离中趋势 (1)
离中趋势的具体指标
离中趋势的具体指标离中趋势的具体指标可以根据数据的分布情况来选择。
常用的离中趋势指标包括平均数、中位数、众数、四分位数、标准差和离差等。
下面将从这些指标的定义、计算和应用方面进行详细的说明。
平均数是最常见的离中趋势指标，它是一组数据的总和除以数据的总数。
平均数能够很好地反映数据的集中程度，但对于极端值的敏感度较高。
计算平均数的公式如下：平均数= 数据的总和/ 数据的总数中位数是将一组数据按照大小排列后，处于中间位置的数值。
中位数不受极端值的影响，适合用来表示数据的中间值。
计算中位数的方法有两种：奇数个数据，中位数为排序后的中间值，偶数个数据，中位数为排序后中间两个值的平均数。
众数是一组数据中出现次数最多的数值，可以用来反映数据的主要特征。
众数可以有一个或多个，也可以没有。
众数的计算比较简单，只需统计每个数值出现的频数，然后找出频数最大的数即可。
四分位数是将一组数据按照大小排列后，将数据分为四等份，四分位数是将数据分割点。
其中，第一四分位数是指将数据分割为四部分，第一部分包含25%的数据，第二四分位数是指将数据分割为四部分，第二部分包含50%的数据，第三四分位数是指将数据分割为四部分，第三部分包含75%的数据。
四分位数可以用来描述数据的分散程度和集中程度。
标准差是一组数据离平均数的平均距离，它衡量了数据的波动性或分散程度。
标准差越大，表示数据的离散程度越大；标准差越小，表示数据的离散程度越小。
标准差的计算公式如下：标准差= sqrt(每个数据与平均数的差的平方的和/ 数据的总数)离差是指一组数据中，各个数据与平均数的差值。
离差可以通过平均离差或标准离差来衡量。
平均离差是所有离差的平均值，标准离差是所有离差的平方和的平均值的平方根。
这些指标在实际应用中具有不同的作用。
平均数适用于对数据整体的描述，中位数适用于有极端值存在的情况下对数据的描述，众数适用于描述数据的最常出现的值，四分位数适用于描述数据的分布情况，标准差适用于衡量数据的波动情况，离差可以用于度量各个数据与平均数的离散程度。
第四章 集中趋势和离中趋势 《统计学》 ppt课件
六种相对数指标的比较
不同时期
同一现象 比较
不同现象 比较
同一时期比较 同类现象比较
动态 相对数
不同总体 比较
强度
同一总体中
部分与部分 部分与总体实际与计划
相对数 比 较 比 较 比 较 比 较
比例 相对数
结 构 计划完成
相对数 相对数 相对数
五、计算和应用相对指标的原则
1、正确选择对比的基础（即分母） 2、保证分子、分母的可比性 3、注意相对指标与总量指标结合运用 4、多个相对指标结合运用
(xi x) 0
(xi x) f 0
（2）各个变量值与算术平均数的离差平方和为最 小值。
(xi x)2 min
II调和平均数（H）
与算术平均数没有本质区别，是算术平均数的变形。 是根据变量值ｘ的倒数计算的，又称为倒数平均数。 1、简单调和平均数：未分组资料
步骤：（1） x1、x2、、xn
计量单位表现为两种形式：
一种是复名数，即双重计量单位。在计算这种强度相对指标时，由 于其分子与分母的计量单位在计算时无法约去，故计算后仍保留 对比双方的单位，如人口密度用“人/平方公里”表示，人均国 民生产总值用“元/人”表示；
另一种是无名数，即无计量单位。在计算这种强度 相对指标时，由于其分子与分母的计量单位相同， 在计算时已约去，故计算后其无单位，一般用千 分数、百分数表示，如：人口出生率用千分数来 表示。
（2） 1 、1 、 、1
x1 x2
xn
（3）
1 x
n
（4）
H
n
1 x
2、加权调和平均数：
各组变量值x 各组标志总量 m=xf
将算术平均数公式变形，得：
H
统计学复习资料(名词解释、简答)
统计学复习资料（名词解释、简答)计算题:以老师圈的重点,以及之前布置的作业为主，重点复习11/12章一、名词解释：时间序列数据：是在不同时间收集到的数据，这些数据是按时间顺序收集到的，用于所描述现象随时间变化的情况.总体：是包含所研究的全部个体(数据)的集合样本：是从总体中抽取的一部分元素的集合样本量：构成样本的元素的数目统计量:用来描述样本特征的概括性数字度量参数：用来描述总体特征的概括性数字度量概率抽样:即随机抽样，遵循随机原则进行的抽样，总体中每个单位都有一定的机会被选入样本非概率抽样：抽取样本时不是依据随机原则，而是根据研究目的对数据的要求，采用某种方式从总体中抽出部分单位对其实施调查简单随机抽样：指从总体N个单位中任意抽取n个单位作为样本,使每个可能的样本被抽中的概率相等的一种抽样方式。
分层抽样：将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层,然后从不同的层中独立、随机地抽取样本整群抽样：是将总体中各单位归并成若干个互不交叉、互不重复的集合,称之为群；然后以群为抽样单位抽取样本的一种抽样方式。
系统抽样:根据样本容量要求确定抽选间隔，然后随机确定起点,每隔一定的间隔抽取一个单位的一种抽样方式抽样误差：由抽样的随机性引起的样本结果与总体真值之间的误差分组数据:根据统计研究的需要，将原始数据按照某种标准化分成不同的组别，分组后的数据称为分组数据。
方法有单变量值分组和组距分组两种。
众数：是一组数据中出现次数最多的变量值中位数:是一组数据排序后处于中间位置上的变量值平均数：也称均值，是一组数据相加后除以数据的个数得到的结果算术平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
几何平均数:是n个变量乘积的n次方根方差：各变量值与其平均数离差平方的平均数经验法则:当一组数据对称分布时,经验法则表明：约有68％的数据在平均数1个标准差的范围之内。
约有95％的数据在平均数2个标准差的范围之内。
约有99%的数据在平均数3个标准差的范围之内。
分布的离中趋势
二、分布的离中趋势
在统计实践中，有时需要计算成数的标准差，即是非标志的标准 差。是非标志把总体分成两个部分：一部分具有某种标志，另一部 分不具有此种标志。这种用“是”或“非”来表示总体单位特征的 标志，称为是非标志。
计算是非标志的标准差时要把是非标志从质的差别转化为量的差 别，一般把“是”的标志值用“1”代替，把“非”的标志值用 “0”代替；总体单位数用N表示；具有所研究的标志的单位数用N1 表示，成数用P表示，P=N1/N；不具有所研究的标志的单位数用N0 表示，成数用Q表示，Q=N0/N。显然，N1+N0=N,P+Q=1。
二、分布的离中趋势
（1）样本方差的 计算。
（2）样本标准差 的计算。
二、分布的离中趋势
4. 标准差的计算应用
（1）未分组数据标准差的计算应用。 【例4-18】 某工厂某车间甲、乙两个组各有10名工人，每人日 产某种零件数(单位：件)为 甲组：20，21，21，22，22，22，23，23，23，23 乙组：14，15，16，21，22，22，23，28，29，30 试计算两组工人的日产量的标准差。 解：计算过程见表4-11。
二、分布的离中趋势
一 、 全距
全距也称为极差，它是表明总体单位标志数值
变动范围的指标，是总体各单位全部变量值中两个极
端值（最大值和最小值）之差，用R表示。其计算公
式为
离中趋势的含义和
离中趋势的含义和离中趋势，也被称为离散趋势，是统计学中常用于描述一组数据的波动情况的概念。
它表明数据点相对于数据集的中心位置（通常指平均值）的偏差程度。
离中趋势可以帮助我们了解数据的分布规律及变化情况，进而对数据进行更全面的分析和解读。
在本文中，我将详细探讨离中趋势的含义、计算方法以及其在实际应用中的重要性。
离中趋势是一组数据点相对于其平均值的离散程度的度量。
在统计学中，我们常常使用平均数作为数据集的中心位置的代表，因此离中趋势通常是指数据点与平均数之间的偏差。
这个偏差可以分为正偏差和负偏差，分别表示数据点大于平均数和小于平均数。
离中趋势的计算方法有很多种，常见的包括范围（range）、方差（variance）、标准差（standard deviation）和四分位数（quartiles）等。
范围是指数据集中最大值与最小值之间的差异，它可以快速计算出数据的整体离散程度，但忽略了数据分布的形状。
方差是数据点离平均数的偏差的平方和的平均值。
它量化了数据点与平均数之间的距离，可以反映数据的整体离散程度。
然而，由于方差计算得到的单位是原数据单位的平方，难以直观地解释和比较。
标准差是方差的平方根，它与原数据具有相同的单位，更加直观和易于理解。
标准差越大，表示数据的离中趋势越大；标准差越小，表示数据的离中趋势越小。
四分位数是将数据集按大小顺序排列后，将数据分为四等份，分别是最小值、第一四分位数、中位数和第三四分位数。
四分位数可以帮助我们判断数据的分布情况以及离中趋势的大小。
离中趋势在实际应用中具有重要作用。
首先，它可以帮助我们了解数据的波动情况，即数据点相对于平均数的分散程度。
对于金融市场、股票交易等实时数据，离中趋势的计算可以揭示市场的波动性和不确定性，为风险评估和投资决策提供参考。
其次，离中趋势可以帮助我们比较不同数据集之间的差异。
例如，在市场研究中，我们可能需要比较不同地区或不同年份的销售数据，离中趋势可以帮助我们分析并解释这些差异。
第三章 集中趋势和离中趋势
38
（三）分位数
四分位数的计算方法：
与中位数计算相类似
（1）未分组资料计算
首先对数据进行排序，然后确定四分位数
所在位置。
设：下四分位数为 QL
上四分位数为 QU
=1502.5/1460=102.91%
15
15
表二（用于计算调和平均数）
计划完成（%） 企业数（个）
95——100
5
100——105
8
105——110
3
110以上
2
合计
18
实际完成数（万元） 97.5 1230.0 107.5 67.5 1502.5
要求同上：计算18个企业税收收入平均计划完成程度。
32
32
（二）中位数
2、中位数的确定
Hale Waihona Puke 单项数列（2）分组资料确定中位数 组距数列 由单项数列计算中位数：
首先，计算各组的累积次数；
然后，根据中点位置（总次数/2）在累积 次数中确定中位数所在组，以确定中位数。
33
（二）中位数
2、中位数的确定 （2）分组资料确定中位数 由组距数列计算中位数（情况要复杂一些）： 分三步骤： 第一步，计算累积次数； 第二步，计算中位数位置（总次数/2），以
f1 f2 ... fn
f
式中：f—— 代表各组的次数或频数（即各组的单位数）。
比较两个公式，并解释为什么次数f又称之为权数？
9
X x1 x2 n
n
xn
xi
i 1
n
n
离中趋势的测定
离中趋势的测定
离中趋势是统计学中用于描述数据集中趋势的一种指标。
常见的离中趋势测定方法包括以下几种：
1. 平均值：计算数据集的算术平均值，即将所有数据相加后除以数据的个数。
2. 中位数：将数据集按照大小的顺序排列，然后找出中间位置的数值。
如果数据个数为奇数，则中位数是中间的数值；如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个数值的平均值。
3. 四分位数：将数据集按照大小的顺序排列，然后将数据集分成四个等分，每个等分包含25%的数据。
第一个四分位数(Q1)是数据集的25%位置处的数值，第二个四分位数是数据集的50%位置处的数值（即中位数），第三个四分位数(Q3)是数据集的75%位置处的数值。
4. 极差：计算数据集的最大值与最小值之间的差值。
5. 方差：计算数据集中每个数据与平均值的差值的平方的平均值。
6. 标准差：方差的平方根。
这些测定方法可以帮助我们了解数据集的离散程度和分布情况，从而揭示出数据集的离中趋势。
选择合适的测定方法取决于数据集的特点以及我们希望得到的信息。
集中趋势和离中趋势
平均时速
H
10+10
10 50
10
30
2
1 50
1 30
37.5
（2）总体单位数未知时，例4.11（71）
加权调和平均数
1
N
MH
N i 1
fi
1 Xi
N i 1
fi
1 Xi
N
▪ 应用条件：资料经过分组，各组次数不同。
算术平均、几何平均、调和平均三者关系
▪ 三者均属于均值体系 ▪ 算术平均值是直接对观察值进行平均；几
【例】：9个家庭旳人均月收入数据(3种措施计算)
原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2023 1250 1630
排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2023
位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
措施1：
QL位置
9 4
2.25
i 1
二、中位数
将数据观察值x1,x2,…,xn按其变量值由小到 大旳顺序排列，处于数列中点位置旳数值就是中位 数（Me）。
中位数旳拟定方法： ①如果数据个数为奇数，则处于（n+1)/2位置旳标志值是中位数。
②如果数据个数为偶数，则处于n/2、n/2+1旳两个标志值旳平均数为中位数。
③假如是组距分组资料，公式为：
限；N表达数据总个数；Fi-1表达第i个K分位数所在组旳前一组
旳累积次数；fi是第i个K分位数所在组旳次数。di= Ui-Li是第i
个K分位数所在组旳组距。
四分位数旳位置拟定措施：
措施1：定义算法
QL位置
n 4
QU位置
3n 4
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( xi x)2 f
σ 2=
i 1
n
i
f
i 1
n
i
52 = 50
3.2变异指标的计算方法——标准差 步骤五：计算离差平方和的算术平均数的平 方根，即方差σ
σ=
( xi x)2 f
i 1
n
i
f
i 1
n
=
i
52 50
3.2变异指标的计算方法——标准差
某工厂工人产量情况如表，请计算其标准差
标准差：σ=
( xi x)2
i 1
n
n
标准差越大，说明数据的变异越 大，即数据越分散。
练习
以下是7个美国 东部城市的日租车 费用，请计算其极 差及标准差。
城市 波士顿 亚特兰大 迈阿密 纽约 奥兰多
日费用（美元） 43 35 34 58 30
匹兹堡
华盛顿
30
36
3.2变异指标的计算方法——标准差
甲
1 1
乙
练习
下表是某班一次测验的成绩，请计算其方差与标准差
练习
缺下限开口组组中值等=上限-相邻组组距的一半 =60-（70-60）/2 =55
缺上限开口组组中值等=下限+相邻组组距的一半 =90+（90-80）/2 =95
练习
练习
步骤一：首先计算测验成绩的算术平均数，因该组 数据已经 分组，因此所要计算的是它们的加权算术平均数。
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
对两组不同的数据进行对比，有一个被忽略的 前提条件，那就是它们的平均数相等。
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
某企业中级技工 的平均工资是6800 元，工资标准差为 500元，高级技工 的平均工资为9000 元，工资的标准差 为540元，请问哪 种技工的工资变动 幅度更小？
=102.75
练习
步骤五：计算标准差，即求方差的平方根
102.75
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件 ，为检验质量，从中抽取6件测量数据为 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及标准差； (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
对于平均数不相同的两个总体的数据，不应直接用标准差 比较其变异程度的大小，而是应该用标准差系数进行比较。
Vσ =
x
100 ％
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
500 中级技工工资标准差系数Vσ = 100％ 7.35％ 6800 540 高级技工工资标准差系数Vσ = 100％ 6％ 9000
加权式标准差
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤一：计算加权算术平均数
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤二：计算变量值与平均数的差，即离差
xi x
_
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤三：计算离差的平方和
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤四：计算离差平方和的加权平均数，即方差σ
Add Your Company Slogan 统计工作基础
P
o
w
e
r
P
o
i
n
t
离中趋势的代表值——标志变异指标
Company Logo
标志变异指标
1 2 3
变异指标的含义 变异指标的作用 变异指标的计算方法
1.变异指标的含义
1.变异指标的含义
标志变异指标是指各总体单位值差异程度的 综合指标，表明数据的离散程度和离中趋势。
3.1变异指标的计算方法——极差
R=？
3.1变异指标的计算方法——极差
组距分布数列极差=最高值组上限—最低值组下限 =800-300 =500
极差仅依靠两个变量值来计算，容易受极端值 的影响，因此它一般不被单独用来描述数据的变异 程度。
3.2变异指标的计算方法——标准差 简单式标准差
模具队 编号 1 2 3 4 5 身高（cm） 178 180 175 173 177 编号 1 2 3 4 5 汽修队 身高（cm） 179 170 176 184 179
练习
下面是2010与2011年各季度我国GDP的增 长幅度，请问哪一年的经济增长更为稳定？
Add Your Company Slogan
P
o
w
e
r
P
o
i
n
t
Thank you
Company Logo
3.2变异指标的计算方法——标准差
练习
评评哪名运动员发挥更稳定
练习
依据某单位职工的年龄（岁）资料计算其极差与标准差 18，19，25，35，42，50，56
练习
请计算9月份广州各肯德基分店销售额的标准差
练习
某企业需从AB两家企业中选择一家作为自己的原 材料供应商，以下是两个企业之前的交货记录： A企业交货的天数：11 10 9 10 11 11 10 11 10 10 B企业交货的天数：8 10 13 7 10 11 10 7 15 12 请通过计算极差与标准差来帮助该企业进行选择。
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
某企业需从AB两家企业中选择一家作为自己的原材 料供应商，以下是两个企业之前的交货记录： A企业交货的天数：11 10 9 10 11 11 10 11 10 10 B企业交货的天数：8 10 13 7 10 11 10 7 15 12 请通过计算极差与标准差来帮助该企业进行选择。
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
当比较两组数据的变异程度或者平均数代表性 高低的时候，是用标准差还是用标准差系数，要看 数据的具体情况：如果两组数据性质相同、计量单 位一致、平均数相等，可以直接采用标准差进行对 比，如两个班学生成绩的平均分均为85分。否则 应采用标准差系数。
练习
财会专业高中班和三年制班级本学期都开有统 计学这门课程，下面是两个班级一次测验的成绩， 请回答哪个班级的成绩更为集中？
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤一：计算算术平均数
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤二：计算变量值与平均数的差，即离差
xi x
_
3.2变异指标的计算方法——标准差
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤三：计算离差的平方和
3.2变异指标的计算方法——标准差
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤四：计算离差平方和的算术平均数，即方差σ
2
σ 2模具 = σ 2汽修 =
( xi x )2
i 1 n
n
n
( xi x )2
i .2 = 5
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤五：计算离差平方和的算术平均数的平方根，即 方差σ
3.2变异指标的计算方法——标准差
2.变异指标的作用 作用一：衡量平均值的代表性高低
2.变异指标的作用
作用二：衡量经济活动过程的均衡性、节奏性、稳定性
2.变异指标的作用
作用三：揭示数据分布的离中趋势
3.1变异指标的计算方法——极差
极差（R）=最大变量值—最小变量值 以下是两个学习小组的成绩： A组：65，68，72，75 R=75-65=10 B组：34，51，95，100 R=100-34=66 两组的平均成绩均为70分
练习
甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为 检验质量，从中抽取6件测量数据为 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及标准差； (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定。
练习
步骤一：首先计算两组数据的算术平均数，因该两组 数据 均没有分组，因此所要计算的是它们的简单算术平均数。
x甲
_
=
100
x乙
_
=
100
练习
步骤二：计算离差
练习
步骤三：计算离差的平方和
练习
练习
步骤四：计算离差平方的算术平均数，即方差
2
甲
=
1 0 4 0 0 9 ≈2.17 6
1 0 4 1 0 0 =1 6
2
乙
=
练习
步骤五：计算标准差，即求方差的平方根
2.17
=
55 2 65 8 75 16 85 10 95 4 2 8 16 10 4
=76.5
练习
步骤二：计算离差
练习
步骤三：计算离差的平方和
练习
步骤四：计算离差平方的加权算术平均数，即方差
n
2
i 1 n
xi
fi
i 1
fi
462 .5 2 132 .25 8 2.25 16 72.25 10 342 .25 4 = 2 8 16 10 4