3、图像几何、频域变换

1、图像的位置变换
三、图像的旋转
x' x cos y sin y' x sin y cos
30
x' 0.866x 0.5 y y ' 0.5 x 0.866y
x'min 0.866 0.5 * 3 0.634
2、图像的形状变换
图像不按比例缩小方法： M*N大小的图像缩小为：k1M*k2N大小， （k1<1，k2<1）。 设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y) 则：I(x,y)=F(int(c1*x),int(c2*y)) c1=1/k1 c2=1/k2
2、图像的形状变换
二、图像的放大
图像的缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选 所需要的有用信息。 图像的放大操作中，则需对尺寸放大后所多出来 的空格填入适当的值，这是信息的估计问题，所 以较图像的缩小要难一些。
1、图像的位置变换
图像的旋转注意点： 2）图像旋转之后，会出现许多的空洞点，对 这些空洞点必须进行填充处理，否则画面 效果不好。称这种操作为插值处理。
1、图像的位置变换
插值最简单的方法是行插值或是列插值方法： 1. 找出当前行的最小和最大的非白点的坐 标，记作：(i,k1)、(i,k2)。 2. 在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法 是：空点的像素值等于前一点的像素值。 3. 同样的操作重复到所有行。
2、图像的形状变换
三、图像的错切变换 图像的错切变换实际上是景物在平面上的 非垂直投影效果。
x' x d x y ( x方向的错切) y' y x' x ( y方向的错切) y' y d y x
2、图像的形状变换
dx 1
d y 1
可以看到，错切之后原图像的像素排列方向改变。与 前面旋转不同的是，x方向与y方向独立变化。
令：wNx exp( j 2x ) N
则：F ( )
N / 2 1
1 N
f ( x)wNx
x 0
N 1
2 2 N / 21 2 1 [ f (2 x)wNx f (2 x 1) wN ( 2 x 1) ] 2 N x 0 N x 1 1 1 M 1 1 M 1 x M N [ f (2 x)wM f (2 x 1) wMx wN ] 2 2 M x 0 M x 1 1 （分成奇数项和偶数项之和） [ Fe ( ) wN Fo ( )] 2
(3) 1 2 1 2
f w f f w f f w f
1 0 2 5 3 3 0 2 7 0 2 7
0 F (1) (0) 1 F (1) (0) w4 F (3) (0) 2
F (1) (1) 1 2 F (1) (2) 1 2 F (1) (3) 1 2
f3
f7
2、快速Fourier变换（FFT）
0 F (0) (0) 1 f 0 w2 f 4 2
f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
偶 数 区
f0 f4 f2 f6 f1
F (1)
( 0)
1 2
F ( 2) (0) 1 2 F ( 2) (1) 1 2
f f f
2. Fourier变换在图像压缩中的应用
变换系数刚好表现的是各个频率点上 的幅值。在小波变换没有提出时，用来进 行压缩编码。考虑到低频反映图像实体、 高频反映边缘轮廓的特性。往往认为可将 高频系数置为0，骗过人眼。
3、二维Fourier变换的应用
3. Fourier变换在卷积中的应用:
从前面的图像处理算法中知道，如果 抽象来看，其实都可以认为是图像信息经 过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化 滤波等 ）。 如果滤波器的结构比较复杂 时，直接进行时域中的卷积运算是不可思 议的。
x'max 0.866* 3 0.5 2.098
y'min 0.866 0.5 1.366 y'max 0.866* 3 0.5 * 3 4.098
1、图像的位置变换
图像的旋转注意点： 1） 图像旋转之前，为了避免
信息的丢失，一定有平移 坐标，具体的做法有如图 所示的两种方法。
例：
F0 , F1 , F2 , F3 , ( F4 , F5 , F6 , F7 )
F0 , F1 (F2 , F3 )
(1)
( 0)
F0 , F1 (F2 , F3 )
(1)
F0 ( F1 )
( 0)
F0 ( F1 )
( 2)
F0 ( F1 )
F0 ( F1 )
( 3)
f0
f4
f2
f6
f1
f5
3、二维Fourier变换的应用
f (i, j )
G (S )
f g (i, j)
fg g f
图像变换
主要内容： 图像的几何变换 图像的频域变换
一、图像的几何变换
我们知道，图像是对三维实际景物 的平面投影。为了观测需要，常常需要 进行各种不同的几何变换。注意一点， 实际上几何变换不改变像素值，而是改 变像素所在的位置。
1、图像的位置变换
一、图像的平移
y
x' x x y' y y
2、图像的形状变换
1.按比例放大图像 如果需要将原图像放大k倍，则将一个像 素值添在新图像的k*k的子块中。
放大5倍
2、图像的形状变换
2. 图像的任意不成比例放大： 这种操作由于x方向和y方向的放大倍数 不同，一定带来图像的几何畸变。 放大的方法是： 将原图像的一个像素添到新图像的一个 k1*k2的子块中去。
(1) w1 F ( 2) 4
( 0)
0 (0) w4 F ( 2)
( 0)
(1) w1 F ( 2) 4
(1) (0) (1)
奇 数 区
f5 f3 f7
0 F (1) (0) 1 f1 w2 f5 2
F (1) (1) 1 2 F (0) F (3) (1)

1、图像的位置变换
经过插值处理之后，图像效果就变得自然。
2、图像的形状变换
一、图像的缩小 图像的缩小一般分为按比例缩小和不按比例 缩小两种。图像缩小之后，因为承载的信息 量小了，所以画布可相应缩小。
2、图像的形状变换
1. 图像按比例缩小：
最简单的是减小一半，这样只需取原图的偶（奇） 数行和偶（奇）数列构成新的图像。
F (4) 1 2 F (5) 1 2 F (6) 1 2 F (7) 1 2
F F F F
0 (0) w8 F (1) ( 0) 1 (1) w8 F (1) ( 0) (2) w82 F (1) ( 0) ( 0) 3 (3) w8 F (1)
1、二维离散Fourier变换
正变换：
F ( , ) f ( x, y) e
x 0 y 0
M 1 N 1
j 2 ( x y ) M N
反变换：
f ( x, y)
M 1 N 1 1 MN 0 0
F ( , ) e
j 2 ( x y ) M N
1、二维离散Fourier变换
1、二维离散Fourier变换：
因为2维DFT可以看成是两次的1维DFT变换，即：
F (,) f行{ f列[ f ( x, y)]}
所以二维离散Fourier变换实际上是对其进行了2次 的一维DFT变换。
2、快速Fourier变换（FFT）
一、快速Fourier变换的推导
F F F
(1)
(1) w1 F (3) 4
0 (0) w4 F (3)
(1)
(1)
(1) w1 F (3) 4
(1) (0) (1)
2、快速Fourier变换（FFT）
f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7
0 F (0) 1 F (0) (0) w8 F (1) (0) 2 1 F (1) 1 F (0) (1) w8 F (1) (1) 2 F (2) 1 F (0) (2) w82 F (1) (2) 2 3 F (3) 1 F (0) (3) w8 F (1) (3) 2
0
2
2
w f w f w f
0 2 4
0 2 6 0 2 6
0 F (0) (0) 1 F (0) (0) w4 F ( 2) (0) 2
F (0) (1) 1 2 F (0) (2) 1 2
F (0) (3) 1 2
F F F
( 0)
2、快速Fourier变换（FFT）
例：设对一个函数进行快速Fourier变换，函数为：
f 0 , f1 , f 2 , f3 , f 4 , f5 , f 6 , f 7
分成偶数、奇数为：
f0 , f2 , f4 , f6 f0 , f4 f2 , f6
f1 , f 3 , f 5 , f 7 f1 , f 5 f3 , f7
x 1, y 2
x
注意：平移后的景物与原图像相同，但“画 布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。
1、图像的位置变换
二、图像的镜像
x' x (水平镜像) y' y x' x (垂直镜像) y时，实际上需要对坐标先进行 平移，否则将出错。因为矩阵的下标不能为 负。
2、图像的形状变换
四、几何畸变的矫正
受到错切变换效果的启发，将其进行简单的延伸， 当景物在图像上是非垂直投影时，可以通过几何变换 将其进行矫正。 矫正方法为：