离中趋势测量法

准差与其算术平均数之比，其 计算公式是
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2. 异众比率
所谓异众比率，是指非众数的频数与总体单位数 的比值，用V·R来表示
其中： 为众数的频数； 是总体单位数
异众比率能表明众数所不能代表的那 一部分变量值在总体中的比重。
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3. 偏态系数
我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态和 偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众 数之间存在的关系：当总体呈对称分布时， 、 、 三者完全相等；当总体呈不对称的偏态分布时，它们之 间存在着数量(位置)的差异。因此，偏态可由 与 的差来表示，即
第五章 离中趋势测量法
主要内容：（1）变异指标； （2）全距和四 分位差； （3）平均差、标准差和标准分； （4） 绝对离势和相对离势；（5）偏度（及峰度）。
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所谓离中趋势，是指数列中各变量值 之间的差距和离散程度。离势小，平均数 的代表性高；离势大，平均数代表性低。
例如有A、B、C、D四组学生各5人的成绩如下：
X
(X X)
(X X )2
72
-1
1
81
8
64
86
13
169
69
-4Biblioteka 1657-16
256
365
0
506
X2
5184 6561 7395 4761 3249 27151
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2. 对于分组资料
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计算左 边数列的 标准差
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[例] 调查大一男生60人的身高情况如下表所示，求 他们身高的标准差。
（3）Z分数实际表达了变量值距总体均 值有几个标准差。
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Z分数也有标准正态变量之称。按Z值大小编制 出的正态分布表，其用途十分广泛。
Z分数的性质： Z分数之和等于0
Z分数的算术平均数等于0
Z分数的标准差等于1，方差也等于1
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第四节 相对离势
上述各种反映离中趋势的变异指标，都具有和原 资料相同的计算单位，称绝对离势。但欲比较具有不 同单位的资料的参差程度，或比较单位虽相同而均值 不相同的资料的参差程度，离势的绝对指标则很可能 导致某些错误结论。所以，我们还得了解和学习相对 离势。
1. 变异系数
绝对离势统计量与其算术平均数的比率，用V 表示。变异系数是最具有代表性的相对离势。
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全距系数 全距系数是众数据的全
距与其算术平均数之比，其计 算公式是 平均差系数
平均差系数是众数据的平 均差与其算术平均数之比，其 计算公式是
标准差系数 标准差系数是众数据的标
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4.标准分(standard score)
以离差和标准差的比值来测定变量 与 的相 对位置。使原来不能直接比较的离差标准化，可以相 互比较，加、减、平均。
（1）Z是和X一一对应的变量值； （2）Z分数没有单位，是一个不受原资
料单位影响的相对数，所以可以用于不同单 位资料的比较；
求下列两组成绩的四分位差： A: 78 80 82 85 89 87 90 86 79 88 84 81 B: 55 68 78 88 99 100 98 90 85 83 84 81
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第二节 平均差(Mean absolute deviation)
要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量值 相对于平均数的差异情况，一个很自然的想法就是计算 各变量值与算术平均数的离差。平均差是离差绝对值的 算术平均数。
1.对于未分组资料
2.对于分组资料
3.平均差的性质
在受抽样变动、极端值影响，
处理不确定组距方面均同于算术平 均数；不适于代数运算，其理论意 义不易阐述。
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[例1] 试分别以算术平均数为基准，求85，69， 69，74，87，91，74这些数字的平均差。
[例2] 试以算术平均数为基准，求下表所示数据 的平均差。
（1）受极端值影响大； （2） 没有量度中间各个单位间 的差异性，数据利用率 低，信息丧
失严重；
（3）受抽样变动影响大，大样 本全距比小样本全距大。
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2.四分位差(Quartile deviation) 第三四分位数和第一四分位数的半距。
避免全距受极端值影响大的缺点。
请大家 计算一下， 看能否算对
变异指标如按数量关系来分有以下两类； 凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势;
主要有极差、平均差、四分位差、 标准差等。
凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势;
主要有异众比率、标准差系数、平均差 系数和一些常用的偏态系数。
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第一节 全距与四分位差
1.全距(Range)
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对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距： （1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值 （2）用组值最大组的上限减去最小组的下限 （3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限； 或最大组的上限减去最小组的组中值
运用上 述方法计 算左边数 列的全距
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优点：
计算简单、 直观。
缺点：
全距（R）：最大值和最小值之差。也叫极差。全 距越大，表示变动越大。
R =Xmax– Xmin
[例] 求74，84，69，91，87，74，69这些数字 的全距。
[解] 把数字按顺序重新排列：69，69，74， 74，84，87，91，显然有
R =Xmax– Xmin ＝91—69＝22
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人数
3 7 12 18 10
讨论左 边数列关 于年龄的 偏态和偏 态系数．
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计算左 边数列的 平均差
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第三节 标准差（standard deviation)
各变量值对其算术平均数的离差平方 的算术平均数的平方根，均方差，又称
用S表示。
即克服平均差带有绝对值的缺点， 又保留其综合平均的优点。
1. 对于未分组资科
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求72、81、86、69、57这些数字的标准差。
A组：60 ，60，60，60，60 B组：58，59，60，61，62 C组：40，50，60，70，80 D组：80，80，80，80，80 数据显示，平均数相同，离势可能不同；平均
数不同，离势可能相同。
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变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参 差程度，与平均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的 特征。
为了使不同数列的偏态值可比，同样可计算偏态的相 对数，即偏态系数，用α来表示
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偏斜系数是以标准差为单位的算术平均数与众 数的离差，其取值一般在0与土3间。偏斜系数为0表 示对称分布，偏斜系数为或则表示极右或极左偏态。
年龄
15－25 25－35 35－45 45－55 55－65
计算 左边数 列的标 准差
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[解] 因为是分组资料，计算标准差运用加权式，并 参见下表
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3. 标准差的性质
标准差是反映总体各单位标志值的离散状况和差异 程度的最佳测度。
（1）以算术平均数为基准计算的标准差比以其他任 何数值为基准计算的标准差要小。“最小二乘方”性质—
— 各变量值对算术平均数的离差的平方和，必定小于他们 对任何其他数偏差的平方和。
（2）它将总体中各单位标志值的差异全包括在内，受 抽样变动影响小。但在受极端值影响以及处理不确定组 距方面，缺点同算术平均数。
值得注意的是，在推论统计中我们将发现，方差是 比标准差更有理论价值的概念。所谓方差，即标准差的 平方，它直接写成 。 也常被称为变异数。