数学竞赛中与绝对值有关的问题_薛党鹏
用绝对值解决的数学问题
用绝对值解决的数学问题
数学中有很多问题可以使用绝对值来解决。
绝对值是一个数与零点的距离。
它用两个竖线来表示，例如|3| = 3，|-5| = 5。
下面是一些可以用绝对值解决的数学问题的例子：
1. 绝对值方程，例如|2x + 3| = 7。
这个方程可以转化为两个方程：2x + 3 = 7 或 2x + 3 = -7。
解这两个方程得到x的值。
2. 绝对值不等式，例如|2x + 3| < 5。
这个不等式可以转化为两个不等式：2x + 3 < 5 或 2x + 3 > -5。
解这两个不等式得到x 的范围。
3. 绝对值函数，例如f(x) = |x - 2|。
这个函数有一个绝对值符号，当x - 2为正数时，函数值等于x - 2，当x - 2为负数时，函数值等于-(x - 2)。
因此，这个函数在x = 2时取最小值0。
在x 大于2或小于2时，函数值随着x的增大或减小而增加。
使用绝对值可以使许多数学问题更加简单和清晰。
它是数学中一个非常有用的工具。
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绝对值三角不等式在数学竞赛中的常见考点
绝对值三角不等式在数学竞赛中的常见考
点
绝对值三角不等式是数学竞赛中的一个常见考点。
这个不等式用于解决三角函数和绝对值函数的相关问题。
下面是一些在数学竞赛中常见的与绝对值三角不等式相关的考点。
1. 不等式的基本性质
绝对值三角不等式具有一些基本的性质，比如它可以用于求解函数的范围和确定函数的定义域。
竞赛中常常会考察学生对这些性质的理解和应用能力。
2. 不等式的证明
在数学竞赛中，常常会考察学生对绝对值三角不等式的证明能力。
学生需要熟练掌握绝对值的定义和三角函数的性质，以及推导不等式的方法和技巧。
3. 不等式的应用
绝对值三角不等式可以应用于各种函数的求解和极限问题。
在数学竞赛中，学生需要能够根据具体的题目情境，合理地运用绝对值三角不等式来解决问题。
4. 不等式的变形
绝对值三角不等式常常需要进行变形和简化，以使其更易处理和应用。
竞赛中可能会出现一些较为复杂的不等式，学生需要有能力将它们转化为更简单的形式，并利用相关的数学技巧进行求解。
绝对值三角不等式在数学竞赛中的考点是多样的，上述仅为其中的一些常见考点。
为了在竞赛中取得好成绩，学生需要对这些考点进行深入的学习和理解，并通过大量的练习来提高自己的解题能力。
七年级上学期数学奥赛绝对值有关的问题
绝对值有关的问题一、知识要点绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
二、知识运用典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b例2、（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例3、（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例4、化简|x+1|+|x-3|三、知识运用课堂训练 1、已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号2、已知b b a b a 2=-++，在数轴上给出关于a 、b 的四种情况如图1-4所示，则成立的是 .(写出所有正确的序号)3、父亲是儿子现在年龄时，儿子已经10岁，当儿子是父亲现在年龄时，父亲将82岁，问父子相差几岁？课后训练 等级1、若x 是有理数，分式21--x 的值为正整数，则x 的个数为_________________个 2、如图，数轴上线段MO （O 为原点）的七等分点A ，B ，C ，D ，E ，F 中，只有两点对应的数是整数，点M 对应的数10->m ,那么m 可以取的不同值有 个，m 的最小值是 .3、若b c b a -<<<<0，则=++-b c b a （ ）.A.b a +B.c a --C.c a +D.c a -4、已知23++-x x 的最小值为a ，23+--x x 的最大值为b ，则b a +=_____________。
关注通法 触类旁通——也谈一次绝对值求和型函数的最值求法
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疑难 处 ， 或是 在学 生讨论 的关 键 点 做 出恰 如其 分 的点 拨， 或是 在学 生 遇 到 困难 时 做 出恰 到 好 处 的 鼓 励 ， 注
１ ， ２ ， …， ， ｚ ） 的最 值 ， 给 出 了 一种 “ 点 的放 大 法 ” 的探
将 函数 解 析 式 中 的绝 对 值 式 予 以 分 拆 ， 系 数 均 化 成
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有无 数个 。当然 ， 瑕不掩 瑜 ， 章老 师 是一 位 爱动 脑 筋 、
善 于创 新 的 教 师 。通 过 对 教 材 的 适 度 整 合 、 巧 妙 改
编， 构建 开放 、 和谐 的课 堂氛 围 ， 使 学 生 在 数 学 知 识 层
‘ 简单’ 办法 ”时 ，尽 管学 生 们 在 笑 ， 但 教 师 并 不 是 去 奚 落这 名学 生 ， 反 而 是表 扬 这 名学 生 能够 预 习教 材 ；
平行 四边形 ”方 案 ， 对学生 提出的每一个方案 ， 教 师
本 人都 没有作 出评 价 ， 而是 让 学 生 来 评 价 ， 有 意 去激
发 学 生 的 思 维 。 当 学 生 ７说 出 “ 书 也 没 有 采 用 这 种
角形 的地 方不 止 一 个 ， 白 『 以在 以 ＡＢ为 直 径 的 圆 ，
个性 的精 彩生成 。这个“ 矿” 挖 得很 关键 。
尽管 这堂课 总体 上很 成功 ， 但 有 个 别 地 方 还 需 要 仔细 推敲 ， 如 学 生 ８说 ： “ … … 方 案 ２中 只 有 一 个 地 方 刚 刚能形 成直 角三 角形 … …” 这 里 实 际 形 成 直 角 三
初中数学竞赛精品标准教程及练习62绝对值
初中数学竞赛精品标准教程及练习62绝对值绝对值是数学中一个重要的概念，它表示一个数距离0的距离。
在初中数学竞赛中，绝对值常常涉及一些特殊的性质和应用。
本文将为你介绍绝对值的定义、性质以及一些常见的解题方法，并提供一些练习供你练习。
一、绝对值的定义绝对值是一个数的非负实数。
对于一个实数a，绝对值记作，a，表示a距离0的距离。
如果a≥0，则，a，=a；如果a<0，则，a，=-a。
绝对值的符号由该数的正负决定，即，a，≥0。
当a=0时，0，=0。
二、绝对值的性质1.，a，≥0，即绝对值永远是一个非负数。
2.如果a≥0，则，a，=a；如果a<0，则，a，=-a。
3. ，ab，=，a，·，b，即绝对值的乘积等于两个实数的绝对值的乘积。
4.，a+b，≤，a，+，b，即绝对值的和不超过两个实数的绝对值之和。
5.，a-b，≥，a，-，b，即绝对值的差不小于两个实数的绝对值之差。
三、绝对值的应用1.求绝对值：对于一般的实数，我们可以直接将绝对值的定义应用上去。
例如，5，=5，-3，=-(-3)=32.求解绝对值不等式：绝对值不等式是指形如，a，<b或，a，>b的不等式。
当求解这类不等式时，我们需要根据绝对值的定义和性质进行推理。
例如，求解，2x-1，<5，我们可以通过考虑两种情况来求解：当2x-1≥0和2x-1<0时。
当2x-1≥0时，2x-1，=2x-1，所以原不等式转化为2x-1<5，解得x<3当2x-1<0时，2x-1，=-(2x-1)=1-2x，所以原不等式转化为1-2x<5，解得x>-2综合两种情况的解集，得到-2<x<3，即解集为(-2,3)。
3.求解含有绝对值的方程：求解含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的性质来考虑方程的两种情况。
一种是绝对值内的值大于等于0，另一种是绝对值内的值小于0。
例如，求解，2x-1，=5，我们可以考虑两种情况：当2x-1≥0和2x-1<0时。
高中数学奥林匹克竞赛讲座：25绝对值与二次根式
比赛讲座 25－绝对值与二次根式1．绝对值例 1（1986年扬州初一比赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，此中0＜p＜15.对于知足 p≤x≤15的 x 的来说， T 的最小值是多少？解由已知条件可得T=（x-p） +（ 15-x）+（p+15-x） =30-x.∵当 p≤ x≤时15，上式中在 x 取最大值时 T 最小；当 x=15 时， T=30-15=15，故 T 的最小值是 15.例 2 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于 0.试证这两个数都不在-1 与-之间 .证设两数为 a、b，则 |a|+|b|=|a||b|.∴ |b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.∵ab≠0，∴ |a| ＞ 0， |b| ＞0. ∴ |b|-1= ＞0，∴ |b| ＞ 1.同理可证 |a| ＞1.∴a、b 都不在 -1 与 1 之间 .例 3设a、b是实数，证明|a|- |b| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|.证明当 |a|- |b| ≤0时， |a|- |b| ≤ |a+b|建立 .当 |a|-|b| ＞0 时，因为（ |a|-|b| ）2-|a+b|2=（a2+b2-2|ab| ）-（ a2+b2+2ab）=-2（|ab|-ab ）≤0，∴|a|- |b| ≤ |a+b|.同理可证 |a+b| ≤ |a|+|b|.2．根式在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采纳配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举比以下：（1）配方法：将二次根号内的式子配成完整平方式，将三次根号下的式子配成完整立方式 .例 4(1981年宁波初中比赛题 )设的整数部分为 x,小数部分为 y,试求的值 .解=4-=2+(2-),故 x=2,y=2-,∴x+y+=4-+2+=6.例5化简解原式==|x+3|+|x-1|-|x-2|.令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴区分红四个部分：当 x＜ -3 时原式 =-（ x+3）-（x-1） +（x-2） =-x-4；当 -3≤x＜1 时，原式 =（ x+3）-（x-1）+（x-2）=x+2；当 1≤ x≤2时，原式 =（ x+3）+（ x-1） +（x-2） =3x；当 x＞ 2 时，原式 =（ x+3）+（ x-1） -（x-2）=x+4.说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来议论，是解这种问题的一般技巧.例 6化简（a＞＞0）.解原式 ===∵a＞＞ 0.∴a2＞ 2b2，∴原式 =例7求证：证明：∵=∴原式 =4.(2)乘方法 :因为乘方与开方互为逆运算,理所应当地能够用乘方的方法去根号例8已知求证:(x+y+z)3=27xyz.证明 :∵∴两边立方x+y+即再边再立方得（ x+y+z）3=27xyz.例9已知求证证明设则即同理可设则∴A+B===由 A+B=a，得∴（ 2）比较系数法例 10 求知足条件的自然数 a、 x、y.解将等式两边平方得∵x、y、a 都是自然数 .∴只好是无理数，不然与等式左侧是无理数相矛盾.∴x+y=a，xy=6.由条件可知 x＞ y 且 x、y 是自然数 .当 x=6 时， y=1，得 a=7.当 x=3 时， y=2，得 a=5.故 x=6,y=1,a=7.或 x=3,y=2,a=5.例11 化简剖析被开方式睁开后得 13+2,含有三个不一样的根式 ,且系数都是 2,可当作是将平方得来的 .解设=,两边平方得13+2=x+y+z+2比较系数 ,得①②③④由②有，代入③，得代入④，得y2=52，∴ y=5（x、 y、 z 非负），∴ =1，∴原式 =1+（ 4）设参法例 12（1986年数理化接力赛题）设（ a1，a2，，an，b1，b2，， bn 都是正数） .求证 :=证明设且 a1=b1k,a2=b2k, ，an=bnk.左侧 ==右侧 =·=∴左侧 =右侧（5）公式法、代数变换及其余例13 已知 x=求 x3+12x 的值 .解由公式（ a-b）3=a3-b3-3ab（a-b）可得·=8-3=8-12x.∴x3+12x=8.例14 设求 x4+y4+（x+y）4.解由条件知∴x+y=5，xy=1.∴原式 =(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4=[(x+y)2-2xy]2-2x2y2+(x+y)4=(25-2)2-2+54=1152.例 15(1978年罗马尼亚比赛题 )关于 a∈R，确立的全部可能的值.解记 y=. ①先假设 a≥0，这时 y≥0，把①两边平方得②即③再平方，整理后得④进而≥0.由②知y2＜2a2+2-2=2.再由⑤知 y2 ≤1，∴ 0≤y＜ 1.反过来 ,关于 [0,1]中的每一个 y 值,由⑤能够定出 a，而且这时 2a2+2-y2＞ 0，故可由⑤逆推出②和①，因此在 a≥0时，的值域为（ 0， 1） .相同在 a＜0 时，的值域为（ -1， 0），综上的值域是（ -1，1） .练习十七1．选择题（1）若实数 x 知足方程 |1-x|=1+|x| ，那么等于（）.（A） x-1（B）1-x（C）±（x-1）（D）1（E） -1（2）方程 x|x|-5|x|+6=0 的最大根和最小根的积为（） .（A） -6 （B）3 （C） -3 （D） 6 （E）-18（3）已知最简根式与是同类根式，则知足条件的a、 b 的值（）.（A）不存在（ B）有一组（C）有二组（ D）多于二组2．空题（1）已知|x-8y|+（4y-1）2+则x+y+z=_________.（2）若a＞b＞c＞0，l1=乘积中最小的一个是__________.（3）已知0＜x＜1，化简（4）已知则（5 ）（北京市 1989 年高一数学竞赛题）设 x 是实数，且 f （ x ）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则 f（x）的最小值等于 __________.3.化简 (a＞0).4.已知 ab＜ 0， a2+b2=a2b2，化简5．假如 x＞ 0， y＞ 0，且试求的值 .6．（第 8 届美国教课邀请赛试题）求的值 .7．求合适以下各式的x、y；（1）若 x、 y 为有理数，且（2）若 x、 y 为整数，8．已知求证 a2+b2=1.9．已知 A=求证11＜A3-B3＜12＜ A3+B3＜ 13.10．（1985 年武汉初二数学比赛题）已知此中a、b都是正数.（ 1）当b取什么样的值时，的值恰巧为b？（ 2）当b取什么样的值时，的值恰巧为？练习十七1.略2．（1） 3 （2）l （ 3）2x（4）a2-2（5）6.３．当时，ｙ＝ａ，当ｘ＞２ａ２时，ｙ＝４．∵ａｂ＜０，∴｜ａｂ｜＝－ａｂ，若ａ＞０＞ｂ，原式＝－ａｂ；若ａ＜０＜ｂ，原式＝ａｂ．５．原式＝２．６．原式＝８２８．７．（１）（２）ｘ＝２２，ｙ＝２；ｘ＝－２２，ｙ＝－２．８．由条件知两边平方后整理得再平方得1-2b2-2a2+b4+2a2b2+a4=0 即1-2(a2+b2)+(a2+b2)2=0,[1-(a2+b2)]2=0,∴a2+b2=1.9.∵ A2+B2=6,AB=2,∴ (A+B)2=1,A+B=,A-B=,∴ A3-B3=(A-B)+3AB(A-B)=８．当 b≥0时，原式值为b，当 0＜ b＜ 1 时，原式值为。
数学考试解决绝对值问题
数学考试解决绝对值问题（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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苏科版七年级上册数学竞赛讲义：聚焦《绝对值》专题.doc
聚焦《绝对值》【图解考点】求出各个分界点去掉绝对值符号化为一般方程求解 【技法透析】1. 绝对值的基木性质在含冇绝对值式了的运算及变形中，绝对值的性质冇很重要的作用，其主要性质冇: 若a 、b为有理数，贝IJ ： (1) 非负性:©1^1 >0；②若问+ 01=0,则 a=b = 0；绝对值的垂本性质 I a6 | = | a I • \ b \绝对值的相关知识 去绝对值符号的方法 定义 类型 绝对值方程 从数轴上“读取"信息.运用数形结合法去绝对值符号运用••零点分段法”分类讨论去绝对值符号绝对值符号中含冇未知数的方程含爹贡或多个绝对值符号的较复朵的绝对值方程 解绝对值方程的一般步聚 根据未知数的取值范悯分类讨论 若 I a I + | 6 | =0 则 Q =6=0非负性 =a由已知条件去绝对值符号(2)若同=|幵贝ija=±b；£ _Hb~\b\④|a|-|^|< a±b\ <\a\ + \b\.特别关注：若干个非负数之和为0,则这儿个非负数必须同时为0,即：\a\ + \b\+- + n\ =0,贝iJa=b=・・・=n=0.2.去绝对值符号的方法去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数(或式)的止负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有：⑴由己知条件去绝对值.(2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值.(3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值，特别关注：对于多个绝对值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性质、去符号, 即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可.3.绝对值方程(1)最简单的绝对值方程为卜| 它的解法情况如下：①当a>0吋，方程有两解：x=a或x=—a,②当a=0时,方程有一解:x=0,③当a<0时，方程无解.(2)解绝对值方程的一般步骤①求出各个零界点.②根据未知数的収值范围分类讨论.③去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程小，经常荽用到分类讨论，数形结合等方法.在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程.特别关注：对于解绝对值方程，零点分段法是一种非常重要的方法.4.绝对值的儿何意义在生活中的应用在实际生活川经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化，同时乂使实际问题数学化，从而运用绝对伯的几何定义求解.一般地，设山，a2, a3,…％是数轴上依次排列的点表示的有理数,对于卜-q| +卜-°2〔+…卜-4」，贝U：(1)当n为奇数时，此式在x= a n+l时取最小值；~2~(2)当n为偶数时，此式在时取最小值.I r1【名题精讲】赛点1绝对■值的化简【切题技巧】 脱去绝对值符号是绝对俏化简的切入点，而对绝对值符号中的正负性 的判断是化简的关键，木例若直接化简会很繁锁，应从a 的性质入手，由题中条件可知，绝対值符号内均为负数，于是有当a<0时H=-a.每一-( - ------ )・(— --------- )-(— ---------- —)(丄一 1)=— +1=^^2017 2016 2016 2015 2015 2014 2 2017 2017【借题发挥】 绝对值化简关键是要去掉绝对值符号，而要去掉绝对值符号，先要对 绝对值符号中的数(或式)的正负性进行判断.去掉绝对值符号有三种方法，本例町以由 已知条件直接判断各个绝对值符号内均为负数，于是可以利用1迈的性质顺利达到去掉绝 对值符号的目的.赛点2绝对值的分类讨论例 2 若 abc<0, a+b+c>0,且 x= = + £ + ：，试求代数式(1 ~2x)2016—2016 x+ 2016的值.【切题技巧】 解决本题的关键是对a 、b 、c 的符号的所有可能情况进行分类讨论， 由abc<0可知a 、b 、c 中有一个或三个全为负数，又由a+b+c>0知a 、b^ c 不可能全为 负数，所以a 、b 、c 中有一个负数，两个正数.【规范解答】 由abc<0,可知a 、b 、c 中有一个负数或三个全为负数，又由a+b+ c>0知a 、b 、c 不可能全为负数，所以可得a 、b 、c 中有一个负数，两个正数，依x 的轮 换性，不妨设a>0、b>0> cvO •则:x = —+ —+= 1 .所以原代数式的值为：(1—2X1)""—2016X 1+2016=1—2016a b -c+2016=1.【借题发挥】解含绝对值符号的化简求值题的关键，在于善于运用己知条件去掉绝 对值符号，而用分类讨论法是能达到去掉绝对值符号的常用方法.在分类讨论时，分类要 全面、准确、不失一•般性. 【同类拓展】 已知有理数x, y, z 满足xy<0, yz>0,且卜|=3, \y\ =2, |z + l| = 2 ,C. -2 求x + y+z 的值.-2 1 1 + 1 1 + 1 2017 2016 2016 2015 2015+ -- --------- H ------ 1 3 2 2 【规范解答】原式= 1 1 — 1 zlL 凹+日的值是(D ) 【同类拓展「.有理数a, b 的大小关系如图，则心 弭2 WD- -3A. 0B. 1 2014 例1赛点3求卜_1| +卜_2| +卜_3| + ..・+卜_2016|的最小值.【规范解答】由绝对值的几何意义知lx—缶在数轴上表示数x与数a两点Z间的距离,故求原式的最小值就是在数轴上找出表示x的点,使它到1, 2, 3,…，2015, 2016 的点的距离和最小.【规范解答】由绝对值的几何意义可知：求原式的最小值，就是在数轴上找出表示x的点,使它到1, 2, 3,…2016的点的距离之和最小,可看出当1008^x^1009时，原式的值最小，把x=1008代入原式中得:原式=|1008-1| + |1008-2| + |1008-3| + --- + |1008-2016|=1007+1006+1005+-•+1 +0+1 +2+3+・-1008=2 (1+2+3+-1007) +1008【借题发挥】⑴由绝对值的儿何意义可知如图①当aWxWb时，|x-6f| + |x-Z?|的值最小,如图②当x=b时，|x-a| + |x-/?| + |x-c|的值最小.a xb a b(x) c(D ②(2)—般地,设％, a2, a3-a n是数轴上依次排列的点表示的有理数,若n为奇数，则当x= a,”]时，\x-a{\ + \x-a2\ + -- + \x-a n\的值最小；若n 为偶数，则当aa fl WxW a n时,-- ——+]2 2 2卜_ q | +卜_色| +…+卜_ 的值最小.(3)在实际牛活屮，有时需借助数轴模型，使实际问题数学化，从而运用绝对值的几何定义解决问题.如某公共汽车运营线路AB段上有A、B、C、D四个汽车站，如图所示，现在要在AB段上修建一个加油站M,为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加汕站M的路程总和最小，试分析加汕站M在何处最好？求最小路程总和，即求M到A、B、C、D的距离和最小，不妨设A、B、C、D四点在数轴上且分别表示为数a, b,c, d(a<c<d<b), 点M表示的数为工，则点M到A、B、C、D四点距离和为\x-a\ + \x-b\ + \x-c\ + \x-d 由绝对值儿何定义可求解.【同类拓展】3.某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑, 问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少？并求出调出电脑的最少总台数.一小向二小调3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2 台，这样调出的电脑总数最小数目为12台.赛点4绝对值方程例4 解方程|x-2| + |2x+l| = 10【规范解答】解含绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可采用“零点分段法”，即令x —2=0, 2x+l=0,分别得到x=2, x=—丄用2,—丄将数轴分成三段：2 2£<—夕・一*£工V2，工$2・然示在每一段匕右掉绝对值花号山K懈.【规范解答】分三种情况考虑(1)当工<一*时，原方程可化为：一(工一2) —(2文+1) = 10,解得工=一3•・・一3在所给的范围』<一*内・・・Y=-3是原方程的解.(2)当一2时•原方程可化为一(丁一2) + (2=+1) = 10,解得工=7V7不是所缔的范lfl-y<T<2内・・・」=7不是原方程的解・(3》当工22时，原方程可化为：(x-2)+(2x+l)-10 ・•〜=¥•・・工=¥在所给的范附x>2内，.••工=¥是原方程的解.综上所述山=一3,工=¥是原方程的解•【借题发挥】对于含有多重绝对值符号的方程，可用零点分段法，从内向外逐个去掉绝对值符号，只是在分类讨论时要注意未知数的取值范围，以免出错，如解方程：x-|2x+l||=3,解题时运用“零点分段法”从内向外，根据绝对值的代数定义、性质去简化方程.【同类拓展】4.己知|兀+2田1_兀| = 9_»_5| —11 -y|,求x+y的最大值和最小值.。
含绝对值竞赛题的求解策略
含绝对值竞赛题求解策略浙江上虞春晖中学 王启东（312353）有关含绝对值试题，尤其是绝对值与不等式综合试题在各级各类数学竞赛中频频出现，本文就此介绍一些常见求解策略。
1、凑配策略该策略是根据题设条件或结论进行凑配，如：分组、添项、裂项等方法，以达到解决问题目。
例1、函数)(x f 在]1,0[上连续，)1()0(f f =，且对任意不同]1,0[,21∈x x ， 都有|||)()(|2121x x x f x f -<-，求证：21|)()(|12<-x f x f （1983年全国联赛试题）解：Θ)(x f 在]1,0[上连续，∴)(x f 在]1,0[上有最大值和最小值。
不妨设最大值]1,0[,),(),(2121∈==t t t f m t f M 最小值（1）当21||21≤-t t 时，||||)()(||)()(212112t t t f t f x f x f -<-≤- 即：21|)()(|12<-x f x f（2）当21||21>-t t 时，设21t t < 即：2112>-t t|)()(||)()(|2112t f t f x f x f -≤-|)()1()0()(|21t f f f t f -+-= |)()1(||)0()(|21t f f f t f -+-≤ |1||0|21t t -+-< 21)(112<--=t t 若12t t <，同理可得：21|)()(|12<-x f x f ∴对任意]1,0[,21∈x x ，都有21|)()(|12<-x f x f2、裂项求和策略本策略是运用数列求和方法，巧妙地拆项、裂项，再相互抵消，以达到化简求解目。
例2、已知)2,,,2,1(≥=∈n n i R x i Λ满足1||1=∑=n i i x ，01=∑=ni i x ，求证：ni x ni i 21211-≤∑= （1989全国联赛试题） 证明：设k k x x x S +++=Λ21，Θ01=∑=ni ix，1||1=∑=ni i x∴0=n S ，且21||≤i S （)1,,2,1(-=n i Λ不妨设00=S ，则1--=i i i S S x ),1(N i n i ∈≤≤于是)111(1)(11111111+-=+-=-=∑∑∑∑∑=-==-==i i S i S i S S S i i x n i i n i i n i i i i n i ni i ∴)11(21)111(21)111(||11111n i i i i S i x n i n i i ni i -=+-≤+-≤∑∑∑-=-==∴n ix ni i 21211-≤∑=3、特殊化策略本策略思想是从特殊点、特殊图形、特殊值出发，借以问题部分与整体内在联系来考虑问题，以寻找解决问题突破口。
数学竞赛中含绝对值问题
竞赛中含绝对值的问题绝对值是初中代数中的一个基本概念,在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要注意知识的创新运用, 掌握好方法,顺利解决这些问题．一、直接推理法例1：已知0,>-<b a b a ,a b a b ab -+++则等于 A ab b a ++22.B ab -.C ab b a +--22.D ab a +-2.解：因为0>ba ,所以b a ,同号.又因为b a -<,即0<+b a ,所以b a ,必须同为负. 所以()()ab a ab b a b a ab b a b a +-=++----=+++-2.答案为D.说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号.二、巧用数轴法例2:设有理数c b a ,,在数轴上的对应点如图1-1所示,化简b c c a a b -+++-. 解: 由图可知,0,0,0<<>c b a ,且0>>>b a c .所以 0,0,0<-<+<-b c c a a b ．可得()c b b c c a c a a b a b -=-+-=+-=-,,．所以 原式=()()()c c b c a b a c b c a b a 2-=-+---=-++--.说明:本题是通过数轴,运用数形结合的方法确定字母的大小顺序,从而达到去掉绝对值的目的.三、零点分段法例3:已知40≤≤a ,那么a a -+-32的最大值等于A1.B5.C8.D3.解：1当20≤≤a 时, a a a a a 253232-=-+-=-+-a a a a a 253232-=-+-=-+-,在这一段内,当0=a 时a a -+-32取得最大值,最大值是5;2当32<<a 时, 13232=-+-=-+-a a a a ;3当43≤≤a 时, ()523232-=---=-+-a a a a a ,在这一段内,当4=a 时a a -+-32取得最大值,最大值是3;综上可知,当40≤≤a 时, a a -+-32的最大值是5.答案为B.说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事．解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的字母的值,这几个字母的值就是用以确定如何将字母的取值范围分段的零点.四、分类讨论法例4:如果d c b a ,,,为互不相等的有理数,且1=-=-=-b d c b c a ,那么d a -等于 A1.B2.C3.D4.解:已知c b ≠,可设c b <,由于c b c a -=-,所以c a -与c b -必互为相反数否则b a =,不合题意,即()c b a c b c a 2,=+--=-.又因为c b <,所以c a >. 由于b d c b -=-,所以c b -与b d -必相等否则d c =,不合题意,即b d c b -=-,从而得d c b +=2.因为c b <,所以d b >.因此有a c b d <<<. 所以()()()3111=++=-+-+-=-=-d b b c c a d a d a .若设c b >,同理可得3=-d a .答案为C.说明:本例的解法是采取把b,c 分为c b <和c b >两种情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用．本题还可以分为b a <和b a >两种情况进行讨论,同学们不妨试一试.。
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收稿
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日
期
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当
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的 图像 为 连续
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两侧 射线 向 下方无 限延 伸
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全 国 高 中 数 学 联 赛 天 津赛 区 预 赛 Ａ Ａ
由 绝对值 的 几 何意 义
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１
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０２
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１
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０４
在 高 考 与 竞 赛 中 与 绝 对 值有 关 的 题