振动理论第四讲 简谐振动中的能量
振动理论第四讲 简谐振动中的能量概要
简谐振动中的能量
弹簧的势能:
总的机械能为:
在不考虑摩擦时总的机械能势守恒的.
什么时候能量中只有势 能或只有动能？
势能开始向动能转化的 临界点是？
总能量因此是, 于是我们有:
进而我们有:
这里
下图为一弹簧的势能。总能量为一常数.
概念性例题: 振幅加倍假源自弹簧拉伸到 x = 2A. 那么 (a) 系统能量变为？ (b) 最大速度？ (c)最大加 速度?
杆1与杆2弹簧并联
k 12 k 1 k 2
对于扭转，扭矩T与角位移 的关系为
GI n T l
G为剪切模量，In为扭转时界面的极惯性矩，对于圆截面
In
因此 k 12 k 1 k 2
系统的运动方程为
d
4
32 4 G d14 d 2 32 l l 2 1
m1
x0
O
k
mg (0) v0 x(0) x0 , x k
x
固有频率为
k m m1
系统的自由振动为
mg k 2 gh k x(t ) cos tm sin t k m m1 k (m m1 ) m m1
k1
k2
k1
k2 k3
k123
k3
x1
x2
Fa ， F2 a b
弹簧 k1 和 k2由此产生的位移为 x1和 x2 ，则
Fb x1 k1 (a b)
Fa ， x2 k2 ( a b)
这时，O点的位移为：
a F x12 x1 ( x2 x1 ) ( a b) ( a b) 2
4 4 G d1 d 2 J 0 32 l1 l2
振动能量计算公式
振动能量计算公式1. 简谐振动能量。
- 对于一个弹簧振子做简谐振动，其动能E_k=(1)/(2)mv^2，其中m是振子的质量，v是振子的速度。
- 根据简谐振动的速度公式v = ω Asin(ω t+φ)（ω是角频率，A是振幅，φ是初相位），则动能E_k=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t + φ)。
- 其势能E_p=(1)/(2)kx^2，对于简谐振动x = Acos(ω t+φ)，所以E_p=(1)/(2)kA^2cos^2(ω t+φ)。
- 弹簧振子的总能量E = E_k+E_p，由于k = mω^2，将E_k和E_p表达式代入可得：- E=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t+φ)+(1)/(2)mω^2A^2cos^2(ω t+φ)- 根据sin^2α+cos^2α = 1，所以E=(1)/(2)mω^2A^2（总能量守恒，与时间t 无关）。
2. 阻尼振动能量。
- 阻尼振动的能量是逐渐减小的。
- 阻尼振动的能量E(t)=E_0e^ - (2β t)/(m)，其中E_0是初始能量，β是阻尼系数，m是振子质量，t是时间。
3. 受迫振动能量。
- 在稳定状态下，受迫振动的能量取决于驱动力的功率。
- 设驱动力F = F_0cos(ω_dt)，振子做受迫振动达到稳定时的振动方程为x = Acos(ω_dt+φ)。
- 驱动力的功率P = Fv，其中v=-Aω_dsin(ω_dt + φ)，则P=-F_0Aω_dcos(ω_dt)sin(ω_dt+φ)。
- 在一个周期T=(2π)/(ω_d)内的平均功率¯P=(1)/(T)∫_0^TPdt，通过计算可得¯P=(1)/(2)F_0Aω_dsinφ。
- 受迫振动系统的能量与平均功率有关，能量E=¯Pt（t为时间），在稳定状态下能量保持稳定。
简谐振动的能量公式
简谐振动的能量公式好嘞，以下是为您生成的关于“简谐振动的能量公式”的文章：咱先来说说啥是简谐振动。
比如说一个小球挂在弹簧上，一松手，小球就这么上上下下地动起来，这就是简谐振动。
简谐振动的能量可是有讲究的，这里面的能量公式啊，能让咱们清楚地知道这个振动系统里到底藏着多少能量。
简谐振动的能量主要包括动能和势能。
动能呢，就好比那个上蹿下跳的小球跑起来的能量；势能呢，就像被拉长或者压缩的弹簧储存的能量。
那简谐振动的能量公式到底是啥呢？E = 1/2 kA²，这里的 E 表示总能量，k 是劲度系数，A 是振幅。
咱来好好琢磨琢磨这个公式。
振幅 A 越大，就意味着振动的幅度越大，那总能量也就越大。
这就好像荡秋千，荡得越高，也就是振幅越大，需要的能量就越多。
我记得有一次在课堂上给学生们讲这个知识点。
当时我拿了一个小弹簧和一个小铁球做演示。
我把弹簧拉长，然后松手让铁球振动起来，同学们都瞪大眼睛看着。
我问他们：“你们觉得这个铁球振动的能量和什么有关？”有的同学说和弹簧拉得长短有关，有的说和铁球的重量有关。
我笑着摇摇头，然后开始给他们讲解这个能量公式。
我告诉他们，就像这个弹簧，拉得越长，振幅越大，能量也就越大。
然后我又改变了弹簧的劲度系数，让他们观察铁球振动的变化。
同学们一下子就明白了，那一张张恍然大悟的小脸，让我特别有成就感。
咱们再回到这个公式。
劲度系数 k 越大，同样的振幅下，能量也会越大。
这就好比是不同的弹簧，有的硬一些，有的软一些，硬的弹簧储存的能量相对就更多。
在实际生活中，简谐振动的例子可不少。
像钟摆的摆动，吉他弦的振动，甚至是我们的心脏跳动，都可以用简谐振动的原理和能量公式来解释。
比如说吉他弦，调弦的时候，改变弦的松紧程度，其实就是在改变劲度系数。
弦调得越紧，劲度系数越大，振动的能量就会有所变化，发出来的声音也就不同啦。
还有啊，心脏的跳动也是一种简谐振动。
当我们运动的时候，心跳会加快加强，振幅和频率都发生变化，能量的供给也得跟上，不然咱们可就没力气活动啦。
1、简谐振动的特征、能量
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
1 2 1 2 E mv kx 2 2
d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
2
其解为∶
x A cos( t )
──谐振动的运动学方程 (简称振动方程)
x A cos( t )
运动学方程
描述作谐振动物体位置随时间变化的关系
dx v A sin(t ) dt
描述作谐振动物体振动速度随时间变化的关系
dv 2 a A cos(t ) dt
相位差只能在同频率的振动间比较 当 2n
当 （ 2n 1 ） 若 0
n 0, 1, 2
n 0, 1, 2
时
两振动步调相同，称同相
时
两振动步调相反，称反相
2 超前于 1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
四、振幅和初相确定
波动篇
内容： 机械振动 机械波
波动光学
前
言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。
简谐振动的能量、单摆和复摆
简谐运动能量图
o
能量
x−t
T
ϕ =0 t x = A cosωt v − t v = − Aω sin ω t
1 E = kA 2 2 1 2 2 E p = kA cos ω t 2
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 2 2 2 Ek = mω A sin ωt 2
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
− 2A/ 2
2 x1 = ± A 2
O
2A/ 2
x
x1 = ±7.07×10 m
−3
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
（5）当物体的位移为振幅的一半时动能、势能 ）当物体的位移为振幅的一半时动能、 各占总能量的多少? 各占总能量的多少
1 2 1 A E Ep = kx = k = 2 2 2 4
ω = k /m
1 2 2 （振幅的动力学意义） E = Ek + Ep = kA ∝ A 振幅的动力学意义） 2
线性回复力是保守力， 简谐运动的系统机械能守恒 线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒 保守力 运动的系统
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
x, v
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
（3）总能量； ）总能量；
机械振动
E = Ek ,max= 2.0 × 10 J
（4）物体在何处其动能和势能相等？ ）物体在何处其动能和势能相等？
−3
Ep1 = Ek1 = =
E 2
kA2 4
Ep1 = kx
简谐振动的能量与周期
简谐振动的能量与周期简谐振动是物体在弹性势能恢复力作用下进行的一种周期性振动。
在简谐振动中，能量与周期之间存在一定的关系。
下面将通过分析简谐振动的能量变化以及与周期之间的关系来探讨这一问题。
一、简谐振动的能量变化简谐振动的能量可以分为两部分，一部分是动能，另一部分是势能。
在振动过程中，物体在运动的过程中，动能和势能不断地相互转换，但其总和保持不变。
1. 动能的变化物体在振动过程中具有动能。
当物体达到最大振幅时，速度最大，此时动能也最大。
而当物体通过平衡位置时，速度为零，动能也为零。
因此，可以得出结论：动能随物体的位移而变化，与物体的位移成正比。
2. 势能的变化物体在振动过程中具有势能。
当物体位于极大位移时，弹性势能最大，此时势能也最大。
而当物体通过平衡位置时，位移为零，势能也为零。
因此，可以得出结论：势能随物体的位移而变化，与物体的位移成正比。
3. 能量守恒定律根据能量守恒定律，简谐振动中的能量保持不变。
即动能和势能之和等于常数。
可以用下式表示：E = K + U其中，E表示总能量，K表示动能，U表示势能。
因为动能和势能之和保持不变，所以在振动过程中，动能和势能的增减是互相抵消的。
二、简谐振动的周期与能量的关系简谐振动的周期是指完成一次完整振动所需要的时间。
简谐振动的周期与其能量之间存在一定的关系。
下面将从理论和实验两个方面探讨这一问题。
1. 理论推导简谐振动的周期与物体的振动频率有关。
振动频率可以用下式表示：f = 1 / T其中，f表示振动频率，T表示周期。
根据简谐振动的定义，可以得出如下的等式：ω^2 = k / m其中，ω表示角频率，k表示弹簧的劲度系数，m表示物体的质量。
角频率与振动频率之间存在如下的关系：ω = 2πf将振动频率表达式代入上式，可以得到：ω = 2π / T通过对上述等式的变换，可以得到简谐振动的周期与劲度系数和物体质量的关系：T = 2π√(m / k)由上式可以看出，简谐振动的周期与劲度系数和物体质量有关。
4.4简谐振动能量
简谐振动能量
Ek
2、
1 kA2 2
势能
sin2 ( t
x
)
A cos(
t
Ek max
1 2
kA2
Ek
)
1 T
t T
Ek
t
dt
, Ek min
1 kA2 4
0
Ep
1 kx2 2
1 kA2 cos2 ( t )
2
E p max , E p min , E p 情况同动能。
3、 机械能
E
解：系统总能量为 E 1 kA2
2
在最大位移处，物体的加
m2 m1
速度大小为a A2
对m2分析，要使其不滑下则 m2a m2 g
所以系统最大加速度为 amax g A2
A
g 2
g
m1
k
m2
E 1 kA2 1 k (g m1 m2 )2
2
2
k
0.48J
简谐振动能量
谢谢！
简谐振动能量
简谐振动能量
能量是伴随运动而存在的，简谐振动同样具有动 能和势能。
一、简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)
x A cos( t ) v A sin( t )
1、 动能
Ek
1 mv2 2
1 m 2 A2 sin2 (
2
t
)
( 2 k )
m
1 kA2 sin2 ( t )
Ek
Ep
1 2
kA2
1 2
m 2 A2
E不随时间变化，简谐振动系统机械能守恒。
简谐振动能量
二、简谐振动系统的能量特点
x, v
简谐振动的振幅与能量
简谐振动的振幅与能量简谐振动是一种重要的物理现象，广泛应用于各个领域。
在研究简谐振动时，我们不可避免地需要了解振幅与能量之间的关系。
本文将详细探讨简谐振动的振幅与能量之间的关系，并分析其中的物理原理。
简谐振动是指某个物体或系统在恢复力的作用下，围绕平衡位置做往复振动的现象。
而振幅则是指在振动过程中物体或系统离开平衡位置的最大偏移量。
振幅的大小与能量之间存在着密切的联系。
首先，我们需要了解简谐振动的能量表达式。
对于一个简谐振动系统，其能量由两部分组成：势能和动能。
势能可以表示为弹簧的弹性势能或其他势能形式，而动能则与振动的速度有关。
简谐振动的势能与振幅的关系可以通过势能函数来说明。
通常情况下，简谐振动的势能可以用 1/2kx^2 表示，其中 k 是弹性系数，x 是振幅。
从这个表达式可以看出，势能与振幅的平方成正比，即振幅越大，势能越大。
接下来，我们来研究简谐振动的动能与振幅之间的关系。
动能可以表示为振动系统的质量和速度的函数。
在简谐振动中，速度与位移之间存在着相位差，且满足正弦或余弦函数的关系。
根据简谐振动的定义，振动系统在平衡位置的速度为零，而在最大位移时速度最大。
因此，动能与振幅之间存在着正比关系，即振幅越大，动能越大。
综上所述，简谐振动的振幅与能量之间存在着正相关的关系。
振幅越大，势能和动能的大小都会增加，整体能量也会增加。
而振幅越小，对应的能量也会减小。
需要注意的是，上述的分析是在不考虑阻尼和外力等因素的理想情况下得出的结论。
在实际情况中，振幅与能量的关系可能会受到其他因素的影响，例如阻尼力的存在会使能量逐渐减小。
总之，简谐振动的振幅与能量之间存在着密切的联系。
振幅的大小决定了势能和动能的大小，从而影响整个振动系统的能量。
研究振幅与能量之间的关系，可以帮助我们更好地理解和应用简谐振动的原理。
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G
32 J
d14 l1
d
4 2
l2
例4、求钢索中的最大张力
v
vk
k
WW
Om x W mg
k
W/g
简谐振动
x(0) 0, x(0) v
x Asin(t )
0 A v/
T W kAW k v W v kW
g
例5、确定系统自由振动
m m,m1接触的那一时刻为t=0.
这时二者有速度
h
2011年3月3日
简谐振动中的能量
弹簧的势能:
总的机械能为: 在不考虑摩擦时总的机械能势守恒的.
什么时候能量中只有势 能或只有动能？
势能开始向动能转化的 临界点是？
总能量因此是, 于是我们有: 进而我们有:
这里
下图为一弹簧的势能。总能量为一常数.
概念性例题: 振幅加倍
假定弹簧拉伸到 x = 2A. 那么 (a) 系统能量变为？ (b) 最大速度？ (c)最大加 速度?
1 J
2
d1, l1
d1, l1
杆1与杆2弹簧并联
k12 k1 k 2
对于扭转，扭矩T与角位移 的关系为
T GIn
l
G为剪切模量，In为扭转时界面的极惯性矩，对于圆截面
In
d 4
32
因此
k12
k1
k 2
G
32
d14 l1
d
4 2
l2
系统的运动方程为
J
G
32
d14 l1
d
4 2
l2
0
k12 J
Fb x1 k1(a b)
，
x2
Fa k2 (a b)
这时，O点的位移为：
x12
x1
(x2
x1 )
(a
a b)
(a
F b)2
b2
k1
a2 k2
将弹簧 k1和 k2化为一等效弹簧 k12，其大小为
若a=b,则
F (a b)2 k12 x12 b2 a2
k1 k2 1 k12 1 1 4k1 4k2
弹簧 k12和 k3串联的等效弹簧常数为
k123
1
1 1
1
4k1 4k2 k3
固有频率为：
n
m 1 1 1 4k1 4k2 k3
若简支梁受到的载荷都在中点，且
l1 l2 l3 l I1 I2 I3 I
则
k1
k2
k3
48EI l3
若钢索也为弹性体，如何处理？
例 3、 确定固有频率
例 2 一辆起重机被简化为如图所示的理论模型，试确定 系统在垂直方向振动时的固有频率
假定钢索为刚性
解：弹簧k1和 k2并联 关系由图（b）可见当 在O点受载荷F时，弹 簧 k1和k2所受的载荷若 为 F1和F2，则有：
k1
k2
k1
k3
x1
k12
k2
k123
k3
x2
F1
Fb ab
，
F2
Fa ab
弹簧 k1 和 k2由此产生的位移为 x1和 x2 ，则
v0
m
m m1
2gh
m1
取 m和m1与k形成的新系统 x0
的静平衡位置为坐标原点，
k) x0 k ,
x(0) v0
固有频率为
k
m m1
系统的自由振动为
x(t) mg cos k t m 2gh sin k t
k
m m1
k(m m1)
m m1
例 1 轻质悬臂梁（如图），长为l ,弯曲刚度EI，自
由端施加集中力F。列出系统横向振动方程，确定其
固有频率。
解：根据题意，其挠度可按 材料力学求得为： Fl3
3EI
略去梁的质量，梁右端横向振动时的弹簧常数为：
k
F
3EI l3
因而，系统运动方程为： m&x&
3EI l3
x
0
其固有频率为： n
3EI ml 3