第一章运动学

第一章 运动学第1节 质点运动的基本概念一.质点运动的基本概念1．位置、位移和路程：位置指运动质点在某一时刻的处所，在直角坐标系中，可用质点在坐标轴上的投影坐标（x,y,z ）来表示。

在定量计算时，为了使位置的确定与位移的计算一致，人们还引入位置矢量（简称位矢）的概念，如图所示，在直角坐标系中，位矢r 定义为自坐标原点到质点位置P(x,y,z)所引的有向线段，故有222z y x r ++=,r 的方向为自原点O 点指向质点P 。

位移指质点在运动过程中，某一段时间t ∆内的位置变化，即位矢的增量t t t r r s _)(∆+=，它的方向为自始位置指向末位置。

在直角坐标系中，在计算位移时，通常先求得x 轴、y 轴、z 轴三个方向上位移的三个分量后，再按矢量合成法则求合位移。

路程指质点在时间内通过的实际轨迹的长度，它是标量，只有在单方向的直线运动中，路程才等于位移的大小。

2．平均速度和平均速率：平均速度是质点在一段时间内通过的位移和所用时间之比：t s v ∆=平，平均速度是矢量，方向与位移s 的方向相同。

平均速率是质点在一段时间内通过的路程与所用时间的比值，是标量。

3．瞬时速度和瞬时速率：瞬时速度是质点在某一时刻或经过某一位置是的速度，它定义为在时的平均速度的极限，简称为速度，即ts v t ∆=→∆0lim 。

瞬时速度是矢量，它的方向就是平均速度极限的方向。

瞬时速度的大小叫瞬时速率，简称速率。

4．加速度：加速度是描述物体运动速度变化快慢的物理量，等于速度对时间的变化率，即t v a ∆∆=，这样求得的加速度实际上是物体运动的平均加速度，瞬时加速度应为tv a t ∆∆=→∆0lim。

加速度是矢量。

5．匀变速直线运动：质点运动轨迹是一条直线的运动称为直线运动，而加速度又恒定不变的直线运动称为匀变速直线运动，若a 的方向与v 的方向一致称为加速运动，否则称为减速运动。

匀变速直线的运动规律为： 20021at t v s s ++= )(20202s s a v v t -=-二、解题指导：例1：如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C两段绳子的夹角为ɑ时，A 的运动速度。

例2：如图所示为两个光滑的斜面，两斜面高度相同，且11C A BC AB =+，今让小球分别从斜面的A 点和斜面的A 1点无初速度释放，若不计在B 点损失的能量，试问哪种情况下，小球滑至斜面底端历时较短？例3：蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心m L 11=的A 点处时，速度是112-•=s cm v ，试问蚂蚁从A 点爬到距巢中心m L 22=的B 点所而的时间为多少？例4：如图所示，一串相同汽车以等速度v 沿宽度为c 的直公路行驶，每车宽为b ，头尾间距为a ，则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用的时间为多少？三、巩固练习：1、以初速2v 0竖直上抛一物体后，又以初速v 0竖直上抛另一物体，若要使两物体能在空中相遇，两物体抛出的时间间隔必须满足什么条件？2、在听磁带录音机的录音时发觉 ：带轴上带卷的半径经过时间m in 201=t 减少一半，问此后半径又减少一半而要多少时间？3、小球从高m h 1200=处自由落下，着地后跳起又落下，每与地面相碰一次，速度减少n1(n 是大于等于2的整数)。

(1)作出小球的t v -图像(向上为正)；(2)求小球从下落到停止的总时间和总路程(g=10m/s 2)。

4、在以速度v 0行驶的小汽车正前方L 处有一辆载重卡车。

由于大雾，使得公路上能见度很低，当小车司机发现这一情况时，卡车正以加速度a 由静止开始做匀加速运动，其方向和小车运动方向一致，于是小车司机立即以加速度2a 作匀减速运动，那么小车速度v 0必须满足什么条件，小车才不致于和卡车相撞？5、如图所示，当杆的A 端以恒定速度沿水平方向运动时，接触点M 则向B 端移动，当h AM 2=时，接触点M 向B 端移动的速度v 为多少？第2节、运动的合成和分解一、运动的合成和分解基础知识：1．标量和矢量：物理量分为两大类：凡是只须数值就能决定的物理量叫做标量；凡是既有大小，又需要方向才能决定的物理量叫做矢量。

标量和矢量在进行运算是遵守不同的法则：标量的运算遵守代数法则；矢量的运算遵守平行四边形法则（或三角形法则）。

在研究物体运动时，将碰到一些较复杂的运动，我们常把它分解为两个或几个简单的分运动来研究。

任何一个方向上的分运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的分运动的存在而受到影响，这叫做运动的独立性原理。

运动的合成和分解包括位移、速度、加速度的合成和分解，他们都遵守平行四边形法则和三角形法则。

物体的运动是相对于参照系而言的，同一物体的运动相对于不同的参照系其运动情况不相同，这就是运动的相对性。

我们通常把物体相对于基本参照系（如地面等）的运动称为“绝对运动”，把相对于基本参照系运动着的参照系称为运动参照系，运动参照系相对于基本参照系的运动称为“牵连运动”，而物体相对于运动参照系的运动称为“相对运动”。

显然绝对速度和相对速度一般是不相等的，它们之间的关系是：绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。

即v v v +=相绝或乙对地甲对乙甲对地v v v +=位移、加速度之间也存在类似关系。

但要注意具体运算是按平行四边形法则或三角形法则进行的。

只有在一条直线上，矢量式才可化为代数式。

3．物系相关速度：正确分析物体(质点)的运动，除可以用运动的合成或分解知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。

以下三个结论在实际解题中十分有用：a 、刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度；b 、接解物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时相同；c 、线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切向运动分速度的矢量和。

二、解题指导：例1、有A, B 两球，A 从距地面高度为h 处自由下落，同时将B 球从地面以初速度0v 竖直上抛，两球沿同一条竖直线运动。

试分析：（1）B 球在上升过程中与A 球相遇；（2）B 球在下落过程中与A 球相遇。

两种情况中B 球初速度的取值范围例2、一人站在距平直公路 m h 50=的B 处，公路上有一汽车以s m v /101=的速度行驶，如图所示，当汽车在与人相距m l 200=的A 处时，人以速度s m v /32=奔跑(可认为人一开始就可达这个速度)，为了使人跑到公路上时，能与车相遇，问：(1)奔跑应取什么方向？(2)需要多少时间才能赶上汽车？(3)若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑时，该人可以与汽车相遇的最小奔跑速度是多少？例3、直线AB 以大小为v 1的速度沿垂直于AB 的方向向下移动，而直线CD 以大小为v 2的速度沿垂直于CD 的方向向右下方移动，两条直线交角为θ，如图所示，求它们的交点P 的速度大小与方向。

例4、如图所示，AB 杆的A 端以匀速度v 运动，在运动时杆恒与半圆周相切，半圆周的半径为R ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点C 的速度和杆与圆柱接触点C 1的速度大小。

例5、如图所示装置，设杆OA 以角速度ω绕O 转动，其A 端则系以绕过滑轮B 的绳，绳子的末端挂一重物M 0。

已知h OB =，当α=∠OBA 时，求物体M 的速度。

例6、细杆OP 长l ，绕0点以角速度ω在如图所示平面内匀速转动，并推动光滑小环C 在固定的水平钢丝AB 上滑动，已知d AO =，试求小环通过细杆中点的速度。

三、巩固练习：1、某人驾船从河岸A 处出发横渡，如果使船头保持跟河岸垂直的方向航行，则经10min 后到达正对岸下游120m 的C 处，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成ɑ角的方向航行，则经12.5min 恰好到达正对岸的B 处，求河岸的宽度是多少？2、雨滴落在静止的电车窗口，其径迹与竖直线成300的倾角，电车以h km v /18=的速度运动时，窗上的径迹恰是竖直的，求雨滴在无风时的速度和风向。

3、如图所示，质点P 1以v 1由A 向B 作匀速运动，同时点P 2以v 2从B 指向C 作匀速运动，l AB =,α=∠ABC 且为锐角，试确定何时刻t ，P 1P 2的间距d 最短为多少？4、一只船在河的正中航行，如图所示，河宽m l 100=，流速s m u /5=，并在距船m s 150=的下游形成瀑布，为了使小船靠岸时，不至被冲进瀑布中，船对水的最小速度为多少？⎩⎨⎧==θθsin cos 00v v v v y x ⎪⎩⎪⎨⎧-==20021sin cos gt t v y t v x θθ⎩⎨⎧-==g a a y x 05、如图所示，半径为R 的半圆凸轮以等速v 0沿水平面向右运动，带动从动杆AB 沿竖直方向上升，O 为凸轮圆心，P 为其顶点，求当α=∠AOP 时，AB 杆的速度。

第3节 抛体运动一、抛体运动的基础知识：1、平抛运动：可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体两个分运动的合成，落地时间由竖直方向分运动决定。

2、斜抛运动：分斜上抛和斜下抛(由初速度方向确定)两种，根据运动的叠加原理，抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。

常用的处理方法是:、将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。

如图所示，取抛物轨迹所在平面为平面，抛出点为坐标原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴。

则抛体运动的规律为：其轨迹方程为：222cos 2x v g xtg y o θθ-=这是开口向下的抛物线方程。

在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下，飞行时间T ，射程R 和射高H 分别为:g v T θsin 20= g v R θ2sin 20= g v H 2sin 220θ= 抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间（抛出点与落地点在同一水平面上）相等（一般地，从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等）；上升和下降时经过同一高度时速度大小相等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。

、分解沿v 0方向的速度为v 0的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动二个分运动。

、将沿斜面和垂直斜面方向作为x 、y 轴，分别分解初速和加速文革后 用运动学公式解题。

二、解题指导：例1：如图所示，从A点以v0的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求小球能越过B点。

问小球以怎样的角度抛出，才能使v 0最小？例2、大炮在山脚直接对着倾角为ɑ的山坡发射炮弹，炮弹初速度为v0，要在山坡上达到尽可能远的射程，则大炮的瞄准角为多少？最远射程为多少？例3、在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h，若出手时的速度为v0，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？例4、从高H处的一点O先后平抛两个小球1和2，球1直接恰好越过竖直挡板A落到水平地面上的B点，球2则与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板，尔后也落在B点，如图所示，设球2与地面碰撞遵循类似光的反射定律，且反弹速度大小与碰前相同，求竖直挡板的高度h。