图形复合变换的原理
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
计算机图形学第五章图形变换
第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。
点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。
所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。
例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。
将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。
图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。
新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
计算机图形学_ 二维图形变换_53 二维图形变换原理及齐次坐标_
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点 ；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运 算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义 上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维 的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果 是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h）， 其中h称为哑坐标。 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐 标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一 种二维坐标到二维坐标之间的线性变换 （1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上 点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示 如下式所示的规格化形式：
图像缩小方法
（2.3.12）
21
⎡33 39 15 21⎤ ⎥ G=⎢ ⎢35 11 17 23⎥ ⎢ ⎣36 12 18 34⎥ ⎦
2 图像的比例放大变换
（2.3.13）
图像在缩小操作中， 是在现有的信息里如何挑选所需要的有用信息。 而在图像的放大操 作中，则需要对尺寸放大后所多出来的空格填入适当的像素值，这是信息的估计问题，所以 较图像的缩小要难一些。 由于图像相邻像素之间的相关性很强， 可以利用这个相关性来实现 图像的放大。与图像缩小相同，按比例放大不会引起图像的畸变，而不按比例放大则会产生 图像的畸变。图像放大一般采用最近邻域法、线性插值法、三次卷积法。 （1）最近邻域法 一般地，按比例将原图像放大 k 倍时，如果按照最近邻域法，则需要将一个像素值添在 新图像的 k × k 的子块中。式（2.3.14）为图像 F 的矩阵，该图像放大 3 倍得到图像 G 的矩 阵用式（2.3.15）表示。图 2.3.3 为放大 5 倍的示意图。显然，如果放大倍数太大，按照这种 方法处理会出现马赛克效应。
⎧ 1 − 2x2 + x 3 0 ≤ x ≤1 ⎪ 3 ⎪ ω ( x) = ⎨4 − 8 x + 5 x 2 − x 1 ≤ x ≤ 2 ⎪ 0 2≤ x ⎪ ⎩
三次多项式 ω ( x) 近似表示灰度内插时周围像元的灰度值对内插点灰度值的贡献大小。 可先在某一方向上内插， 如先在 X 方向上， 每 4 个值依次内插 4 次， 求出 f ( x, j − 1) ，f ( x, j ) ，
⎡ f11 ⎢f F = ⎢ 21 ⎢ f 31 ⎢ ⎣ f 41
f 12 f 22 f 32 f 42
f 13 f 23 f 33 f 43
f 14 f 24 f 34 f 44
图形变换概述
0 1 ty
100÷÷÷÷÷÷÷÷÷
(x',y') (x,y)
0
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
X
《计算机图形学》
平移变换的特性
二维图形变换 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的每个点移动相同的坐标
几何变换
直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上
平移变换
平移变换 旋转变换 放缩变换 错切变换
关于原点的对称变换 关于直线y=x的对称变换 关于直线y= –x的对称变换
对称变换 复合变换
视象变换
(-x,y) Y(x,y)
视窗变换
(y,x)
(-y,-x)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(-x,-y) (x,-y)
《计算机图形学》
旋转变换的特性
二维图形变换 旋转是一种不变形地移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的所有点旋转相同的角度
几何变换
直线段旋转是将每个端点旋转指定的旋转角
平移变换 旋转变换 放缩变换
多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角 曲线的旋转则是旋转控制取样点
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
(xⅱ y
1)= (x
y
1)骣 ççççççç桫100
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
Y (x,y)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(x,-y)
《计算机图形学》
对称(Mirror)变换
二维图形变换 关于Y轴进行对称变换的解析表示
图形变换概述
x'= –x
对称性的组合变换
对称性的组合变换对称性是一种根深蒂固的美学概念，具有深刻的哲学内涵。
在现代科学的发展中，对称性早已不再是一个纯粹的美学问题，而是成为了物理学、化学等领域中不可或缺的基础原理之一。
本文将探讨对称性的组合变换及其在组合学、几何学等各个领域中的应用。
一、组合变换在数学中，对称性通常可以通过变换来实现。
其中的一类变换是组合变换，它是通过多个单一变换依次执行的一种复合变换。
比如，平面上的一次组合变换可以由平移、旋转和镜像等基本变换依次构成。
平移是指将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，可以看作是一种由向量构成的变换。
旋转是指将一个图形沿着一个点进行旋转，同样可以看作是一种由向量构成的变换。
镜像则是将一个图形沿着一条直线或平面进行反射，也可以看作是一种由向量构成的变换。
这三种基本变换的组合可以产生各种不同的变换，比如平移与旋转的组合，称为一次旋转平移变换。
在平面上，我们可以通过组合变换来制作各种对称图形，如正多边形、星形图案等等。
对于一些更为复杂的图形，组合变换同样具有重要的作用。
在组合变换中，不仅包含了基本的平移、旋转、镜像等变换，还涉及到许多其他的复杂变换，比如拉伸变换、剪切变换等等。
二、对称组合排列对称组合排列是对称性的一种经典应用。
在其基本定义中，对称组合排列是指由一组对称变换组成的排列，通过多次执行这些变换，可以得到一系列不同的排列。
对称组合排列可以由一个或多个对称点、对称轴或对称面组成，这些对称元素可以被视为排列的对称中心。
通过对称组合排列，我们可以很容易地构造出许多美丽复杂的图形。
比如，一个六边形可以围绕着某个对称轴执行旋转变换，可以得到一个六叶花的形状。
又比如，在正方形的四个角上各取一点，然后将它们通过组合变换连接起来，可以得到一个正八面体的形状。
对称组合排列在组合学、几何学等领域中都是重要的研究领域。
组合学和几何学中的许多问题都可以通过对称性的分析和计算来解决。
三、对称性在几何学中的应用对称性在几何学中有着广泛的应用。
二维图形变换
)
r
cos
sin
＋r
sin
cos
将式（5-11）代入式（5-12）得：
x' x cos y sin
y'
x
sin
y
cos
矩阵形式
x
y x
y
cos sin
sin
cos
（5-12） （5-13） （5-14）
5.2.3 齐次坐标（homogeneous coordinates）技术
图形变换
大多数几何变换（如平移、旋转和变比）是保 持拓扑不变的，不改变图形的连接关系和平行 关系
对于线框图形，通常是以点变换为基础，把图 形的一系列顶点作几何变换后，连接新的顶点 序列即可产生新的变换后的图形。
对于用参数方程描述的图形，可以通过参数方 程几何变换，实现对图形的变换（基于效率的 考虑）。
几何 关系
x' y
y'
x
y
o
x
对称变换（3）
y
y=x
x o
对称变换（4）
（5）相对于直线y=-x对称
y=-x
几何关系
x' y
y'
x
y
o
x
对称变换（5）
错切变换（shear）
错切变换是将坐标点沿x和y轴发生不等量的变换， 得到点的过程 。
y
y
y
O
x
O
x
O
x
（a）正方形
（b）沿+x方向错切
（c）沿-x方向错切
图形变换
图形变换
图形变换是计算机图形学基础内容之一。 内容： 几何变换； 视图变换； 投影变换。 作用： 把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 可用二维图形表示三维形体； 动态显示。
中考数学图形的旋转与对称
中考数学图形的旋转与对称在中考数学中，图形的旋转和对称是一个重要的考点。
本文将介绍图形的旋转和对称的概念、性质以及解题技巧，帮助同学们更好地理解和应用这一知识点。
一、图形的旋转图形的旋转是指围绕某个点旋转一定角度后所得到的新图形。
在中考数学中，常见的图形旋转有顺时针旋转和逆时针旋转两种。
1. 顺时针旋转顺时针旋转是指图形围绕某个点按照顺时针方向旋转一定角度。
旋转后，原来图形上的点和线段相对位置发生改变，但是图形的大小和形状不变。
2. 逆时针旋转逆时针旋转与顺时针旋转相对，是指图形围绕某个点按照逆时针方向旋转一定角度。
同样，旋转后图形的大小和形状不变。
图形的旋转可以通过几何划线法和坐标变换法进行求解。
特别是坐标变换法，可以通过将原图形的坐标点进行变换计算，得到旋转后图形的坐标点，从而绘制出旋转后的图形。
二、图形的对称图形的对称是指图形按照某个轴或某个点进行对称，得到的新图形和原图形完全一致。
根据对称的方式，图形的对称可以分为轴对称和点对称。
1. 轴对称轴对称是指图形按照某条直线进行对称，对称后的图形与原图形重合。
对称轴是使得对称前后对应点在同一条直线上的直线。
2. 点对称点对称是指图形按照某个点进行对称，对称后的图形与原图形完全一致。
对称中心是使得对称前后对应点在同一直线上的点。
图形的对称可以通过几何划线法和坐标变换法进行求解。
对称轴可以通过观察图形特点或者通过求交点的方法来确定。
点对称也可以通过观察图形特点或者通过坐标变换法来求解。
三、图形旋转与对称的性质1. 旋转与对称的复合变换图形的旋转和对称可以进行复合变换，即先进行旋转变换，再进行对称变换，或者先进行对称变换，再进行旋转变换。
复合变换后，图形的大小和形状保持不变。
2. 旋转与对称的性质运用图形的旋转和对称性质经常在中考数学的几何题中应用。
特别是在计算图形的面积、周长、角度等问题时，通过旋转和对称可以简化计算过程，提高解题效率。
四、例题解析1. 已知一个三角形ABC，将其绕点A顺时针旋转120度，再绕点B逆时针旋转90度，得到一个新的三角形A'B'C'。
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图形复合变换的原理复合变换是指：图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘的形式。
任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。
复合变换具有形式:
P-T = P (T{- 7；AT n)
= P^T2-T3AT n (n>l)
在二维变换中，由于矩阵乘法不满足交换率，故此矩阵相乘的顺序不可以交换，仅在某些特殊的情况下才可以交换
相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：
(1)平移：将整个图形与参考点一起平移，使参考点与坐标原点重合
(2)针对原点进行二维几何变换。
(3)反平移，将图形与参考点一起平移，使参考点回到原来的位置。
例1.相对点(xF,yF)的旋转变换
相对点(xF,yF)的旋转变换的变换矩阵如下:
■ 10 01cos 6^sin^ 0I Q0_
0 1 0*cos^ 0■010
-yjr L 1 00 ]*L■
■
■cos 901
—-suiS GQS^-0
-V-cos Z? + sill sin£1
相对任意方向的二维几何变换
相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是：
(1)旋转变换，将任意方向旋转，使之与某个坐标轴重合。
(2)针对坐标轴进行二维几何变换；
(3)反向旋转。
例•将正方形
ABCO 各点沿(0, 0)-(1,1)方向进行拉伸，结果如图所示,
1/2 3/2 0
坐标系之间的变换
问题：x'o'y'坐标系是在xoy 坐标系中定义的局部坐标系，已知
坐标系中的点P ，求P 点在xoy 坐标系中的坐标值。
图6-12坐标系间的变换
on(-4y ) ■
o
t
C0S45*
sin4S* ■
T - -siru( ^4 5*) ms(-4 覽) 0
r
0 I
-SU145*
cos45* 0
• 1 °
0 1
0 0 1
0 ■ 0
1 MT
0 0 3/2 1/2 0
1/2 3/2 0
解：这一变换是沿着固定方向的比例变换，故有:
x'o'y'
写出其变换矩阵和变换过程。
分析：假设在xoy坐标系中，有一点P*,使P*点的坐标与P点在x'oy'
坐标系中的坐标一致，这样问题就转化为求P*点的坐标，由图中可以看出，将p
点与x'oy'坐标系一起通过变换使x'oy'坐标系与xoy坐标系重合，此时P点将
故此坐标系间的变换可以分以下两步进行：
(1) 通过平移变换将x'o'y'坐标系的原点与xoy坐标系的原点重合
(2) 通过旋转变换使x'轴与x轴重合。
『直标乐旳用丸下护码％啤标厭《0揉* (b) ■感转刑工轴上图6-14坐标系变换的过程
于是有：
光栅变换
直接对帧缓存中像素点进行操作的变换称为光栅变换。
1.光栅平移变换
光栅平移变换的过程：通过像素块的移动来完成，即首先从光栅帧缓存
中读出指定的像素块的内容，然后将像素块的内容复制到另一光栅区域，随后擦
旋转180° 图6-16光栅旋转变换
3.任意角度的光栅旋转变换
如下图所示，像素点A的亮度由其在旋转像素阵列中区域1, 2和3上
的覆盖量来决定，即将区域1,2和3的亮度加权平均可以求得像素A的亮度值,
其中权值就是区域A在区域1, 2, 3上的覆盖量。
复制像素块的内容擦除原利用像素块的移动还可容易地完成90°、180°和270的光栅旋转变
逆时针除原光栅区域中的像素块内容。
2. 90 °、180°和270°的光栅旋转变换
O
逆时针旋转90
换，如下图所示。
vollen
图6-17任意角度的光栅旋转变换
4.光栅比例变换
根据Sx和Sy的大小取出原图中的相应像素区域，对应变换后图像中的
一个像素点，将原图中的相应像素区域的像素点的亮度值进行加权平均即可得到变换后像素点的亮度值，其中权值为原图中的相应像素区域在像素点上的覆盖量，
如下图所示
图6-18 光栅比例变换
变换的性质
二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换:
x'- ax + by + m
y f= ex + dy + n
仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性。
平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿射变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换
总可以表示为这五种变换的复合。
二维几何变换具有如下一些性质：
(1)直线的中点不变性；
(2)平行直线不变性；
(3)相交不变性；
(4)仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不变性；
(5)比例变化可改变图形的大小和形状；
(6)错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生畸变。