章3 量子力学初步(3)

2 2 nl 2 lm 2
m ( )
2 lm ( )
2
代表几率随角度的分布； 代表几率随角度的分布； 代表几率随矢径r的分布；
2 Rnl (r )
在r、 、 附近、体积元dV内找到电子的几率为：
nlm (r , , )dV R (r ) ( ) m ( ) dV
13
nl (r )dr
2 2 2 2 2 Rnlr dr 0 0 lm m sindd

2 Rnlr 2dr
2r a0
n 1 l 0
10 (r )
2 2r a0
2 R10 ( r ) r 2
4 2 3r e a0
d10 ( r ) 4 2r 3 ( 2r )e dr a0 a0
ˆ Lz m m 0, 1, 2 l 2l 1个 LZ ( ) m ( )
角动量在外场方向的分量也是量子化的，即空间取 6 向量子化，自然得出。
课本108页的解释
7
三、电子的几率分布
nlm (r , , ) nlm (r , , ) R (r ) ( ) m ( )
l 0,1,2n 1
一组量子数n,l,m给出波函数 n,l ,m (r , , ) 的一个具体 5 形式，即n,l,m 确定了原子的状态。
二、能量和角动量 1．主量子数n与能量量子化
E 0时
me 4 Z 2 En (4 0 ) 2 2 2 n 2 1
n 1,2,3
l2
m 1
m 2
5 B21 12
15 21 sin cos 4
l2
B2 2
5 48
P22 3 sin 2
2 2
15 sin 2 16
Rnl ( ) Cnl e
l


2 L2l 1 ( ) n1
2 3 (n l 1)! C nl ( ) na0 2n[( n l )!]3
分离变量
(r, , ) R(r )Y ( , )
1 d 2 dR 2 E 2Z e2 (r ) 2 R R 2 R 0 径向方程 2 2 r dr dr 4 0 r r
是一个与 r , , 无关的常数。
1 Y 1 2Y (sin ) Y 2 2 sin sin


6 10 ( ) cos ml 0 p电子 l 1 2 1 3 2 10 ( , ) 10 ( ) cos2 2 4 0 极大值 零 2
2
极大值
0
零
2作为 的函数和对应的轨道
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3．电子的径向分布概率 在r、、附近、dV内找到电子的几率为：
(10)佘守宪，势阱中粒子能级与波函数微扰计算的代数递推公式，化学物理学报， 2001.04
（11）李小红等，势阱中粒子能级与波函数微扰计算的代数递推公式，
四川大学学报(自然科学版)，2001.04 （12）马爱群等，氢原子及类氢原子的双波描述，量子光学学报，2003.02 （13）李金海等，氢原子电子云密度分布分析，大学物理，2004.04 （14）佘守宪，一种简捷求解定态薛定谔方程的方法:科尔-霍普夫变换法，大学 物理.2004.12 （15）李兴华等，氢原子波函数的玻色算子表示，物理学报，2005.1
§3.6 氢原子的量子力学处理
一、波函数
Ze2 电子在库仑场中运动： V 4 0 r 定态薛定谔方程：
2 2 Ze 2 [ ] (r ) E (r ) 2 4 0 r
球坐标系：
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
作 业 题
（1）电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U
的静电场加速后，其德布罗意波长为0.4埃，求加速电
势差。（上海大学2002）
（2）试画出时l=2电子轨道角动量在磁场中空间量子化
示意图，并标出电子轨道角动量在外磁场z方向的投影 的各种可能值。（中山大学1993）
（3）褚书第三章习题：1、2、3、6、7、8。
能量是量子化的，自然得出。
E 0时 E取任何值都能使R满足标准条件的解。
2．角量子数 l 和角动量量子化
L l (l 1) l 0,1,2n 1
Байду номын сангаас
ˆ L2Y ( , ) l (l 1)2Y ( , )
角动量是量子化的，自然得出。 3．磁量子数m和空间量子化
nlm (r, , )dV R (r ) ( ) m ( ) r 2 sindrdd
2 nl 2 lm
2
nl (r )dr
2 2 2 2 2 Rnlr dr 0 0 lm m sindd

2 Rnlr 2dr
---在离核r处、厚度为dr的球壳内发现电子的几率。 对于不同的n、l ， nl (r ) 不同。
1 2 1 1 2 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 r r r r sin r sin 2
2 1 2 1 2 Ze 2 [ 2 (r ) 1 (sin ) 2 2 ] E 2 2 2 r r r r sin r sin 4 0 r
2 nl 2 lm 2
dV r 2 sin drdd
归一化：
nlm (r, , )dV R r dr sind m * d 1 m
0 2 nl 2 0 2 lm 0


2

2 Rnl ( r ) r 2 dr 0

1
0
2
m * d m
三、电子云
用小黑点的密或稀形象地表示空间各处概率密度的相 对大小，概率大的地方黑点浓密，概率小的地方黑点稀 疏，称它们为“电子云” 电子在原子核外很小的空间内作高速运动，其运动 规律跟一般物体不同，它们没有确定的轨道。因此，我 们不能同时准确地测定电子在某一时刻所处的位置和运 动的速度，也不能描画出它的运动轨迹。因此，人们常 用一种能够表示电子在一定时间内在核外空间各处出现 机会的模型来描述电子在核外的运动。在这个模型里， 某个点附近的密度表示电子在该处出现机会的大小。密 度大的地方，表明电子在核外空间单位体积内出现的机 会多；密度小的地方，表明电子在核外空间单位体积内 出现的机会少。由于这个模型很像在原子核外有一层疏 密不等的“云”，所以，人们形象地把它叫做“电子 云”。
Blm (l m )!( 2l 1) 2(l m )!
m x2 ) 2 l m l m
连带勒让德多项式
1 m Pl ( x) l (1 2 l!
d
( x 2 1)l
dx
x cos
l 0
l 1
m0 m0
1 B00 2
3 B10 2 3 B11 4
1 e 3/ 2 2 2a0
r 2 a0
e
R20
[2
r ] a0
R21
1 r e 3/ 2 2 6a0 a0

r 2 a0
H原子的波函数
n 1,2,3
n,l ,m (r , , ) Rn,l (r )l ,m ( ) m ( )
m 0,1,2,3 l
角方程
Y ( , ) ( )( )
1 d d (sin ) ( 2 ) 0 sin d d sin
d 2 0 2

是一个与 , 无关的常数。
方程的解
1 im m 0,1,2,3 ( ) e 2 m lm ( ) Blm Pl (cos ) l 0,1,2,3 m 0,1,2, l
l、m不同， lm 不同。
例如： s电子和p电子的角分布
解：s电子 l 0
ml 0
1 00 ( ) 2
1 1 2 00 ( ) 00 ( ) 2 4
呈球对称分布
3 11 ( ) sin ml 1 p电子 l 1 2 1 3 2 11 ( , ) 11 ( ) sin 2 2 8
阅读参考文献
（1）张哲华、刘莲君编 《量子力学与原子物理学》（武汉大学
出版社）第一章实验基础：光的波粒二象性、第二章量子力学原 理（1）：波函数及薛定谔方程部分。 （2）曾谨言著《量子力学》（上）（科学出版社）第一章量子 力学的诞生部分。 （3）苟清泉编《原子物理学》（高等教育出版社）相关部分。 （4）顾建中编《原子物理学》（高教出版社）相关部分。
在通常状况下氢原子电子云示意图
思考题
（1）何谓紫外灾难？简述普朗克对量子物理的贡献。 （2）何谓光电效应？它有哪些实验规律？爱因斯坦是如何进行解 释的？ （3）波恩对波函数作出什么样的解释？
（4）请回答测不准关系的主要内容和物理实质.
（5）为什么说德布罗意是量子力学的创始人？贡献如何？ （6）何谓定态？定态波函数具有何种形式？ （7）波函数满足标准条件是什么？写出波函数归一化条件。 （8）简要写出量子力学处理氢原子的方法、步骤和结论。
0 r a0
在r a0处有极大值
n 2 l 1
21 (r )
4
2 R21 ( r ) r 2 r a0
r e 5 24 a0
4

r a0
d21 (r ) 1 r 3 ( 4 r )e 5 dr a0 24 a0
0 r 4a0
在r 4a0处有极大值
P00
1
1 00 2
3 10 cos 2
11
20
P0 1 P1 1
cos sin
l 1