第9章正弦稳态电路的分析(xs)

U
ϕ'
I
. IG
. IC . IL
I=
2 2 IG + IB =
2 IG + (I L − IC )2
RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象
9. 3 用相量法分析电路的正弦稳态响应
电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：
电阻电路 : KCL : ∑ i = 0 KVL : ∑ u = 0 元件约束关系 : u = Ri 或 i = Gu
k =1 b
b
k
=0
∑U
k =1
b
•
k
Ik = 0
•
*
∑ (P
k =1
k
+ jQ k ) = 0
b Pk = 0 ∑ k =1 b ∑ Qk = 0 k =1
此结论可用特勒根定理证明 此结论可用特勒根定理证明。 用特勒根定理证明。
* 复功率守恒 , 不等于视在功率守恒 .
+ . UC -
令
. U Z = . = R + jX =| Z | ∠φ I
关系：
| Z |= R 2 φ = arctg + X2 X R
R=|Z|cosϕ 或 X=|Z|sinϕ |Z| X
|Z|=U/I ϕ =ψu-ψi
ϕ
R 阻抗三角形
具体分析一下 R、L、C 串联电路： Z=R+j(ωL-1/ωC)=|Z|∠ϕ
cosϕ =P/( UI )
cosϕ
1, 纯电阻 0， 纯电抗
一般地 , 有 0≤cosϕ≤1 X>0, ϕ >0 , 感性， 滞后功率因数 X<0, ϕ <0 , 容性， 超前功率因数 例： cosϕ =0.5 (滞后)， 则ϕ =60o (电压领先电流60o)。
结论
平均功率实际上是电阻消耗的功率， 平均功率实际上是电阻消耗的功率 ， 亦称为有功 功率。 功率。表示电路实际消耗的功率， 表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流 有效值有关， 有效值有关， 而且与 cosϕ 有关， 有关 ， 这是交流和直流的 很大区别, 主要由于电压、 主要由于电压、电流存在相位差。 电流存在相位差。
复功率 S 也可以表示为以下式子 : S = UI * = ZI ⋅ I * = ZI 2 S = UI * = U (UY ) = U ⋅ U * Y * = U 2Y *
*
• •
复功率守恒定理：在正弦稳态下， ：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收 的复功率之和为零。 的复功率之和为零。即
∑S
9. 1 －9.2 复阻抗、复导纳及电路的相量图
一. 复阻抗
I
I
+
U
正弦激励下
+ 无源 线性
U
Z
1. 定义：
•
-
复阻抗 Z =
U
•
=| Z | ∠φ = R + jX
欧姆定律的相 量形式
I
ϕ z = ψ u −ψ i 阻抗角
U Z = Ω I
阻抗模
2. 理想元件的复阻抗：
当无源网络内为单个元件时有：
1. 复功率
为了用相量U和I来计算功率，引入“复功率”
I +
U
_
负 载
U = U∠Ψ u ,
I = I∠Ψ i
记 S = UI * 为复功率 , 单位 VA 则 S = UI∠(Ψ u − Ψ i ) = UI∠φ = S∠φ = UIcosφ + jUIsinφ = P + jQ (其中P为有功功率; Q为无功功率; S为视在功率 .)
•
有分流公式：
•
I
•
1
Z 2 = Z1 + Z Z1 = Z1 + Z
I
2 •
S
I
2
I
2
S
9. 4 正弦电流电路中的功率
无源一端口网络吸收的功率 i + 无 u 源 _
u( t ) = i(t ) =
2U sin ω t 2 I sin(ω t − φ )
φ 为 u 和 i的相位差 φ = Ψu − Ψi
同样，若由Y变为Z，则有：
Y = G + jB =| Y | ∠φ ' , Z = R + jX =| Z | ∠φ G − jB Z= 1 = 1 = = R + jX Y G + jB G 2 + B 2 −B ∴ R = 2G 2 , X = 2 G +B G + B2 1 | Y |= , φ = −φ ' |Z|
. I I∠ψi I 令 Y= . = = ∠ψi − ψu = G + jB =| Y | ∠φ' U∠ψu U U
关系：
| Y |= G 2 + B 2 B 或 φ ' = arctg G
G=|Y|cosϕ ' B=|Y|sinϕ ' |Y|
|Y|=I/U ϕ =Ψi-Ψu
1. 瞬时功率
p( t ) = ui = 2U sinω t ⋅ 2 I sin(ω t − φ ) = UI [cosφ − cos( 2ω t − φ )] = UI cosφ (1 − cos 2ω t ) − UI sinφ sin 2ω t
p(t ) = UI[cosφ + cos(2ωt − φ)]
I Y = U ϕ y = ψ i −ψ u
导纳模 导纳角
对同一二端网络:
1 1 Z = ,Y = Y Z
I I
C +
当无源网络内为单个元件时有：
I
+ U R + U -
U
-
L
I Y= U = jω C = jBC
I 1 Y = = =G U R
I 1 Y= = = jBL U jω L
表明 Y 可以是实数，也可以是虚数。
UL
U
UC
U = U +U
2 R
2 X
ϕ
UR
UX
I
2. 电阻、电感和电容并联的电路
i + u R iL L iL C iC +
U R
.
.
I
IL 1 jω L jω C
IR
Hale Waihona Puke ...IC
-
. . . . . . . 1 由KCL I： = I R+ I L+ IC = G U − j U + jω C U ωL . 1 = (G − j + jω C ) U ωL . = [ G + j( B C − B L ) U . = (G + jB ) U
p u UIcosϕ i O
ωt
- UIcos(2ω t−ϕ )
• p 有时为正, 有时为负； • p>0, 电路吸收功率； • p<0，电路发出功率；
p(t ) = UI cosφ(1 − cos2ωt ) + UI sin ϕ sin 2ωt
UIsinϕ sin2ω t为可逆分量， 周期性交变，相当于电抗 吸收的瞬时功率，与外电 路周期性交换。
I
+ U R + U -
I
C +
I
U
-
L
U U 1 Z = =R Z = = −j = jX C I I ωC U Z = = jω L = jX L I
表明 Z 可以是实数，也可以是虚数。
二. 复导纳
+
正弦稳态情况下
I
I
无源 线性 网络
+
U
-
U
-
Y
I =| Y | ∠φy S 定义导纳 Y = U
3. 无功功率 Q
Q = UI sin φ
表示交换功率的值，单位：var (乏)。 Q>0，表示网络吸收无功功率； Q<0，表示网络发出无功功率。 4. 视在功率(表观功率)S
def
S = UI
def
单位 : VA (伏安)
有功，无功，视在功率的关系：
P=UIcosϕ 无功功率: Q=UIsinϕ
I
IC
R L
IL
C
ϕ1
ϕ2
U
I
IC
U
_
IL
特点： 并联电容后，原负载的电压和电流不变， 吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的 工作状态不变。但电路的功率因数提高了。
补偿容量的确定： 补偿容量的确定：
I C = I L sin φ1 − I sin φ 2 ∵ I cos φ 2 = I L cos φ1， P = UI cos φ2 I L cos φ1 P ∴I = = cos φ 2 U cos φ 2 I C = P (tg φ1 − tg φ 2 ) U ∴ C = P 2 (tg φ1 − tg φ 2 ) ωU , IL =
6. 电感、电容的无功补偿作用 i R L + u + uL C + uC -
pL
pC i uC
O
uL ω t
当 L 发出功率时， 发出功率时 ， C 刚好吸收功率， 刚好吸收功率 ， 则与外电路交换 功率为pL+pC。因此， 因此，L、C的无功具有互相补偿的作用。 的无功具有互相补偿的作用。
9. 5 复功率
ϕ′
G
B
导纳三角形
Y=G+j(ωC-1/ωL)=|Y|∠ϕ′
ω C > 1/ω L ，B>0， ϕ '>0，电路为容性，i领先u； ω C<1/ω L ，B<0， ϕ '<0，电路为感性，i落后u； ωC=1/ω L ，B=0， ϕ ′ =0，电路为电阻性，i与u同相。