圆锥曲线与方程复习课
复习课 圆锥曲线与方程
[题组训练]
x2 y2 2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆 ＋ ＝1 的三个顶点，且圆心在 16 4 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
x2 y2 3．方程 ＋ ＝1 表示曲线 C，给出以下命题： 4－t t－1 ①曲线 C 不可能为圆； ②若 1<t<4，则曲线 C 为椭圆； ③若曲线 C 为双曲线，则 t<1 或 t>4； 5 ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则 1<t< ． 2 其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．
[考点精要]
直线与圆锥曲线有关的问题 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程 与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去 方程组中变量 y(或 x )得到关于变量 x (或 y)的一元二次方程(不 能忽略对二次项系数是否为 0 的讨论 )，考虑该一元二次方程直线与圆锥曲线相切于一点； Δ <0⇔直线与圆锥曲线无交点．
[类题通法] 求解离心率三种方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲 线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上都有关系式 a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2) c 以及 e＝a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是 基本且常用的方法． (2)方程法：建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式，从而求出其 离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法． (3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平 面几何性质以及椭圆 (双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间 的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、 直观．
1 心率等于 ，则 C 的方程是 2 x2 y2 A． ＋ ＝1 3 4 x2 y2 C． ＋ ＝1 4 2
第3章圆锥曲线的方程(复习课件)高二数学(人教A版选择性必修第一册)
x＝ty＋a，
由 2
y ＝2x，
消去 x，得 y2－2ty－2a＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a.
y21y22
因为 OA⊥OB，所以 x1x2＋y1y2＝0，即 4 ＋y1y2＝0，
解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－4.
所以－2a＝－4，解得a＝2.
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和（2a）等于常数
（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的
焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦
距。
对椭圆定义的理解
①当2a=|F1F2|时，其轨迹为线段；
②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在.
椭圆的简单几何性质：
焦点位置
x2 y2
∴椭圆的方程为 4 ＋ 3 ＝1.
1
(2)若直线 l：y＝－2x＋m 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，
|AB| 5 3
D 两点，且满足|CD|＝ 4 ，求直线 l 的方程.
解
由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
2|m|
∴圆心到直线 l 的距离 d＝
焦点坐标
y 2 2 px ( p 0)
p
F ( ,0)
2
y 2 2 px ( p 0)
F (
x 2 py( p 0)
p
F (0, )
2
y
p
F (0, )
2
y
2
x 2 2 py( p 0)
p
,0)
2
准线方程
x
x
p
圆锥曲线复习课课件
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
高三复习课圆锥曲线方程
高三复习课圆锥曲线方程高考试题中，解析几何试题的分值一般占20％左右，而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14％左右，选择、填空、解答三种题型均有．选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用；以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中之热．解答题的题型设计主要有三类：（1）圆锥曲线的有关元素计算．关系证明或范围的确定；（2）涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；（3）求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹．近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降．随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用．高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习过程，要充分体现分类指导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担.因此，在圆锥曲线这一章的复习中，设计了分类复习、分层复习、层层递进的复习步骤.二、基础知识梳理（一）概念及性质1．椭圆及其标准方程第一定义、第二定义；标准方程（注意焦点在哪个轴上）；椭圆的简单几何性质（a、b、c、e的几何意义，准线方程，焦半径）；椭圆的参数方程x=acosθ,y=bsinθ,当点P在椭圆上时，可用参数方程设点的坐标，把问题转化为三角函数问题.2．双曲线及其标准方程：第一定义、第二定义（注意与椭圆类比）；标准方程（注意焦点在哪个轴上）；双曲线的简单几何性质（a、b、c、e的几何意义、准线方程、焦半径、渐近线）. 3．抛物线及其标准方程：定义以及定义在解题中的灵活应用（抛物线上的点到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离）；标准方程（注意焦点在哪个轴上、开口方向、p 的几何意义）四种形式； 抛物线的简单几何性质（焦点坐标、准线方程、与焦点有关的结论）. （二）常见结论、题型归类及应对思路：1．中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为Ax 2+Bx 2＝1.2．共渐近线x ab y ±=的双曲线标准方程为λλ(2222=-by a x 为参数，λ≠0）.3．焦半径、焦点弦问题（1） 椭圆焦半径公式：在椭圆2222by a x +＝１中，F １、F ２分别左右焦点，P(x 0，y 0)是椭圆是一点，则：①|PF 1|=a+ex 0 ② |PF 2|=a-ex 0过椭圆12222=+by a x （a>b>0）左焦点的焦点弦为AB ，则)(221x x e a AB ++=，过右焦点的弦)(221x x e a AB +-=.（2）双曲线焦半径公式：设P （x 0,y 0）为双曲线12222=-by a x （a>0,b>0）上任一点，焦点为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0),则：①当P 点在右支上时，0201,ex a PF ex a PF +-=+=；②当P 点在左支上时，0201,ex a PF ex a PF -=--=；（e 为离心率） （3）抛物线焦半径公式：设P （x 0，y 0）为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，F 为焦点，则20px PF +=；y 2=2px （p<0）上任意一点，F 为焦点，则20p x PF +-=；抛物线y 2=2px （p>0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)，则有如下结论：①AB ＝x 1+x 2+p ；②y 1y 2=－p 2，x 1x 2=42p . （4）椭圆、双曲线的通径（最短弦）为a b 22，焦准距为p=cb 2，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； 双曲线12222=-by a x （a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b. 4．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为 A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长 ]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想. 5．中点弦问题处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为椭圆12222=+by a x （a>b>0）上不同的两点，M(x 0，y 0)是AB 的中点，则K AB K OM =22a b -；对于双曲线12222=-by a x （a>0，b>0），类似可得：K AB K OM =22a b ；对于y 2=2px （p ≠0）抛物线有 K AB ＝212y y p +；另外，也可以用韦达定理来处理.6．求与圆锥曲线有关的轨迹问题的常用方法（1）直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F(x ，y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（3）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（4）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x ，y)依赖于另一动点Q(x 1，y 1)的变化而变化，并且Q(x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先用x 、y 的代数式表示x 1、y 1，再将x 1、y 1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（5）参数法：当动点P （x ，y ）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.三、重点、难点分析重点 圆锥曲线的概念、性质难点 圆锥曲线的概念、性质等的综合应用 四、课时安排第一课时 圆锥曲线的概念、性质类问题 第二课时 直线和圆锥曲线关系类问题 第三课时 与圆锥曲线有关的轨迹类问题说明：问题的类别、知识是相互联系的，因此课时分类也不是绝对的. 五、分课时讲解例题第一课时 圆锥曲线概念、性质类问题例1.（02北京）已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共的焦点，那么双曲线 的渐近线方程是 （ ）()2A x y =±()2B y x =±()4C x y =±()4D y x =± 分析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质，即椭圆、双曲线焦点求法和双曲线渐近线方程 求法.由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点，双曲线焦点，∴22223523m n m n -=+，∴228m n =， 又∵双曲线渐近线为6n y x =.∴代入228m n =，m =，得y x =，∴选D. 例2．（02全国文11）设(0,)4πθ∈，则二次曲线x 2cot θ-y 2tan θ=1的离心率的取值范围为（ ）1()(0,)2A 1()(2B (2)C ()D +∞ 分析：本题主要考察三角函数和二次曲线的基本知识以及基本的推理计算技能.有一定的综合性，涉及的知识面比较大.解一：因为(0,)4πθ∈，所以cot θ>0，tan θ>0，方程所表示的二次曲线是双曲线，离心率必然大于1.从而排除A 、B 、C ，得D.解二：依题设知二次曲线是双曲线，半实轴长a 和半虚轴长b 分别为a ==b ==所以半焦距c ==，离心率为ce a==因为(0,)4πθ∈，所以e 的取值范围为)+∞，选D .第二课时 直线和圆锥曲线关系类问题直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高档题、压轴题出现.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.例3．<2004年天津高考·理工第22题，文史第22题[只做第(1)和(2)问]，本小题满分14分> 椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；（3理工类考生做）设AP AQ λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ λ=-.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.(I)解：由题意，可设椭圆的方程为22221(x y a a b+=>由已知得2222,2().a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩解得2.a c ==所以椭圆的方程为22162x y +=，离心率3e = (II)解： 由(I)可得(3,0).A设直线PQ 的方程为(3).y k x =-由方程组22162(3)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(31)182760.k x k x k +-+-= 依题意212(23)0,k ∆=->得33k -<<设 1122(,),(,),P x y Q x y 则212218,31k x x k +=+ ① 2122276..31k x x k -=+ ②由直线PQ 的方程得 1122(3),(3).y k x y k x =-=-于是2212121212(3)(3)[3()9].y y k x x k x x x x =--=-++ ③1212.0,0.OPOQ x x y y =∴+= ④由①②③④得251,k =从而(k = 所以直线PQ 的方程为30x -=或30.x +-=(III)证明：1122(3,),(3,).AP x y AQ x y =-=-由已知得方程组1212221122223(3),,162 1.62x x y y x y x y λλ-=-⎧⎪=⎪⎪⎨+=⎪⎪+=⎪⎩ 注意1,λ>解得 251.2x λλ-=因11(2,0),(,),F M x y -故112112(2,)((3)1,)11(,)(,).22FM x y x y y y λλλλλ=--=-+---=-=-而2221(2,)(,),2FQ x y y λλ-=-=所以 .FM FQ λ=-例4．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2210200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2PA PB PC ⋅=．（Ⅰ）求双曲线G 的渐近线的方程； （Ⅱ）求双曲线G 的方程；（Ⅲ）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．讲解：（Ⅰ）设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，则由渐近线与圆2210200x y x +-+=相=所以，12k =±．双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线G 的方程为：224x y m -=． 把直线l 的方程()144y x =+代入双曲线方程，整理得2381640x x m ---=． 则8164, 33A B A B mx x x x ++==- （＊）∵ 2PA PB PC ⋅=，,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上，∴ ()()()2PA B P P C x x x x x x --=-，即：()()4416B A x x +--=，整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将（＊）代入上式可解得：28m =．所以，双曲线的方程为221287x y -=． （Ⅲ）由题可设椭圆S的方程为：(222128x ya a+=>．下面我们来求出S 中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点为()00,P x y ，则2211222222128128x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．两式作差得：()()()()12121212228x x x x y y y y a-+-++=由于12124y y x x -=--，1201202,2x x x y y y +=+= 所以，0024028x y a -=， 所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线24028x y a -=截在椭圆S 内的部分． 又由题，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以，211122a =．所以，256a =，椭圆S 的方程为：2212856x y +=． 点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．第三课时 与圆锥曲线有关的轨迹类问题解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程． 例5．（2004. 福建理）（本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=12x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力. 解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ①得y ＇=x .∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，∴直线l 的斜率k l =－切k 1=－11x ，∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)，方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点 x 0=221x x +=-11x ， ∴ y 0=21x 12－11x (x 0－x 1).消去x 1，得y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).方法二： 由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)， 则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ，∴x 1=－1x ， 将上式代入②并整理，得y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b). 分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'.y=21x 2 由 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一：∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b=2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2bb k +. 当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2；当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2bb k +=b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0，于是k 2+2b>0，即k 2>－2b. 所以||||||||SQ ST SP ST +>bb b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，bk 22可取一切正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ， 即22x b y -=11x by -.则x 1y 2－b x 1=x 2y 1－b x 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b =122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2.∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +|1|21x x -|1|21x x -||12x x +||21x x ≥2.∵||12x x 可取一切不等于1的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 下面是探究型的存在性问题：例6．（2004湖北理）（本小题满分12分）直线22:1:21l y kx C x y =+-=与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力. 解：（Ⅰ）将直线22121,l y kx C x y =+-=的方程代入双曲线的方程后整理得22(2)220.k x kx -++=……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.022022,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）.则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及c =代入③式化简得 .066252=-+k k解得(2,)k k ==-舍去可知k =使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.四、思维能力训练（一）选择题1．（04年天津理4、文5）设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为1320,x y F -=、F2分别是双曲线的左、右焦点，若1||3PF =，则2||PF = ( )A. 1或5B. 6C. 7D. 92．（04重庆高考理10、文10）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．2D ．733．（04湖北理）已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ ）A ．95B ．3C ．7D ．944．（04 福建理）如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物.经测算，从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．(27－2)a 万元B ．5a 万元C ．(27+1) a 万元D ．(23+3) a 万5．（04 辽宁卷）已知点(2,0)A -、(3,0)B ，动点2(,)P x y PA PB x ⋅=满足，则点P 的轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．[04全国（山东山西河南河北江西安徽）理8、文8]设抛物线y2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 （ ）A ．[－12，12] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4] （二）填空题1．（2004年重庆高考·理工类第16题）对任意实数K ，直线：y kx b =+与椭圆：)20(s in 41c o s 23πθθθ<≤⎩⎨⎧+=+=y x 恒有公共点，则b 取值范围是_______________．2．（2004年湖南高考·理工类第16题）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi （i=1，2，3，…），使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 .（三）解答题1．设抛物线过定点()1,0A -，且以直线1x =为准线．（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 恰被直线12x =-平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y kx m =+，试求m 的取值范围．2.（2004. 辽宁卷）（本小题满分12分） 设椭圆方程为2214y x +=，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点， 点P 满足1()2OP OA OB =+，点N 的坐标为11(,)22，当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.3.已知常数0>a ，向量(0,)(1,0)c a i ==，，经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)A a 以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R ∈λ．试问：是否存在两个定点E F 、，使得PE PF +为定值，若存在，求出E F 、的坐标；若不存在，说明理由．五、小结圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m ＞0,n ＞0)；定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.（7）参数方程和极坐标的内容，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解.高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点. 数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量，复习过程中要重在研究解题方向和策略、推理，要着眼抽象思维水平的提高.要善于从题目的条件和求解(或求证)的过程中提取有用的信息，作为于记忆系统中的数学认知结构，提取相关的知识，推动题目信息的延伸，归结到某个确定的数学关系，从而形成一个解题的行动序列，这就是解题方向.题目信息与不同数学知识的结合，可能会形成多个解题方向，先取其中简捷的路径，就得到题目的最优解法.解题过程中不断进行这样的思考和操作，将使数学能力得到有效地提高.。
《圆锥曲线与方程》复习课教案
一、课题：《圆锥曲线与方程》的复习二、教学目的：1、通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系。
2、通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的思想以及“应用数学”的意识3、结合教学内容对学生进行运动变化、自我总结和对立统一的观点的教育 三、教学方法：讲授法、练习法四、教学重点：自我总结并引导学生对三种曲线的标准方程和图形、性质的总结 五、教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点，使学生能够自己独立对知识进行总结 六、教学过程： （一）知识梳理： 1．曲线与方程⑴曲线C 上的点与二元方程()0,=y x f 的实数解建立如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以上这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.⑵求曲线的方程的一般步骤①建系；②设点；③列方程；④化简；⑤检查. 2．圆锥曲线的定义⑴平面内满足()212122F F a a PF PF >=+的点P 的轨迹叫做椭圆，定义可实现椭圆上的点到两焦点的距离的相互转化.⑵平面内满足()212122F F a a PF PF <=-的点P 的轨迹叫做双曲线，()212122F F a a PF PF <=-表示焦点2F 对应的一支，定义可实现双曲线上的点到两焦点的距离的相互转化.⑶平面内与一个顶点F 与一条定直线l （不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定义可实现抛物线上的点到焦点与到准线距离的相互转化. 3.圆锥曲线的标准方程椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式的标准方程.根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦点的位置选择恰当的方程形式. 4.圆锥曲线的简单几何性质⑴圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件. ⑵双曲线焦点位置不同，渐近线方程不同.⑶椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶点⑷椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一条对称轴. ⑸圆锥曲线中基本量p e c b a ,,,,的几何意义及相互转化. 6.直线与圆锥曲线的位置关系⑴直线与圆锥曲线的公共点个数等于由它们的方程构成的方程组解的个数. ⑵直线与椭圆有一个公共点，直线与椭圆相切，但直线与双曲线、抛物线不一定相切，双曲线与平行于渐近线的直线，抛物线与平行（重合）于轴的直线，都只有一个公共点但不相切.7.直线与圆锥曲线相交的弦长⑴求弦长的方法是将直线与圆锥曲线的方程联立后，求出两点坐标，利用两点间距离公式，常用的方法是结合韦达定理，如直线b kx y +=与圆锥曲线相交于()()2211,,,y x B y x A 两点，弦长()21221241x x x x k AB -++=.⑵过抛物线焦点的弦长问题结合定义来解决能化简计算. 8.元圆锥曲线有关的“中点弦”弦的中点坐标与斜率可由曲线方程得到关系，此法称为“点差法”，灵活运用科简化计算，但要以直线与曲线相交为前提，即消元后的方程判别式大于零. 9.当直线过x 轴上的点()0,m M 时，设直线方程为m ty x +=与抛物线方程()022>=p px y 联立消元后的方程较简。
圆锥曲线复习+课件
在其他数学分支中的地位和作用
圆锥曲线在解析几何、微积分、线性代数等数学分支中都有 重要应用。
圆锥曲线在解决物理、工程、经济等领域的问题中也有广泛 应用，例如物理学中的光学、力学问题，经济学中的供需关 系、最优问题等。
物体运动轨迹
在物理学中，圆锥曲线被用来描述各种 物体的运动轨迹。例如，当物体在重力 的作用下自由下落时，其运动轨迹可能 是一个抛物线；当物体沿着斜面滑下时 ，其运动轨迹可能是一个螺旋线。
VS
粒子运动
在量子力学和粒子物理学中，粒子在强磁 场中的运动轨迹通常被描述为复杂的曲线 ，这些曲线的形状和变化规律对于理解粒 子的性质和行为至关重要。
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圆锥曲线在几何学中的应 用
在几何学中，圆锥曲线被广泛应用于解决各 种问题，如轨迹问题、最值问题等。
现代圆锥曲线的研究方向和成果
圆锥曲线与代数几何的结合
现代数学家将圆锥曲线与代数几何相结合，研究了一些深层次的问题，如圆锥曲线的分类、几何不变量等。
圆锥曲线在物理学中的应用
在物理学中，圆锥曲线被应用于解决一些实际问题，如行星运动轨迹的计算、光学问题等。
• 解析
首先求出圆心A到抛物线准线的距离，然后与圆的半径进行比较，得 出圆与抛物线的位置关系。
解答题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且经过两个点$P_1(1,1)$和 $P_2( - frac{1}{5}, - frac{9}{5})$，求椭圆C的标准方程。
• 解析
根据椭圆的性质和给定的两个点，我们可以列出方程组解出椭圆的标 准方程。
06
圆锥曲线复习题及解析
高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课ppt课件
C.钝角三角形 D.随m，n变化而变化
类型二 圆锥曲线的性质及其运用
∴ba2＝12，ba＝ 22，
答案 解析
(2)知抛物线y2＝4x的准线与双曲线 代入双曲线方程－可得a2＝15， y2＝1交于A，B两点，点F为抛物 线的焦点，假设△FAB为直角三角形，那么该双曲线的离心率于是c＝ a2＋1＝是56. ____.
类型三 直线与圆锥曲线的位置关系
所以 x1＋x2＝1＋4k22k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝1－＋22kk2.
(1)求椭圆的规范方程； 解答
所以 AB 的中点坐标为(1＋2k22k2，1＋－2kk2).
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，假设y轴上一点M(0①当k≠0时，，AB的中垂线方程为y－1＋－2kk2＝－1k(x－1＋2k22k2)， )满足 |MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值. 解答
所以 sin ∠F1PF2＝82711，所以
＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
S △ F P ＝12×3×9×82711＝4
1
11.即△F1PF2 的面积为 4
F2
11.
跟踪训练 1 已知椭圆xm2＋y2＝1(m>1)和双曲线xn2－y2＝1(n>0)有相同的焦 点 F1，F2，P 是它们的一个交点，则△F1PF2 的形状是
设P为椭圆 xa22＋yb22 ＝1(a>b>0)上恣意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且 ∠F1PF2＝α，那么△PF1F2为焦点三角形(如图).
1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方
程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程.如双曲线Байду номын сангаасx22－by22＝1(a>0，b>0)
《第二章圆锥曲线与方程复习课》ppt课件
(1)求椭圆C的离心率e. (2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O：x2+y2=4上，求椭 圆C的方程及点P的坐标.
【自主解答】(1)由点F(-ae,0)，点A(0，b)，及 b 1 e 2 a， 得直线FA的方程为 x
ae y 1 e2 a
2
1, 即
1 e2 x ey ae 1 e2 0.
6.抛物线的焦点弦问题
抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论. (1)y2=2px(p>0)中,|AB|=x1+x2+p. (2)y2=-2px(p>0)中,|AB|=-x1-x2+p. (3)x2=2py(p>0)中,|AB|=y1+y2+p. (4)x2=-2py(p>0)中,|AB|=-y1-y2+p.
2 2 x y 【补偿训练】求以椭圆 1 的长轴端点为焦点，且经过 25 9
点 P(4 2， 3) 的双曲线的标准方程.
2 2 x y 【解析】椭圆 1 长轴的顶点为A1(-5，0)，A2(5，0)， 25 9
则双曲线的焦点为F1(-5，0)，F2(5，0).由双曲线的定义知， |PF1|-|PF2|= =
主题一
圆锥曲线的定义及应用
【典例1】(2013·合肥高二检测)双曲线16x2-9y2=144的左、 右两焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=64,求 △PF1F2的面积.
【自主解答】双曲线方程16x2-9y2=144化简为 即a2=9,b2=16,所以c2=25, 解得a=3,c=5,所以F1(-5,0),F2(5,0). 设|PF1|=m,|PF2|=n,
2023版高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线与方程第四讲圆锥曲线的综合问题课件理
化简得y2=4x,即点P的轨迹方程为y2=4x(x≠0).
考向1
求轨迹方程
解法二(定义法) 如图所示,过点P作y轴的垂线,与直线l交于点S,与y
轴交于点R,连接ST,PF.由题意知SF垂直平分线段TP,所以四边形STFP
为菱形,所以|PS|=|PF|,且G为线段SF的中点,
所以|RS|=|OF|=1,
故点P到定点F的距离与它到
定直线x=-1的抛物线.
设P(x,y),则点P的轨迹方程为y2=4x(x≠0).
考向1
求轨迹方程
解法三(参数法)
π
设∠xFG=θ,显然θ≠ 且θ≠π,
2
则点G(0,-tan θ).
因为GT⊥FG,所以直线TG的方程为x+ytan θ=-tan2θ,
求轨迹方程
考向1
常用方法
答题步骤
参数法
注意
求点的轨迹与求轨迹方程时要求不同,求轨迹时,应说明轨迹的形
状、位置、大小等.
考向1
求轨迹方程
2.变式 已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在
直线的斜率之积等于m(m≠0),则下列说法错误的是 ( A )
A.当m>0时,点C的轨迹是双曲线
考向1
求轨迹方程
1.典例 直线l(不与x轴重合)过点F(1,0)且与y轴交于点G,过G作FG的垂
线,与x轴交于点T,点P满足=2.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点K(-1,0)的直线l1与C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为
8
D,·=9,求直线BD的方程.
考向1
解析
求轨迹方程
离为2.
(1)求C的方程;
高中数学《圆锥曲线与方程-复习课》课件
复习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的几何性质 2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的几何 性质 3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线的几何 性质 4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并 了解圆锥曲线的初步应用。
课前热身
(1) 求长轴与短轴之和为20，焦距为 4的5椭
①、②式两边分别相加，得 |O1P|+|O2P|=12
即
( x 3)2 y 2 ( x 3)2 y 2 12
化简并整理，得 3x2+4y2-108=0
即可得
x2 y2 1
36 27
所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别
为 12、6 3.
解法2：同解法1得方程 ( x 3)2 y 2 ( x 3)2 y 2 12
解得： x 3 5 则： y 1 5
A(3 5,1 5); B(3 5,1 5)
kOB
1 3
5 5
, kOA
1 3
5, 5
kOB
• kOA
1 3
5 • 1 5 3
5 1 5 1 5 95
∴OA⊥OB
证法2：同证法1得方程 x2-6x+4=0
由一元二次方程根与系数的关系，可知
x1+x2=6,
一、知识回顾
椭圆
圆
锥 双曲线
曲
线 抛物线
标准方程 标准方程 标准方程
几何性质
第二定义
几何性质 第二定义
综合应用 统一定义
几何性质
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
几何条件 标准方程
椭圆
双曲线
抛物线
与两个定点
与两个定点的 与一个定点和
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判 别 式 点 差 法 都 是 手 到 擒 来
曲 线 上 有 两 点 关 于 直 线 对 称
利用判别式大于零 韦达定理
解综合题思维导图
已知条件 否 中间结论（可知） 能 待求（证）的结论
隐含条件 件 已知条件的等价转化
否
能
结论的等价转化（需知）
逛公园顺道看景，好风光驻足留影.
把条件翻成图式，关键处深挖搞清.
综合法由因导果，分析法执果索因.
两方法嫁接联姻，让难题遁现原形.
本课小结： （1）解题方法： 直线曲线两相交 韦达定理很重要 中点有时用点差 设而不求真是妙 （2）解题策略： 宏观藐视 理解题意 有了想法写出来 微观重视 实时转化 细节落实回基础
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圆锥曲线与方程复习课
上海市七宝中学 文卫星
2017.12成都
曲线方程，动中不以数驭形
悟空百变，腾云驾雾不出佛手
例 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 l:x-y-2=0交抛物线C：y2=2px（p>0）于A、 B两点． ⑴ 若直线l过抛物线C的焦点，点M在 AOB弧段上，求S△ABM的最大值； ⑵ 已知抛物线C上存在关于直线l对称 的相异两点P和Q． 求证：线段PQ上的中点坐标为（2-p，p），并求p的取值范围； 第（2）题可推广吗，若能，请写出推 广的命题，使原命题是推广命题的特例。
第（1）题小结 求焦点弦长： 设而不求用定义，退而其次求坐标 求曲线上点到弦距离： 点线公式求最值，平行切线也可行 一题拥有多解法，各个角度去考察. 抓住要点慎选择，求真求美求简化.
第（2）题小结
知 识 导 图 代入法 韦达定理 求弦中 点坐标 点差法 中点坐标公式
求P范围
需要得 P的不 等式
中点在抛物线含 焦点区域内