图像频域处理的概述

摘要图像的频域处理是指根据一定的图像模型，对图像频谱进行不同程度修改的技术。

二维正交变换是图像处理中常用的变换，其特点是变换结果的能量分布向低频成份方向集中，图像的边缘、线条在高频成份上得到反映，因此正交变换在图像处理中得到广泛运用。

傅里叶作为一种典型的正交变换，在数学上有比较成熟和快速的处理方法。

卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它在通信系统和信号处理中的重要地位－－应用最广。

在用频域方法进行卷积过程中尤其要注意傅里叶变换的周期性，注意周期延拓的重要作用，本次课设将对此作详细的介绍。

关键字：频域处理，二维傅里叶变换，卷积，周期延拓1 图像频域处理的概述图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。

如大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变化剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。

频域处理是指根据一定的图像模型，对图像频谱进行不同程度修改的技术，通常作如下假设：1)引起图像质量下降的噪声占频谱的高频段；2)图像边缘占高频段；3)图像主体或灰度缓变区域占低频段。

基于这些假设，可以在频谱的各个频段进行有选择性的修改。

为什么要在频率域研究图像增强（1）可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。

一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。

（2）滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。

（3）可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。

（4）一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行。

2 二维傅里叶变换由于图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。

傅立叶变换在实际中的物理意义，设f 是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f 的谱。

从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。

从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。

换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

2.1 二维连续傅里叶变换如果二维连续函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则将有下面的傅立叶变换对存在：与一维傅立叶变换类似，二维傅立叶变换的傅立叶谱和相位谱为：),(),(|),(|),(),(),(arctan),φ(),(),(|),(||),(|),(22222),φ(v u I v u R v u F v u E v u R v u I v u v u I v u R v u F e v u F v u F v u j +===+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-++∞∞-+∞∞-+-==dudv e v u F y x f dxdye y xf v u F vy ux πj vy ux πj )(2)(2),(),(),(),(2.2 二维离散傅里叶变换一个M ×N 大小的二维函数f(x,y)，其离散傅立叶变换对为 ：1,1,0,1,1,0)]//(2exp[),(1),(11,0,1,1,0)]//(2exp[),(),(101101-=-=+-=-=-=+=∑∑∑∑-=-=-=-=N v M u N vy M ux πj y x f MN v u F N y M x N vy M ux πj v u F y x f M u N v M u N v在数字图像处理中，图像一般取样为方形矩阵，即N ×N ，则其傅立叶变换及其逆变换为 ：()()∑=∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ℑ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==ℑ----=-=∑∑1100]2exp[),(),()},({2exp ,1,)},({110102N N N u v vy ux j v u F y x f v u F N vy ux j y x f Nv u F y x f N x N y ππ2.3 二维离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换主要有以下性质：1. 平移性质 2. 分配律 3. 尺度变换（缩放） 4. 旋转性 5. 周期性和共轭对称性 6. 平均值 7. 可分性 8. 卷积 9. 相关性。

这里主要简述周期性，卷积相关内容会在下一节中介绍。

离散傅里叶变换有如下周期性性质：反变换也是周期性的：频谱也是关于原点对称的：这些等式的有效性是建立在二维离散傅里叶变换公式基础上的。

图像的周期性在图像处理中有非常重要的作用，下面会在卷积部分继续阐述周期性的相关内容。

3 卷积相关知识介绍卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它在通信系统和信号处理中的重要地位－－应用最广。

共分二个定理：时域卷积定理；频域卷积定理。

3.1 时域卷积定理给定两个时间函数 已知：则：(w)F (w)F (t)f (t)f 21FT21⋅−→−* 时域卷积 频域相乘即两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。

3.2 频域卷积定理给定两个时间函数 已知：则：(t)f (t)f 2π1(w)F (w)F 21IFT21⋅−→−*频域卷积 时域相乘。

即两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积（乘以系数1/π2）。

)()(21t 、f t f (w)F (t)f (w)F (t)f 2FT 21FT1−→−−→−)()(21t 、f t f (w)F (t)f (w)F (t)f 2FT 21FT1−→−−→−3.3周期延拓在卷积中的作用基于卷积理论，频率域的乘法相当于空间域的卷积，反之亦然。

当处理离散变量和傅里叶变换时，要记住不同函数所包含的周期性(4.6.1节)。

虽然可能不太直观，但周期性是定义离散傅里叶变换对时产生的数学副产品。

周期性是处理操作的一部分,不应忽视。

图3.1列举了周期性的重要性。

图3.1左边（a~e）：两个离散函数的卷积右边（f~j）：相同函数的卷积，考虑DFT周期性的应用。

图的左边一列是用下式的一维形式计算的卷积：在此详细地解释卷积运算的过程。

为简化表示，简单的数字将代替那些表示函数长度和高度的通用符号。

图3.1(a)和(b)是两个要进行卷积的函数。

每个函数包含400个点。

卷积的第一步是将一个函数关于原点进行镜像映射(倒转)，在本例情况下，对第二个函数进行，在图3.1(c)中以h(-m)示出。

下一步是将h(-m)滑过f(m)。

这要增加一个常数x到h(-m)，即变成h(x-m)，如图3.1(d)所示。

注意只有一个置换值。

在第一次遇到时．这个简单步骤通常是引起混乱的根源。

而这恰好是卷积计算的全部关键。

换言之，为了执行卷积，倒转了一个函数，并将它滑过另一个函数。

在每一个置换点(的每一个值)都要计算式的全部总和。

这个总和不比在给定位移处f和h乘积的和更太。

位移x的范围为h完全滑过f 需要的所有值。

图3.1(e)显示了h完全滑过f后的结果，并在x的每个点计算式。

在此例中，为使h(x-m)完全滑过f,x值的范围是从0到799。

这幅图是两个函数的卷积。

要清楚地记住卷积中的变量是x.从上面介绍的卷积理论可知，由F(u)H(u)的傅里叶反变换能得到同样的准确结果。

但是，从前面对周期性的讨论又知离散傅里叶变换自动地将输入函数周期化。

换言之，采用DFT允许在频率域进行卷积计算，但函数必须看做周期性的，且周期等于函数的长度。

可以通过图3.1右边一列考察这种隐含的周期性。

图3.1(f)同图3.1(a)一样，但同样的函数在两个方向上周期性地无限扩展(扩展部分用虚线表示)。

从图3.1(g)到图3.1(i)同样应用该扩展。

现在，可以通过将h(x-m)滑过f(m)进行卷积。

如前面一样，变化x完成滑动。

然而，h(x-m)的周期性扩展产生了图3.1左边的计算中所没有的值。

例如，在图3.1(i)中，当x=0时，看到h(x-m)右侧第一个扩展周期的一部分进入图3.1(f)中所示的f(m)(从原点开始)的一部分。

当h(x-m)向右滑动时，在f(m)中的那部分开始向右侧移出，但被h(x-m)左侧相同部分所取代。

这引起卷积产生一个常量值，如图3.1(j)所示的[0，100]的一段.从100到4OO的一段是正确的，但周期性是周而复始的，这样就引起卷积函数尾部的一部分丢失，由图3.1(j)和图3.1(e)实线部分的比较可以看出这一点。

在频率域，该过程需要计算图3.1(a)和(b)中函数的傅里叶变换。

根据卷积理论，两个变换要相乘，再计算傅里叶反变换。

结果包含40O个点的卷积，如图3.1(j)的实线部分所示。

简单的解释表明当使用傅里叶变换得出卷积函数时，错误地处理周期性将得到错误的结论。

结果，在开头有错误数据，结尾将丢失数据。

问题的解决办法很简单。

假设f和h分别由A和B个点组成。

对两个函数同时添加零，以使它们具有相同的周期，表示为P。

这个过程产生扩展的或延拓的函数，如下所示：和可以看出,除非选择P≥A+B-1，否则卷积的独立周期将会混叠。

已经在图3.1中看到了这种现象的结果，这通常归于缠绕误差。

若P=A+B-1，周期便会邻接起来。

若P＞A+B-1，周期将会是分隔开的，分隔的程度等于P与A+B-1的差。

扩展后的卷积结果如图3.2所示。

在这里，选择P=A+B-1(799)，即可知卷积周期是相邻的。

遵循与前面的解释相同的过程，得到如图3.2(e)所示的卷积函数。

该结果的一个周期与图3.1(e)相同，是正确的。

这样，如果要在频率域计算卷积，应该：(1)得到两个扩展序列的傅里叶变换(每个序列有8OO个点)；(2)将两个变换相乘；(3)计算傅里叶反变换。

结果便得到正确的8OO个点的卷积函数，见图3.2(e)中周期加重的部分。

图3.2（a~e）用扩展函数执行卷积的结果这些概念扩展到二维函数时遵循了相同的前提。

假设有f(x,y)和h(x,y)两幅图像，大小分别为A×B和C×D。

如同一维情况，这些行列必须假定在x方向上有相同的周期P，在y方向上有相同的周期Q。

二维卷积的混叠可由选择如下周期避免：扩展f(x,y)和h(x,y)形成如下周期性序列：为了简化图例，假设f和h是方形的，且大小相同，图3.3 对二维函数周期延拓的说明。

（a）没有延拓执行二维卷积的结果；（b）合格的函数延拓；（c）正确的卷积结果。

图 3.3(a)显示了图像没有延拓时得到的滤波结果。

这通常是由于没有对一幅输入图像进行延拓就进行傅里叶变换，然后又乘上同样大小的函数(也没有延拓)，计算傅里叶反变换。

结果就是与输入图像相同的大小为A×B的图像，如图3.3(a)左上象限所示。

如同一维情况，图像前面边沿(阻影部分)由于周期性而引入了错误数据，而在尾部边沿将丢失数据。