信号与系统标准答案B

长沙理工大学试题标准答案 B 卷
课程名称：信号与系统 专业、班级：027101-05
任课教师：曾喆昭 教研室主任： 一、简答题（共20分，每小题5分）
1．答：)1()1()(t f t f t y ---=代表的系统是线性，时变性，非因果，稳定，有记忆的系统。

2．答：不正确。

关于这一说法，可以举许多反例，如信号t t f =)(是非周期信号，但其能量是无限的。

3．答：==)(*)()(t h t f t y f )2()1()()1()2(-------t e t e t t εε。

4．答： ()ωj F 频谱只含有奇次谱波，即,0ω± ,30ω± ,50ω±…… 。

将)(t f 通过截止频率πω2=c ILPF s rad 的/后，凡高于π2的频率都会被滤掉，即
πω20≤n ，从而有4≤n ，且为奇数，因而只能有31和=n ，即输出只有基波
2
0π
ω=
s rad / 和3次谐波πω2
3
30=
s rad /的频率成份。

二、填空题（共25分，每空5分） 1．∑∞
-∞
=-=
k k t t )()(sin πδδ； 2．)0(x ； 3．2
1
； 4．)(t ε；
5．)]}([)]([{*)(41
sin )(0002
ωωωωωπω+--⇔
j F j F j F j
t t f 。

三、分析题（10分）
解：()()πωδπ
πωn n Sa j F n n -⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫
⎝⎛=∑∞-∞
=121142)( ()[]
()πωδππ
n n Sa n
n --+⎪⎭
⎫
⎝
⎛=∑∞
-∞
=124。

四、计算题（共45分，每题15分）
1．解：由图知，)()()()()(212t Sa t t h t h t h πππδ-=-=
⎩⎨
⎧<<+-<<-+=Λτ
τ
ττ
τt t t t t 0,0
,)(2设
由时域微分性质易知：
)2
(
)(222ωτ
ττSa t ⇔Λ，（参考例3.5－2）
令πτ2=，有：)(4)(222πωππSa t ⇔Λ
由对称性有：)(2)(2)(44422ωπωππππ
πΛ=-Λ⇔t Sa 由线性性质得：
)(2
1
)(42
ωπππΛ⇔
t Sa 所以有：)(2
1
)]([)(4ωπωπΛ-==t h FT j H ，如下图所示：
②由上图可知，该系统具有高通滤波作用。

只要)(1t h 是一个因果子系统，则)(t h 代表的也是一个果系统，因而可以物理实现。

③[
]
)(*)()()()(*)()(*)()(2
2
t Sa t f t f t Sa t t f t h t f t y ππππππδ-=-==
而)(21
)
()(*)(42
ωπ
ωππΛ⇔j F t Sa t f
所以有：)()(2
1
)(*)(42
ωωπππΛ⇔j F t Sa t f 又因为)]([)(t f FT j F =ω
∑
∞
=----+-+=1])12([])12([{1
21
2)(n n n n j πωδπωδωπδ
所以：
)(}])12([])12([{1212)({)()(41
4ωπωδπωδωπδωωππΛ----+-+=Λ∑
∞
=n n n n j j F
())]()([222πωπδπωπδωδπ--++=j
即())]()([)()(2124ωωδπωδωωδπωωπ--++=Λj j F t je je j F IFT t Sa t f t j t j πππωωπππππsin 221212)]()(21[)(*)(42+=-+=Λ=∴-
从而得：)(*)()()(2
t Sa t f t f t y πππ-=
t t n n n ππ
ππ
sin 2])12sin[(1
2122
1----+=
∑
∞
=
t t n n n ππsin ])12sin[(1
21
21---=∑
∞
=。

2．解：（1）由系统的零极点分布可写出系统函数为：
)
52)(4()
2()21)(21)(4()2()(2+++-=++-++-=
s s s k j s j s s s k s H s
又 t t x cos )(=是周期为π的周期信号，其傅立叶级数的直流分量为：
⎰⎰⎰---
=
=
=
=
22
22
22
02
cos 1
|cos |1
)(1
π
ππ
ππ
π
π
π
π
π
tdt dt t dt t x a
由题意知：
25,20
22
)0(5
0-=∴-⨯
=
=k k
j H a π
π
1]R e [,)
52)(4()
2(25)(2
->+++-=
∴s s s s s H s
(2) 输入信号只有直流分量，即1)(=t x ，所以输出为：
525450
|)()0(1)(0.=⨯==⨯==s s H j H t y 3．解：1
2)12(2)(-+=z z z H ；
)
(sin 3j )(cos )](sin j )(cos 3[2)e (H 2T 2T 2T 2T T
j ΩΩΩΩΩ++= 五、附加题（20分）
解：（1）)(t f 的波形如下图所示：
（2）由作图法可知，
)1(2)(2)(2)(2)(3
1'2
12
1---+--=t t g t g t t f δδ
由傅立叶变换的微分性质可得)(t f 的频谱为：
22)]4
(21)2(2[)(ω
ωω
ωj
e Sa Sa j F --=
（3）由⎰
∞
∞
-=ωωπ
ωd e j F t f t j )(21)(得：
⎰
∞
∞
-==ππωωω4)0(2)(f d e j F t j
（4）由Pasvarl 定理：
⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-=
ωωπ
d j F dt t f 2
2
)(21
)(有：
⎰⎰⎰
⎰
===∞
∞
-∞
∞
-2
10
21
2
2
2
)(4)(2)(2)(dt t f dt t f dt t f d j F πππωω
ππ3
14)1(442
10
2=
-⨯=⎰dt t （5） 因为：
⎰⎰
∞
∞
-∞
∞
-=ωωωωω
ω
ωω
ωd e Sa j F d e j F j
j
22)()(2sin 2)
(
又因为：2
2
12)()(2)()(ω
ωωj
e
Sa j F t g t f ⇔+*，所以有：
⎰
∞
∞
-=+*ωωωπ
ωω
d e e Sa j F t g t f t j j
22
12)()(221
)()(，即
ππωωωω
3)](*)([2)()(202122=+==∞
∞
-⎰t j
t g t f d e Sa j F 。