高中数学精品复习讲义之旋转体、几何体的表面积和体积-学生

旋转体、几何体的表面积和体积

教学目标

1掌握柱体和锥体的有关概念，

2理解祖暅原理和图形割补等思想方法；

3会求柱体和锥体的表面积和体积

重点&难点

重点：球面距离的求法、“内切、外接问题”的求法

难点：圆柱、圆锥、球的有关概念、表面积和体积的计算公式．球面上两点之间的距离的概念．

知识结构

表面积、体积多面体球面距离球的性质——球圆锥的性质—圆锥圆柱的性质—圆柱旋转体简单几何体⎪⎪⎪⎪⎭

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【知识精要】

1、圆柱、圆锥概念：

分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥．旋转轴叫做它们的轴，在轴上这条边的长度叫做它们的高，垂直于轴的边旋转而形成的圆面叫做它们的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面，这条边无论旋转到什么位置，都叫做旋转体的母线．

2、圆柱、圆锥的性质：

如果用一个平行于底的平面去截圆柱、圆锥，所得的截面是圆．我们把过轴的截面，叫做轴截面．那么圆柱、圆锥的轴截面分别是矩形、等腰三角形．

3、体积公式：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 23

1π=（r 为半径，h 为高） 4、球的定义：

半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球．

5、球的性质：

球心和截面圆心的连线垂直于截面；设球心到截面的距离为d ，截面圆的半径为r ，球的半径为R ，则：r=22d R -

6、球的表面积、体积公式：表面积：24R S π=；球的体积公式：33

4R V π=． 7、纬度、经度：

①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数．

②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度．

【例题讲解】

P

M 类型1：圆锥圆柱问题

例

1．有下列四个命题：

① 以直角三角形的边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

② 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；

③ 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径； ④ 经过球面上不同的两点只能作一个大圆．

其中正确命题的个数为：．

例2．分别利用一个经过母线的平面去截圆柱、圆锥，截面各是什么形状？

例3．某店推出一款冰激凌，上部分近似为一个半球，下部分近似为一个圆锥，如图所示．已知半球半径为3，圆锥的高为4，求冰激凌的表面积（小

数点后保留2位有效数字）

例4．如图所示,半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC =30°)及其体积.

☆例5．已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA

的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于θ．

（1）当60θ=︒时，求异面直线MC 与PO 所成的角；

（2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的值．

例6．已知，圆锥的母线长为3，底面半径为1，如图所示．

（1）若将圆锥的侧面展开，成为一个扇形，试求扇形的圆心角；

（2）在母线OA 上有一点B ，2OB =，沿圆锥的侧面从A 走到B ，

记此路径为AB l ，求AB l 的最小值．

类型2：球的相关问题

例7．已知地球的半径约为6371 km ，上海的位置约为东经12127'︒，北纬318'︒，

台北的位置约为东经12127'︒，北纬255'︒．求两个城市之间的球面距离． （结果精确到1 km ）

例8．已知北京的位置约为东经116︒，北纬40︒，纽约的位置约为西经74︒， 北纬40︒．求两个城市之间的球面距离．（结果精确到1 km ）

例9．已知北京的位置约为东经116︒，北纬40︒，里约热内卢（巴西首都）的位置约为西经43︒，北纬22︒．求两个城市之间的球面距离．（结果精确到1 km ）

切接问题【基本思路】

1、旋转体与旋转体：研究轴截面，把问题转化为平面几何中解三角形、四边形

与圆的问题．

例10．（1）半径为5的球内有一个内接圆锥，这个圆锥的高为7，则这个圆锥的侧面积为；

（2）已知高与底面直径的比是2:1的圆柱内接于球，圆柱的侧面积为100 ，则球的半径是；

（3）已知球的半径为R，要在球内作一个内接圆柱，问这个圆柱的底面半径和高为何值时，它的侧面积最大．

2、多面体与旋转体：找到一个恰当的截面研究．

多面体的内切球常利用体积进行转化求解．

例11．（1）已知四棱锥的侧棱及底面边长都是a，求此棱锥的内切球半径；（2）求棱长为a的正四面体内切球半径．

3、球球相切：把球心看成多面体的顶点，转化成多面体问题

例12．将半径为R的五个球中的四个球放在桌面上，使每相邻的两个球相切，第五个球放在这四个球上，使它与这四个球都相切，求第五个球的球心到桌面的距离？

☆例13．桌面上有三个半径为1的球两两相切，在桌面与三球间欲再放一小球，使它和桌面及这些球都相切，求此小球的半径．

【外接球问题基本模型】

（1）正方体的棱长为a ，则其外接球的球半径为；

（2）长方体的长、宽、高为a 、b 、c ，则其外接球的球半径为；

（3）三棱锥P ABC -，PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，则其外接球的球半径为；

（4）正四面体的棱长为a ，则其外接球的球半径为；

※（5）四面体的对棱长相等，棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球的球半径为．

例14．四面体ABCD ，6AB CD ==，7AD BC ==，8AC BD ==，求其外接球的球半径？

例15．如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为6，求半球的表面积和体积．