2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 一元二次不等式及其解法
由图像知，不等式的解集为D.
答案：D
2．不等式x2－|x|－2＜0的解集是( A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2，或x＞2} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1，或x＞1}
)
解析：原不等式⇔|x|2－|x|－2＜0⇔(|x|－2)(|x|＋1)＜0⇔ |x|－2＜0⇔－2＜x＜2.
解得－2＜a＜2.
故a的取值范围为－2＜a≤2.
答案：C
5．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的 取值范围是__________．
解析：方法一：设f(x)＝x2＋mx＋4，当x∈(1,2)时f(xΒιβλιοθήκη ＜0 恒成立．由二次函数图像与性质，得
1＋m＋4≤0， 4＋2m＋4≤0， f1≤0， f2≤0，
即
解得m≤－5.
方法二：x∈(1,2)时x2＋mx＋4＜0恒成立，等价于m＜－ 4 x－ . x
x∈(1,2)恒成立． 4 又g(x)＝－x－ 在(1,2)上为增函数，∴g(x)＞－5. x ∴m≤－5.
答案：m≤－5
考点一
一元二次不等式的解法
x2＋2x，x≥0， －x2＋2x，x＜0，
2
12 3 －x＋1＝x－2 ＋4＞0，
6 所以，f(x)＜－m＋5，等价于m＜ 2 . x －x＋1 6 因为函数y＝ 2 ＝ x －x＋1 6 6 7，所以只需m＜7即可． 6 所以，m的取值范围是{m|m＜7}． 6 12 3 在[1,3]上的最小值为 x－ ＋ 2 4
0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不 等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大 于取两边，小于夹中间”求解集．
●两个防范 (1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的 解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况； (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再 对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式 进行分类讨论，分类要不重不漏.
答案：C
4．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成 立，则a的取值范围是( A．(－∞，2] C．(－2,2] )
B．[－2,2] D．(－∞，－2)
解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，恒成 立，故a＝2；当a－2≠0时，则a满足
a－2＜0， Δ＝[2a－2]2－4a－2· －4＜0，
2 □ {x|x≠－
b 2a }
3 □R
名师微博 ●一个技巧 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a 的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元 二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)的图像，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不 等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜
考点三
不等式恒成立问题
[例3]
设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围． (2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范 围．
解析：(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立， 若m＝0，显然－1＜0；
m＜0， 若m≠0，则 Δ＝m2＋4m＜0
变式训练1
函数f(x)＝
2x2＋x－3 ＋log3(3＋2x－x2)的
定义域为__________．
解析：依题意知 3 x≤－ 或x≥1， 2 －1＜x＜3.
2x2＋x－3≥0， 3＋2x－x2＞0，
解得
∴1≤x＜3，故函数f(x)的定义域为[1,3)．
答案：[1,3)
考点二
含参数的一元二次不等式的解法
[例2]
求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
解析：∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋ a a a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－ ，x2＝ . 4 3 a a a a ①a＞0时，－4＜3，解集为{x|x＜－4或x＞3}； ②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
基础自测 1.不等式2x2－x－1＞0的解集是(
1 A.－2，1
)
B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
1 D.－∞，－2∪(1，＋∞)
解析：方法一：2x2－x－1＞0可化为(2x＋1)(x－1)＞0， 1 解得x＜－ 或x＞1，故选D. 2 方法二：令f(x)＝2x2－x－1，画出图像，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6＜0. 6 6 所以m＜ ，则0＜m＜ ； 7 7 当m＝0时，－6＜0恒成立； 当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)⇒m－6＜0. 所以m＜6，所以m＜0. 6 综上所述，m的取值范围是{m|m＜7}．
方法二：m(x2－x＋1)＜6 因为x
＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解析：方法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图像 的对称轴为x＝a. ①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1； ②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－ a2≥a，解得－1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．
[例1] 3.
已知函数f(x)＝
解不等式f(x)＞
x≥0， 解析：由题意知 2 x ＋2x＞3
x＜0， 或 2 －x ＋2x＞3，
解得：x
＞1. 故原不等式的解集为{x|x＞1}．
方法点睛
解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标
准形式；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等 式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根； ④结合二次函数的图像得出不等式的解集．特别地，若一元 二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出 不等式的解集．
方法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋ 2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立， Δ＞0， 2 即Δ＝4a －4(2－a)≤0或a＜－1， g－1≥0. 解得－3≤a≤1. 所求a的取值范围是[－3,1]．
思想方法(九) 如何求解不等式恒成立问题 [试题] (2013· 杭州调研)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x ) 5 C．－ 2 D．－3
答案：A
3．已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数 f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集为 ( ) A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．(－1,0) D．(0,1)
解析：∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4 ＞0， ∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点，因此 f(－2)· f(－1)＜0， 3 5 ∴(6a＋5)(2a＋3)＜0，∴－2＜a＜－6， 又a∈Z，∴a＝－1，不等式f(x)＞1即为－x2－x＞0， 解得－1＜x＜0.
方法点睛
不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒
成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，
a＞0， Δ＜0；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的
a＜0， 条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时， Δ＜0.
变式训练3
已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1,
§7.2
一元二次不等式及其解法
[高考调研
考纲解读 •会从实际情境中抽象出一元 二次不等式模型． •通过函数图象了解一元二次 不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的联系． •会解一元二次不等式，对给 定的一元二次不等式，会设 计求解的程序框图.
明确考向]
考情分析 •一元二次不等式的解法及三 个二次间关系问题是命题热 点． •考查题型多为客观题，有时 会在解答中出现交汇命题， 着重考查二次不等式的解 法，属中、低档题.
a a a a ③a＜0时，－4＞3，解集为{x|x＜3或x＞－4}． a 综上所述：当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜－ 4 或x＞ a 3 }；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＜0
a a 时，不等式的解集为{x|x＜3或x＞－4}．
方法点睛
解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①
2 当－2＜a＜0时，a≤x≤－1； 当a＝－2时，x＝－1； 2 当a＜－2时，－1≤x≤a. 综上所述，a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；a＞0 2 时，不等式的解集为{x|x≥a，或x≤－1}；当－2＜a＜0时，
2 不等式的解集为{x| a ≤x≤－1}；当a＝－2时，不等式的解集 2 为{x|x＝－1}；当a＜－2时，不等式的解集为{x|－1≤x≤a}.
1 即f(x)≥0对x∈0，2成立．
(1)当Δ≤0时，即a2－4≤0，即－2≤a≤2成立．
1 (2)当Δ＞0时，要使f(x)≥0对x∈0，2成立．
Δ＞0， f1≥0， 则 2 a 1 － ＞ . 2 2
Δ＞0， f0≥0， 或 a －2＜0.
二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然 后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断方程的根 的个数，讨论判别式Δ与0的关系．③确定无根时可直接写出 解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而 确定解集形式．
变式训练2 R)．
解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈
解析：原不等式变形为ax2＋(a－2)x－2≥0. 由于不等式中最高次幂系数为a(a∈R)，因而它可能为 零，也可能大于或小于零．因此，对a进行分类讨论． ①a＝0时，x≤－1. ②a≠0时，不等式即为(ax－2)(x＋1)≥0. 2 当a＞0时，x≥a，或x≤－1. a＋2 2 由于a－(－1)＝ a ，
【名师伴你行】2014高考数学一轮复习 第七章 一元二次不等式及其解法课件 新人教A版
27
a a a a ③a＜0时，－4＞3，解集为{x|x＜3或x＞－4}． a 综上所述：当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜－ 4 或x＞ a 3 }；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＜0
a a 时，不等式的解集为{x|x＜3或x＞－4}．
28
方法点睛
解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①
7
0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不 等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大 于取两边，小于夹中间”求解集．
8
●两个防范 (1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的 解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况； (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再 对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式 进行分类讨论，分类要不重不漏.
即
解得m≤－5.
方法二：x∈(1,2)时x2＋mx＋4＜0恒成立，等价于m＜－ 4 x－ . x
19
x∈(1,2)恒成立． 4 又g(x)＝－x－ 在(1,2)上为增函数，∴g(x)＞－5. x ∴m≤－5.
答案：m≤－5
20
考点一
一元二次不等式的解法
2 x ＋2x，x≥0， 2 －x ＋2x，x＜0，
＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
40
解析：方法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图像 的对称轴为x＝a. ①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1； ②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－ a2≥a，解得－1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．
2014高考数学总复习第六章第二节《一元二次不等式及其解法》课件理
1
(2)若－1≤x< ，则不等式2sin2πx－5sin πx＋2>0的解
3
集是________．
解析：(1)由－x2＋x＋6>0得x2－x－6<0，即(x－3)(x＋ 2)<0，得－2<x<3，又x∈[－3,2]，∴原不等式的解集为(－2, 2]．
(2) 由 2sin2πx － 5sin πx ＋ 2>0 得 (sin πx － 2)sin πx－12>0，
数轴标根法的操作过程：
(1)把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是0 的形式；
(2)各因式中x的系数全部变为1，约去偶次因式；
(3)把各个根从小到大依次排好标出，从数轴最左端向 右端依次取根判断，并“引线”；
(4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否 在解集内．
2．分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等
解析：2xx－＋11 ≤0⇒
x－12x＋1≤0，⇒<x≤1.故选A.
2x＋1≠0
答案：A
高考预测
1 ． (2012·广 东 金 山 中 学 综 合 测 试 ) 已 知 f(x) ＝
x2，x≥0， 则 f[f(x)]≥1 的解集是(
答案：6
点评：掌握一元二次不等式的解集与相应的一元 二次方程的根的关系，使问题转化为相应的一元二次方 程的根与系数的关系问题，这是解答本题的关键．
变式探究
2．不等式ax2＋bx＋1>0的解集为 －∞，12∪(1，＋∞)， 则不等式x2＋bx＋a<0的解集为__________．
解析：依题意12，1 是方程 ax2＋bx＋1＝0 的两根， 由韦达定理得－ba＝1＋12＝32，1a＝1×12，解得 a＝2，b ＝－3，∴x2＋bx＋a<0 变为 x2－3x＋2<0，解得 1<x<2， 即解集为{x|1<x<2}．
高考数学一轮总复习第六章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课件文
答案：(－4,1)
x＋8 (2)(2015 年上海)下列不等式中，与不等式 2 ＜2 解 x ＋2x＋3 集相同的是( )
A.(x＋8)(x2＋2x＋3)＜2 B.x＋8＜2(x2＋2x＋3) 1 2 C. 2 ＜ x ＋2x＋3 x＋8 x2＋2x＋3 1 D. ＞2 x＋8
解析：因为 x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0，x＋8 可能是正 x＋8 数、负数或零，所以由 x＋8＜2(x ＋2x＋3)可得 2 ＜2， x ＋2x＋3
【规律方法】解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标 准形式，即不等式的右边为零，左边的二次项系数为正；②确 定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方 程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；④结合二次函数的 图象得出不等式的解集.特别地，若一元二次不等式的左边的二 次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集.
3 1＋b＝a， 得 1×b＝2. a
a＝1， 解得 b＝2.
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0， 即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综上所述，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为
2
x＋8 所以与不等式 2 ＜2 解集相同的是 x＋8＜2(x2＋2x＋3). x ＋2x＋3 故选 B.
答案：B
x (3)(2013 年上海)不等式 <0 的解集为________. 2x－1
2014高考数学一轮复习课件1.1元二次不等式及其解法
1．不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的 a＞0， 条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时， 不等式 Δ＜0； ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0 a＜0， 时，b＝0，c＜0；当a≠0时， Δ＜0. 2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数， 一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就 是参数．
解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是 大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两
个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形 式．
解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.
1 【解析】 2x ＋x－1>0的解集为{x|x> 或x<－1}， 2 1 1 2 2 故由x> ⇒2x ＋x－1>0，但2x ＋x－1>0D⇒/x> . 2 2 1 则“x＞ ”是“2x2＋x－1＞0”的充分不必要条件． 2
2
【答案】
A
2．(2013·清远模拟)不等式ax2 ＋4x＋a＞1－2x2 对一切
x∈R恒成立，则实数a的2)x2＋4x＋a－1＞0 对一切x∈R恒成立，则有 a＋2＞0， 解得a＞2. Δ＝16－4（a＋2）（a－1）＜0，
【答案】 (2，＋∞)
课后作业（一）
ax2＋bx＋c>0(a≠0)对一切x∈R恒成立的条件是什么？
【提示】 a>0且b2－4ac<0.
1．(人教A版教材习题改编)不等式2x2－x－1＞0的解集 是( ) 1 A．(－ ，1) B．(1，＋∞) 2 1 C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－ )∪(1，＋∞) 2
高考数学一轮复习 一元二次不等式及其解法 理PPT课件
考点探究
(2)原不等式等价于xx22－－xx－－22＞≤04，⇒xx22－－xx－－26＞≤00，， ⇒（ （xx－ －23） ）（ （xx＋ ＋12） ）＞ ≤00，⇒x－＞22≤或xx≤＜3－. 1， 所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1 或 2＜x≤3}． 点评：(1)解一元二次不等式主要有两种方法：图象法和因式分解法(如 本例第(1)题)，注意，不等式的解要写成集合或区间的形式；(2) 解不等式的基础是解一元一次不等式和一元二次不等式，熟练掌握一 元二次不等式的解法是解各类不等式的基础，所以应当熟练记住形如 ax2 ＋bx＋c＞0(＜0)(其中 a＞0)的不等式在各种情况下的解集的形式．
2a＋3 高考总复习数学（理科） 解析：由题意得 ≥1， 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 5a＋2 考点2 解含参数的一元二次不等式
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2a＋3 考点3 解分式不等式
考点探究
考点1 解一元二次不等式
【例 1】 解下列不等式： (1)19x－3x2≥6； (2)0＜x2－x－2≤4. 自主解答： 解析：(1)方法一 原不等式可化为 3x2－19x＋6≤0， 方程 3x2－19x＋6＝0 的解为 x1＝13，x2＝6.
考点探究
函数 y＝3x2－19x＋6 的图象开口向上且与 x 轴有两个交点13，0 和(6，0)．
考点探究
考点3 解分式不等式
高三数学第一轮复习《第30课时 一元二次不等式及其解法》课件
(2)方法一 ∵原不等式即为16x2-8x+1≥0, 其相应方程为16x2-8x+1=0, Δ=(-8)2-4×16=0,
∴上述方程有两相等实根 x 1 , 4
结合二次函数y=16x2-8x+1的图象知, 原不等式的解集为R. 方法二 8x-1≤16x2 16x2-8x+1≥0 (4x-1)2≥0, ∴x∈R,∴不等式的解集为R.
9
3.设集合S={x||x|<5},T={x|x2+
4x-21<0},则S∩T=
（C ）
A.{x|-7<x<-5}
B.{x|3<x<5}
C.{x|-5<x<3}
D.{x|-7<x<5}
解析 S={x|-5<x<5},T={x|-7<x<3},
∴S∩T={x|-5<x<3}.
10
4.不等式 x 2 0 的解集是
a
a
20
综上所述,a<-1时,解集为 {x | 1 x 1}; a
a=-1时,原不等式无解; -1<a<0时,解集为{x | 1 x 1}.
a a=0时,解集为{x|x<-1}; a>0时,解集为{x | x 1或x 1}.
C.{a|0<a≤4}
D.{a|0≤a≤4}
解析 若a=0时符合题意，a>0时，相应二次方程中
的Δ=a2-4a≤0,解得0<a≤4,
综上得 a {a|0≤a≤4}.
12
03 例题精讲
题型一 一元二次不等式的解法 【例1】解下列不等式：
(1)2x2+4x+3<0; (2)-3x2-2x+8≤0; (3)8x-1≥16x2. 思维启首迪先将二次项系数转化为正数，再看二 次三项式能否因式分解，若能,则可得方程的两根, 大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看“Δ”, 利用求根公式求解方程的根,而后写出解集.
2014届高三数学不等式一轮复习 第2讲 一元二次不等式及其解法
2014届高三数学不等式一轮复习第2讲 一元二次不等式及其解法1．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．2．熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法．【一元二次不等式知识】【归纳提炼】 (1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标相同．【例1】不等式x (1－2x )＞0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【例2】(1)0＜x 2－x －2≤4； (2)12x 2－ax －a 2＞0(a ≠0)．【例3】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.【练习】解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． （3） (1－ax )2＜1. 【训练1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________． 题型二：分式不等式的解法【例1】(2013·湘潭月考)不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)【练习】不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)11．不等式0292>--x x 的解集是___________。
方法提炼：分式不等式通常移向通分化整式高次再用数轴标根法求解，此外关注简单物理不等式、对指数不等式的解法。
2014届高考数学一轮复习 1.2 含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法配套课件 理 人教版
解绝对值不等式关键是正确去掉绝对值符号，转化为一般 不等式求解，去绝对值常用的方法是定义法和平方法．
例1 解不等式：(1)3<|2x－3|<5； (2)|x－1|＋|x＋2|<5. 【思路分析】 对于第(1)题，可从以下角度考虑：由于原不
等式等价于|2x－3|>3且|2x－3|<5，因此可先分别解出两个绝
考向瞭望把脉高考Biblioteka 命题预测 绝对值不等式与一元二次不等式是高中数学的基本内容，是
高考命题的重点．试题的命制常以这两类不等式为载体，既
考查不等式的解法，又考查对集合概念和运算的熟练掌握程 度.2012年高考中，绝大多数省份试题以选择题、填空题形 式出现，少数省份的高考题以解答题的某一步出现．
如2012年重庆卷，考查的分式不等式的解法，山东卷、上海 卷、广东卷考查的绝对值不等式的解法． 预测2014年的高考题对绝对值不等式和一元二次不等式仍坚 持如上述内容的考查．特别是一元二次不等式的解法、分式 不等式的解法要熟练掌握．
2．一元二次不等式的解集
判别式 Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象 x1,2＝ b 一元二次方程 ax2 2 － －b± b －4ac 2a ＋bx＋c＝0(a>0)的 x1＝x2＝______ 2a 根 (x1<x2) b xx≠－ ， 2 ax ＋bx＋c>0(a>0) {x|x>x2 或 2a 的解集 x<x1} 且x∈R ax2＋bx＋c<0(a>0) {x|x1<x<x2} 的解集
法二：不等式|x－1|＋|x＋2|<5 的几何意义为数轴上到－2，1 两 个点的距离之和小于 5 的点组成的集合， 而－2,1 两个端点之间 的距离为 3， 由于分布在－2,1 以外的点到－2,1 的距离要计算两 次，而在－2,1 内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2 左 5－3 边到－2 的距离等于 ＝1 的点－3，以及 1 右边到 1 的距离 2 5－3 等于 ＝1 的点 2，则原不等式的解集为{x|－3<x<2}． 2
高三数学一轮复习 6.2一元二次不等式及其解法课件
C.11
D.12
【解析】选C.由题意可知x2-ax+b=0的两根为2,3,故
a=2+3=5,b=2×3=6,故a+b=11.
完整版ppt
13
4.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的
取值范围是( )
A.(-1,1)
B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
第二节 一元二次不等式及其解法
完整版ppt
1
完整版ppt
2
【知识梳理】 1.一元二次不等式的特征 一元二次不等式的二次项(最高次项)系数_不__等__于__0.
完整版ppt
3
2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式 Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
完整版ppt
8
④不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0;
⑤若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c正确的是( )
A.①②③
B.①③④
C.①②⑤
D.②③④
完整版ppt
9
【解析】选C.①正确.由不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2) 可知函数对应的抛物线开口向上, 因此必有a>0; ②正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结 论是正确的; ③错误.只有当a>0时才成立,当a<0时,若方程ax2+bx+c=0没 有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为空集;
2014届高考数学一轮复习 第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法教学案 理
7.2 一元二次不等式及其解法考纲要求1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．一元二次不等式的解法一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集为(1)当a＞0时，解集为__________．(2)当a＜0时，解集为__________．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集______________________________ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集______________________________21．不等式x2＞x的解集是( )．A．(－∞，0) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)2．(2012重庆高考，文2)不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )． A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( )． A ．x ＞5a 或x ＜－a B ．x ＞－a 或x ＜5a C ．5a ＜x ＜－a D ．－a ＜x ＜5a4．若关于x 的不等式－12x 2＋2x ＞mx 的解集是{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值是__________．一、一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式：(1)2x 2＋4x ＋3＞0；(2)－3x 2－2x ＋8≥0；(3)12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )． 方法提炼1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集． 2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式； (2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(4)判断二次不等式两根的大小．提醒：当a ＝0时，ax ＞b 不是一元一次不等式；当a ＝0，b ≥0时，它的解集为 ；当a ＝0，b ＜0时，它的解集为R .请做演练巩固提升2 二、分式不等式的解法【例2】(2012江西高考)不等式x 2－9x －2＞0的解集是__________．方法提炼对于形如f xg x ＞0(＜0)可等价转化为f (x )g (x )＞0(＜0)来解决；对于f xg x ≥0(≤0)可等价转化为⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，gx ≠0.当然对于高次不等式可用“穿根法”解决．请做演练巩固提升1三、一元二次不等式的实际应用【例3】某产品按质量可分成6种不同的档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件，如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．(1)若最低档次的产品每件利润为16元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？ (2)若最低档次的产品每件利润为22元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？ 方法提炼解不等式应用题的步骤请做演练巩固提升6与一元二次不等式有关的恒成立问题【典例】(12分)设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．分析：(1)对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，可转化为函数f (x )的图象总是在x 轴下方，可讨论m 的取值，利用判别式求解．(2)含参数的一元二次不等式在某区间内的恒成立问题，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理．一般方法二比较简单．规范解答：(1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4＜m ＜0.综上有－4＜m ≤0.(4分)(2)要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，即 m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．(6分) 有以下两种方法：方法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，(8分) 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67；(10分)当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.(12分) 方法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.(8分)因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．(10分)所以，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.(12分) 答题指导：1.与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．2．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．3．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．4．本题考生易错点：忽略对m ＝0的讨论．这是由思维定势所造成的．1．不等式x －2x ＋1≤0的解集为( )．A ．{x |－1≤x ≤2}B ．{x |－1＜x ≤2}C ．{x |－1≤x ＜2}D ．{x |－1＜x ＜2}2．已知不等式x 2－x ≤0的解集为M ，且集合N ＝{x |－1＜x ＜1}，则M ∩N 为( )．A ．[0,1)B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(－1,0]3．条件p ：x －52－x≥0，条件q ：x 2－7x ＋10＜0，则p 是q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是__________．5．(2012江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________．6．某种商品，现在定价p 元，每月卖出n 件，设定价上涨x 成，每月卖出数量减少y 成，每月售货总金额变成现在的z 倍．(1)用x 和y 表示z ；(2)设x 与y 满足y ＝kx (0＜k ＜1)，利用k 表示当每月售货总金额最大时x 的值；(3)若y ＝23x ，求使每月售货总金额有所增加的x 值的范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >b a(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <ba2．{x |x ＜x 1或x ＞x 2} {x |x ≠x 1} {x |x ∈R } {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅3．Δ≥0？ ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ∪⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞ (－∞，x 2)∪(x 1，＋∞) (－∞，＋∞)基础自测1．D 解析：x 2＞x ⇒x (x －1)＞0⇒x ＞1或x ＜0.2．C 解析：不等式x －1x ＋2＜0，解不等式得其解集为(－2,1)，故选C.3．B 解析：由x 2－4ax －5a 2＞0，得(x －5a )(x ＋a )＞0， ∵a ＜0，∴x ＜5a 或x ＞－a .4．1 解析：由－12x 2＋2x ＞mx ，得x 2－4x ＋2mx ＜0，即x [x －(4－2m )]＜0，∵不等式的解集为{x |0＜x ＜2}， ∴4－2m ＝2.∴m ＝1. 考点探究突破【例1】解：(1)∵Δ＝42－4×2×3＜0，∴方程2x 2＋4x ＋3＝0没有实根．二次函数y ＝2x 2＋4x ＋3的图象开口向上，与x 轴没有交点，即2x 2＋4x ＋3＞0恒成立，∴不等式2x 2＋4x ＋3＞0的解集为R .(2)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， ∵Δ＝100＞0，∴方程3x 2＋2x －8＝0的两根为－2，43.结合二次函数y ＝3x 2＋2x －8的图象可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (3)由12x 2－ax －a 2＞0⇔(4x ＋a )(3x －a )＞0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3＞0， ①a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－a 4或x >a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 3或x >－a 4. 【例2】(－3,2)∪(3，＋∞) 解析：不等式x 2－9x －2＞0可化为(x －2)(x －3)(x ＋3)＞0，由穿根法(如图)得，所求不等式的解集为(－3,2)∪(3，＋∞)．【例3】解：(1)设生产第x 档次产品时，所获利润最大，则生产第x 档次产品时，每件利润为[16＋(x －1)×1]元，生产第x 档次产品时，每天生产[40－2(x －1)]件， 所以生产第x 档次产品时，每天所获利润为： y ＝[40－2(x －1)][16＋(x －1)]＝－2(x －3)2＋648.当x ＝3时，y 最大，即生产第三档次产品利润最大． (2)若最低档次产品每件利润为22元，则生产第x 档次产品时，每天所获利润为： y ＝[40－2(x －1)][22＋(x －1)]＝－2x 2＋882.因为x ∈[1,6]，且x ∈N ，所以当x ＝1时，y 最大，即生产第一档次产品利润最大． 演练巩固提升1．B 解析：原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)≤0，x ＋1≠0⇔－1＜x ≤2.2．A 解析：由x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，所以M ∩N 为[0,1)．选A. 3．B 解析：条件p ：(x －5)(x －2)≤0且x ≠2⇔2＜x ≤5； 条件q ：2＜x ＜5.显然：p q ，q ⇒p .故选B.4．(－∞，－5] 解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧5＋m ≤0，8＋2m ≤0.∴m ≤－5.5．9 解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝a 2－4b ＝0.①又∵f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，即x 2＋ax ＋b －c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是对应方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋(m ＋6)＝－a ，m (m ＋6)＝b －c ，②③由②得，a 2＝4m 2＋24m ＋36，④由③得，4b －4c ＝4m 2＋24m ，⑤由①④⑤可得，4m 2＋24m ＋36＝4m 2＋24m ＋4c ， 解得c ＝9.6．解：(1)按现在的定价上涨x 成时，上涨后的定价为p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10元，每月卖出数量为n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10件， 每月售货总金额是npz 元，因而npz ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10，所以z ＝(10＋x )(10－y )100.(2)在y ＝kx 的条件下，z ＝(10＋x )(10－kx )100，整理可得z ＝1100·⎩⎨⎧⎭⎬⎫100＋25(1－k )2k－k ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －5(1－k )k2，由于0＜k ＜1，所以5(1－k )k＞0，所以使z 值最大的x 值是x ＝5(1－k )k.(3)当y ＝23x 时，z ＝(10＋x )⎝⎛⎭⎪⎫10－23x 100，要使每月售货总金额有所增加，即z ＞1，应有(10＋x )⎝⎛⎭⎪⎫10－23x ＞100， 即x (x －5)＜0， 所以0＜x ＜5.所以x 的取值范围是(0,5)．。