在△中，设 =a, =b, =c，根据向量的数量积，
可得 =•=(-)•(-)=2−2 • + 2
地，求边长时，使用余弦定理，求角时，使用余弦定理的变形；
(2)余弦定理及其变形在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时
要根据条件灵活选择；
(3)应用变形，可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角；
(4)余弦定理及变形把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形
全等的方法从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式.
3
2
所以 = 2 + 2 − 2 ≥ 2
即bc ≤ 2 .
故 =
2
≤
2
2
·
3
2
=
− 2 ，
3 3
.
4
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P116练习
1， 3.
2，120.
3，3.696.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
课堂小结
一、余弦定理
6，面积公式的推广：
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你还有其它方法证明余弦定理吗？
思考1:
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
你还有其它方法证明余弦定理吗？ 两点间距离公式，或三角形方法.
思考2:
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
1.1.2余弦定理(一)
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1:
如果已知三角形的两边A 及其夹角，那 么这个三角形的其它边C 和角B确定吗？
情境设置
问题2:
余弦定理:
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即:
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
思考1:
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ bcCaBFra bibliotek探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即:如图，在△AC BC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
余弦定理:
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
思考4:
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4:
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
讲解范例:
例1. 在△ABC中，已知 a 2 3, c 6 2, B 60o , 求b及A.
思考5:
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
讲解范例:
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1').
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
情境设置
问题2:
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
即:如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即:如图，在△ABC中，
练习:
在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1o, 边长精确到0.1cm): (1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2o； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3o.
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围:
这个式子中有几个量？从方程的角 度看已知其中三个量，可以求出第四个 量，能否由三边求出一角？
推论: b2 c2 a2
cos A 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a2 b2 c2
2ab
思考3:
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3:
余弦定理及其推论的基本作用是什么？