第六章轴对称问题的有限单元法案例

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第六章 轴对称问题的有限单元法
轴对称问题
• 轴对称结构在工程中应用比较广泛。 • 轴对称结构是由任意平面图形绕着某直线旋转一周而形成的回 转体，该直线称为对称轴；旋转平面称为子午面。 如果轴对称结构的约束 条件以及作用的载荷都 对称于对称轴的话，则 在载荷作用下产生的位 移、应变和应力也对称 于此轴，这种问题称为 轴对称问题。
几何方程和平衡方程 应变位移关系为
轴对称问题
平衡方程 应变应力关系为
以三节点三角形单元为例 介绍轴对称问题的有限单元法
位移模式和形函数
计算前首先要在一个对称面上进行有限元的离散化处理，采用 的单元在对称面上为三角形，分割的原则与平面问题基本类似。 与平面问题类似，对于三角形单元只能取线性位移模式，因此 单元内任一点的位移可被近似地用其节点值表示成
z
轴对称问题
在轴对称问题中，通常采用柱坐标(r, , z)。以z轴作为对称轴， 所有应力、应变和位移都与方向无关，只是r和z的函数，任一 点的位移只有两个方向的分量，即沿r方向的径向u和沿z方向的 轴向位移w。由于轴对称，方向的位移等于零。因此轴对称问 题是二维问题。
z
对完全轴对称问题进行 计算时，只需取任一个 子午面离散化后，进行 分析即可。
轴对称单元体内的应力在一般情况下并非常应力，如果用单元形 心坐标代替单元中任一点的坐标，则可近似地将三角形单元视为 ， 常应力单元。 值得注意的：轴对称问题是可以简化为平面问题的，但事实 上仍处于三向受力状态，其环向上切应力为零，所以环向必 为一应力主方向，一般令：
对称面上，二个主应力及其方向可以和平面应变分析情形类 似地确定。
i k j j
i k
轴对称问题
应力和应变分量 左图给出了轴对称旋转体 问题中的应力和应变分量。 令旋转轴为z、径向轴为r、 环向坐标为θ。沿轴z和轴r 的位移分量为u和v，它们 都是坐标r、z的函数。在轴 对称情况下，任一径向位 移都会引起周向应变，所 以必须考虑周向应变和应 力分量。
轴对称问题
轴对称问题
离散轴对称体时，采用的单元是一些圆环。这些圆环单元与rz平 面的截面可以有不同的形状，例如3节点三角形、6节点三角形 或其它形式。单元的节点是圆周状的铰链，各单元在rz平面内形 成网格。图示为3节点三角形环状单元。
在对轴对称问题进行计 算时，只需取出一个截 面进行网格划分和分析， 但应注意到单元是环状 的，所有的节点载荷都 应理解为作用在单元节 点所在的圆周上。
根据单元刚度矩阵的普遍形式，可知：
将B的表达式代入上式是可以求得解析解的，这部分内容将在 ， 等参元中学习，这里我们介绍一种简化方法： 把单元中随点而变化的r、z用形心处的坐标近似
总体刚度矩阵
关于总体刚度矩阵的组装和存储，与一般的平面问题无不同之 处，此处不再详述。
，
载荷的处理
对于集中的节点载荷，处理方式并无特殊之处。 对于均布荷载，处理方式如下： i-j上任一点的法向面力q在r向和z向的分量为
，
等效节点载荷为
为材料的质量密度，角速度为，与转速n的关系为
边界约束的处理
对于边界约束，处理方式与平面问题有限元没有区别。 值得注意的：对称轴上的节点在z方向应受到约束 。
，
方程的求解
对于方程，求解方式与平面问题有限元没有区别。
，
结果的分析
轴对称体在考虑温度影响时，单元内任一点的应力为：
，
由于这个三角形事实上是一个三角 环，所以经过插值，积分后得 ：
载荷的处理
对于温度荷载，处理方式如下： 由于温度的变化，体内将产生热应变，可被作为初应变来处 理。假如温度改变为T，产生的热应变是
，
初应变引起的等效节点载荷为
为避免复杂的解析解计算仍采取单刚矩阵计算时的简化
载荷的处理
对于离心力荷载，处理方式如下： 若绕z轴的角速度为，则单元 ijk 的离心力载荷
形函数的值仍然按下式计算：
应变的离散
将位移表达式代ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何方程：
，
B矩阵构成如下：
注意：由B矩阵可知有环 向应变是不为常量的， 其值与单元中点(r, z)的 位置有关。
应力的离散
将应变表达式代入平衡方程：
，
由于D矩阵为 环向应变不为常量，则应 力中除了剪应力为常量外 其余的也均不为常量。
单元刚度矩阵