【最新试题库含答案】2017级硕士研究生《数值分析》试卷(A)与参考答案
2017-2018-1数值分析试题A卷
注：1、教师命题时题目之间不留空白：2、考生不得在试题纸上答题.教师只批阅答題册正面部分,_2017—年〜_201 年 第1学期 试题注意：本次考试采取开卷考试，考生可使用纸质参考资料和专用的计算器；不得 使用任何电子参考资料。
一.选择题（5小题，每小题3分，共3*5=15分）1. 已知数x 1=721, “2=0.721,妒0.700, x 4=7xl0-2 3 4 5是由四舍五入得到的，则它们 的有效数字的位数分别为（）。
A. 3, 3, 3, 1； B. 3, 3, 3, 3；C. 3, 3, 1, 1；D. 3, 3, 3, 22 牛顿下山法Xk+l =Xk -A-^~中几的取值范围是（）。
/ （兀）A. 2<0； B ・ Ov/lvl ； C ・ OvQSl ；D. z>l 3 用选主元的方法解线性方程组Ax=b,是为了（）。
A.提高计算速度；B.减少舍入误差；C.减少相对误差；D.方便计算 4 以下命题正确的是（）。
A. 过“+1个互异节点的牛顿插值多项式最高次幕的系数为/［AO ,AI ,...,A -H ］（此项不为0时）； B. 过节点（xo,yo ），（myi ）,…,（x…y y n ） （n>3）,则均差/%，心,也］埶皿皿心］;C. 过n+1个互异节点的拉格朗日插值多项式一定是〃次多项式；D. 对于给定的数据作插值，插值多项式存在且唯一。
5 有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是（）次的。
A. 5； B< 6； C ・ 7； D ・ 3课程名称： 数值分析 考生学号： _______________试卷类型：A 卷、/ B 卷口 专业年级： 2017级研究生考生姓名： __________________ 考试方式：开卷7闭卷口二、填空题（5小题，每小题3分，共3*5=15分）1.为了避免计算时有效数字的丢失，如在求式子y = V7TT-石的值，应将其变换成______________ 进行计算。
《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析及工程应用2017-2018-A卷
华北电力大学研究生课程考试试题（A 卷）2017 ～2018 学年第 一 学期课程编号： 50920881 课程名称： 数值分析及工程应用年 级： 2017级研究生 开课单位： 数理学院 命题教师： 甄亚欣 考核方式： 闭卷考试 考试时间： 120 分钟 共 2 页所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效。
一、填空题(每空3分，共30分)1. 计算球体积要使相对误差限为1%，则度量半径R 时允许的相对误差限为 。
2.计算61)−1.414≈。
在4位机上计算，利用以下二种计算格式，试问哪一种算法误差较小。
__ _。
（A（B3. 01()()()(),n f x x x x x x x =−−−(0,1,,)i x i n =互异且p n ≤，则01[,,,]p f x x x = 。
4. 设)5,4,3,2,1,0(=i x i 是互异节点, )(x l i 为Lagrange 插值基函数，则∑==++525)()12(i i i i x l x x。
5. 设{}0()k k x ϕ∞=是区间[]0,1上权函数为()x x ρ=的最高次项系数为1的正交多项式序列，其中0()1x ϕ=，则120()x x dx ϕ=⎰ 。
6. 用迭代格式,(),(,,,)+==+=1301231012n n x x x k ，求方程−−=3310x x 在[]1.8,2内的实根是 （收敛或发散）的。
7.()()()−=≈∑⎰111为奇数nk k k f f x n x dx A 是Newton-Cotes 求积公式，则=∑1nn kkk A x= 。
8. 设有矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=4032A ，则1A ＝_______。
9. 以下算法实现了什么功能？(()()()1:1:0* 0,1,),(;输入，输出）p a n for k n p x p a k e n x n a i i p d==−=+⋯=−10. 对'(),()=−−+=2100201y y x x y 用Euler 方法求解，步长h 的取值范围为 ，才能使计算稳定。
数值分析 试题纸A及其参考答案
一、填空题(每题3分，共30分)1. 用1415.3近似π,有效位数为 ① 。
2. 若干个浮点数做连加运算，按 ② 安排运算时，计算误差小。
3. 对称正定矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1911215412416A 做Cholesky 分解，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a L 3214，那么，=a ③ ，=b ④ 。
4. 用部分选主元的Doolittle 分解法分解矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2103673285213234，经过第一轮分解后得到⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2104367321852413234，在第二轮分解时，应选择第 ⑤ 行作为主元行。
5.以这三点为节点的二次Newton 插值多项式为 ⑦ 。
6. Cotes 系数)(n k C 只跟将积分区间等分的份数有关，而跟 ⑧ ，和 ⑨ 都无关。
7. 用Jacobi 迭代求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+=+-9353258462321321321x x x x x x x x x 取初始值T x)0,0,0()0(=，则=)1(x ⑩ 。
二、设序列{}n y 满足关系式11-=n n y ny ，假设在求0y 时的误差为ε，求计算10y 的误差，并讨论计算的稳定性？（8分）三、用紧凑格式的Doolittle 分解法求解线性方程组（10分）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---35303311111066133154602134321x x x x四、已知数据表①求最小二乘拟合函数2210)(x a x a a x P ++=和拟合误差。
（保留5位有效数字）（10分）②求二次Lagrange 插值多项式)(2x L （7分）③比较)(x P 和)(2x L ，并对结果做出说明（5分）五、证明⎩⎨⎧∈+-+∈+++=].2,1[458]1,0[223)(2323x x x x x x x x x f 是以)34,2(),8,1(),2,0(为节点的三次样条插值函数。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析 .doc
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。
（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
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2017级硕士研究生《数值分析》试卷(A)与参考答案：
篇一：硕士研究生《数值分析》试卷2013(A)
硕士研究生《数值分析》试卷2013(A)
一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题2
分，共10分) 1. 近似数x?3.200关于准确值x?3.200678有4位有效数字。
( ) 2. 设xi(i?0,1,2,3)是互异的点，li(x)(i?0,1,2,3)是Lagrange插值基函数，则
*
?4xl(x)?4x
2ii
i?0
7
3
2
.( )
1
2
3
4
5
6
7
3. 设f(x)?x?3x?2，则差商f[2,2,2,2,2,2,2]?1。
( )
4. 设A是n 阶非奇异方阵，则解方程组Ax?b的迭代法收敛的充要条件是A的谱半径3
?(A)?1。
( )
5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta方法的整体截断误差是O(h)，其中h是步长。
( )
二、填空题 (每空2分，共16分) 1. 设x?(2,1,?3,4)，A??2. 设I? T
4
??25?
?. 则 ||x||1?Cond(A)??4?3??
?
20
若用梯形求积公式计算I，结果是4；用Simpson求积公式计算I，f(x)dx，
结果是2. 则f(1)? .
3. 设S是函数f在区间[0,3]上满足第一类边界条件的的三次样条：?x2, 0?x?1,?
S(x)??12
??x?1??a?x?1??b,1?x?3,?2
则a?，b?f?(3)?.
4. 设函数f(0.8)??1.2,f(0.9)??1.4,f(1)??1.0,f(1.1)?0.2,f(1.2)?0.5, 步长h?0.2，则用三点数值微分公式计算f?(1)的近似值为.。