固体物理 第4章 能带理论5
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固体物理课件
e 2 晶体中有3N个振动模 晶体中有 个振动模 C = k ( ∑ B k T ) (eℏω j / kBT − 1)2 V 1） 爱因斯坦模型 ） j =1 B 假设N个原子构成的晶体 个原子构成的晶体， 假设 个原子构成的晶体，
所有的原子以相同的频率 ω0振动 2） 德拜模型 ） 以连续介质的弹性波来代表格 波，将晶格看作是各向同性的 连续介质
V (r + R) = V (r )
布洛赫定理
具有晶格周期性时， 布洛赫定理 —— 势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，电子的波 函数满足薛定谔方程 ℏ2 2 [− ∇ + V ( r )]ψ ( r ) = E ψ ( r ) 2m —— 方程的解具有以下性质
ψ ( r + Rn ) = e ik ⋅R ψ ( r )
ω = 2
−
− i (ωt − naq )
2
β
m
ω
aq sin m 2
−π a
β
π π < q ≤ a a
q=
µn = µn+ N 2π
Na
× h —— h为整数 为整数
π a o 晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数 晶体的原胞数
能量本征值 ε n = ( n q + 1 ) ℏ ω q
q
晶格振动的能量量子； 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 当这种振动模处于 系统能量本征值
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波
模型 运动方程 试探解
m µ n = − β (µ n − µ n−1 ) − β (µ n − µ n+1 )
..
一维晶格振动 一维无限长原子链， ， ， 一维无限长原子链，m，a，β
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
固体物理学-能带理论之紧束缚方法
m
改写为
—— 晶格周期性函数 — 简约波矢，取值限制在简约布里渊区
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
—— 应用周期性边界条件
的取值有N个，每一个 值对应波函数
k r
1 N
eikRm i
r Rm
m
晶体中电子波函数 原子束缚态波函数
—— 两者存在么正变换
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
—— 晶体中电子波函数 k r
1 N
eikRm i
r - Rm
m
—— N个波函数表示为
k1
k2
kN
e , e ik1R1
ik1R2
1
e , e ik2R1
ik2 R2
N
e , e ikN R1
ik N R2
eik1 R N eik2 RN
i i
(r (r
R1 ) R2)
2
2m
2
V
(r
Rm
) i
(r
Rm
)
ii
(r
Rm
)
—— 格点的原子在 处的势场
—— 电子第i 个束缚态的能级 —— 电子第i 个束缚态的波函数
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
晶体中电子的波函数
满足的薛定谔方程
2
2m
2
U
(r)
(r)
E
(r)
—— 晶体的周期性势场___所有原子的势场之和
eik N RN
i
(r
RN
)
能量本征值 E k i J (Rs )eikRs
s
—— 对于原子的一个束缚态能级 ___ k有N个取值
改写为
—— 晶格周期性函数 — 简约波矢，取值限制在简约布里渊区
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
—— 应用周期性边界条件
的取值有N个，每一个 值对应波函数
k r
1 N
eikRm i
r Rm
m
晶体中电子波函数 原子束缚态波函数
—— 两者存在么正变换
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
—— 晶体中电子波函数 k r
1 N
eikRm i
r - Rm
m
—— N个波函数表示为
k1
k2
kN
e , e ik1R1
ik1R2
1
e , e ik2R1
ik2 R2
N
e , e ikN R1
ik N R2
eik1 R N eik2 RN
i i
(r (r
R1 ) R2)
2
2m
2
V
(r
Rm
) i
(r
Rm
)
ii
(r
Rm
)
—— 格点的原子在 处的势场
—— 电子第i 个束缚态的能级 —— 电子第i 个束缚态的波函数
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
晶体中电子的波函数
满足的薛定谔方程
2
2m
2
U
(r)
(r)
E
(r)
—— 晶体的周期性势场___所有原子的势场之和
eik N RN
i
(r
RN
)
能量本征值 E k i J (Rs )eikRs
s
—— 对于原子的一个束缚态能级 ___ k有N个取值
第四章 能带理论 固体物理学 黄昆 韩汝琦
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
n i 2 x a
Vn 1 ikx k ( x ) e {1 2 e n L 2 2 n [k ( k 2 ) ] 2m a
令
n i 2 x a
}
可以证明
1 ikx e uk ( x ) 电子波函数 k ( x ) L
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
能量本征值的计算 —— 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体电子 态的波函数按此函数集合展开 —— 将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式的系数 所满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值
电子波函数的计算
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动
2
波动方程
2 [ V ( r )] E 2m
晶格周期性势场
V ( r ) V ( r Rn )
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
(1) k
Vn 1 ikx e 2 e n L 2 2 n [k ( k 2 ) ] 2m a
n i 2 x a
计入微扰电子的波函数
Vn 1 ikx 1 ikx k ( x) e e 2 e n L L 2 2 n [k ( k 2 ) ] 2m a
根据微扰理论，电子的能量本征值
Ek Ek0 Ek(1) Ek( 2 ) .
一级能量修正
E
n i 2 x a
Vn 1 ikx k ( x ) e {1 2 e n L 2 2 n [k ( k 2 ) ] 2m a
令
n i 2 x a
}
可以证明
1 ikx e uk ( x ) 电子波函数 k ( x ) L
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
能量本征值的计算 —— 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体电子 态的波函数按此函数集合展开 —— 将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式的系数 所满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值
电子波函数的计算
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动
2
波动方程
2 [ V ( r )] E 2m
晶格周期性势场
V ( r ) V ( r Rn )
04_01_布洛赫定理 —— 能带理论
一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
(1) k
Vn 1 ikx e 2 e n L 2 2 n [k ( k 2 ) ] 2m a
n i 2 x a
计入微扰电子的波函数
Vn 1 ikx 1 ikx k ( x) e e 2 e n L L 2 2 n [k ( k 2 ) ] 2m a
根据微扰理论，电子的能量本征值
Ek Ek0 Ek(1) Ek( 2 ) .
一级能量修正
E
固体物理学：第四章 能带理论
第三步简化 —— 周期性势场 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
能量本征值的计算 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体中
的电子的波函数按此函数集合展开。
将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式中的 系数应满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征 值。
电子波函数的计算
根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数, 得到具体的波函数。
能带理论是研究固体中电子运动的主要理论基础。 能带理论对固体中电子的状态进行了较为精确的物理 描述，成功地解释了固体的导电性，所以它一直是固 体物理学的核心部分之一。
(#) (#)中
能带理论是用量子力学研究固体中电子的运动规律，把原 本复杂的多体问题经过一定的近似处理后，转化为一个电子在 周期性势场中的运动，晶体中其它所有电荷的影响均可以用此 单电子的周期性势场来概括。有时也称能带理论为固体的单电 子理论。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后，能 带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。
2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
能带理论强调了共有化的价电子以及在波矢 空间中的色散关系，在解释实验现象和预测物理 性质方面都取得了可观的成功。说明了导体、非 导体的区别，是研究半导体理论问题的基础，推 动了半导体技术的发展。
能带理论是一个近似理论，存在着一定的局限性。
注意:能带理论的局限性
1. 一些过渡金属化合物晶体 价电子的迁移率小, 自由程与晶格间距相当, 电
子不为原子所共有, 周期场失去意义，能带理论不适 用了。
2.非晶态固体 非晶态固体和液态金属只有短程有序，两种物质的电
子能谱显然不是长程序的周期场的结果。
能量本征值的计算 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体中
的电子的波函数按此函数集合展开。
将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式中的 系数应满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征 值。
电子波函数的计算
根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数, 得到具体的波函数。
能带理论是研究固体中电子运动的主要理论基础。 能带理论对固体中电子的状态进行了较为精确的物理 描述，成功地解释了固体的导电性，所以它一直是固 体物理学的核心部分之一。
(#) (#)中
能带理论是用量子力学研究固体中电子的运动规律，把原 本复杂的多体问题经过一定的近似处理后，转化为一个电子在 周期性势场中的运动，晶体中其它所有电荷的影响均可以用此 单电子的周期性势场来概括。有时也称能带理论为固体的单电 子理论。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后，能 带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。
2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
能带理论强调了共有化的价电子以及在波矢 空间中的色散关系，在解释实验现象和预测物理 性质方面都取得了可观的成功。说明了导体、非 导体的区别，是研究半导体理论问题的基础，推 动了半导体技术的发展。
能带理论是一个近似理论，存在着一定的局限性。
注意:能带理论的局限性
1. 一些过渡金属化合物晶体 价电子的迁移率小, 自由程与晶格间距相当, 电
子不为原子所共有, 周期场失去意义，能带理论不适 用了。
2.非晶态固体 非晶态固体和液态金属只有短程有序，两种物质的电
子能谱显然不是长程序的周期场的结果。
固体物理-第四章 能带理论
V* , v, V分别是倒易原胞，晶格原胞和整个晶体的 体积, N = N1N2N3是原胞总数。
k-空间中单位体积中的状态密度为V/(2p)3 .每个 布里渊区k的数目为： V*/(V*/N)=N
4.1.基本概念
4.1.4.定态微扰简述 处于定态的粒子体系，受到一个微小的恒定的扰动后体 系的状态和能量等发生微小的变化。对于简并和非简并 情况处理方法不同。 1.非简并微扰 体系的哈密顿算符为 Ĥ=Ĥ0+ĥ (4.1.4.1) Ĥ0的本征值和本征函数是已知的或者可以精确求解的且 不存在简并。Ĥ0的本征方程为： Ĥ0y n (0) = En (0)y n (0) (4.1.4.2) n能级序号，ĥ 微扰项。为便于比较，令ĥ=lĤ’ , l<<1, Ĥ’ 的作用相当于Ĥ0，但Ĥ’不等于Ĥ0。。于是 Ĥ=Ĥ0+ lĤ’
第四章 能带理论
4.1.基本概念 4.2.近自由电子近似 4.3.紧束缚近似 4.4.晶体中电子的速度、准动量及有效质量 4.5.固体导电性能的能带理论解释 4.6.晶体中电子的态密度 4.7.能带理论的局限性
4.1.基本概念
4.1.1.能带理论的基本假定 晶体由离子实（原子核+内层电子）和外层的价电子组成。 价电子的哈密顿量应该考虑：价电子的动能，离子实的动 能，价电子之间，离子实之间，价电子与离子实之间的相 互作用势能。 为了简化用单个电子在静止的周期势场中的运动,来描述 晶体中所有等同电子的状态. 在上述假定下，晶体中价电子的哈密顿算符 Ĥ=-ħ22/2m +V(r) （ 4.1.1.1） 其中, V(r+Rn)=V(r), 它包含代替价电子相互作用的平均势 与离子实的周期势。 格矢,Rn=n1a1+ n2a2 + n3a3, n1, n2, n3为整数, a1,a2 ,a3 为晶胞 的单位矢量. r ，电子的位矢.
《固体物理基础教程》课件第4章
上一节中我们从大家所熟悉的知识入手，对晶体中电子 运动状态的基本特点有了一个初步的感性认识，从这一节开 始，我们将对固体能带理论中的一些重要理论、方法及结论
布洛赫(Bloch)定理揭示了固体中电子运动的一个普遍 适用的规律，在固体物理学发展中具有里程碑式的意义，是 半导体物理发展的理论基础。而这一重大理论是年仅23岁的 布洛赫于1928年在其博士论文《金属的电导理论》中提出的。 下面我们就跟踪布洛赫的研究历程，来分析Bloch定理的提
在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡 利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两 个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能 使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带， 即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级， 相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能 级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的 结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因 而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低， 相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能 带的过程如图4.5所示。
对于某些晶体，能级分裂成能带时没有发生交叠，于是， 孤立原子中有多少个能级，对应晶体中就有多少个能带，而 且每个能带中的能级数可由晶体中每个原子提供的对应能级 数直接确定。比如由N个锂原子(Li1s22s1)组成的Li晶体中， 1s能级分裂形成的1s能带中总共有N个1s能级，每个原子提 供两个1s电子，总共2N个1s电子正好填满1s能带。而2s能带 中总共有N个2s能级，晶体中总共N个2s电子(价电子)，只能 填充N/2个能级，因此锂晶体的导带(2s能带)为半满带，如 图4.6
第4章 能带理论
4.1 晶体中电子的共有化运动 4.2 布洛赫定理 4.3 近自由电子近似 4.4 紧束缚近似 4.5 三维实际晶体的能带 4.6 能态密度和费米能级 4.7 晶体中电子在外力作用下的运动
布洛赫(Bloch)定理揭示了固体中电子运动的一个普遍 适用的规律，在固体物理学发展中具有里程碑式的意义，是 半导体物理发展的理论基础。而这一重大理论是年仅23岁的 布洛赫于1928年在其博士论文《金属的电导理论》中提出的。 下面我们就跟踪布洛赫的研究历程，来分析Bloch定理的提
在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡 利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两 个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能 使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带， 即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级， 相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能 级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的 结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因 而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低， 相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能 带的过程如图4.5所示。
对于某些晶体，能级分裂成能带时没有发生交叠，于是， 孤立原子中有多少个能级，对应晶体中就有多少个能带，而 且每个能带中的能级数可由晶体中每个原子提供的对应能级 数直接确定。比如由N个锂原子(Li1s22s1)组成的Li晶体中， 1s能级分裂形成的1s能带中总共有N个1s能级，每个原子提 供两个1s电子，总共2N个1s电子正好填满1s能带。而2s能带 中总共有N个2s能级，晶体中总共N个2s电子(价电子)，只能 填充N/2个能级，因此锂晶体的导带(2s能带)为半满带，如 图4.6
第4章 能带理论
4.1 晶体中电子的共有化运动 4.2 布洛赫定理 4.3 近自由电子近似 4.4 紧束缚近似 4.5 三维实际晶体的能带 4.6 能态密度和费米能级 4.7 晶体中电子在外力作用下的运动
固体物理第四章能带理论5(新疆大学李强老师课件)模板
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Xinjiang University
§4.6 晶体能带的对称性
能带的3种表示方法
① 扩展能区图式
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2018/10/24
当k落在布里渊区边界上，N(E)出现奇点，对应能量 在此处断开。
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面
能态密度以及范霍夫奇点
E s (k ) E0 2 J1 (cos kx a cos k y a cos k z a)
§4.7 能态密度和费密面
等能面 等能面垂直于布里渊边界, ∵此处 k E (k ) 0
E E0 2 J1 E X
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
E E0
2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面
能态密度以及范霍夫奇点
在等能面上为常数
V dS V 1 能态密度函数 N ( E ) 2 2 3 (2 ) k E (2 )3 k E V m 2 V mk 2 4 k 2 2 (2 )3 2 k V 2m 3/2 ( 2) E 2 2
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
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§4.6 晶体能带的对称性
能带的3种表示方法
① 扩展能区图式
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2018/10/24
当k落在布里渊区边界上，N(E)出现奇点，对应能量 在此处断开。
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面
能态密度以及范霍夫奇点
E s (k ) E0 2 J1 (cos kx a cos k y a cos k z a)
§4.7 能态密度和费密面
等能面 等能面垂直于布里渊边界, ∵此处 k E (k ) 0
E E0 2 J1 E X
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
E E0
2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面
能态密度以及范霍夫奇点
在等能面上为常数
V dS V 1 能态密度函数 N ( E ) 2 2 3 (2 ) k E (2 )3 k E V m 2 V mk 2 4 k 2 2 (2 )3 2 k V 2m 3/2 ( 2) E 2 2
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当温度趋于0k时定域态中电子迁移率趋于零,而扩展态中迁移率仍然 为有限值,因此莫特将EC称为迁移率边缘.对于任意E态,定域化 E 条件为:
W > 2Z V e 2E 1 W
1 2 2
2E 1 W
W
2E 1+ W
莫特还进一步提出了安德森转变(Anderson transition)的概念,如果 在Si晶体中掺入施主杂质磷,由于施主杂质的分布是无规的,就形成 无序系统,无序性将导致有一个迁移率边缘,设导带中电子的费米能 无序性将导致有一个迁移率边缘,
§4-7 能态密度和费米面 一,能态密度函数 在单个原子中电子的本征态形成一系列分立的能级,可以具体标 明各个能级的能量,说明它们的分布情况.而在晶体中电子能级是准 连续分布的,为了概括这种情况下的能级分布,引入"能态密度"的概 E 念.用 表示能量在 E→E+ 之间的状态数,则能态密度函数定义 Z 为: Z dZ
对于无序系统的电子态理论研究有两种处理方法;其一是对无序系 统作某种平均后近视当作有序系统处理,这种方法以相干势近似为代 表.其二是从无序系统的定域态出发,设计一些无序模型,研究无序 系统与有序系统电子态的差别,这种方法以安德森的工作为代表. 1,安德逊(P.W.Anderson)无序模型 无序系统由于不具有平移对称性,波矢k不再是描述电子状态的 好量子数,必须从定域态(或者原子轨道态)出发设计模型和讨论 从定域态(或者原子轨道态) 问题.安德森将紧束缚近似(TBA)方法推广用于无序系统,用 旺尼而函数作为基本函数把波函数进行二次量子化展开,引入反映 "无序程度"的变化宽度的参量W,而格点近邻交叠积分均取相同的 无序程度" 值V则表示无序系统的"短程有序"特征.因此,这个简化的模型概括 则表示无序系统的"短程有序" 了无序系统的主要特点,由此出发将便于求得定域化条件和引进 迁移率边界等新概念.安德森定域化条件为(E=0态): W > e 2Z V (z为每个格点的近邻数,e为自然对数的底数). 2,莫特(N.F.Mott)模型 当安德森条件不满足时,三维无序系统中E=0态不满足收敛条件,
单电子的薛定谔方程为:d 2
在 z > 0 的区域,当 E < V0 时,方程的解为:
dz
ψ(z) + 2
2m(E V (z)) h2
ψ(z) = 0
z
2 m (V0 E ) ψ 外 ( z ) = A exp h
在 z < 0 的区域,方程的解为: ψ内( z ) = Buk ( z )eikz + Cu k ( z )e ikz 由于周期性势场在表面处中断,因此在表面处附近可能出现复波矢 k = k′ + ik′′ 的许可态: ψ内表面( z) = B′uk ( z)eik ′z ek ′′z + C′uk ( z)eik ′z ek ′′z 根据波函数及其导数在边界处连续的条件以及波函数有限的要求(设 k ′′ > 0 ,当 z → ∞ 时, 内表面 (z ) 保持有限),可以得到表面态能级 ψ
它不能形成稳定的定域态,仍然是在系统中传播的扩展态.莫特指出 不能形成稳定的定域态,仍然是在系统中传播的扩展态.
这时在无序系统中既存在扩展态,也存在定域态.扩展态分布在紧束 这时在无序系统中既存在扩展态,也存在定域态. 缚近似能带的中心,定域态在带尾部分,并有一个划分扩展态与定域 缚近似能带的中心,定域态在带尾部分, 态的能量边界 Ec ,如下图
1
当金属中电子密度 n : 10 ~ 10 cm 费米能量大约在1.5~15eV. N个电子填充这些能级中最低的N个,有两种可能: 1,电子恰好填满最低的一系列能带,再高的各带全部都是空的.最 高的满带称为价带,最低的空带称为导带,价带最高能级与导带最低 高的满带称为价带, 能级之间的能量范围称为带隙.这种情况对应于绝缘体和半导体.带 隙宽度大的(大约10eV)为绝缘体,带隙宽度小的(1eV)为半导体
ξ
附近作定域化的运动,有别于扩展在整个晶体中的共有化运动,称为 电子的定域态(localized states).实验表明当杂质浓度增高时,定域 当杂质浓度增高时,
态的电子能级可能密集成带,并与导带相连接,形成导带的尾部 态的电子能级可能密集成带, 与导带相连接, (tail)它们对电导率的贡献很小.存在定域态是无序的标志. tail)
属导体. 属导体.
§4-8 表面电子态 I.Tamm于1932年提出晶体存在自由表面时,会在能隙中产生表面电 子态的能级,这就是通常所说的Tamm表面态.1939年 W.Shockley又 提出共价晶体的表面悬挂键在能隙中产生表面电子态,这就是通常 所说的Snockley表面态.为了说明金属—半导体接触势垒的高度对 金属功函数的依赖关系,J. Bardeen 于1947年提出在半导体表面存 在密度相当大的表面态,表面态中的电荷产生的电势差对金属—半 导体接触势垒高度有控制作用.直接测定金属或者半导体的表面电子 态是70年代XPS(Xray photoelectron spectroscopy)和 UPS(ultraviolet photoelectron spectroscopy)等新技术发明以后. 假定表面是理想的,考察晶体表面对电子本征态的影响.设晶体表面 z z 以z=0为分界面, < 0 的区域为具有周期性势场V (z) 的晶体;>0 的区 域是真空,电子势能 V ( z) = V0 为一常数.如下图.
�
v 所有电子均在有序晶格中作共有化运动,且各格点周围振幅 uk (r ) 相同
v v ψ k ( r ) = u k ( r )e
v v ik r
,这种状态在整个晶体中的扩展特征是长程有序效应的反映,因此 布洛赫态又称为扩展态(extended states).具有扩展态是有序晶格的 特征. 当有序晶格中掺入少量杂质后,周期性被局部破坏,这时将有电 子或者空穴被束缚在杂质上,并在导带之下或者价带之上(能隙区中 形成施主和受主能级,这些电子(或者空穴)的波函数是指数衰减型 v v 的定域函数: ( r ) ~ exp( r ) ξ 称为定域化长度.这时电子在杂质 ψ
22 23
r 3 时, s a 的值在2—6之间 0
2,如果除完全被电子充满的一系列能带外,还存在被部分充满的能 如果除完全被电子充满的一系列能带外, 带,这个被部分充满的能带称为导带.这时最高占据能级称为费米能 级.在每个部分占据的能带中,k空间都有一个占有电子和不占有电 子区域的分界面,所有这些表面的集合就是费米面.这种情况对应金
2
V
1 4π 3 3 13 k F = n k F = 2π n 2× 3 (2π ) 3 8π
1 3
3 rs 这里n为电子密度.引入自由电子球半径 ,可得 rs = 3 ,代入上式有: 4πn 1 9π ) 3 ( 3.63 o a 4 kF = ≈ 1.92 / rs ≈ A 为氢原子基态波尔半径,假定电子可以 0 rs rs ( ) 2 a0 h 2k F 50.1eV v = hkF ≈ 4.20 ×108 cm/ s EF = ≈ F rs m rs 2 2m 看成自由电子,从而有: ( ) a0 a0
位于迁移率边缘之下,此时系统中电子态都是定域态,可以认为是一 位于迁移率边缘之下,此时系统中电子态都是定域态, 个"绝缘体".如果继续掺杂,使费米能级通过迁移率边缘,位于它的 绝缘体" 如果继续掺杂,使费米能级通过迁移率边缘, 上面,系统将出现"金属性",因为在扩展态上占有电子.这里发生了 上面,系统将出现"金属性" 因为在扩展态上占有电子. 从绝缘体向金属是转变. 从绝缘体向金属是转变.
′ h uk (0) Es = V0 ik ′ 2m uk (0)
2
2
表面能级对应的波矢既然是复数,这个能级就不可能在无限晶体的许 表面能级对应的波矢既然是复数, 可能带中,只可能位于能隙中.其波函数在真空中指数衰减,在晶体 可能带中,只可能位于能隙中.其波函数在真空中指数衰减, 中是衰减的振荡函数.这种形式的波函数称为迅衰波(evanescent wave 中是衰减的振荡函数.这种形式的波函数称为迅衰波(
§4-9 无序系统中的电子态 在固体系统中无序是指相对于完整晶体中原子排列的高度有序状 态的偏离.无序系统大致可以分为:(1)成分无序(compositional disorder);(2) 拓扑无序(topological disorder).具有严格周期性的有
序晶格是平移不变的,单电子态可用波矢量k标记并形成能带,能带 电子的状态由布洛赫函数表示
N ( E ) = lim
E 在三维情况,状态在k空间分布的密度为: (2π )3 ,能量在 E→E+ (E → 0 ) 之间对应的体积为 4πk 2 dk ,则:
V
E →0 E
=
dE
dk N (E) = 4πk 3 dE ( 2π ) v 如果已知 E(k ) ,则可以计算出态密度. 二,费米面 若固体中有N个电子,它们的基态是按泡利原理由低到高填充尽 可能低的N个量子态,设N个电子在k空间填充半径为 kF 的球,计及 电子自旋有: