(完整word版)直线与圆的方程典型例题
直线与圆的方程试题及答案 中职学校
直线与圆的方程试题及答案试题一给定直线的方程为 x + y = 2 和圆的方程为 x^2 + y^2 = 4，求直线与圆的交点坐标。
解答：首先，化简直线的方程可以得到 y = 2 - x。
将直线的方程 y = 2 - x 求根代入圆的方程中，即：x^2 + (2 - x)^2 = 4将上式展开求解，得到 x^2 - 4x + 4 + 4x - 4 = 0化简后得到 x^2 = 4通过求根公式，可以得到 x = 2 或 x = -2。
将 x 的值代入直线的方程 y = 2 - x 中，得到对应的 y 值。
当 x = 2 时，y = 2 - 2 = 0；当 x = -2 时，y = 2 - (-2) = 4。
因此，直线与圆的交点坐标为 (2, 0) 和 (-2, 4)。
试题二给定圆的方程为 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 和直线的斜率为 -2，求直线与圆的交点坐标。
解答：首先，求出直线的方程为 y = -2x + c。
由圆的方程可知，圆心坐标为 (3, -4)，半径为 3。
直线与圆相交时，直线上的点到圆心的距离等于半径。
将直线的方程 y = -2x + c 代入圆的方程 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 中，得到：(x - 3)^2 + ((-2x + c) + 4)^2 = 9展开后，化简上式，得到：5x^2 + 10cx + c^2 - 36x + 48c - 72 = 0因为直线与圆相交，所以上式必有实数解。
根据二次方程的性质，上式的判别式必大于等于零。
即：(10c - 36)^2 - 4 * 5 * (c^2 + 48c - 72) >= 0通过求解不等式，可以得到c ∈ (-∞, 20)。
取 c = 10，将 c 的值代入直线的方程 y = -2x + c 中，得到直线的方程为 y = -2x + 10。
将直线的方程 y = -2x + 10 代入圆的方程 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 中，求解 x 的值。
直线与圆的方程例题及解析
直线与圆的方程例题及解析1. 直线方程的求解例题一已知直线上两点坐标分别为 A（2，3）和 B（-1，4），求直线 AB 的方程。
解析：设直线的方程为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为 y 轴截距。
首先，求解斜率 m：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)根据题意，A（2，3），B（-1，4），带入公式计算斜率：m = (4 - 3) / (-1 - 2) = 1 / (-3) = -1/3将斜率 m 替换到直线方程中：y = -1/3x + c接下来，我们需要求解截距 c。
将点 A（2，3）代入上式，得到：3 = -1/3 * 2 + c解得 c = 4/3。
将 c 替换到直线方程中，得到直线 AB 的方程：y = -1/3x + 4/32. 圆的方程的求解例题二已知圆心坐标为 O（2，-1），半径为 r = 3 的圆，求圆的方程。
解析：圆的方程一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，（h，k）为圆心坐标，r 为半径。
根据题意，圆心坐标为 O（2，-1），半径为 r = 3。
代入上式，得到圆的方程：(x - 2)² + (y + 1)² = 3²化简得：(x - 2)² + (y + 1)² = 9总结本文介绍了直线与圆的方程的求解方法，并给出了两个例题的解析过程。
在求解直线方程时，通过已知的两个点的坐标计算斜率，然后带入截距公式得到直线方程。
在求解圆的方程时，根据圆的一般形式，将圆心坐标和半径代入方程中得到圆的方程。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解直线与圆的方程。
(完整word版)参数方程直线、圆专题练习
参数方程直线、圆专题练习.。
评卷人得分一．选择题（共9小题）1．曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣y﹣2=0，P、M分别为曲线C和直线l上的点，则|PM｜的最小值为（）A．0 B．C． D．22．直线l的参数方程为(t为参数)，则l的倾斜角大小为（）A． B． C．D．3．直线(t为参数)与曲线（θ为参数）相交的弦长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为( )A．线段B．双曲线的一支 C．圆弧D．射线5．参数方程（t为参数,且0≤t≤3）所表示的曲线是( ）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支6．椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（)A．（±4，0） B．（0，±4） C．（±5，0） D．（0，±3）7．已知α是锐角，则直线（t为参数）的倾斜角是( )A．αB．α﹣C．α+D．α+8．已知M为曲线C：(θ为参数）上的动点．设O为原点，则｜OM｜的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知椭圆的参数方程(t为参数），点M在椭圆上，对应参数t=，点O为原点，则直线OM的斜率为（）A． B．﹣C．2D．﹣2评卷人得分二．填空题（共16小题）10．参数方程（α为参数）化成普通方程为．11．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是．12．椭圆（θ为参数)的右焦点坐标为13．已知圆C的参数方程为（θ为参数),以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是．14．若直线（t为参数）与曲线（θ为参数)相切，则实数m的值为．15．设点A是曲线是参数)上的点，则点A到坐标原点的最大距离是．16．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为．17．参数方程（θ为参数）化为普通方程是．：18．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1 (θ为参数）,曲线C：ρcos（θ+）=t，若两曲线有公共点，则t的取值范围2是．19．直线（t为参数）对应的普通方程是．20．直线(t为参数）的倾斜角的大小为．21．将参数方程(t为参数)化为普通方程是．22．直线（t为参数）被圆(θ为参数）所截得的弦长为．23．直线(t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．24．已知直线C1：（t为参数），C2:(θ为参数）,当α=时，则C1与C2的交点坐标为．25．若直线l的参数方程为,t∈R,则直线l在y轴上的截距是．评卷人得分三．解答题(共5小题）26．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．（Ⅰ)求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程,并说明方程所表示的曲线名称；（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长．27．已知直线l参数方程：(t为参数），曲线C1：．(1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；(2）若点M在曲线C1上运动，求M到直线l距离的最小值．28．已知直线l：（t为参数），曲线C1:，（θ为参数)．（1）设l与C1相交于A，B两点，求｜AB|；（2）曲线C2为（θ为参数）,点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．29．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，(θ为参数）,过点(0，﹣)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；(2）求AB中点P的轨迹的参数方程．30．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数)，直线l的参数方程为，(t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2）,求l的斜率．参数方程直线、圆专题练习参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．曲线C的参数方程为（θ为参数）,直线l的方程为x﹣y﹣2=0，P、M分别为曲线C和直线l上的点，则｜PM|的最小值为（）A．0 B．C． D．2【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和正弦型函数的性质及点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解：曲线C的参数方程为（θ为参数）,设P（2c osθ，sinθ），则：点P到直线x﹣y﹣2=0的距离d==,当sin（θ+α）=1时，|PM|的最小值为．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应用,三角函数关系式的恒等变变换,正弦型函数性质的应用．2．直线l的参数方程为（t为参数）,则l的倾斜角大小为( )A． B． C．D．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，由直线的方程形式分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线l的参数方程为(t为参数），则到直线的方程为，所以直线的斜率为，倾斜角为，故选：C．【点评】本题考查直线的参数方程及倾斜角，注意将直线的参数方程变形为普通方程．3．直线(t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（)A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别化直线与圆的参数方程为普通方程，再由圆心在直线上可得弦长．【解答】解：由，得x﹣，由,得（x﹣1)2+y2=1．∴圆(x﹣1)2+y2=1的圆心坐标为（1，0)，半径为1．而圆心（1，0）在直线x﹣上，∴直线与曲线相交的弦长为2．故选：B．【点评】本题考查参数方程化普通方程,考查直线与圆位置关系的应用,是基础题．4．已知曲线的参数方程为（0≤t≤5)，则曲线为（）A．线段B．双曲线的一支 C．圆弧D．射线【分析】曲线的参数方程消去参数t，得x﹣3y=5．再由0≤t≤5，得﹣1≤y≤24．从而求出该曲线是线段．【解答】解:由（0≤t≤5），消去参数t,得x﹣3y=5．又0≤t≤5，故﹣1≤y≤24．故该曲线是线段．故选：A．【点评】本题考查曲线形状的判断,考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．5．参数方程(t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支【分析】根据题意,由参数方程中t的范围分析可得x、y的范围,结合参数方程消去参数可得x ﹣3y=10，结合x、y的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，参数方程，若0≤t≤3，则有：4≤x≤31，﹣2≤y≤7,又由参数方程，则y+2=(x﹣4），即x﹣3y=10，又由4≤x≤31，﹣2≤y≤7,则参数方程表示的是线段;故选:C．【点评】本题考查参数方程与普通方程的转化，注意t的取值范围．6．椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（)A．（±4，0） B．（0,±4）C．（±5,0）D．（0，±3）【分析】根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，分析a、b的值，计算可得c的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的参数方程为（θ为参数）,则其普通方程为+=1，其中a=5，b=3,则c==4,其它的两个焦点坐标是（±4，0）；故选：A．【点评】本题考查椭圆的参数方程，关键是将椭圆的方程变形为普通方程．7．已知α是锐角,则直线（t为参数)的倾斜角是（）A．αB．α﹣C．α+D．α+【分析】设直线的倾斜角为θ，则tanθ==，α锐角，化简即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，则tanθ====，α锐角．∴θ=,故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、诱导公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM｜的最大值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接把圆的参数方程转化为直角坐标方程，进一步利用两点间的距离公式求出结果．【解答】解：曲线C：（θ为参数）转化为：（x﹣3）2+y2=1，则：圆心（3,0）到原点（0.0）的距离为3,故点M到原点的最大值为：3+1=4．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的转化,两点间的距离公式的应用．9．已知椭圆的参数方程（t为参数)，点M在椭圆上,对应参数t=，点O为原点，则直线OM的斜率为（)A． B．﹣C．2D．﹣2【分析】将点对应的参数代入椭圆的参数方程得到M的坐标,再利用直线的斜率公式即可求出答案．【解答】解:当t=时，点M的坐标为（2cos，4sin），即M（1,2),∴OM的斜率为k=2．故选：C．【点评】本题主要考查了椭圆的参数方程，直线的斜率等基本知识,属于基础题．二．填空题(共16小题）10．参数方程（α为参数）化成普通方程为x2+（y﹣1)2=1 ．【分析】欲将参数方程（α为参数）化成普通方程,只须消去参数即可，利用三角函数的同角公式中的平方关系即得．【解答】解：∵（α为参数）∴x2+（y﹣1)2=cos2α+sin2α=1．即:参数方程(α为参数）化成普通方程为：x2+（y﹣1）2=1．故答案为：x2+（y﹣1）2=1．【点评】本小题主要考查参数方程的概念的应用、圆的参数方程的概念、三角函数的同角公式等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．11．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是．【分析】根据题意，由椭圆的参数方程可得=cosα，=sinα，进而可得,即可得答案．【解答】解:根据题意，椭圆的参数方程为，则有=cosα，=sinα，则有，即该椭圆的普通方程为：，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的参数方程，注意椭圆的参数方程的形式，属于基础题．12．椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为（1，0)【分析】根据题意，将椭圆的参数方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值，即可得椭圆的右焦点坐标，即可得答案．【解答】解:根据题意,椭圆（θ为参数）的普通方程为+=1，其中a=2，b=,则c=1；故椭圆的右焦点坐标为（1，0）;故答案为：(1，0）【点评】本题考查椭圆的参数方程，注意将椭圆的参数方程变形为普通方程．13．已知圆C的参数方程为（θ为参数）,以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是．【分析】利用弦长=，(其中d为弦心距）公式即可计算出．【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x=1；由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为普通方程x2+(y﹣2）2=1，其圆心C（0，2），半径r=1．直线l截圆C所得的弦长=2=．故答案为．【点评】熟练弦长、弦心距及半径三者之间的关系是解题的关键．14．若直线（t为参数）与曲线(θ为参数）相切，则实数m的值为﹣3或7 ．【分析】把参数方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离等于半径，求得m的值．【解答】解：直线l：(t为参数）即 2x﹣y+m﹣2=0．曲线C：曲线（θ为参数) 即 x2+y2=5，表示以(0，0）为圆心，半径等于的圆．再根据圆心到直线的距离等于半径,可得==，求得 m=﹣3或7,故答案为：﹣3或7．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用,直线和圆的位置关系,属于基础题．15．设点A是曲线是参数）上的点，则点A到坐标原点的最大距离是 3 ．【分析】设A（,1+sinθ),原点O（0,0）,｜AO｜==，由此能求出点A到坐标原点取最大距离．【解答】解：∵点A是曲线是参数)上的点，∴设A（,1+sinθ）,原点O（0，0），｜AO|===,∴当sin（）=1时，点A到坐标原点取最大距离3．故答案为：3．【点评】本题考查两点间距离的最大值的求法,考查勇数方程、两点间距离公式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为 2 ．【分析】直线消去参数t，得x﹣2y=0，曲线消去参数,得（x﹣2）2+y2=1，联立，能求出交点个数．【解答】解：直线（t为参数）消去参数t，得x﹣2y=0，曲线(θ为参数)消去参数，得（x﹣2)2+y2=1，联立，得或．∴直线(t为参数)与曲线（θ为参数）的公共点个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与曲线的交点个数的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,是中档题．17．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣3）2+y2=1 ．【分析】由参数方程可得，结合sin2θ+cos2θ=1可得答案．【解答】解：由参数方程可得，两边平方作和得(x﹣3)2+y2=1．故答案为:（x﹣3）2+y2=1．【点评】本题主要考查参数方程与普通方程的相互转化,属于基础题．：18．直角坐标系xOy中，以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1（θ为参数)，曲线C：ρcos(θ+）=t,若两曲线有公共点，则t的取值范围是2t＜﹣1或t＞3 ．【分析】分别化直线和圆的方程为普通方程，由直线和圆的位置关系可得t的不等式，解不等式可得．【解答】解：由C：可得cosθ=x﹣1，sinθ=y，1两式平方相加可得（x﹣1)2+（y)2=1，整理可得(x﹣2）2+y2=4,表示圆心为(2，0）半径为2的圆，：ρcos（θ+）=t可得ρcosθ﹣ρsinθ=t，由C2即x﹣y=t，即x﹣y﹣2t=0，表示一条直线，由两曲线有公共点可得直线与圆相离，∴圆心到直线的距离d大于半径，即＞2,解得t＜﹣1或t＞3故答案为：t＜﹣1或t＞3【点评】本题考查圆的参数方程和直线的极坐标方程，化为普通方程并利用直线和圆的位置关系是解决问题的关键，属基础题．19．直线（t为参数）对应的普通方程是x+y﹣1=0 ．【分析】利用加减消元法消去参数t，即可得到直线的普通方程．【解答】解：两个方程相加得x+y﹣1=0,故答案为：x+y﹣1=0．【点评】本题考查了参数方程与普通方程的转化，属于基础题．20．直线（t为参数）的倾斜角的大小为．【分析】化参数方程为普通方程，求出斜率，即可求得倾斜角．【解答】解:（t为参数）化参数方程为普通方程，两方程相加可得x+y=2，则直线的斜率为﹣1，故倾斜角为．故答案为：．【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,解题的关键是化参数方程为普通方程,属于基础题．21．将参数方程（t为参数）化为普通方程是2x+y﹣3=0 ．【分析】2x=2+2，与y=1﹣2相加即可得出．【解答】解:2x=2+2，与y=1﹣2相加可得：2x+y=3．故答案为:2x﹣y﹣3=0．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22．直线(t为参数)被圆（θ为参数）所截得的弦长为．【分析】分别化直线与圆的参数方程为普通方程，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理得答案．【解答】解：由，得x+y﹣8=0，由，得，两式平方作和得：（x﹣3）2+（y+1)2=25．∴圆心坐标为(3,﹣1），半径为5．圆心到直线的距离d=．∴直线被圆所截弦长为2．故答案为：．【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查了直线与圆位置关系的应用,考查垂径定理的应用，是基础题．23．直线（t为参数）与曲线(θ为参数）的交点个数是 2 ．【分析】直线与曲线的参数方程，化为普通方程，联立可得13x2﹣18x﹣27=0,即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与曲线(θ为参数），普通方程分别为x+y﹣1=0，=1，联立可得13x 2﹣18x ﹣27=0，△=（﹣18)2﹣4×13×（﹣27）＞0， ∴交点个数是2， 故答案为：2．【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的转化，考查方程思想,比较基础．24．已知直线C 1：(t 为参数），C 2：（θ为参数），当α=时，则C 1与C 2的交点坐标为 （1,0）,（，﹣） ．【分析】先消去参数将曲线C 1与C 2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可． 【解答】解：（Ⅰ)当α=时，C 1的普通方程为y=（x ﹣1)，C 2的普通方程为x 2+y 2=1． 联立方程组，解得C 1与C 2的交点为(1，0),(，﹣）．故答案为（1，0），（，﹣）．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化,比较基础．25．若直线l 的参数方程为，t ∈R ，则直线l 在y 轴上的截距是 1 ．【分析】令x=0，可得t=1，y=1，即可得出结论． 【解答】解：令x=0,可得t=1,y=1， ∴直线l 在y 轴上的截距是1． 故答案为1．【点评】本题考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．三．解答题（共5小题)26．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．（Ⅰ）求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并说明方程所表示的曲线名称;（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解:（Ⅰ）曲线C1：（t为参数）．转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣4=0．（x≥2）．故该曲线表示一条射线．曲线C2：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．转换为直角坐标方程为:x2+y2﹣10x﹣6y+25=0，整理得：(x﹣5）2+（y﹣3）2=9,该曲线表示以（5，3）为圆心，3为半径的圆．（Ⅱ）由于该圆是以(5,3）为圆心，3为半径,所以与射线x﹣2y﹣4=0．（x≥2)有两个交点．圆心到射线的距离d=,所以弦长l=2=4．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用．27．已知直线l参数方程：（t为参数），曲线C1：．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程;（2）若点M在曲线C1上运动,求M到直线l距离的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2)利用三角函数关系式的恒等变换和点到直线的距离公式求出结果．【解答】解:（1)直线l参数方程：(t为参数）,转化为直角坐标方程为：x+2y﹣10=0．曲线C1：．转换为参数方程为：（θ为参数)，(2)设M(3cosθ，2sinθ）到直线l的距离d==．当sin(θ+α）=1时，．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化,三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用．28．已知直线l:（t为参数）,曲线C1：,（θ为参数)．（1）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|;（2）曲线C2为（θ为参数），点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【分析】（1）转化hi街利用转换关系式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，进一步求出弦长．（2）利用三角函数关系式的恒等变换，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．【解答】解：（1）直线l：(t为参数，转化为直角坐标方程为：，曲线C1：，(θ为参数)．转化为直角坐标方程为：x2+y2=1,则:，解得交点的坐标A（1，0)，B（，）．所以：｜AB｜=1．（2）曲线C2为（θ为参数），点P是曲线C2上的一个动点，则点P的坐标是（），从而点P到直线l的距离是=，当时，d取得最小值，且最小值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．29．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数）,过点（0，﹣)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1）求α的取值范围;（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【分析】（1)⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时,直线l的方程为x=0，成立；当α≠时,过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，从而圆心O（0，0)到直线l的距离d=＜1，进而求出或，由此能求出α的取值范围．（2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1)∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1,当α=时，过点(0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点,∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1,∴或，综上α的取值范围是(，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A(x1，y1），(B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得(m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，,=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为,（m为参数),(﹣1＜m＜1）．【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用,考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．30．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程;（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【分析】(1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用直线和曲线的位置关系,在利用中点坐标求出结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为(t为参数）．转换为直角坐标方程为:sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．(2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得:（4cos2α+sin2α）t2+(8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：,由于（1，2）为中点坐标，①当直线的斜率不存时，x=1．②当直线的斜率存在时,利用中点坐标公式，，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用．。
直线与圆的方程经典例题
一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时,其倾斜角为0 ,故直线倾斜角α的范围是0180α< ≤.2.直线的斜率:倾斜角不是90的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k ,即tan k α=. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.②当 90=α时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率k 不存在.③过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 12()x x ≠的直线斜率公式2121tan y y k x x α-==-二、直线方程的五种形式及适用条件直线的方程注:⑴确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法;⑵确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.⑶直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程A x +B y +C=0（A 2+B 2≠0）是一一对应的.直线的方程例1. 过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1, 则a 的值为( ) (A)1 (B)4 (C)1或3 (D)1或4 例2. 若,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭, 则直线2x cos α＋3y ＋1=0的倾斜角的取值范围（ ） (A),62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(B) 5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(C) (0,6π) (D)5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦例3. 直线123y x =-+的倾斜角是（ ）． （A ）1arctan()3- （B ）1arctan 3 （C ）1πarctan()3+- （D ）1arctan()3π--例4. 连接(4,1)A 和(2,4)B -两点的直线斜率为____,与y 轴的交点P 的坐标为____. 例5. 以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是 .例6. 将直线0632=--y x绕着它与y 轴的交点逆时针旋转45的角后，在x 轴上的截距是( )(A)54(B) 52 (C) 25(D)45 例7. 将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，若点（7，3）与点（m ,n ）重合，则m +n 的值为( ) (A)4 (B)－4 (C)10 (D)－10 例8. 与直线:2350x y ++= 平行且过点(1,4)A -的直线' 的方程是__________。
(完整版)职高数学第八章直线和圆的方程及答案.docx
第 8 章直线和圆的方程练习 8.1两点间的距离与线段中点的坐标1.根据下列条件，求线段P P 的长度：1 2（ 2） P （ -3， 1）、 P （ 2， 4）（1） P （ 0， -2）、P （ 3，0）121 2 （3） P （ 4， -2）、P （ 1，2）（ 4） P （ 5， -2）、 P （ -1， 6）1 2122.已知 A(2,3) 、 B （ x ， 1），且 |AB |= 13 ,求 x 的值。
3.根据下列条件，求线段 P 1P 2 中点的坐标：（1） P 1（ 2， -1）、P 2（ 3，4） （ 2） P 1（ 0， -3）、P 2（ 5，0） （ 3） P 1（ 3， 2.5）、 P 2（4， 1.5）（ 4） P 1（ 6， 1）、P 2（3， 3）4.根据下列条件，求线段P 1P 2 中点的坐标：（1） P （ 3， -1）、P （ 3，5）（ 2） P （ -3， 0）、 P （ 5，0）1 21 2（3） P 1（ 3， 3.5）、 P 2（4， 2.5） （ 4） P 1（ 5， 1）、 P 2（5， 3）参考答案：1.(1) 13 ;(2) 34 ;(3)5; (4)102.-1 或 53.(1) ( 5 , 3) ;(2) ( 5 ,3) ;(3) (7, 2) ; (4) (9, 2)222 222 4. (1)(3, 2) ;(2) (1,0) ;(3) (3.5,3) ; (4)(5, 2)练习 8.2.1 直线的倾斜角与斜率1．选择题（1）没有斜率的直线一定是（）A. 过原点的直线B.垂直于 y 轴的直线C.垂直于 x 轴的直线D. 垂直于坐标轴的直线(2) 若直线 l的斜率为 -1，则直线 l 的倾斜角为（ ）A.90 B.0 C. 45D. 1352 已知直线的倾斜角，写出直线的斜率：（1） 30 , k ____ （ 2） （3）120 ,k____（ 4）参考答案：1. （ 1） C（ 2） D45 , k____150 , k____2. （ 1）3 3;(2) 1 ;(3) 3 ; (4)33练习 8.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程写出下列直线的点斜式方程（1）经过点 A （2,5），斜率是 4；（2）经过点 B （ 2,3），倾斜角为45；（3）经过点 C（ -1,1），与 x 轴平行；（4）经过点 D （1,1），与 x 轴垂直。
直线与圆的方程典型例题
解析几何中，直 线与圆方程的应 用可以帮助我们 研究几何图形的 性质和特征
解析几何中，直 线与圆方程的应 用可以用于解决 实际生活中的问 题，如测量、绘 图和计算等
实际生活中的应用
交通路径规划：利用直线与圆的方程，可以计算出最短或最安全的行驶路 径。
建筑设计：在建筑设计时，可以利用直线与圆的方程来计算出最佳的设计 方案，以满足建筑的功能和美观要求。
范围。
直线的一般式 方程：通过已 知直线的一般 式方程，推导 出直线的斜截 式方程，并说 明其应用范围。
圆的方程的变形与拓展
圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆的标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆的一般方程的变形：通过移项、合并同类项等操作，将一般方程转化为标准方程或参数方 程
圆的参数方程：通过引入参数t，将圆的方程转化为参数方程，方便进行参数化处理和求解相 关问题
直线与圆相离的 条件：圆心到直 线的距离大于圆 的半径
直线与圆交点求解的变形与拓展
变形：将直线方程代入圆方程，得到一元二次方程，解得交点坐标 拓展：利用韦达定理，求出交点坐标之间的关系，进而得到弦长、面积等几何量Leabharlann 感谢观看汇报人：XX
直线与圆的交点求解
联立方程法：通过 将直线方程与圆方 程联立，消元求解 交点坐标
几何法：利用圆心 到直线的距离等于 半径，判断交点个 数，并求解交点坐 标
参数方程法：利用 参数方程表示直线 和圆的方程，通过 消参法求解交点坐 标
代数法：通过代入 法求解交点坐标
03
直线与圆方程的应 用
几何图形中的应用
点斜式方程：知道直线上的一点 (x1, y1)和直线的斜率k，则直线 方程为y-y1=k(x-x1)
直线与圆的方程例题(总结版).docx
【考试大纲要求】1.理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程.2.掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据宜线的方程判断两条直线的位置关系.4.了解解析儿何的基本思想，了解坐标法.5.掌握圆的标准方程利一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.6.掌握直线与I员]的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题.直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程, 从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程.【基础知识归纳】1.直线方程（1）直线的倾斜角直线倾斜角的取值范围是：0O<6Z<180O.（2）直线的斜率A; = tana（a^90°）.倾斜和是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是（一8, +8）・（3）直线的方向向量设Fl （%1，力）、F2（兀2, >?2）是直线上不同的两点，则向量F X F2 =（X2—X1，y2—yO称为直线的方向向量向量一!—丽二（1,匹二A）=（1, R）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率•特别地，垂直于X轴的直x2 _兀1兀2 _兀1线的一个方向向量为a =（0,1）.说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的.每一条垃线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条立线都有斜率，要注意三者之间的内在联系.（4）直线方程的五种形式点斜式：y-y Q=k（x-x（））,（斜率存在）斜截式：y = kx + b（斜率存在）两点式：丄二21 =仝二兰L,（不垂直处标轴）截距式：兰+丄=1 （不垂直处标轴，不过原点）y2 - ” x2 -Xj a h般式：Ax + By + C 二0.引申：过直线厶+ G =0, 厶：爲兀+场『+ 02= 0交点的直线系方程为：Ajx + S|y + C] + + B-,y + C7）= 0 （九WR）（除D夕卜）.2.两条直线的位晝关系'（1）直线与直线的位置关系存在斜率的两直线人：y = k x x + b{； /2: y = k2x + b2.有:®/j /2o k x=k2且勺zb?；②厶丄厶 o 心•£ = 一1 ；③厶与厶相交o k、H k2； o④I、与12重合o何=烙且勺=$ •一・般式的直线A : A x x + B x y + C] = 0,厶:A^x + B2y + C7 = 0.有①厶厶o —爲冋=° ；且BQ — GB] H 0 ：②A丄仁o £ % + QB, = 0 ：③右与<2相交O 佔一⑴ HO：④厶与厶重合o = 0； a B}C2-C2B} =0(2)点与直线的位置关系若点P(x0,y0)在直线Ax + By + C = 0上,则有Ax0 + By。
第二讲直线与圆方程含答案
第二讲第二讲 直线与圆的方程含答案直线与圆的方程含答案一、知识要点一、知识要点二、典型例题二、典型例题例1（1）、求与x 轴相交于A (1,0)和B (5,0)两点且半径为5的圆的标准方程．标准方程．解：法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5. ∵点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：îïíïì(1－a )2＋(0－b )2＝5(5－a )2＋(0－b )2＝5，解得a ＝3，b ＝±1. ∴圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5. 法二：由A 、B 两点在圆上可知线段AB 是圆的一条弦，是圆的一条弦，根据平面根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可设圆心为C (3，b )，又|AC |＝5，即(3－1)2＋b 2＝5，解得b ＝1或b ＝－1. 因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2 （2）、圆C 通过不同的三点P (k,0)、Q (2,0)、R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，试求圆C 的方程．的方程．解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k 、2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为(k ＋22，2k ＋12)．∵圆C 在点P 处的切线斜率为1，∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6. ∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0. 变式练习1：1．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 解析：选C.设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . ∵圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a . 由|CA |2＝|CB |2得(a －1)2＋(b ＋1)2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，即(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，解得a ＝1，b ＝1，∴r ＝|CA |＝(1－1)2＋(1＋1)2＝2. 即所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 2．(2009年高考辽宁卷)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 解析：选B.由题意可设圆心坐标为(a ，－a )，则|a ＋a |2＝|a ＋a －4|2，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝|1＋1|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 3．(2008年高考山东卷)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1 解析：选B.设圆心坐标为(a ，b )，则îíì|b |＝1|4a －3b |5＝1，又b >0，故b ＝1，由|4a －3|＝5得a ＝2或a ＝－12，又a >0，故a ＝2，所求圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.(采用检验的方法也可以) 4.圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为________．解析：如图，因为圆周被直线3x ＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB ＝120°而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36. 答案：x 2＋y 2＝36 )(，＝－，4，4)1|1·|·||41，＝，解得2)43k 3(3)3(－3方程①②联立得圆心坐标为(0，78)或(0，－78)， 半径为(0－3)2＋(±78－0)2＝258， 所求圆的方程为x 2＋(y ＋78)2＝62564或x 2＋(y －78)2＝62564. 答案：x 2＋(y ＋78)2＝62564或x 2＋(y －78)2＝62564＝5. 3.（2010重庆理数）(8) 直线y=323x +与圆心为D 的圆33cos ,13sin x y q q ì=+ïí=+ïî())0,2q p éÎë交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为的倾斜角之和为 A. 76p B. 54p C. 43p D. 53p 解析：数形结合解析：数形结合301-=Ða b p -+=Ð 302由圆的性质可知21Ð=Ðbp a -+=-\ 3030 故=+b a 43p4.（2010全国卷1理数）（1111）已知圆）已知圆O 的半径为1，PA PA、、PB 为该圆的两条切线，为该圆的两条切线，A A 、B 为两切点，那么P A P B ·的最小值为的最小值为(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+例3、已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．中点的轨迹方程．解：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上， ∴(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 变式练习3：1．若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0对称的曲线仍是其本身，则实数a 为( ) A ．±12B ．±22 C.12或－22 D ．－12或22解析：选B.由题意知，圆心C (－a 22，a 2－12)在直线y －x ＝0上，∴a 2－12＋a 22＝0，∴a 2＝12，∴a ＝±22.故选B. (注：F ＝－4＜0，不需验D 2＋E 2－4F ＞0) 2．(2009年高考上海卷)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝1 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 解析：选A.设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则îíì x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，îïíïì x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4得 (2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 3．一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程是( ) A ．4 B ．5 C ．32－1 D ．26 解析：选A.圆C 的圆心C 的坐标为(2,3)，半径r ＝1.点A (－1,1)关于x 轴的对称点A ′的坐标为(－1，－1)．因A ′在反射线上，所以最短距离为|A ′C |－r ，即[2－(－1)]2＋[3－(－1)]2－1＝4. 例4、已知圆O: 122=+y x ，圆C: 1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外一点),(b a P 引两圆切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，满足|PA|=|PB|. (1)求实数a 、b 间满足的等量关系；间满足的等量关系；(2)求切线长|PA|的最小值；的最小值；(3)是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，说明理由. (1)连结PO 、PC ，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1 ∴|PO|2=|PC|2，从而2222)4()2(-+-=+b a b a化简得实数a 、b 间满足的等量关系为: 052=-+b a . (2)由052=-+b a ，得52+-=b a1||||||2222-+=-=b a OA PO PA 1)52(22-++-=b b 4)2(52420522+-=+-=b b b∴当2=b 时，2||min=PA (3) ∵圆O 和圆C 的半径均为1，若存在半径为R 圆P ，与圆O 相内切并且与圆C 相外切，则有1||-=R PO 且1||+=R PC 于是有: 2||||=-PO PC 即2||||+=PO PC从而得从而得2)4()2(2222++=-+-b a b a 两边平方，整理得)2(422b a b a +-=+将52=+b a 代入上式得：0122<-=+b a 故满足条件的实数a 、b 不存在，∴不存在符合题设条件的圆P . 三、规律与方法三、规律与方法四、过关检测四、过关检测1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2＝5 答案：A 2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则F ＝E ＝0且D ＜0是⊙C 与y 轴相切于原点的( ) A ．充分不必要条件．充分不必要条件B ．必要不充分条件．必要不充分条件C ．充要条件．充要条件D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为(－D 2，0)，而D 可以大于0，故选A. 3.已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．πB ．4πC ．8π D ．9π解析：选B.设P (x ，y )，由题知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知圆的面积为4π，故选B. 4．(2009年高考广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是________．解析：将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，圆的半径r ＝|2－1－6|1＋1＝52，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝252. 答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝252 5．(原创题)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________． 解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1) 6．若直线x a ＋y b ＝1与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b 2≥1 解析：选D.由题意知直线与圆相交或相切，故有11a 2＋1b 2≤1⇒1a 2＋1b 2≥1，故选D. 7．过点(0,1)的直线与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 B ．23 C ．3 D ．25 解析：选B.据由弦长一半及圆的半径和圆心到直线的距离所组成的直角三角形可知，当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G (0,1)的连线与直线AB 垂直时，圆心到直线AB 的距离取得最大值，即d ≤|OG |＝1，此时弦长最短，即|AB |2≥R 2－d 2＝4－1⇒|AB |≥23，故选B. 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0 解析：选D.设圆心为(a,0)，且a >0，则(a,0)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为2，即|3×a ＋4×0＋4|32＋42＝2⇒3a ＋4＝±10⇒a ＝2或a ＝－143(舍去)，则圆的方程为：(x －2)2＋(y －0)2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0. 9．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝( ) A.33B.33或－33C.3 D.3或－3 解析：选D.∵OM→·CM →＝0， ∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝± 3. 10．(2008年高考山东卷)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．106 B ．206 C ．306 D ．406 解析：选 B.圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝52，由题意得|AC |＝2×5＝10，|BD |＝252－12＝46，且AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝12|AC |·|·||BD |＝12×10×46＝20 6.故选B. 11．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得îïíïìCD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2. 解得a ＝－7，或a ＝－1. 故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 12．如右图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点， O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，∴|PM |2＝2|PN |2. 又∵两圆的半径均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，即(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2＝33. ∴所求动点P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．。
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高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2， ∴()22|31|21k k k -+=+-，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=， 当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2， 故直线3x =也适合题意。
所以，所求的直线l 的方程是34130x y +-=或3x =．2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为25)1()2(22=++-y x ，∴圆心为（2，-1），半径为210.依题意有2101122=++k k ，解得3-=k 或31=k ，∴直线方程为x y 3-=或x y 31=. 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 .解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1，0），半径为1，∴1125522=++a ，解得8=a 或18-=a .类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .例10、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m .例13 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．练习1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 解：依题意有a a >-21，解得1212-<<--a .∵0>a ，∴120-<<a .练习2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 解：依题意有11122<+-k k ，解得340<<k ，∴k 的取值范围是)34,0(.3、 圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个分析：把034222=-+++y x y x 化为()()82122=+++y x ，圆心为()21--，，半径为22=r ，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C ．4、 过点()43--，P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()42122=++-y x C ：有公共点，如图所示．分析：观察动画演示，分析思路． 解：设直线l 的方程为()34+=+x k y即043=-+-k y kx根据r d ≤有214322≤+-++kk k整理得0432=-k k解得340≤≤k ．类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例14、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，例15：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。