2016年秋季学期新版沪科版七年级数学上册3.3 二元一次方程组及其解法(三)同步导练
七级数学上册3.3二元一次方程组及其解法3.3.3用代入法解二元一次方程组学案(新版)沪科版
代入法解二元一次方程组学前温故1．含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程． 2．由两个二元一次方程联立起来获得的方程组就叫做二元一次方程组．新课早知1．使二元一次方程组中每个方程都建立的两个未知数的值， 叫做二元一次方程组的解．x ＋ y ＝ 5，) ．2．二元一次方程组的解是 (x － y ＝ 1 x ＝ 2， x ＝ 3，A ．B ．y ＝ 3 y ＝ 2 x ＝ 4， x ＝ 1，C ．D ．y ＝ 1y ＝ 4答案： B3．从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这类方法叫做代入消元法，简称代入法．4．用代入法解方程组2x ＋ 3y －2＝ 0，① 4x ＋ 1＝ 9y 的正确解法是 () ．②A ．先将①变形为3 y －2，再代入②x ＝2B ．先将①变形为2－2x ，再代入②y ＝ 39C ．先将②变形为 x ＝ 4y －1，再代入①D ．先将②变 形为 y ＝ 9(4 x ＋ 1) ，再代入①答案： B2x － y ＝ 6， ① 5 ．解方程组： ( 1)②x ＋ 2y ＝－ 2；3x ＋ 2y ＝11，① (2)x － y ＝ 3.②解： (1) 由①，得 y ＝ 2x －6. ③把③代入②，得 x ＋ 2(2 x － 6) ＝－ 2. 解得 x ＝ 2. 把 x ＝2 代入③，得 y ＝－ 2.x ＝2， 因此方程组的解是y ＝－ 2.(2) 由②，得 x ＝ y ＋3. ③把③代入 ①，得 3( y ＋ 3) ＋ 2y ＝ 11.2 解得 y ＝ 5.把 y ＝ 2代入③，得 x ＝ 17.5 517x＝5，因此方程组的解是2y＝.1．二元一次方程组的解x＝1，【例1】以为解的二元一次方程组是() ．y＝－1A．C．x＋ y＝0，x－ y＝1 x＋y＝0，x－ y＝2B ．D ．x＋ y＝0，x－ y＝－1x＋ y＝0，x－ y＝－2分析：把 x＝1， y＝－1分别代入到选项中的各个方程组进行考证即可．答案： C点拨：对二元一次方程组解的判断，一般用代入法查验．二元一次方程组的解，一定使未知数 ( x，y) 的值同时知足两个方程，也就是两个方程的公共解．2．用代入消元法解二元一次方程组【例 2】解方程组3x＋5y＝ 8，①2x－y＝1. ②解：由②，得 y＝2x－1.③将③代入①，得3x＋ 5(2 x－ 1) ＝ 8. 解得x＝1.将 x＝1代入③，得y＝1.x＝1，因此原方程组的解为y＝1.点拨：察看方程组中每个方程系数的特色，若其中一个方程比较简单用一个未知数表示出另一个未知数，适适用代入法．x＋2y＝2，的解是 ()．1．方程组y＝－22x＋x＝2，x＝－2，A． B ．y＝－2y＝2x＝0，x＝2，C． D ．y＝2y＝0答案： Bx＝1，2x－ay＝ 3 的一个解，那么a的值是 () ．2．已知是方程y＝－1A．1 B．3 C．－3 D．－1答案： A2x ＋ 3y ＝8，①3．解方程组有以下过程：3x － 5y ＝5② (1) 8－ 3y③； 由①得 x ＝2 (2) 把③代入②，得 8－ 3y3×－ 5y ＝ 5；2(3) 去分母得 24－ 9y － 10y ＝ 5；(4) 解得 y ＝ 1，再由③得 x ＝ 2.5.此中错误的一步是 () ．A ．(1)B ．(2)C ．(3)D ． (4)答案： Cax － 4y ＝ 18，4．对于 x ， y 的方程组的解中 y ＝ 0，则 a 的取值是 __________．3x － 2y ＝ 6分析：把 ＝0代入 3x － 2 y ＝ 6，得 x ＝2. 把 x ＝ 2， ＝0 代入ax － 4 y ＝18， 得 a ＝9.yy答案： 9x － 2y ＝ 3，5．解方程组①, ②3x － 8y ＝13.解：由①，得 x ＝ 2y ＋3③. 把③代入②， 得 3(2 y ＋ 3) － 8y ＝13，解得 y ＝－ 2. 把 y ＝－ 2x ＝－ 1， 代入③，得 x ＝－ 1. 因此y ＝－ 2.。
2016-2017学年七年级数学上册 3.3 二元一次方程组及其解法(3)教案 (新版)沪科版
例2解方程组
4x+y=14①
8x+3y=30②
哪个未知数的系数有特点？（ 的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去 ？（相减）
解：将①×2，得8x+2y=28③
由②‐③，得y=2
把y=2代入①，得4x+2=14
【教法说明】由练习导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题．
（二）．探索新知，讲授新课
第（2）题中的第二个方程组中的两个方程中，未知数 的系数有什么特点？（互为相反数）根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉 ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解．像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”．
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加减法）
②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）
解：①＋②，得
把 代入①，得
∴
∴
学生活动：比较用这种方法得到的 、 值是否与用代入法得到的相同．（相同）
上面方程组的两个方程中，因为 的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了 ．观察一下， 的系数有何特点？（相等）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去 ？（相减）
学生活动：观察、思考，尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同．（相同）
2.难点
沪科版七年级数学上册复习资料-二元一次方程组及其解法例题与解析
3.3 二元一次方程组及其解法1．二元一次方程组 (1)二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程． 注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy ＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2x＋y ＝5中2x不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．(2)二元一次方程组①联立在一起的几个方程，称为方程组．②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝1，y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.【例1－1】 下列方程中，是二元一次方程的个数是( )． ①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y2＝1；④2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m 3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.答案：D【例1－2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＝5D ．⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y2＝2y ，y ＝23x解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.答案：A2．二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75的解．谈重点 理解二元一次方程组的解(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．【例2】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝4C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2解析：选项A ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6＝4，右边＝4，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程②得，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程②的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.答案：B 3．代入消元法 (1)消元思想二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．(2)代入消元法的概念从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．解技巧 用代入法解二元一次方程组(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解． 谈重点 运用代入法需注意的问题运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．【例3－1】 已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝12x－3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .答案：12x －3 6＋2y【例3－2】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝6，①x ＋4y ＝－15.②分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．解：由②，得x ＝－15－4y ，③ 把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6， 解得y ＝－3，把y ＝－3代入③，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3.4．加减消元法 (1)加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．析规律 解二元一次方程组的方法(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．【例4】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21， 解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8，y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．解二元一次方程组的策略解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．【例5－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －1y ＋5，5y －13x ＋5.分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．解：原方程组化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.【例5－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．解：①＋②，得100x ＋100y ＝200， 化简，得x ＋y ＝2， ③于是原方程变为⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①x ＋y ＝2，③由③，得x ＝2－y ， ④把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112， 106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.6.构造二元一次方程组解题 常见的考查方式有：(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b 的解，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b＝0.(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．解技巧 用整体代入法解二元一次方程组当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．【例6－1】 已知2ay ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1【例6－2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2xm －1y ＝2，nx ＋y ＝1的解，则m ＋n 的值是__________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x m －1y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④由③和④可分别求出m ，n 的值为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0.所以m ＋n ＝－1＋0＝－1. 答案：－1【例6－3】 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.7．求二元一次方程的正整数解任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的． 一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．析规律 注重实际问题中的隐含条件生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．【例7】 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解． 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)． 用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y3，当y ＝1时，x ＝11； 当y ＝4时，x ＝6； 当y ＝7时，x ＝1. 原方程所有的正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝1.答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本． 8.列方程组解决实际问题(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．【例8】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360.答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．。
沪科版七年级上册数学课件：二元一次方程组及其解法
根据方程x+y=5填空 x பைடு நூலகம் 0 1 2 4 5 6… y … 5 4 3 1 0 -1 …
二元一次方程的解：使二元一次方程两边相等 的两个未知数的值。
发现：一个二元一次方程有无数个解 思考：此方程正整数解有哪些？
x=1 x=2 x=3 x=4 方程2x+y=9的正整数解有______y__=__7_____y__=__5____y__=__3__. y=1
问题3 视察以上两个方程，它们与我们学过的一元一次方程有 什么相同点和不同点？ 问题4 视察列出的两个二元一次方程，它们之间有什么 联系？
1.判断下面哪些方程是二元一次方程。
(1) x=6 (2) xy=3 (3) 6x-m=1 (4) x+y=a (5) 2x+_y1__=2 2. 若 3x m1 5 y 2n 3 是一个二元一次方程，则
3.3 二元一次方程组及其解法
《孙子算经》
今有雉兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问雉兔各几何？
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数， 有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有 多少只鸡和兔？
问题1 上述问题中有几个未知数？能列出一元一次方程解吗？
问题2 如果设两个未知数x,y,你能列出几个独立的方程？
通过本节课的学习有何收获？
今日作业
习题3.3第1、2、3题
谢谢
m =___0____ , n=____1_____.
2.请问下列方程组是二元一次方程组吗？
(1)3yx52xy09
(2)xy
3y 3z
9z 5
8
(3)
x y
2 1
(5) xx
1 y
5
沪科版七年级上册数学二元一次方程组及其解法例题与解析
3.3 二元一次方程组及其解法1．二元一次方程组 (1)二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程． 注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy ＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2x＋y ＝5中2x不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．(2)二元一次方程组①联立在一起的几个方程，称为方程组．②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝1，y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.【例1－1】 下列方程中，是二元一次方程的个数是( )． ①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y2＝1；④2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m 3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.答案：D【例1－2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＝5D ．⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y2＝2y ，y ＝23x解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.答案：A2．二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75的解．谈重点 理解二元一次方程组的解(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．【例2】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝4C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2解析：选项A ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6＝4，右边＝4，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程②得，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程②的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.答案：B 3．代入消元法 (1)消元思想二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．(2)代入消元法的概念从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．解技巧 用代入法解二元一次方程组(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解． 谈重点 运用代入法需注意的问题运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．【例3－1】 已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝12x－3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .答案：12x －3 6＋2y【例3－2】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝6，①x ＋4y ＝－15.②分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．解：由②，得x ＝－15－4y ，③ 把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6， 解得y ＝－3，把y ＝－3代入③，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3.4．加减消元法 (1)加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．析规律 解二元一次方程组的方法(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．【例4】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21， 解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8，y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．解二元一次方程组的策略解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．【例5－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －1y ＋5，5y －13x ＋5.分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．解：原方程组化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.【例5－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．解：①＋②，得100x ＋100y ＝200， 化简，得x ＋y ＝2， ③于是原方程变为⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①x ＋y ＝2，③由③，得x ＝2－y ， ④把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112， 106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.6.构造二元一次方程组解题常见的考查方式有：(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b的解，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b＝0.(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．解技巧 用整体代入法解二元一次方程组当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．【例6－1】 已知2ay ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1【例6－2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2xm －1y ＝2，nx ＋y ＝1的解，则m ＋n 的值是__________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2xm －1y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④由③和④可分别求出m ，n 的值为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0.所以m ＋n ＝－1＋0＝－1. 答案：－1【例6－3】 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.7．求二元一次方程的正整数解任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的． 一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．析规律 注重实际问题中的隐含条件生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．【例7】 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解． 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)． 用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y3，当y ＝1时，x ＝11； 当y ＝4时，x ＝6； 当y ＝7时，x ＝1. 原方程所有的正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝1.答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本． 8.列方程组解决实际问题(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．【例8】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360.答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．。
数学沪科版七年级(上册)3.3二元一次方程组(共21张PPT)
一切问题都可以转化为
数学问题，一切数学问题都
可以转化为代数问题，而一
切代数问题又都可以转化为
方程问题。因此，一旦掌握
了方程问题，一切问题便迎
刃而解。
法国著名的数学家·笛卡尔
—笛卡尔
动手操作 画一个周长为20cm的长方形，并标出它的
长与宽各是多少.
3.5cm 6.5cm
(4) 6x- 1 y=1；是； 2
(5) xy+y=7 ； 不是，最高项的次数为2；
1
(6) 2x+ y
=3 ；不是，方程左边的式子不是整式.
问题5：你能仿照一元一次方程的解给二元一次 方程的解下个定义吗？
使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的 值，叫做二元一次方程的解。
问题6：如何解二元一次方程？以x+y=10为例说明.
y
3z
5
不是
x 2
(3)
y
1
是
(4)
x
1 y
2
不是
x y 0
问题10：什么叫二元一次方程组的解呢？
使二元一次方程组中每个方程都成立的两 个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 这 个解就是它们的公共解。
练一练
的1解.判？断下列各对值是不是二元一次方程组2xx1
y
y
7
x 1
x 2
x 6 y 4 是x+y=10的一个yc解m。
xcm
问题7：你能说说一元一次方程和二元一次方程的 区别与联系吗?
区别
一元一次方程 含有一个未知
数，有唯一解
二元一次方程 含有两个未知
数,有无数个解
联系
七年级数学上册3_3二元一次方程组及其解法教案新版沪
二元一次方程组及其解法教学目标：一、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判定一组数是不是某个二元一次方程组的解。
二、会用代入消元法解简单的二元一次方程组。
3、通过研究解决问题的方式，培育学生合作交流意识与探讨精神.学习重点：用代入消元法解二元一次方程组学习难点：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数学习进程：一、趣味引入—熟悉二元一次方程组一、鸡兔同笼问题：有假设干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
问笼中各有几只鸡和兔？二、引导学生分析：鸡头数+兔头数=35，鸡脚数+兔脚数=94，3、引导学生：设鸡有y只，兔有x只，依照题意，列出关系式：x+y=35 ①2x+4y=94 ②4、合作探讨：(1)这两个方程与咱们学过的一元一次方程有何不同？（方程有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？) （含有两个未知数，而且所含未知数项的次数是1）(2)试探：二元一次方程中的次数指的是谁的次数？5、总结：上面的两个方程含有两个未知数，而且含未知数项的次数都是1，像如此的方程的方程叫做二元一次方程。
六、火眼金睛。
以下方程是二元一次方程的有：1）、x+y+2z=6 2）、 3x2-2y2=10 3）、xy+4y-5y=9 、4)、2x-3y=2x+10 5）、2x-5=3y 6）、7、合作探讨：x+y=35 ①2x+4y=94 ②那个地址的x、y既要满足鸡、兔头数关系，又要知足鸡、兔脚数关系，确实是说它必需同时知足上面①、②两个方程．因此，咱们把上面两个方程加上括号联合在一路，写成：像上面这种含有两个未知数的，由两个二元一次一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
八、、引入新课学习，板书：二元一次方程组及其解法九、练一练。
教材p99 练习一、2.二、自主探讨——二元一次方程组解法（代入法）1、出示问题1：某班同窗在植树节时植樟树和白杨树共45棵．已知樟树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树苗用了60元．问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵?二、学生试探分析：（1）题目中有几个未知数,列一元一次方程能解吗？（2）若是设两个未知数x、y，你能列出二元一次方程组吗？3、动手做一做。
3沪科版初中数学七年级上册精品教案.3 二元一次方程组及其解法
3.3 二元一次方程组及其解法第1课时二元一次方程组教学目标【知识与技能】理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.【过程与方法】经历认识二元一次方程和二元一次方程组的过程,感受类比的学习方法在数学学习过程中的作用.【情感、态度与价值观】学会用类比的方法迁移知识,体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性,感受学习数学的乐趣.教学重难点【重点】理解二元一次方程组的解的意义.【难点】求二元一次方程的正整数解.教学过程一、创设情境,引入新课古老的“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?”教师描述:这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣,这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣.怎样来解答这个问题呢?学生思考并自行解答,教师巡视.最后,在学生动手动脑的基础上,集体讨论并给出各个解决方案.教师展示幻灯片:方法1:算筹解法.(孙子算经,用算筹研究代数.)方法2:图形解法.(尚不成熟的符号语言,但很直观.)方法3:算术解法.兔数(94÷2)-35=12鸡数35-12=23方法4:一元一次方程的解法.解:设鸡有x只,则兔有(35-x)只,则可列方程:2x+4(35-x)=94解得:x=23则鸡有23只,兔有12只.请同学们自己思考.教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念,“元”是指什么?“次”是指什么?二、尝试活动,探索新知1.讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念.教师提问:上面的问题可以用一元一次方程来解,那么还有其他方法吗?方法6:设有x只鸡,y只兔,依题意得:x+y=35 ①2x+4y=94 ②针对学生列出的这两个方程,教师提出如下问题:(1)你能给这两个方程起个名字吗?(2)为什么叫二元一次方程呢?(3)什么样的方程叫二元一次方程呢?教师结合学生的回答,板书定义1:含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的方程,叫做二元一次方程.同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比,让学生用原有的认知结构去同化新知识,符合建构主义理念.教师追问:在上面的问题中,鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程.把①、②两个二元一次方程结合在一起,用大括号来连接.我们也给它起个名字,叫什么呢?学生思考,教师板书定义2:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.2.讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念.探究活动:满足x+y=35,且符合问题的实际意义的值有哪些?请填入表中.教师启发:(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系,还可以取哪些值?(2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗?(3)它与一元一次方程的解有什么区别?教师板书定义3:使二元一次方程两边相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.教师提问:那么什么是二元一次方程组的解呢?学生讨论达成共识:二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程.即:既是方程①的解,又是方程②的解.教师板书定义4:二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.注意:二元一次方程组的解是成对出现的,用大括号来连接,表示“且”.请同学们议一议:将上述“鸡兔同笼”问题的几种方案进行优劣对比,你有哪些想法呢?学生通过对比,体验到从算术方法到代数方法是一种进步.当我们遇到求多个未知量,而且数量关系较复杂时,列二元一次方程组比列一元一次方程容易,它大大减轻了我们的思维负担.三、例题讲解【例】下列各对数值中不是二元一次方程x+2y=2的解的是( )解法分析:将A、B、C、D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程,选D.变式练习:上题中的选项是二元一次方程组22,22x yx y+=⎧⎨+=-⎩的解的是( )解法分析:在例1的基础上,进一步检验A、B、C、D中各对值是否满足方程2x+y=-2,使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程.教师总结:本例题先检验二元一次方程的解,再检验二元一次方程组的解,符合从简单到复杂的认知规律,使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念.四、巩固练习1.根据下列语句,列出二元一次方程:(1)甲数的一半与乙数的3倍的和为11;(2)甲数和乙数的2倍的差为17.2.方程x+2y=7在自然数范围内的解( )A.有无数组B.有两组C.有三组D.有四组3.若mx+y=1是关于x、y的二元一次方程,那么( )A.m≠0B.m=0C.m是正有理数D.m是负有理数【答案】 1.(1)0.5x+3y=11 (2)x-2y=17 2.D 3.A五、课堂小结本节课学习了哪些内容?你有哪些收获?(什么叫二元一次方程?什么叫二元一次方程组?什么叫二元一次方程组的解?)第2课时用代入消元法解二元一次方程组教学目标【知识与技能】1.用代入法解二元一次方程组.2.了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.3.会用二元一次方程组解决实际问题.4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步培养解方程组的能力. 【过程与方法】通过观察、验证、讨论、交流等学习方式经历代入消元的过程,深刻体会到转化的作用,发展学生的抽象思维能力,培养学生有条理的表达能力和与人交流的能力.【情感、态度与价值观】1.了解二元一次方程组的“消元”思想、初步理解“化未知为已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中,享受学习数学的乐趣,增强学习数学的信心.2.培养学生合作交流、自主探索的良好习惯.3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣. 教学重难点【重点】用代入消元法解二元一次方程组.【难点】探索用代入消元法将“二元”转化为“一元”的消元过程.教学过程一、创设情境,引入新课教师出示下列问题:问题1:篮球联赛中,每场比赛都要分胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好的名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数分别是多少?问题2:在上述问题中,我们也可以设出两个未知数,列出二元一次方程组,那么怎样求解二元一次方程组呢?二、尝试活动,探索新知教师引导:什么是二元一次方程组的解?(方程组中各个方程的公共解)学生列式计算后回答:满足方程①的解有:……满足方程②的解有:……这两个方程的公共解是教师追问:这个问题能用一元一次方程来解决吗? 学生思考并列出式子: 设胜x 场,负(22-x)场, 解方程:2x+(22-x)=40 ③ 学生观察并思考:上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?教师提问:1.在一元一次方程的解法中,列方程时所用的等量关系是什么? 2.方程组中方程②所表示的等量关系是什么?3.方程②与③的等量关系相同,那么它们的区别在哪里?4.怎样使方程②变为只含有一个未知数呢? 结合学生的回答,教师做出讲解:由方程①进行移项得y=22-x,由于方程②中的y 与方程①中的y 都表示负的场数,故可以把方程②中的y 用(22-x)来代换,即得2x+(22-x)=40.这样,二元就化为一元了.解得x=18.问题解完了吗?怎样求y? 将x=18代入方程y=22-x,得y=4.能代入原方程组中的方程①、②来求y 吗?代入哪个方程更简便? 这样,二元一次方程组的解就是 教师归纳并板书:这种通过代入消去一个未知数,使二元方程转化为一元方程,从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法,简称代入法. 三、例题讲解【例1】 用代入法解方程组: ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝－19，①x ＋5y ＝1； ②本题较简单,直接由学生板演,师生共同评价. 【答案】 由②，得x ＝1－5y.③ 把③代入①，得2(1－5y)＋3y ＝－19， 2－10y ＋3y ＝－19，－7y ＝－21，y ＝3. 把y ＝3代入③，得x ＝－14.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝3；解后反思,教师引导学生思考下列问题: (1)选择哪个方程代入另一方程?其目的是什么? (2)为什么能代入?(3)只求出一个未知数的值,方程组就解完了吗?(4)把已求出的未知数的值代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便? (5)怎样检验你运算的结果是否正确呢?(与解一元一次方程一样,需检验.其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中,看方程的左、右两边是否相等.检验可以口算,也可以在草稿纸上验算.)【例2】 (例1的变式)解方程组: ⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1， ①y ＋14＝x ＋23. ②分析:对于这个方程组，应将方程组变形为⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1， ③4x －3y ＝－5， ④观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x ＝3y ＋12，然后代入④求解．(1)从方程的结构来看:例2与例1有什么不同?例1是用x=1-5y 直接代入②的,而例2的两个方程都不具备这样的条件,都不能直接代入另一个方程.(2)如何变形?把一个方程变形为用含x 的式子表示y(或含y 的式子表示x). (3)选用哪个方程变形较简便呢?通过观察,发现方程①中y 的系数为-1,因此,可先将方程①变形,用含x 的代数式表示y,再代入方程②求解.【答案】 将原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1， ③4x －3y ＝－5. ④由③，得x ＝3y ＋12.⑤把⑤代入④，得2(3y ＋1)－3y ＝－5， 3y ＝－7，y ＝－73.把y ＝－73代入⑤，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－73.四、巩固练习1. 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1代入方程2x －ay ＝3，得2＋a ＝3，所以a ＝1.2. 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．3解析：把解代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以a －b ＝－1.五、课堂小结你从本节课的学习中体会到代入法的基本思路是什么?主要步骤有哪些呢?让学生在互相交流的活动中完成本节课的小结,并能通过总结与归纳,更加清楚地理解代入消元法,体会代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想.第3课时 用加减消元法解二元一次方程组教学目标 【知识与技能】1.掌握用加减消元法解二元一次方程组.2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.3.体验数学学习的乐趣,在探索过程中体验成功的喜悦,增强学好数学的信心. 【过程与方法】1.通过探索二元一次方程组的解法,了解二元一次方程组的“消元”思想,使学生养成良好的探索习惯.2.通过对具体实际问题的分析,组织学生自主交流、探索,经历列方程的建模过程,培养学生应用数学的意识.【情感、态度与价值观】1.让学生在了解二元一次方程组的“消元”思想以及初步理解“化未知为已知”和“化复杂问题为简单问题”的化归思想的过程中,享受学好数学的乐趣,增强学好数学的信心.2.使学生养成合作交流、自主探索的良好习惯.3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣. 教学重难点【重点】如何用加减法解二元一次方程组. 【难点】如何运用加减法进行消元. 教学过程一、创设情境,引入新课教师提出问题:王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨,共花了14元,李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨,共花了12元,梨每千克的售价是多少?比一比看谁算得快.教师总结最简便的方法:抵消掉相同部分,王老师比李老师多买了1千克的梨,多花了2元,故梨每千克的售价为2元.二、例题讲解【例1】 解方程组: ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝13，①3x －2y ＝5. ②分析 根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉y ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．解：①＋②，得6x ＝18，解得x ＝3. 把x ＝3代入①，得9＋2y ＝13， 所以y ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.【例2】 解方程组:⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋2y ＝15，①3x ＋4y ＝10.②分析 (1)上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？(不符合)(2)如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？(①×2或②×3)解：①×2，得18x ＋4y ＝30.③ ③－②，得15x ＝20，x ＝43.把x ＝43代入②，得4＋4y ＝10，y ＝32.所以⎩⎨⎧x ＝43，y ＝32.师生共析:1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母、去括号、合并同类项等,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边、常数项在方程的右边的形式),再作如上加减消元的考虑. 三、巩固练习1. 已知x 、y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝5，3x ＋y ＝－1，求代数式x －y 的值．解析：观察两个方程的系数，可知两方程相减得2x －2y ＝－6，从而求出x －y 的值．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝5， ①3x ＋y ＝－1， ②②－①得2x －2y ＝－1－5，③ 得x －y ＝－3. 2. 已知xm －n ＋1y 与－2xn －1y 3m －2n －5是同类项，求m 和n 的值．解析：根据同类项的概念，可列出含字母m 和n 的方程组，从而求出m 和n. 解：因为xm －n ＋1y 与－2xn －1y 3m －2n －5是同类项，精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使用 所以⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＋1＝n －1，①3m －2n －5＝1. ② 整理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －2n ＋2＝0， ③3m －2n －6＝0. ④④－③，得2m ＝8，所以m ＝4.把m ＝4代入③，得2n ＝6，所以n ＝3.所以当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3时，x m －n ＋1y 与－2x n －1y 3m －2n －5是同类项． 四、课堂小结本节课我们主要学习了二元一次方程组的另一种解法——加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.请同学们回忆:加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?。
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基础导练
1．小明在解关于x，y的二元一次方程组
3,
31
x y
x y
+⊗=
⎧
⎨
-⊗=
⎩
时，得到了正确的结果
,
1,
x
y
=⊕
⎧
⎨
=
⎩
后来
发现“⊗”“ ”处被墨水污损了，请你帮他找出⊗，⊕处的值分别是( )．A．⊗＝1，⊕＝1
B．⊗＝2，⊕＝1
C．⊗＝1，⊕＝2
D．⊗＝2，⊕＝2
2．方程组
12
,
43
231
y x
x y
++
⎧
=
⎪
⎨
⎪-=
⎩
的解是( )．
A．
3,
3
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
B．
7,
7
3
x
y
=-
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
C．
3,
7
3
x
y
=-
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
D．
7
,
3
3
x
y
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
3．用加减消元法解二元一次方程组
231,
543
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
时，下列步骤可以消去未知数x的是
( )．
A．①×4＋②×3 B．①×2＋②×5 C．①×5＋②×2 D．①×5－②×2
4．已知方程组
23,
6
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解满足方程x＋2y＝k，则k的值是__________．
5．已知方程组
4,
6
ax by
ax by
-=
⎧
⎨
+=
⎩
与方程组
35,
471
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
的解相同，则a＝__________，b＝
__________.
6．已知2a2m－n b3与
11
22
ab m n
-+是同类项，求m，n的值．
7. 关于x，y的方程组
,
27
x y b
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
和方程组
38,
x y
x by a
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解相同，求a，b的值．
能力提升
8．已知实数a，b满足等式(a－b－1)2＋|a＋b－3|＝0，求a，b的值．
9．解方程组
201020112009, 200920102008.
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
10. 杨盼和田渊二人解关于x，y的方程组
2,
78.
mx by
cx y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
杨盼正确地解得
3,
2.
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
而田渊
因把c看错了，解得
2,
2.
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
那么m，b，c的值分别是多少？田渊把c看成了多少？
参考答案
1.解析：把
,
1,
x
y
=⊕
⎧
⎨
=
⎩
代入原方程组得
3,
31,
⊕+⊗=
⎧
⎨
⊕-⊗=
⎩
解得⊗＝2，⊕＝1.
答案：B
2.答案：C
3.答案：D
4.答案：－3
5.解析：解方程组
35,
471,
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
得
2,
1,
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
把
2,
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入
4,
6,
ax by
ax by
-=
⎧
⎨
+=
⎩
得
4,
6,
ax by
ax by
-=
⎧
⎨
+=
⎩
解得a＝2.5，b＝1.
答案：2.5 1
6.解：由同类项的概念，
得
21, 1
3, 2
m n
m n
-=⎧
⎪
⎨
+=⎪⎩
解得
8
,
5
11
.
5 m
n
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
7.解：解方程组
27,
38,
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
得
3,
1.
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
根据题意，x＝3，y＝－1满足方程x＋y＝b与x＋by＝a.
所以
31, 3,
b
b a
-=⎧
⎨
-=⎩
解得
1,
2. a
b
=⎧
⎨
=⎩
8.解：根据已知等式，得
10,
30.
a b
a b
--=⎧
⎨
+-=⎩
即
1,
3,
a b
a b
-=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
①＋②得2a＝4，即a＝2，把a＝2代入①得b＝1.
所以
2,
1. a
b
=⎧
⎨
=⎩
9.分析：由于方程组中的数据较大，所以正确解答本题的关键是将两方程相减得出x－y＝1.
解：
201020112009, 200920102008.
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
①－②，得x－y＝1.③
③×2 011－①，得x＝2. 把x＝2代入③，得y＝1.
所以
2,
1. x
y
=⎧
⎨
=⎩
10. 解：根据题意，分别把
3,
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
和
2,
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
代入方程mx＋by＝2，
得
322, 22 2. m b
m b
-=
⎧
⎨
-+=⎩
解这个方程组，得
4,
5. m
b
=⎧
⎨
=⎩
把x＝3，y＝－2代入方程cx－7y＝8，
得3c－7×(－2)＝8，所以c＝－2.
假设田渊把c看成了d，把x＝－2，y＝2代入方程dx－7y＝8，得－2d－7×2＝8，
所以d＝－11.
答：m＝4，b＝5，c＝－2，田渊把c看成了－11.。