回溯法递归回溯算法步骤符号约定
算法分析与设计回溯法ppt课件
问题求解的方法
硬性处理法
– 列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 – 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
– 实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
这种以深度优先方式搜索问题的解的方法称为 回溯法
回溯法思想
第一步：为问题定义一个状态空间(state space)。这 个空间必须至少包含问题的一个解
第二步：组织状态空间以便它能被容易地搜索。典型 的组织方法是图或树
第三步：按深度优先的方法从开始结点进行搜索
– 开始结点是一个活结点（也是 E-结点：expansion node） – 如果能从当前的E-结点移动到一个新结点，那么这个新结点将
权衡：限界函数生成结点数和限界函数 本身所需的计算时间
效率分析
效率分析中应考虑的因素
– （1）—（3）与实例无关 – （4）与实例相关
有可能只生成O(n)个结点，有可能生成 几乎全部结点
最坏情况时间
– O(p(n)2n)，p(n)为n的多项式 – O(q(n)n!)，q(n)为n的多项式
Monte Carlo效率估计（1）
解空间
隐式约束描述了xi必须彼此相关的情况， 如0/1背包问题中的背包重量M
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
回溯法求解的经典问题（2） 子集和数问题
回溯法_ppt课件
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
回溯法 符号三角形
回溯法符号三角形1. 引言回溯法是一种常见的解决问题的算法，它通过穷举所有可能的解来找到问题的最优解。
符号三角形是一种由符号组成的图形，通常用于逻辑推理和数学计算。
本文将介绍回溯法在解决符号三角形问题中的应用。
2. 符号三角形问题符号三角形是由一系列符号组成的等边三角形，每个位置可以填入不同的符号。
例如，下面是一个由A、B、C、D四个符号组成的符号三角形：AB CD A B给定一个符号三角形，我们需要找到一种填充方式，使得每个位置上填入的符号满足特定条件。
这个条件可以是相邻位置上填入的符号不能相同，或者每行每列上填入的符号之和等于某个特定值。
3. 回溯法解决符号三角形问题回溯法是一种递归搜索算法，它通过尝试所有可能的解来找到最优解。
在解决符号三角形问题中，我们可以采用回溯法来穷举所有可能的填充方式，并判断是否满足条件。
3.1 算法思路回溯法解决符号三角形问题的基本思路如下：1.遍历符号三角形的每个位置，从第一行第一个位置开始。
2.在当前位置尝试填入一个符号。
3.判断当前填入的符号是否满足条件，如果满足则继续下一步，否则回溯到上一步。
4.如果已经遍历完所有位置，并且所有填入的符号都满足条件，则找到了一个解。
输出这个解，或者记录下来。
5.继续尝试下一个可能的填充方式，重复步骤2-4，直到遍历完所有可能的填充方式。
3.2 代码实现下面是使用Python语言实现回溯法解决符号三角形问题的代码：def backtrack(triangle, row, col, symbols):if row == len(triangle):# 找到了一个解print_solution(triangle)returnfor symbol in symbols:triangle[row][col] = symbolif is_valid(triangle, row, col):# 符号满足条件，继续下一步next_row, next_col = get_next_position(row, col) backtrack(triangle, next_row, next_col, symbols)triangle[row][col] = Nonedef print_solution(triangle):for row in triangle:for symbol in row:print(symbol or ' ', end=' ')print()def is_valid(triangle, row, col):# 判断当前填入的符号是否满足条件if row > 0 and triangle[row][col] == triangle[row-1][col]: return Falseif col > 0 and triangle[row][col] == triangle[row][col-1]: return Falsereturn Truedef get_next_position(row, col):# 获取下一个位置if col < row:return row, col+1else:return row+1, 0def solve_triangle(triangle, symbols):backtrack(triangle, 0, 0, symbols)# 测试代码triangle = [[None]*i for i in range(1, 5)]symbols = ['A', 'B', 'C', 'D']solve_triangle(triangle, symbols)4. 总结回溯法是一种通过穷举所有可能的解来找到问题最优解的算法。
第5章回溯法PPT课件
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1， x2，…，xj）为前缀的任何n元组
（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后，要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言，我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解，因此，我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
回溯算法（一）
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么？
为什么回溯？
怎样回溯？
What
Why
How
一、回溯的概念
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束，显然，其计算量是相当大的。
回溯算法
刚才的方法为生成皇后的摆放方案再去判断是否符合 要求，效率比较低，我们能不能每摆放一个皇后就看 这个皇后摆放的位置对还是不对，这样可以节省很多 无效的搜索 procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then inc(total) else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; if pd(dep) then try(dep+1); end; end;
procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to 4 do{每个城市有四种颜色} begin a[dep]:=i; if check(dep) then search(dep+1); end; end;
主要代码： procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; search(dep+1); end; end;
program pailie(input,output); var n:integer; a:array[1..20] of integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to n do write(a[i]); writeln; end;
代码实现： procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; try(dep+1); end; end;
试探法(回溯法)
程序＝数据结构+算法软件＝程序+文档试探法（回溯法）是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来解，可以利用试探的技术求解。
试探法是搜索算法中的一种控制策略。
它的基本思想是：为了求得问题的解，先选择某一种可能情况进行试探，在试探过程中，一旦发现原来的选择的假设情况是错误的，就退回一步重新选择，继续向前试探，如此反复进行，直至得到解或证明无解。
实例：生成彩票号码组合常见的彩票号码都是由一些数字组成的，生成彩票号码其实就是将所有数字进行不同的组合。
例如，假设有一种彩票，每注由7个1-29的数字组成，且这7个数字不能相同，编写程序生成所有的号码组合。
执行结果：从上例代码可看出，程序代码很繁琐，且程序不具有通用性。
例如，要将程序改为生成5位数的不同组合，就需要删除其中的两层循环。
其实，解决这类问题更好的办法是使用试探法，逐步计算出所有可能的组合。
首先分析可按如下顺序生成彩票号码：29 28 27 26 25 24 2329 28 27 26 25 24 2229 28 27 26 25 24 2129 28 27 26 25 24 20……29 28 27 26 25 24 129 28 27 26 25 23 22……从上面列出的顺序可看出，生成组合时，首先变化最后一位（第7位），当最后一位数为1时，将回溯计算倒数第二位（第6位），使该位（第6位）减少1，然后再变化最后一位数（第7位），通过这样的递归调用，即可生成所有的号码组合。
现在用5个数字产生3个数字的组合来演示程序执行的过程MAXN=3NUM=5i i5lottery[2]=num[4]=5 4lottery[1]=num[3]=4 in,m n,m3lottery[0]=lottery[2]=3543 combine(4,2)combine(3,1)2lottery[0]=lottery[1]=25421lottery[0]=lottery[0]=1541i3 lottery[1]=num[2]=3 2 lottery[0]=lottery[1]=2532n,m 1 lottery[0]=lottery[0]=1531combine(2,1)n,mcombine(5,3) 2 lottery[1]=num[1]=2 in,m 1 lottery[0]=lottery[0]=1521combine(1,1)i4lottery[2]=num[3]=4 3 lottery[1]=num[2]=3 in,m n,m 2 lottery[0]=lottery[1]=2432 combine(3,2)combine(2,1) 1 lottery[0]=lottery[0]=14312 lottery[1]=num[1]=2 in,m 1 lottery[0]=lottery[0]=1421combine(1,1)3lottery[2]=num[2]=3 in,m 2 lottery[1]=num[1]=2 icombine(3,2) n,m 1 lottery[0]=lottery[0]=1321combine(1,1)程序执行情况。
学习电脑信息五大常用算法之四：回溯法
五大常用算法之四：回溯法五大常用算法之四：回溯法1、概念回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回,尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点"。
许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法"的美称。
2、基本思想在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。
当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯.（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。
若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束.而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
3、用回溯法解题的一般步骤：（1）针对所给问题,确定问题的解空间:首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。
（2）确定结点的扩展搜索规则（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
4、算法框架(1）问题框架设问题的解是一个n维向量(a1，a2,………，an),约束条件是ai(i=1,2，3，…。
,n)之间满足某种条件,记为f（ai)。
（2）非递归回溯框架1：int a[n］,i；2：初始化数组a［］；3: i = 1；4: while (i〉0(有路可走）and （未达到目标）) // 还未回溯到头5：{6：if（i > n）// 搜索到叶结点7：｛8: 搜索到一个解，输出；9: ｝10：else// 处理第i个元素11: ｛12：a［i]第一个可能的值；13: while(a［i］在不满足约束条件且在搜索空间内) 14：｛15：a［i］下一个可能的值；16：｝17: if（a[i]在搜索空间内）18: {19：标识占用的资源;20: i = i+1; // 扩展下一个结点21: }22: else23: {24：清理所占的状态空间；// 回溯25：i = i –1;26: ｝27: ｝（3）递归的算法框架回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度,框架如下：1: int a［n］；2：try（int i）3：{4：if（i>n）5: 输出结果；6：else7：｛8: for(j = 下界; j 〈= 上界; j=j+1) // 枚举i所有可能的路径9：{10: if（fun(j）) // 满足限界函数和约束条件11: ｛12: a[i］= j；13：。
《数据结构与算法设计》第12章 回溯法
12.1.1 问题的解空间
（7）解空间树：为了便于在解空间中搜索可行解和最优解，通 常将问题的解空间组织成树的形式，称为解空间树。在解空间树 中，节点代表解向量的当前状态，分支代表决策阶段的选择。解 空间树的根节点代表解向量的初始状态（空向量），叶子节点代 表一个完整的解，其余节点代表某种选择下的一种解向量状态。
12.1 回溯法概述
12.1.1 问题的解空间
（1）问题的解向量：如果一个复杂问题的求解过程可以被划分 为n个依次进行的决策阶段，那么该问题的解可以表示为一个向 量X=(x1,x2,…,xn)，其中，xi表示第i个决策阶段的选择，向量X称 为问题的解向量，对应问题的一种状态。 （2）显约束：对于解向量X=(x1,x2,…,xn)，分量xi的取值范围称 为显式约束条件（显约束）。显约束仅限定了解向量中分量的 取值范围，并未限定分量之间应当满足的关系，故仅仅满足显 约束的解向量未必满足问题的要求，即未必是满足问题要求的 解。
12.1.4 子集树与排列树
12.1.4 子集树与排列树
➢ 排列树
若给定问题是求解n个元素满足某种条件的排列，则该问题的 解空间树称为排列树。这类问题的解包含的元素数目总是n个， 不同的解的区别在于元素排列顺序不同。
例如，旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）：一 个商品推销员要去若干个城市推销商品，已知城市之间的路程（ 或旅费）。该推销员从一个城市出发，途径每个城市一次，最后 回到出发城市。请问推销员应该如何选择行进路线，才能使总的 路程（或旅费）最短（或最少）。
即 P(x1, x2 , , xk+1) P(x1, x2 , , xk ) ， 0<k<n
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min 邋ç t1ni + t2 nk ÷ ç ÷ ç ÷ 桫 k = 1 i= 1
上式的定义存在局限 , 要求任意作业经过机器 1 处
理后不需等待即可被机器2处理
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
《算法设计与分析》
批处理作业调度的回溯解法(1)
回溯法
基本思想 : 建立一棵排列树 , 并在解空间树上回溯
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《算法设计与分析》
回溯法框架:以旅行售货员问题为例(4)
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
具体算法
bestx 表示当前最优解 ,bestc 表示当前最优值 ,cc 表
示当前费用,x表示当前解
递归回溯:用递归函数实现回溯
Backtrack(int t) 1. if t>n then 2. Output(x) 3. else 4. for i← f(n,t) to g(n,t) 5. x[i]← h(i) {x用来记录可行解的各个结点 } 6. if Constraint(t) && Bound(t) 7. Backtrack(t+1) 8. end if 9. end for 10. end if
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《算法设计与分析》
装载问题的描述
回溯法
问题描述
概述 有一批n个集装箱要装上2艘载重量为c1和c2的轮船, n 装载问题 其中集装箱i的重量为wi,且 wi ? c1 c2 批处理作业调度 i= 1 n后问题 目标:确定一个合理的方案,将n个集装箱装上2艘船 0-1背包问题 形式化描述 最大团问题 图的着色问题 给定一个集合 W={w1,w2,…,wn}, 装载问题的目标是
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《算法设计与分析》
回溯法,古来有之
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
诗经· 秦风· 蒹葭
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
《算法设计与分析》
回溯法的基本思想
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
输入 : 结点数目 n,源点 j,距离矩阵 a 输出 : 巡游路线 Backtrack(j,n) 1. if j=n then 2. if (a[x[n-1]][x[n]]!=NULL && a[x[n]][1]!=NULL && cc+a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][1]<bestc) then 3. bestx← x 4. bestc← cc+a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][1] 5. end if 6. end if 7. for i← j to n 8. if a[x[j-1]][x[i]]!=NULL && cc+a[x[j-1]][x[i]]<bestc 9. exchange x[i] and x[j] //用于生成排列树 10. cc← cc+a[x[j-1]][x[j]] 11. Backtrack(j+1,n) 12. cc← cc-a[x[j-1]][x[j]] 13. exchange x[i] and x[j]
设Z是解空间树第i层上的当前扩展结点,令
r=
j = i+ 1
å
n
wj
表示剩余集装箱的重量和
上界函数:
Bound (i) = cw + r
剪枝规则:当Bound(i)<=bestw时,可将Z的右子树剪
去
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《算法设计与分析》
装载问题的回溯算法II(2)
å
n
F2i
i= 1
称为该作业调度的完成时间和
目标:对于给定的 n个作业,制定最佳作业调度方案 ,
使其完成时间和达到最小
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《算法设计与分析》
批处理作业调度问题的描述(2)
回溯法
简单结论:存在最佳作业调度使得在机器1和机器2
概述 上作业以相同次序完成 装载问题 形式化描述 批处理作业调度 给定n个正整数N={1,2,…,n}和tji(i=1,2,…,n,j=1,2,…, n后问题 0-1背包问题 n).批处理作业调度是要求 N的一个序 {n1,n2,…,nn}, 最大团问题 使得 n 骣 k 图的着色问题 ÷
回溯法框架:以旅行售货员问题为例(1)
回溯法
问题描述 : 某个售货员要到若干城市推销商品 , 已
概述 知各个城市之间的路程,他要选定一条从驻地出发, 装载问题 经过每个城市一遍,最后回到驻地的路线 批处理作业调度 目标:使总的路线最短 n后问题 0-1背包问题 形式化描述 : 给定一个带权图 G=(V,E), 寻找 G 的一 最大团问题 条包含V中所有顶点的回路,使其总代价最小 图的着色问题
有2项任务要分别在 2台机器上完成 .每一个作业必 须先由机器 1处理,然后再由机器 2处理 .作业 Ji需要 机器j的处理时间为tji，i=1,2,…,n,j=1,2.对于一个确 定的作业调度 , 设是 Fji 是作业 i 在机器 j 上完成处理 的时间.则所有作业在机器2上完成处理的时间和
f =
å
要确定是否存在W的一个划分,使得W1∪W2=W,W1 wi c2 ∩W2=φ,且 邋 wi ＃c1 ,
基本思想
wi 挝 W1 wi W2
首先将第一艘轮船尽可能装满
将剩余的集装箱装上第二艘轮船
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《算法设计与分析》
装载问题的回溯算法I(1)
回溯法
装载问题可转化为一个特殊的0-1背包问题
回溯法求解过程
定义解空间,并将其组织成树或图的形式 以深度优先方式搜索解空间 ,在搜索过程中用剪枝
函数避免无效搜索
递归回溯 迭代回溯
《算法设计与分析》
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
回溯法框架:以旅行售货员问题为例(2)
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
计算复杂性
n个集装箱要建立深度为n个子集树,叶结点的数目
为2n,因此T(n)=O(2n)
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《算法设计与分析》
装载问题的回溯算法II(1)
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
用剪枝函数改进递归回溯
在问题的解空间树中按深度优先策略 ,从根结点出
发搜索解空间树 . 当遍历至某一结点时 , 先判断该 结点是否包含问题的解
如果肯定不包含 ,则跳过对其子树的搜索 ,逐层向其
祖先结点回溯
否则 ,继续以深度优先顺序遍历以该结点为根的子
树
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《算法设计与分析》
计算复杂性
子集树共有2n个结点,因此T(n)=O(2n)
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《算法设计与分析》
批处理作业调度问题的描述(1)
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
问题描述
给定n个作业的集合J={J1,J2,…,Jn}.每一个作业Ji都
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
递归回溯
输入 : 集装箱的重量 w[],轮船载重量 c[],集装箱的数目 n 输出 : 最优值 bestw MaxLoading(w,c,n) 1. bestw← 0 {初始化最大载重量 } 2. cw← 0 {初始化目前的载重量 } 3. Initialize( ) 4. Backtrack(1) Initialize() 1. r← 0 2. for i← 1 to n 3. r← r+w[i] 4. end for
概述 搜索最优解 , 从而确定 n 个作业的一个序 , 即 n 个作 装载问题 业的一个排列 批处理作业调度 符号约定 n后问题 0-1背包问题 二维数组M表示作业的处理时间 最大团问题 bestf表示当前最小完成时间和 图的着色问题 bestx表示当前的最优解
x表示当前的作业调度 f1表示机器1完成处理的时间 f2表示机器2完成处理的时间
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《算法设计与分析》
批处理作业调度的回溯解法(2)
回溯法
概述 装载问题 批处理作业调度 n后问题 0-1背包问题 最大团问题 图的着色问题
算法步骤
输入 : 数组 M,遍历层数 L 输出 : 最优值 bestw Flowshop(M,L) 1. if L>n then {遍历到了叶结点 } 2. bestx← x 3. bestf← f 4. return 5. end if 6. for j← L to n {从第 L层遍历至第 n层 } 7. f1← f1+M[x[j]][1] 8. f2[L]← max{f2[L-1],f1}+M[x[j]][2] 9. f← f+f2[L] 10. if f<bestf then {计算当前解对应的值 ,并剪枝 } 11. exchange x[L] and x[j] {生成排列树 } 12. Flowshop(M,L+1) 13. exchange x[L] and x[j] 14. end if