数字图像处理 图像的频域变换
数字图像处理中的频域滤波数学原理探索
数字图像处理中的频域滤波数学原理探索数字图像处理是一门涉及图像获取、图像处理和图像分析的学科，其中频域滤波是其中一个重要的技术。
频域滤波通过将图像从空域转换到频域，利用频域的特性对图像进行处理。
本文将探索数字图像处理中的频域滤波的数学原理。
一、傅里叶变换傅里叶变换是频域滤波的基础，它将一个函数表示为正弦和余弦函数的和。
对于一维信号，傅里叶变换可以表示为以下公式：F(u) = ∫[f(x)e^(-i2πux)]dx其中F(u)表示信号f(x)在频率域的表示，u表示频率，x表示空间位置。
对于二维图像，傅里叶变换可以表示为以下公式：F(u,v) = ∬[f(x,y)e^(-i2π(ux+vy))]dxdy其中F(u,v)表示图像f(x,y)在频率域的表示，u和v表示频率，x和y表示图像的空间位置。
二、频域滤波在频域中，对图像进行滤波意味着对图像的频率分量进行操作。
常见的频域滤波操作包括低通滤波和高通滤波。
1. 低通滤波低通滤波器允许通过低频分量，并抑制高频分量。
在图像中，低频分量通常表示图像的平滑部分，而高频分量则表示图像的细节部分。
低通滤波器可以用于去除图像中的噪声和细节，使图像变得更加平滑。
2. 高通滤波高通滤波器允许通过高频分量，并抑制低频分量。
在图像中，高频分量通常表示图像的边缘和纹理部分，而低频分量则表示图像的整体亮度分布。
高通滤波器可以用于增强图像的边缘和纹理特征。
三、频域滤波的步骤频域滤波的一般步骤包括图像的傅里叶变换、滤波器的设计、滤波器与图像的乘积、逆傅里叶变换。
1. 图像的傅里叶变换首先，将原始图像转换为频域表示。
通过对图像进行傅里叶变换，可以得到图像在频率域中的表示。
2. 滤波器的设计根据需要进行滤波器的设计。
滤波器可以是低通滤波器或高通滤波器，具体设计方法可以根据应用需求选择。
3. 滤波器与图像的乘积将滤波器与图像在频域中的表示进行乘积操作。
乘积的结果是滤波后的频域图像。
4. 逆傅里叶变换对滤波后的频域图像进行逆傅里叶变换，将其转换回空域表示。
数字图像处理 -习题2增强-噪声-几何变换-频域变换
第三章图像增强一.填空题1. 我们将照相机拍摄到的某个瞬间场景中的亮度变化范围，即一幅图像中所描述的从最暗到最亮的变化范围称为____动态范围__。
2.所谓动态范围调整，就是利用动态范围对人类视觉的影响的特性，将动态范围进行__压缩____，将所关心部分的灰度级的变化范围扩大，由此达到改善画面效果的目的。
3. 动态范围调整分为线性动态范围调整和__非线性调整___两种。
4. 直方图均衡化把原始图的直方图变换为分布均匀的形式，这样就增加了象素灰度值的动态范围从而可达到增强图像整体对比度的效果。
基本思想是：对图像中像素个数多的灰度值进行__展宽_____，而对像素个数少的灰度值进行归并，从而达到清晰图像的目的。
5. 数字图像处理包含很多方面的研究内容。
其中，__图像增强_的目的是将一幅图像中有用的信息进行增强，同时将无用的信息进行抑制，提高图像的可观察性。
6. 灰级窗，是只将灰度值落在一定范围内的目标进行__对比度增强___，就好像开窗观察只落在视野内的目标内容一样。
二.选择题1. 下面说法正确的是：（B ）A、基于像素的图像增强方法是一种线性灰度变换；B、基于像素的图像增强方法是基于空间域的图像增强方法的一种；C、基于频域的图像增强方法由于常用到傅里叶变换和傅里叶反变换，所以总比基于图像域的方法计算复杂较高；D、基于频域的图像增强方法比基于空域的图像增强方法的增强效果好。
2. 指出下面正确的说法：（D ）A、基于像素的图像增强方法是一种非线性灰度变换。
B、基于像素的图像增强方法是基于频域的图像增强方法的一种。
C、基于频域的图像增强方法由于常用到傅里叶变换和傅里叶反变换，所以总比基于图像域的方法计算复杂较高。
D、基于频域的图像增强方法可以获得和基于空域的图像增强方法同样的图像增强效果。
3.指出下面正确的说法：（D ）①基于像素的图像增强方法是一种非线性灰度变换。
②基于像素的图像增强方法是基于空域的图像增强方法的一种。
数字图像处理_图像的频域变换处理
图像的频域变换处理1 实验目的 1. 掌握Fourier ，DCT 和Radon 变换与反变换的原理及算法实现，并初步理解Fourier 、Radon和DCT 变换的物理意义。
2、 利用傅里叶变换、离散余弦变换等处理图像，理解图像变换系数的特点。
3、 掌握图像的频谱分析方法。
4、 掌握图像频域压缩的方法。
5、 掌握二维数字滤波器处理图像的方法。
2 实验原理1、傅里叶变换 fft2函数：F=fft2(A);fftshift 函数：F1=fftshift(F);ifft2函数：M=ifft2(F);2、离散余弦变换：dct2函数 ：F=dct2(f2)；idct2函数：M=idct2(F)；3、 小波变换对静态二维数字图像，可先对其进行若干次二维DWT 变换， 将图像信息分解为高频成分H 、V 和D 和低频成分A 。
对低频部分A ，由于它对压缩的结果影响很大，因此可采用无损编码方法， 如Huffman 、 DPCM 等；对H 、V 和D 部分，可对不同的层次采用不同策略的向量量化编码方法，这样便可大大减少数据量，而图像的解码过程刚好相反。
（1）dwt2[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,’wname’)[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,LO_D,HI_D’)()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ψ=dt a b t t Rf a 1b ,a W *()⎪⎭⎫ ⎝⎛-ψ=ψa b t a 1t b ,a 112()00(,)[(,)](,)ux vy M N j M N x y f x y eF f x y F u v π---+====∑∑1100(21)(21)(,)(,)()()cos cos 22M N x y x u y v F u v f x y C u C v M Nππ--==++=∑∑CA 图像分解的近似分量,CH 水平分量,CV 垂直分量,CD 细节分量； dwt2(X,’wname ’) 使用小波基wname 对X 进行小波分解。
数字图像频域变换
字
图
象 • 一维连续傅立叶变换：几个概念
处 理
（3）
f(x)的傅立叶相位记为： (u)
基
(u) = tan-1 (I(u) / R(u))
础 （4） 傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量
第 三
这个名称源于尤拉公式中的指数项
节
exp[-j2ux] = cos2ux - jsin2ux
频
如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，则易
基
h(x,y) = f*g = f(m,n)g(x – m, y – n)
础
mn
第
– 相关的定义
三
节
频
h(t) = g(t + )f()d 记为：y = g x
域
-
变
换
第
二
章 数
第三节 频域变换
字
图
象
处 理
• 连续与离散的傅立叶变换
基 础
– 一维连续傅立叶变换
第
– 二维连续傅立叶变换
三 节
-
节
频
=exp(-j2au) f(x-a)exp(-j2ux)exp( j2ua)dx
值域[0,k]的上限（最大值）
换
第
二
章 数
第三节 频域变换:傅立叶变换
字
图
象 • 离散傅立叶变换的显示
处
理
基
础
第 三 节
频 域 变 换
第
二
章 数
第三节 频域变换:傅立叶变换
字
图
象 • 离散傅立叶变换的显示
处
理
基
础
第 三 节
频 域 变 换
第
二
数字图像处理数字图像处理第二章(第二讲)空域变换、频率域变换
2.1 引言 2.2 空域变换 2.3 频率域变换 2.4 离散余弦变换 2.5 KL变换 2.6 其他正交变换
第二章 常用的数学变换
2.2 空域变换——2.2.2. 遥感影像几何校正 2.2.2.2 几何校正类型
商用遥感数据(如：SPOT-Image， Digital Globe， Space Image)都已消 除了大多数系统误差 。两种常用的几何校正方法：
第二章 常用的数学变换
2.2 空域变换——2.2.2. 几何变换
第二章 常用的数学变换
2.2 空域变换——2.2.2. 几何变换
第二章 常用的数学变换
2.2 空域变换——2.2.2. 几何变换 灰度插值——高阶插值
如果简化计算，仅取原点周围有限范围函数：
第二章 常用的数学变换
2.2 空域变换——2.2.2. 几何变换
2.2.2.2 几何校正类型 ➢ 从影像到影像的配准
从影像到影像的配准 是平移和旋转过程的结合，通过 两幅影像中的同名点进行匹配，使同名地物出现在配准后 的 影像的相同位置。若不需要使每个像元都具有特定的地 图投影坐标(x， y)，就可以使用这种纠正方法。例如，我们 可能希望用光标查看两幅不同时相影像是否发生变化。
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2.2.2.2 几何校正类型
➢ 影像校正/配准的混合方法
影像校正和配准所用的基本原理是相同的。所不同的是：从影像到 地图的校正中，参考的是有标准地图投影的地图；而从影像到影像的配 准中，参考的是另一景影像。 如果采用已校正过的影像(而不是传统地 图)为参考，那么得到的所有配准影像都会带有原参考影像中包含的几 何误差。 因此，高精度地球科学遥感研究中，应采用从影像到地图的 校正。 然而，对两个或多个遥感数据进行精确的变化检测时，选择从 影像到地图的校正和从影像到影像的配准相结合的混合校正法就显得十 分有用。
数字图像处理图像变换与频域处理
南京信息工程大学 计算机图像处理 实验(实习)报告 实验(实习)名称 图像变换与频域处理 实验(实习)日期 得分 指导老师 系 专业 班级 姓名 学号一、 实验目的1．了解离散傅里叶变换的基本性质；2．熟练掌握图像傅里叶变换的方法及应用；3．通过实验了解二维频谱的分布特点；4．熟悉图像频域处理的意义和手段；5．通过本实验掌握利用MATLAB 的工具箱实现数字图像的频域处理。
二、 实验原理（一）傅立叶变换傅立叶变换是数字图像处理中应用最广的一种变换，其中图像增强、图像复原 和图像分析与描述等，每一类处理方法都要用到图像变换，尤其是图像的傅立 叶变换。
离散傅立叶（Fourier ）变换的定义：二维离散傅立叶变换（DFT ）为：逆变换为：式中，在DFT 变换对中， 称为离散信号 的频谱，而 称为幅度谱， 为相位角，功率谱为频谱的平方，它们之间的关系为：图像的傅立叶变换有快速算法。
（二）图像的频域增强常用的图像增强技术可分为基于空域和基于变换域的两类方法。
最常用的变换域是频域空间。
在频域空间，图像的信息表现为不同频率分量的组合。
如果能让某个范围内的分量或某些频率的分量受到抑制而让其他分量不受影响，就可以改变输出图像的频率分布，达到不同的增强目的。
频域增强的工作流程：频域空间的增强方法对应的三个步骤：(1) 将图像f(x,y)从图像空间转换到频域空间，得到F(u,v)；(2) 在频域空间中通过不同的滤波函数H(u,v)对图像进行不同的增强,得到G(u,v)（注：不同的滤波器滤除的频率和保留的频率不同，因而可获得不同的增强效果）；(3) 将增强后的图像再从频域空间转换到图像空间，得到图像g(x,y)。
),(v u F ),(v u G ),(y x f ∑∑-=-=+-=1010)(2exp ),(1),(M x N y N vy M ux j y x f MN v u F π∑∑-=-=+=101)(2exp ),(1),(M u N v N vy M ux j v u F MN y x f π}1,,1,0{,-∈M x u }1,,1,0{,-∈N y v ),(v u F ),(y x f ),(v u F ),(v u ϕ),(),()],(exp[),(),(v u jI v u R v u j v u F v u F +==ϕ1．低通滤波图像中的边缘和噪声都对应图像傅立叶变换中的高频部分，如要在频域中消弱其影响，设法减弱这部分频率的分量。
2023研究生数字图像处理第3讲数字图像变换
特点：DCT具有较 好的能量压缩能力 和空间局部性
应用：在图像压缩 、图像增强等方面 有广泛应用
与其他变换比较：DCT 相对于傅里叶变换和小 波变换具有更高的压缩 效率和更好的视觉效果
小波变换的基本概念：小波变换是一种 在频率和时间上变化的函数，能够将信 号分解成不同频率和时间尺度的成分。
小波变换的原理：通过将信号与小波函数 进行内积运算，可以得到信号在不同频率 和时间尺度上的分解结果。
图像加密：通过数字图像变换技术，对图像进行加密处理，保护图像的安全性和隐私 性。
图像压缩：利用数字图像变换技术，对图像进行压缩编码，以减少图像存储和传输所 需的存储空间和带宽。
图像增强：通过数字图像变换技术，对图像进行增强处理，提高图像的清晰度和对比 度，改善图像的质量。
图像恢复：利用数字图像变换技术，对受到损坏或降质的图像进行恢复处理，以恢复 其原始质量和清晰度。
数字图像变换在图像处理中的应用 数字图像变换在不同场景下的优缺点 数字图像变换在不同领域的应用案例 数字图像变换在不同场景下的选择与优化建议
数字图像变换的基本原理
实践应用案例展示
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基于DFT的图像去噪算法
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效果评估与比较
DCT（离散余弦变换）的基本原理 基于DCT的图像压缩算法 实验结果及分析 与其他图像压缩方法的比较
小波变换的特点：小波变换具有多分辨率 分析的特点，能够同时获得信号在时间和 频率上的信息。
小波变换的应用：小波变换在数字图像处 理中广泛应用于图像压缩、图像增强、图 像去噪等方面。
傅里叶变换 小波变换 离散余弦变换 哈达玛变换
小波变换的基本原理 小波变换在数字图像处理中的应用 基于小波的变换方法实现过程 小波变换的优势与局限性
数字图像处理教程(OPENCV版)第4章 图像的频域处理
10
4.1.2 二维离散傅里叶变换性质
2024/5/9
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4.1.2 二维离散傅里叶变换叶变换性质
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4.1.2 二维离散傅里叶变换性质
2024/5/9
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4.1.2 二维离散傅里叶变换性质
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4.1.2 二维离散傅里叶变换性质
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2
4.1 二维离散傅里叶变换
2024/5/9
3
➢ 通过傅里叶变换可以将对函数的分析转为对构成它的频率成分 进行分析，每个系数代表着其对应频率对函数的贡献量
➢ 二维图像通过傅里叶变换把像素值与空间坐标对应关系转化为 傅里叶变换值与频率之间的关系
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4.1.1 二维离散傅里叶变换和反变换
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4.6.2 陷波滤波器
➢ 陷波滤波器去除周期噪声示例
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4.6.2 陷波滤波器
实际中陷波滤波器设计小窍门
➢ 求图像离散傅里叶变换，将其幅度谱以图像形式显示
➢ 找到频谱图中规律性的离散亮点，这些亮点来自周期性噪声
➢ 两种方法得到陷波滤波器频谱：
① 频谱图是单色的(黑灰白)，用彩色点遮盖噪声频谱中心点、或者用彩色块遮盖噪声频谱 ② 交互程序，用鼠标选择陷波区域 ✓ 由于频谱的对称性，建议只用彩色点/块（或鼠标选择区域） 遮盖1、2象限的频谱，后续根
➢ 高通滤波等价于“原图像-原图像低通滤波结果
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4.4.1 理想高通滤波器
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4.4.1 理想高通滤波器
➢ 理想高通滤波器会产生振铃现象
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问题的提出
人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的 信号。
但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其 非常方便分析的一面。例如，空间位置上的 变化不改变信号的频域特性。
图像变换的前提条件
首先，提出的变换必须是有好处的，换句话 说，可以解决时域中解决不了的问题。
其次，变换必须是可逆的，可以通过逆变换 还原回原时域中。
本章讨论的内容
二维离散傅立叶变换 快速傅立叶变换 二维离散傅立叶变换的应用 离散余弦变换
作 业（共1题）
1. 第230页 第1题。源自