数学自主招生试卷解读及备考策略
近年来自主招生数学试卷解读及应试策略190410
A. 1或-2 B. -1或2 C. -3或4
D. -6或12
这道题实际上是要用到用四阶行列式表示四面体的体积公式，是教材中三阶行列式表示 三角形面积公式的一个推广. 再如，2008 年复旦大学“千分考”的第 88 题（见本书第十五讲）：
设x1 、x 、 x 2 x 是方程 3
3
x1 x 2 x3 x 2 0的三个根，则行列式 x2 x3 x =(
S
解欧拉线的知识，则做这道题就不费吹灰之力.
AGH
.
2.4 关注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的内容；注重教材之外、课本中没有 出现的知识 自主招生与高考大约有 60%-70%的知识点是重合的，如数列、解析几何、不等式等，这 些知识点无论是高考还是自主招生都是重点，但下面几个知识点要提醒考生注意： （1）三角：高考对三角的要求比较低，高考中一般出现在解答题的第一或第二题，属 于送分题. 但在自主招生中，三角所占的比例比较高，尤其是三角变换，而积化和差、和差 化积公式在自主招生考试中是“家常便饭”. 大学教授对三角比较重视是有道理的，这是因 为大学里很多内容，比如：微积分、复变函数、傅里叶级数等都要用到三角. 以下两题分别是 2012 年“卓越联盟”和“北约”自主招生试题，都有相当的挑战性. （2012年“卓越联盟”，本书第十二讲）设 f (x) sin(x )( 0, R) ，设T(T 若存在T ，使 f
4
x 3 (5 8a)x
2
6x 9a.试求出：当实数
x
取何值时，（1）总有
f (x)=0；（2）总有 f (x) 0.
又如，下面两题是同一类问题： （2012年“卓越联盟”，本书第十二讲）求： y （2005年复旦大学，本书第十二讲）求： y 再如，下面 3 道都是姊妹题： （2012年复旦大学，本书第十七讲） 记 2012！=123
数学自主招生的教学与解题策略
设原点关于直线
2x
y
1
的对称点为
O1
(m,
n)
则由
2 m (2)
0n0 22 n 0 1
1
0
m n
4 5 2
m 0
5
所以
4 O1 ( 5
,
3) 5
.由对称性可得|PO1|=|PO|.所以
z
|
PO1
|
|
PO
|
.所以
z
|
PO1
|
d
,
故 PO1 y 轴时 z 最小.
故当且仅当 x 3 , y 2 时,
大学、浙江大学．另有中国人民大学于2014年因故退出. “卓越”联盟成员（9所）： 天津大学、同济大学、北京理工大学、重庆大学、大连理工大学、东
南大学、哈尔滨工业大学、华南理工大学、西北工业大学．
“京都”联盟成员（5所）： 北京邮电大学、北京交通大学、北京林业大学、北京化工大学、北京
科技大学．
（2）考情解读
二、试题目标 考点解析
目标一 、基础知识 基础知识和基本技能仍是考查重点.新课程强调,在数学
的学习过程中,形式化表达是一项基本要求.但不能仅限于 形式化表达,更加要强化对数学本质的认识即重视概念本质, 轻背诵结论．基础知识、基本技能称之为“双基”大家知 道，能力与“双基”有着辩证关系．没有扎实的“双基， 能力培养就成了无源之水，无本之木．
| x 1| | 2x 1| | 3x 1| L | 2011x 1|的最小值.
初中数学自主招生解题技巧
初中数学自主招生考试通常要求学生具备较高的数学素养和思维能力。
以下是一些解题技巧，供参考：
多做真题。
自主招生考试重视考查学生的基础知识和解题能力，而真题是最好的检验方式。
多做真题可以帮助学生熟悉考试题型和难度，提高应对能力。
掌握基本概念和定理。
数学是一个基础学科，很多问题都离不开基本概念和定理。
掌握基本概念和定理，能够快速理解题目，准确把握解题思路。
熟悉常用公式和方法。
自主招生考试中常常会涉及到一些常用公式和方法，例如平方差公式、因式分解、勾股定理等，学生应该熟练掌握这些公式和方法，能够灵活应用。
注意细节。
在做题的过程中，细节很重要。
要仔细阅读题目，注意计算过程中的符号、单位等细节问题，避免因为细节问题导致失分。
提高解题能力。
解题能力是自主招生考试的关键。
学生应该注重思维训练，多做一些拓展性、创新性的数学题目，提高解题能力和应对能力。
总之，数学自主招生考试需要学生全面掌握数学知识，熟练运用数学方法，提高解题能力和应对能力。
浅谈高中生应对自主招生数学测试策略
浅谈高中生应对自主招生数学测试策略作者：岳峰来源：《读写算》2018年第12期摘要;北京大学、复旦大学等全国重点大学近些年来在高考录取方面进行了相继的改革，同时关于自主招生录取和选拔学生的方案不断地出台，自主招生成为了高考选拔的一项有力的补充。
全国目前自主招生的大学达到90多所，并且自主招生的名额在录取选拔的名额比例也在逐年的增加。
2010—2014年期间，全国一些知名院校就自主招生进行了统一的考试，组合为“北约”“华约”“卓越”等联盟院校进行统一测试。
2015年后为体现录取的个性化测试，联盟取消。
这些政策的变化引起了教育界和社会的普遍关注，同时也使得广大的考生对于自主招生的兴趣越来越浓厚。
本文我将针对高三学生参与自主招生选拔中数学测试的试卷特点和应试技巧进行分析，提出相应的应考策略，希望能够给备考学生和指导教师提供借鉴。
关键词;高中生;自主招生;高考;数学试题;应试策略中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）12-0207-02为了能够更好地给参与自招考试的高中生提供借鉴，让考生能够顺利的参加自主招生测试，对历年的考试试卷进行一个综合性的分析，找到关于考试中的侧重点，更好地应对自主招生考试。
本文我们将针对试卷的特点进行详细的分析，从而提出具有建设性的意见。
一、自主招生数学试卷特点分析（一）考试重点仍放在基础知识和基础技能的考查上要想培养出较高的数学能力，仍旧需要学生具有扎实的基础知识，这是我们学习任何更深层次的内容的基础和前提。
因此数学基础知识的教学仍是我们教学的重点。
通过研究调查一些重点院校，例如清华大学、复旦大学和上海交通大学等院校的自主招生的试题我们不难发现，其中所占比例较高的仍旧是基础知识。
多数题目是对数学基本技能和基本方法的考察。
例如2017年清华大学自主招生题目中，数学笔试部分为三十个不定项选择题，而其中考查到学生的基础知识的题目占了百分之七十，多数题目都是学生在备战高考时的熟悉题型。
自主招生数学典例解析
一、数学能力和数学思想
变知识立意为能力立意 考查数学的基本思想和方法
1. 注重考查学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际 问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加 强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养。
二、试卷特点分析
变知识立意为能力立意 考查数学的基本思想和方法
1、试题构思特色 (2)知识点的考查覆盖面广, 侧重点有所不同
知识点涉及高中数学教学大纲的所有内容, 如集合、函数、 三角、数列、向量、解析几何、立体几何、复数等.
考虑到大学与中学、高等数学与初等数学的衔接，近几年 在试题中出现频率较高的有 :函数和方程、排列组合和概率 统计、不等式等. 还出现了微积分、行列式、矩阵等新颖考点的相关试题.
二、试卷特点分析
变知识立意为能力立意 考查数学的基本思想和方法
1、试题构思特色
(4)突出思维能力和解题技巧的考查
2010年复Hale Waihona Puke 大学自主招生有几道这方面的试题 :
设集合 X 是实数集 R的子集, 如果点 x0 R满足 :对任意a 0, 都存在 x X , 使得 0 x x0 a, 那么称 x0 为集合 X 的聚点. 用Z 表示整数集, 则在下列集合 :
解决策略: 等价转换 f (x) 0 (a) 0
二、试卷特点分析
变知识立意为能力立意 考查数学的基本思想和方法
1、试题构思特色 (4)突出思维能力和解题技巧的考查
学习能力型问题对培养学生的阅读理解能力、独立获取 知识的能力以及创新精神和实践能力都是十分重要的.
2007年清华大学自主招生有一道试题 : 对于集合 M R2, 称 M 为开集, 当且仅当 P0 M , r 0, 使得 P R2 | PP0 r M . 判断集合 (x, y) | 4x 2 y 5 0 与 (x, y) | x 0, y 0 是否为开集? 并证明你的结论.
张雪明老师自主招生解题思路(上午)
自主招生解题思路（上午课程）01高校自主招生备考指南一、不忘高中以前的数学例如：（2012卓越）如图，半径为5的圆O 中，延长长度为8的弦BC 至E ，使4CE =，作圆的切线EF ，F 为切点，直径MN BC ⊥（M 在BC 的劣弧上），若MF 交BC 于G ，求GE 的长。
二、重视高中现在的数学例如：（2012卓越）已知,{1,2,3,4,5}a b ∈，直线y ax b =+与圆222x y +=，求 （1）直线与圆有交点的概率； （2）直线与圆的交点个数的数学期望。
三、关注高中以后的数学例如：（2012香港大学）（1）求证220(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰；（2）求证2(sin )(sin )xf x dx f x dx πππ=⎰⎰；（3）求20sin 1cos x xdx xπ+⎰。
EM四、关注学校特色及培养理念2010北大自主招生（三校联招）数学部分1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分） 3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分） 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）02解题思路生成～简介一、名词解释T——Tie [taɪ]（联结）L——Link [lɪŋk]（联系）A——Associate [ə'soʃɪet]（联想）Tie（联结）现代汉语词典：结合在一起。
百度：结合，连接。
自主招生数学解读(二)
1.方程论的相关知识
1.(2008年南开大学) 求证: 方程2x x2 7 0有唯一的实数根x 5.
f (x) 2x ln 2 2x(x 4) f (x) 2x ln2 2 2(x 4) 且24 ln 2 2 ln 2 2 0.35.
4 而很显然有ln 2 1 ,即ln 4 1
3.函数与方程
6.(2010年南京大学)
函数f (x)是定义在(0, )上的减函数,满足f (x y) f (x) f ( y).
(1)证明:f ( x ) f (x) f ( y); y
(2) f (4) 4,求f (x) f ( 1 ) 12的解集. x 12
解 : (1)令x y 1,则f (1) f (1) f (1),得f (1) 0.
2 从而f (x) 0(x 4),所以f (x)单调递增, 且f (4) 16ln 2 8 8(ln 4 1) 0,知f (x) 0. 所以f (x)在[4, )上单调递增,因而原命题成立.
1.方程论的相关知识
其实本题，我们可以非常容易地利用观察法发 现x=5是原方程的一个根，但利用观察法的缺点 是会减根，不能找到全体的根.确定唯一性的方 法是多种多样的，构造函数证明该函数的单调 性来进行说明唯一性是我们最常用的一种方法. 但对本题而言，直接证明单调性却很难做出， 应该首先对根所在的区间进行缩小范围，再来 证明其单调性.类似的题目在2009年的南京大学 的自主招生试题中也有所体现，例如：
1.方程论的相关知识
2.(2009年南京大学)
解方程 x3 3x x 2.
令x 2cos,0
则方程变为8cos3 6cos 2cos 2,
s三c即io从n又s倍233而因c角o得为 s公334s3式cion:s3202,c4o4ss3i[2nc0,o34,(s720.])sicno(s3于(所3是以 )3ns)icno0s2或 sincn(o2s3(n31.(n)) Z )
2021年深圳中学自主招生数学
2021年深圳中学自主招生数学考试已经结束，作为选拔优秀学生的重要环节，本次数学考试备受关注。
下面将从试题设计、考试范围、难度分析等方面对本次数学考试进行全面分析。
一、试题设计本次数学考试的试题设计符合教育部规定的数学教学大纲，涵盖了数学的基本概念、理论知识和解题技巧。
试题形式包括选择题、填空题和解答题，覆盖了数学的各个方面，能够全面考察考生的数学能力。
二、考试范围本次数学考试的考试范围涵盖了初中数学和部分高中数学内容，包括代数、几何、概率统计等。
考试难度适中，符合招生学校的选拔要求，能够有效检验考生的数学基础和解题能力。
三、难度分析本次数学考试的难度与往年相比略有提升，主要体现在题目的灵活性和综合性上。
选择题的选项设计更加巧妙，填空题和解答题的题目更加注重考察学生的分析和推理能力。
整体难度与深圳相关学校的学习水平相适应，能够有效选拔出优秀的学生。
四、解题技巧针对本次数学考试，考生应注意掌握以下解题技巧：1. 题目分析：仔细阅读题目，理清题意，确定解题思路。
2. 表达准确：在解答题中，要注意逻辑清晰，步骤完整，答案准确。
3. 多维思考：在综合题中，要考虑各种解题方法，充分发挥创造性思维。
5、总结本文从试题设计、考试范围、难度分析和解题技巧等方面对2021年深圳中学自主招生数学考试进行了全面分析和总结。
希望本次数学考试能够为深圳中学选拔出更多优秀的学生，为学校的发展注入新的活力。
也希望考生们能够在备战考试的过程中牢固掌握数学知识，勇于挑战，取得优异成绩，为自己的未来铺平道路。
经过在教育部规定的数学教学大纲的指导下，我对2021年深圳中学自主招生数学考试进行了更深入的思考和分析。
我们将从考试试题设计的合理性、考试过程中的一些问题及应对措施等方面进行探讨。
一、试题设计的合理性在试题设计方面，本次数学考试充分考虑了学科的整体性和学生的综合能力。
1. 题型组合合理试题包括选择题、填空题和解答题，这三种题型的组合具有很高的教学价值和育人功效。
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高校自主招生数学试题特点及备考策略分析
一、各校自主招生试卷解读
1、近年来各高校自主招生数学试题呈现如下几个特点：
（1）从考试的知识来看，注重初高中知识的拓展与延伸，一部分会超出高考的知识范围，常涉及一些大学与高中的衔接内容。
不追求知识点的全面覆盖，重点问题侧重考查；
（2）试题难度总体上会保持稳定，6乘高考难题，4乘奥赛（也可能5：5），题目难度在高考以上，竞赛以下，经典试题有一定的重现率；
（3）注重学生能力，突出对数学思维能力、运算能力、运算技巧、应用知识解决问题能力的考查；
（4）不同学校的侧重点略有不同，但三角、函数、方程、数列、不等式、解析几何等内容是高频考点；
（5）不同学校的试卷结构也不一样；以2017年为例：
北大自招题：20道单选题，选错扣1分，不选得0分。
清华自招题：35个不定项选择题，选对得4分，选错得0分，漏选得2分。
二、数学自主招生备考策略
1、练好基本功，注意知识点的全面覆盖
数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，中等难度题目分数比例大约60% 左右。
因此，要求学生平时不仅要把基础知识打扎实，还要适度增加奥赛知识内容的练习。
2、联系教材，适度拓宽知识面
如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如数论初步、三角函数、解析几何等知识板块的一些公式或结论，掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧。
3、关注题型变化，练好近几年真题
知己知彼，百战百胜。
选择题的“考场技巧”平时要多练，北大这两年自招、博雅全是选择题，熟悉一下题型和套路。
往年的自招真题，还有全国联赛的一试题、预赛题，都具有很高参考价值。
附：获奥数奖项可以报考的自主招生专业汇总（报考范围最宽）。