还原问题知识讲解及练习

还原问题知识讲解及练习（含答案）已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题。

还原问题又叫做逆推运算问题.解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算.在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推。

在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反。

板块一、单个变量的还原问题【例 1】 某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？【解析】 分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。

这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。

如果没减去2，此数是：10212+= 如果没除以2，此数是：12224⨯= 如果没乘以3，此数是：2438÷= 如果没加上3，此数是：835-= 综合算式()1022335+⨯÷-=【巩固】 1、(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是 。

【巩固】 2、一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗?【巩固】 3、少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子?【例 2】 牛老师带着37名同学到野外春游．休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗? 【解析】 采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推．这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？ 没减去16时应是多少？没乘以2时应是多少？这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数．没加上8时应是：38830-=；没除以2时应是：30260⨯=；没减去16时应是：601676+=；没乘以2时应是：76238÷=， 即[388216] 238-⨯+÷=（）(岁).【巩固】 1、小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4. 请你算一算，我今年几岁？”【巩固】2、学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．1010100⨯=，10010110+=，1101011÷=，11101-=解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法． 综合算式为：【巩固】 3、学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道答案吗？ 【解析】 根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果16，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．16÷×64-5+3某数综合算式为：【例 3】 一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去6后，缩小2倍，再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？ 【解析】 从最后一个条件“恰好是100分”向前推算．扩大2倍是100分，没有扩大2倍之前应是100250÷= (分)，加上10后是50分，没有加上10前应是501040-=(分)，缩小2倍是40分，那么没有缩小2倍前应是40280⨯=(分)，减去6后是80分，没有减去6前应是80686+=(分)．综合列式为：(100210)26402686÷-⨯+=⨯+=(分)【巩固】1、在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:小新爷爷今年多少岁数?【巩固】2、学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘以10，恰好是2000岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？【例 4】哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？【解析】被减数十位上的6变成9，使被减数增加906030-=，差也增加了30；减数个位上的9错写成6，使减数减少了963-=，这样又使差增加了3，这道题可以说成：正确的差加上30后又加上3得577，求正确差．所以列式得：577969060544（）（）．----=【巩固】1、小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的9看作6，十位上的6看作9，结果和是174，那么正确的结果应该是多少呢？【巩固】2、淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?.【巩固】3、小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答案是多少？【例 5】三只猴子分一堆桃，大猴子先拿了这堆桃的一半少1个；第二只猴子拿了余下的桃子的一半多1个；小猴子分得余下的8个桃，桃子就被全分完了。

问，这堆桃子共多少个？【分析与解】此题条件较复杂，我们可以通过画图进行分析，你能从图中发现哪个部分是大猴子拿的桃子吗？其实解决这类问题我们关键是要找到“一半”所对应的数量，从最后进行推算。

剩下的一半：8＋1=9（个）；剩下多少个：9×2=18（个）一半是多少个：18－1=17（个）；一共有多少个桃子：17×2=34（个）算式：［（8+1）×2－1］×2【巩固】1、学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？【解析】根据题意，画图倒推分析：15924+=(米)2410228-⨯=（）(米)282260+⨯=（）(米)综合算式：【巩固】2、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。

这捆电线原来有多少米？【解析】可依照题意画出右图。

从线段图上可以看出：【巩固】3、甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个，还剩下25个没有加工，问：这批零件有多少个？【解析】如右图所示，按照图与题目的条件，列综合算式：剩下的一半图3零件的一半10个10个？25个余下的一半第一次用去的3米图2 10米第二次用去的全长的一半7米第三次用去的15米全长？米【例 6】 货场原有煤若干吨。

第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。

货场原有煤多少吨？结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了然。

根据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少吨。

（1）剩余煤的吨数是：12002600÷=（吨） （2）现有煤的一半是：60050650+=（吨） （3）现有煤的吨数是：65021300⨯=（吨） （4）原有煤的一半是：1300450850-=（吨） （5）原有煤的吨数是：85021700⨯=（吨） 算式：［（600+50）×2 - 450］×2【巩固】1、食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后剩下122千克．这批大米共有多少千克？【巩固】 2、山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？【巩固】 3、修建一条下水道，第一周修了全长的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了30米，最后还剩18米，这条下水道长多少米？【解析】 如下图，从图中可知30181236+-=是第一周修后余下的一半，3621284⨯-=米是下水道全长的一半．第二次运进450吨现有煤的一半 第一次用去原有煤的一半图41倍 第三次运出的原有煤？吨1200吨2倍 50吨【例 7】 小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：小丽原有多少钱？【解析】 用倒推法，第二次剩下的一半是415+=（元），第二次剩下5210⨯=（元），第一次剩下10220⨯=（元），原来有20424+=（元）。

列综合算式：()4122424+⨯⨯+=【巩固】 1、有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。

这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？【例 8】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修了30米，此时还剩下14米没有修，则这条小路长 米。

【分析】 如图1所示，先根据线段图理清数量关系，可得全长为：()143020262108+-⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦（米）。

14第三天30206第二天余下的一半第一天全长的一半甲取出的余下的一半 一半 再余下的一半乙取出的1个1个 1个 1个 丙取出的4元第一次剩下的一半？第二次剩下的一半1元 4元【巩固】 1、一个人沿着公园马路走了全长的一半后，又走了剩下路程的一半，还剩下1千米，问：公园马路全长多少千米？【解析】 如图，【例 9】 思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？【解析】 根据题意，画出线段图，倒推分析．8216⨯=(米)16232⨯=(米)算式：8×2×2【巩固】 1、一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少12克．第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克．问蚂蚁家原有食物多少克? 【解析】 采用倒推法，教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是431231-=(克)；这样，第一天运出后剩下的重31262⨯=(克).那么同理，一半的重量是621250-=(克)，原有食物502100⨯=(克).即【巩固】 2、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？【巩固】 3、修建一条下水道，第一周修了全长的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了30米，最后还剩18米，这条下水道长多少米？【解析】 如下图，从图中可知30181236+-=是第一周修后余下的一半，3621284⨯-=米是下水道全长的一半．剩下的一半 全长的一半？1千米【例 10】桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了.那么园中原有多少桃？【解析】第三群猴没吃，相应有桃(1000.5)2201+⨯=(个)第二群猴没吃，相应有桃(2010.5)2403+⨯=(个)第一群猴没吃，相应有桃(即桃园中原有桃) (4030.5)2807+⨯=(个)算式：｛［（100+0.5）×2+0.5］×2+0.5｝×2【巩固】1、山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？【例 11】刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的13，第三口则喝了剩下的14，第四口再喝剩下的15，第五口喝了剩下的16．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？【解析】最开始瓶子里有矿泉水：0.5÷（1-16）÷（1-15）÷（1-14）÷（1-13）÷（1-1/2）即111110.511111323456⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-⨯-⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（升）．【巩固】1、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，每份一枚.问：原来至少有多少枚棋子？【详解】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚.由此逆推，得到第三次分之前有1415⨯+=(枚)，第二次分之前有54+121⨯=(枚)，第一次分之前有214+1=85⨯(枚).【巩固】2、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，每份两枚.问：原来至少有多少枚棋子？板块二、多个变量的还原问题【例 12】三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？【解析】甲：2404020260+-=（元）；乙：240403070160-+-=（元）；丙：240302070300-++=．【巩固】1、小巧、小亚、小红共有90个玻璃球，小巧给小亚6个，小亚给小红5个，小红给小巧8个，他们的玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？【巩固】2、三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟?【巩固】3、三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一棵4 只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？【巩固】4、三个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?【巩固】5、解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？【例 13】甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树28214+=（棵），如果开始÷=（棵），乙班有281442不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树42221÷=（棵），甲班原有树142135+=（棵）．列表倒推如下:【巩固】1、一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三个班的图书数目都是48本．求三个班原来各有图书多少本？【解析】我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理．在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目．依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班．其余各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：【巩固】2、甲、乙、丙3人共有192张邮票．从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？【解析】甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数相同，即3人各有邮票：192364÷=（张）．第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票64232+=（张），依此类推，就可以推出答案了．最后相等时各有192364÷=÷=（张），丙有邮票：643296（张），列表倒推如下：【巩固】3、有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？【巩固】4、甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙，使乙、丙的铜板数各增加了1倍；乙把自己的铜板拿出一部分给甲、丙，使甲、丙的铜板数各增加了1倍；丙把自己的铜板拿出一部分给乙、甲，使乙、甲的铜板数各增加了1倍，这时三人铜板数都是8枚，原来每人各有几枚？【例 14】3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌．第一局，甲输给了乙和丙，使他们每人的钱数都翻了一番．第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍．第三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍．结果，这3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的．细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100元．你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？【解析】假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，利用倒推法．所以刚开始时，甲有1320260÷=(元)．⨯=(元)，丙有720140⨯=(元)，乙有42080【巩固】1、甲乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍．现在三人的糖豆一样多．如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？【解析】【例 15】有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克.先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶.这时，各桶油都是16千克.问：各桶原有油多少千克？【解析】列表逆推如下：原来甲、乙、丙桶分别有油26，14，8千克.逆推时注意，每次变化时，有两桶各增加了一倍，逆推时应分别除以2；另一桶减少了上述两桶增加的数，逆推时应使用加法.【巩固】1、（第四届《小数报》数学竞赛决赛试题）A、B、C三个油桶各盛油若干千克．第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克．问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？【解析】用“倒推法”列出下表【巩固】2、三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原来的2倍与3倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们的水分别增加到3倍与2倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到2倍，这时三个容器中的水都为96毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？【解析】答案例11、666661⨯+÷-=（）2、3672416244⨯-+=.3、25255250+⨯=（）(个) 例2 1、()4567810⨯-÷+=2、1010101010100101010110101011101⨯+÷-=+÷-=÷-=-=（）（）3、16645396453245329326⨯÷+-=÷+-=+-=-= 例31、(100106)41579÷+⨯+=2、（2000÷10+15）×5 – 75 例41、174961096174330147+--⨯-=+-=（）（）2、164(7349) 188+-= 或 164630188-+=3、123(8030)(95)169+---= 例51、｛［（9+15）－10］×2 +2｝×22、()71510232+-⨯+⨯⎡⎤⎣⎦=543、[](2510)2102160+⨯+⨯= 例61、[1228228]22002400-⨯-⨯=⨯=（）2、2[1222]16⨯+⨯+=（）3、[301812212]2842168+-⨯+⨯=⨯=（） 例71、{}21222⨯⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦（1+1）2+166223÷= 例8 1、1×2×2 例91、[4312212]2100-⨯-⨯=（）2、(15710)23254+-⨯+=⨯=3、[301812212]2842168+-⨯+⨯=⨯=（） 例101、2[1222]16⨯+⨯+=（） 例111、［（+1+12、［2+1+1例121、三人一样多时，都是90330-=（个），小红原来有30333+=-=（个），小亚原来有30129÷=，小巧原来有302282、第一棵树上的小鸟只数：121046--=（只）-+=（只）或12(104)6第二棵树上的小鸟只数：128416+-=（只）+-=（只）或12(84)16第三棵树上的小鸟只数：1210814+-=（只）+-=（只）或12(108)143、三棵树上的鸟同样多的只数：2739÷=（只）第一棵数上鸟的只数：9427-+=（只）第二棵数上鸟的只数：92310-+=（只）第三棵数上鸟的只数：93410-+=（只）4、第1个笼子里原来养了26834+=（只）第2个笼子里有：266824+-=（只）第3个笼子里原有26620-=（只）5、［（30-8）×2+35］×2例132、4、甲13枚，乙7枚，丙4枚．例141、先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，实际上甲原来有51粒，51317÷=，那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始有糖豆17585⨯=（粒）．例15桶有油8千克答：三个容器原来分别有水168毫升、88毫升、32毫升。