5-3 高斯定理
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5-4 电场强度通量 高斯定理
5-4 电场强度通量
高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
5-4 电场强度通量
高斯定理
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + + +
i 1 n
3 高斯定理的讨论 (1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度：所有电荷的总电场强度. (3) 电通量：穿出为正，穿进为负.
(4) 仅面内电荷对电通量有贡献.
5-4 电场强度通量
四 高斯定理应用举例 用高斯定理求电场强度的一般步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
高斯定理
1 Φe E dS ε0 S
q in i
i 1
n
5-4 电场强度通量
高斯定理
例2 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任 意点的电场强度. 解 高斯面：闭合球面 对称性分析：球对称 (1) 0 r R E dS 0 E 0
in ei
E
1 n in SE dS ε0 qi i 1
dS
s
qi
5-4 电场强度通量
高斯定理
2 高斯定理 在真空中静电场，穿过任一闭合曲面的电场强度通量，
5-4 电场强度通量 高斯定理
• 选择合适的高斯面 ，求 e。
Φe SE dS f (E)
• 确定高斯面包围的电量 qiin = ？
• 由高斯定理求 E
f
(
EΦ)e
1
0
i
qiin
E
27
例题5-7（课本P.169 例2）
第五章 静电场
设有一半径为R , 均匀带电 Q 的球面，求球面内、
外任意点的电场强度。
解：• 电场分布的对称性分析
• 选择合适的高斯面，求e。
过所求点 P 作半径为 r 同 心 高
斯球面， 穿过 该球面的 通E量
Φe
E dS
S
E
dS E 4πr 2
S
第五章 静电场
en
Q r r dS
O• •
R
P
无论所求点 P 在球体内还是
在球体外，上述结论均成立。
• 确定高斯面包围的电量qi = ？ E
0 < r < R 时：
ΦE SE dS 0
结论： 通过任一闭合曲面的
电场强度通量，与闭合曲面外 的电荷无关，仅仅取决于闭合 曲面内的电荷量。
第五章 静电场
E
S
+
q
17
三、高斯定理
高斯是德国数学家、天文学家和物 理学家，有“数学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电报机和建立了地 磁观测台，高斯还创立了电磁量的绝对 单位制。
33
• 选择合适的高斯面，求e。
第五章 静电场
过所求点P 作一高为 h、半径为 r ，以直线为轴的
闭合圆柱面为高斯面。穿过该柱面的电场强度通量为
Φe E dS E dS E dS E dS
S0
第五章-3 电势
v ∞ v E PA VA = = ∫ E ⋅ dl A q0
E PA = ∫
∞
A
v v q0 E ⋅ dl
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
v VA只与场强 E 有关，与q0无关，所以可以用来描述 有关， 无关， 电场的性质 VA是标量，没有方向只有大小 标量， 点电荷及有限系统而言 而言， =0；实际应用中， 对点电荷及有限系统而言，取V∞=0；实际应用中， 一般取V 一般取V地=0
v B dl v dr θ E rB
v r
r
Q
∫
桂林电子科技大学十院
clc2000@
第五章 静电场
2. 点电荷系的电场
n
§5-3 静电场的环路定理 电势
n
W = W1 + W2 + L + Wn = ∑ Wi = ∑
i =1 i =1
Qi q0 1 1 ( − ) 4πε 0 rAi rBi
l
v E
clc2000@
桂林电子科技大学十院
第五章 静电场
2. 环路定理的验证
§5-3 静电场的环路定理 电势
q0沿闭合路径L回来原处，静电场力作功为零 沿闭合路径L回来原处，
W=
讨论
Q q0 ≠ 0
∴
∫ E ⋅ dl
l
∫v v
L
v v F ⋅ dl =
∫
L
v v q0 E ⋅ dl = 0
桂林电子科技大学十院 clc2000@
第五章 静电场
例1 、求电偶极子电场中任一点P的电势 求电偶极子电场中任一点P 由叠加原理
普通物理5-3 电场强度53 电场强度
- O. +
r0 2 r0 2
x
A.
E
x
第五章 静电场
11
物理学
第五版
5-3 电场强度
（2）轴线中垂线上一点的电场强度
y
E
E
.B
E
. qre y er q
-
O
+
x
r0
E E
1 q 4π4επ10ε0rr2qe2 e
r E
y
rEr0rEEy244π1π1(εεr0200
)2 p r3 p y3
5-3 电场强度
电荷连续分布的电场
dE
1 4πε0
dq r2
er
E
dE
1 4πε0
er r2
dq
电荷体密度 dq ρdV
E
1 V 4πε0
ρer r2
dV
dq
+
r
dE
P
第五章 静电场
6
物理学
第五版
5-3 电场强度
电荷连续分布的电场
dE
1 4πε0
dq r2
er
E
dE
5-7 电势
第五章 静电场
19
讨论
x R
E x ( 1 1 )
2ε0 x2 x2 R2
E
2ε0
x R
R
q E 4 π ε0x2
o xPx
第五章 静电场
18
物理学
第五版
选择进入下一节：
本章目录
5-2 库仑定律
5-3 电场强度
5-4 电场强度通量 高斯定理
*5-5 密立根测定电子电荷的实验
5-6 静电场的环路定理 电势能
大学物理一复习 第五章 静电场和习题小结
r
q 4 π
0
dr r
2
r
q
1 q ( ) 4 r r 4 r q
0 0
r
E
V
q 4 π 0r
q 0, V 0 q 0, V 0
三、电势叠加原理
点电荷系
Va
q1
q2
a
E dl
V1 V 2 V n
第 五 章 静电场
Nothing in life is to be feared. It is only to be understood. ----(Marie Curie)
本章参考作业：P190
5-1，5-2、5-9①、5-14、5-21、 5-23、5-26、5-27、5-30。
学 习 要 点
的大小处处相等，且有
cos 1
cos 0
(目的是把“ E ”从积分号里拿出来)
计算高斯面内的电荷,由高斯定理求 E。
高斯定理运用举例： ---计算有对称性分布的场强
掌握所有 例题
1、球对称——球体、球面、球壳等。 2、轴对称——无限长直线、圆柱体、圆柱面。 3、面对称——无限大均匀带电平面。
E
0
R
r
三、面对称——无限大均匀带电平面。
例6、求无限大均匀带电平面的场 分布。已知面电荷密度为
o
p
dE
dE
解:对称性分析： 垂直平面 E
选取闭合的柱形高斯面
左底 侧
右底
侧 0
左底
E S
S＇
E S
右底
2 ES
q 4 π
0
dr r
2
r
q
1 q ( ) 4 r r 4 r q
0 0
r
E
V
q 4 π 0r
q 0, V 0 q 0, V 0
三、电势叠加原理
点电荷系
Va
q1
q2
a
E dl
V1 V 2 V n
第 五 章 静电场
Nothing in life is to be feared. It is only to be understood. ----(Marie Curie)
本章参考作业：P190
5-1，5-2、5-9①、5-14、5-21、 5-23、5-26、5-27、5-30。
学 习 要 点
的大小处处相等，且有
cos 1
cos 0
(目的是把“ E ”从积分号里拿出来)
计算高斯面内的电荷,由高斯定理求 E。
高斯定理运用举例： ---计算有对称性分布的场强
掌握所有 例题
1、球对称——球体、球面、球壳等。 2、轴对称——无限长直线、圆柱体、圆柱面。 3、面对称——无限大均匀带电平面。
E
0
R
r
三、面对称——无限大均匀带电平面。
例6、求无限大均匀带电平面的场 分布。已知面电荷密度为
o
p
dE
dE
解:对称性分析： 垂直平面 E
选取闭合的柱形高斯面
左底 侧
右底
侧 0
左底
E S
S＇
E S
右底
2 ES
3-5有介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r
R2
R1
（３）由（１）可知
U
E dr
R2
E
2π dr
0
r
r
(R1 r R2 ) ln R2
R1 2π 0 r r 2π 0 r R1
C Q 2π U
单位长度电容
0
C l
rl
ln R2 R1
2π 0
r
ln
r C0
R2 R1
真空圆柱形 电容器电容
r 又叫电容率
D2 2R2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
1 -P1 D1 0E1
2 -P2 D2 0E2
1
-
2R1
1
1
r
2
2R2
1
1
r
思索：可否由其他途 径求极化强度大小？
P 0E 0r 1E
1 P1 0 r 1E1 2 P2 0 r 1E2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
-+
-+ -
-+E-1+ E2
-+--+-
-+ +-
0
1' 2'
2'
3 – 5 有电介质时的高斯定理
E1
D
0 r1
0 0 r1
E2
D
0
r2
0 0 r2
U
E dl
l
E1d1 E2d2
Q ( d1 d2 )
0S r1 r2
C Q0 0 r1 r2S U r1d2 r2d1
0
E
P) ds
q0
3-5有介质时的高斯定理
s
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
5-3 高斯定理
0 R + +
q
高斯面
r
4 3 pR 3
可见，球体内场强随 线性增加 线性增加。 可见，球体内场强随r线性增加。 均匀带电球体电场强度曲线如 上图。 上图。
+ q + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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例2
均匀带电无限大平面的电场. 均匀带电无限大平面的电场. 高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 底面积为S，两底面到带电平面距离相同。 底面积为 ，两底面到带电平面距离相同。
r E=
lr v e 2 r 2pe0R
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（2）当r>R 时，
λ E= 2 0r πε
r E=
E λ 2πε0R
∑q = λl
矢量式为： 矢量式为：
r l er 2pe0r
Er 关系曲线
r
均匀带电圆柱面的电场分布
l
−1
∝r
R
0
r
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均匀带电球体空腔部分的电场， 例4 均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为R， 在球内挖去一个半径为r（ 在球内挖去一个半径为 （r<R）的球体。 ）的球体。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 证明： 用补缺法证明。 证明： 用补缺法证明。 在空腔内任取一点p, 在空腔内任取一点 , 设该点场强为 E E r1 设想用一个半径为r且体电荷密度与大球相 设想用一个半径为 且体电荷密度与大球相 c 同的小球将空腔补上后， 同的小球将空腔补上后，p点场强变为 E 1 u r v o pE r uu
q
高斯面
r
4 3 pR 3
可见，球体内场强随 线性增加 线性增加。 可见，球体内场强随r线性增加。 均匀带电球体电场强度曲线如 上图。 上图。
+ q + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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例2
均匀带电无限大平面的电场. 均匀带电无限大平面的电场. 高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 高斯面:作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 底面积为S，两底面到带电平面距离相同。 底面积为 ，两底面到带电平面距离相同。
r E=
lr v e 2 r 2pe0R
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（2）当r>R 时，
λ E= 2 0r πε
r E=
E λ 2πε0R
∑q = λl
矢量式为： 矢量式为：
r l er 2pe0r
Er 关系曲线
r
均匀带电圆柱面的电场分布
l
−1
∝r
R
0
r
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均匀带电球体空腔部分的电场， 例4 均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为R， 在球内挖去一个半径为r（ 在球内挖去一个半径为 （r<R）的球体。 ）的球体。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 证明： 用补缺法证明。 证明： 用补缺法证明。 在空腔内任取一点p, 在空腔内任取一点 , 设该点场强为 E E r1 设想用一个半径为r且体电荷密度与大球相 设想用一个半径为 且体电荷密度与大球相 c 同的小球将空腔补上后， 同的小球将空腔补上后，p点场强变为 E 1 u r v o pE r uu
高斯定理1
（4）E随r的变化关系图
E
0
R
r
如果是均匀带电球面
0 <r ≤ R
E dS
S
S1
q
i
Q r
R
S1
0i
S1
E1 dS E1dS E1 dS E1 4π r 2
S1
ε0
q
i
0i
ε0
0
E1 0
E2 Q r 2 0 4π ε 0r
讨论：
i 一般情况下电场线不是正电 荷在场中运动的轨迹，正电荷 受力方向与电场线方向一致；
F
ii 电场线是人为引入的，电 场中不存在电场线；
3、电场线密度：
dN E dS
dS
电场中某点场强的大小 等于通过该点附近垂直于电 场方向单位面积的电场线条 数，即电场线密度；
n
E
二、电场强度通量的计算：
s
根据高斯定理
E ds
s
q
i
i
0
h E 2rh 0 E 2r 0
(II)柱体内部(r<R)
在柱体内过p点,半径r,做 与带电圆柱同轴高为h的 柱面为高斯面
o
o o
R
p
h
e E ds E 2rh
s
根据高斯定理
E ds
当带电体的分布具有某种对称性时，其在空 间激发的电场也将具有某种对称性，可以选择合 适的高斯面，利用高斯定理求出 E E(x, y, z)
常见的电量分布的对称性
球对称
柱对称
面对称
均 匀 带 电
球体 球面 (点电荷)
E
0
R
r
如果是均匀带电球面
0 <r ≤ R
E dS
S
S1
q
i
Q r
R
S1
0i
S1
E1 dS E1dS E1 dS E1 4π r 2
S1
ε0
q
i
0i
ε0
0
E1 0
E2 Q r 2 0 4π ε 0r
讨论：
i 一般情况下电场线不是正电 荷在场中运动的轨迹，正电荷 受力方向与电场线方向一致；
F
ii 电场线是人为引入的，电 场中不存在电场线；
3、电场线密度：
dN E dS
dS
电场中某点场强的大小 等于通过该点附近垂直于电 场方向单位面积的电场线条 数，即电场线密度；
n
E
二、电场强度通量的计算：
s
根据高斯定理
E ds
s
q
i
i
0
h E 2rh 0 E 2r 0
(II)柱体内部(r<R)
在柱体内过p点,半径r,做 与带电圆柱同轴高为h的 柱面为高斯面
o
o o
R
p
h
e E ds E 2rh
s
根据高斯定理
E ds
当带电体的分布具有某种对称性时，其在空 间激发的电场也将具有某种对称性，可以选择合 适的高斯面，利用高斯定理求出 E E(x, y, z)
常见的电量分布的对称性
球对称
柱对称
面对称
均 匀 带 电
球体 球面 (点电荷)
大学物理精第五章真空中的静电场ppt课件
三、高斯定理
1.表述：在真空中的任何静电场中,通过任一闭 合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面内所包 围电荷的代数和除以ε0。
ppt精选版
39
S
• Q
2.数学表达式：
Φ e E d S E c o sd S
n Q i
i 1 0
其中：E为高斯面内、外场源电荷的电场矢量和。
*高斯面为封闭曲面；
q1
Fi
1
4π 0
qiq0 ri3
ri
q2
q3
由力的叠加原理得 q 所0 受合力
F Fi
i
故 q 处0 E总F电 场强Fi度
q0
q i 0
i
Ei
ppt精选版
r1 r2
r3
q0
F3 F2 F1
17
1.电场强度的叠加原理：
点电荷系在某点产生的场强，等于各点电荷单 独存在时在该点分别产生的场强的矢量和。
过球面的电通量
Φe
Q 0
• Q
由图可知从曲面一侧穿入的
电场线必定从另一侧穿出，所
以通过曲面的电通量为0
ppt精选版
38
*如点电荷为负，则通过闭合曲面的电通量为负。
*点电荷发出的通过闭合球面的电通量与球面半径 无关，任意形状的闭合曲面也如此。
*如果闭合曲面没有包含点电荷则进入曲面和穿 出曲面的电场线相同，总电通量为零。
解：选择如图所示的高斯面（电场球对称）
E Φe E cosdS
r
EdSE4r2
R
由高斯定理
Φe
Q 0
E 4 r2 Q 0
1Q
pEpt精选版40 r2
43
例题10 两同心均匀带电球壳，内球球壳半径R1 、 带电量+Q，外球球壳半径R2 、带电量-Q ，不计 球壳厚度，试求电场强度的空间分布。
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p
e
例三、求无限长均匀带电直线的场强分布。 设线电荷密度为 e 该电场分布具有轴对称性。 距离导线 r 处一点 p 点的场强方向 一定垂直于带电直导线沿径向，并 且和 p点在同一圆柱面（以带电直 导线为轴）上的各点场强大小也都 相等，都沿径向。
S
l
O
r
E
p
e
以带电直导线为轴，作一个通过p点， 高为 l 的圆筒形封闭面为高斯面 S， 通过S面的电通量为圆柱侧面和上下 底面三部分的通量。
3. 均匀带电无限大平面的电场
4. 均匀带电球体的电场 5. 均匀带电球体空腔部分的电场
高斯定理的应用
例1 均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
2 E dS E 4r
S
q
0
E
40 r
4 3 a.rR时，高斯面内电荷 q d V 3 r
q E 2 4 0 r
S
2 E d S E 4 r
q
0
r
R
4 3 b.rR时，高斯面内电荷 q R 3
E r 3 0 3 R 1 E 3 0 r 2
q
2
rR时，高斯面无电荷，
+ + + +
+
+ +
R
+
r
+
E 0
+
+ + + +
q
+ +
高斯定理的应用
rR时，高斯面包围电荷q，
E
q 40 r
2
均匀带电球面的电场分布
q 40 R 2
E
Er 关系曲线
+ R + + + + +
+
+ +
+
q
r
R
2
+ +
+ + + +
r
0
r
高斯定理的应用
e 0 高斯定理可看出：当闭合曲面内电荷为正时， e 0 当闭合曲面内电荷为负时， 表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。 注意： 虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是面上电场 却与面内、面外电荷都有关。
0
q
S内
i
点电荷系
高斯定理的应用
3. 高斯定理的应用
当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律,选 取适当的闭合曲面（高斯面），使面积分 SE dS 中的 E 能以标量形式提出来，即可求出场强 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场
q
l
E 0
高斯定理的应用
（2）当r>R 时，
q l
E 20 r
均匀带电圆柱面的电场分布
r l
1
20 R
E
Er 关系曲线
r
R
0
r
高斯定理的应用
例3 均匀带电无限大平面的电场. 解： 电场分布也应有面对称性， 方向沿法向。
E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
面对称性
（2）选择适当的高斯面
①高斯面必须通过所求的场强的点。 ②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该面元线平行；或者使一部分 高斯面的法线与场强方向垂直；或者使一部分场强为零。 球对称：同心球面 轴对称：同轴柱面 面对称：与平面垂直的圆柱面
③高斯面应取规则形状
（3）算出通过整个闭合曲面的电通量以及该闭合曲面所包围的电量的代数 和，应用高斯定理列出方程求解。 （4）对某些复杂的电荷分布，要注意到带电体的各个部分，若具有某种高 度对称性，可分别使用高斯定理，然后再用场强叠加原理求总场强分布。
由电场叠加原理
k E Ei Ei
i
i 1
i k 1
E E
i i 1
n
n
i
高斯定理
2. 高斯定理
2.1 当点电荷在球心时 2.2 任一闭合曲面S包围该电荷
2.3 闭合曲面S不包围该电荷
q e E dS S 0 q e E dS S 0 e E dS 0
小结
§2 静电场的高斯定律 1、 电通量、高斯定律 2 、 利用高斯定律求静电场的分布 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场
3. 均匀带电无限大平面的电场
4. 均匀带电球体的电场
练习题： 5-9，13，15
课堂习题1、求无限长均匀带电直线的场强分布。
设线电荷密度为 e
S
l
O
r
E
q r dS d e E dS 2 4 0 r r q cosdS 2 4 0 r q dS 2 4 0 r S
E
dS
q
+
r
高斯定理
2. 高斯定理
2.2 任一闭合曲面S包围该电荷
dS dS cos
是dS在垂直于电场方向的投影。 dS对电荷所在点的立体角为
E
Ψ e E dS 0
S
+
高斯定理
2. 高斯定理
2.4 闭合曲面S包围多个电荷q1-qk，同时面外也有多个 电荷qk+1-qn
qi n k e E dS Ei dS Ei dS S内 i 1 S i k 1 S 0 S
1 q e E dS r dS 3 高斯 S S 4 0 r dS q dS 2 4 0 r S E q 2 4 r q 2 40 r + r
q 0
高斯定理
2. 高斯定理
2.2 任一闭合曲面S包围该电荷 在闭合曲面上任取一面积元 dS，通过面元的电场强度通量
e l
e
0 e E 2 0 r
e side
face
1 E dS E side dS E 2rl e l
face
其方向沿求场点到直导线的垂线 方向。正负由电荷的符号决定。
高斯定理的应用
均匀带电球体的电场分布
E
E
R 3 0
r 3 0 3 R 1 2 3 0 r
rR
R
rR
Er 关系曲线
r
O R
2
r
总结：用高斯定理求场强步骤
（1）对称性分析 分析场强分布，判断能否用高斯定理求场强
点电荷 球对称性 均匀带电球面 均匀带电球壳 球体 电荷分布对称性 →场强分布对称性 无限带电直线 轴对称性 无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面 无限大平面 无限大平板 若干无限大平面
sE dS 两底 E dS 2 ES 圆柱形高斯面内电荷 q S
由高斯定理得
S
E
E
2 ES S / 0
E 2 0
σ
高斯定理的应用
例4 均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密度为 解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
e E dS side E dS
S
E dS E dS
top bottom
face
S
因上、下底面的场强方向与面平行， 其电通量为零。即式中后两项为零。 此闭合面包含的电荷总量
inside
l
O
r
E
p
q
i
§5-3
高斯定理
1. 电场强度通量 2. 静电场的高斯定理 3. 高斯定理的应用
1. 电场强度通量
电场中穿过与电场线垂直的平面S的电场线总数，称 为通过该平面的电场强度通量。 n ds
e ES
将曲面分割为无限多个面 元，称为面积元矢量
dS dSn
则电场穿过该面元的电通量为 dΨ e E dS 电场穿过某曲面的电通量为
e E d S
S
电场强度通量
n
• 不闭合曲面： 面元的法向单位矢量可 有两种相反取向，电通量可 正也可负； • 闭合曲面： 规定面元的法向单 位矢量取向外为正。 电场线穿出，电通量为 正，反之则为负。
n n n
高斯定理
2. 高斯定理
2.1 当点电荷在球心时
S
2.4 闭合曲面S包围多个电荷q1-qk，同时面外也有多个 电荷qk+1-qn qi
e E dS
S
S内
0
高斯定理
高斯定理: 在真空中，静电场通过任意闭合曲面的 电通量，等于面内所包围电荷的代数和除以真空介 电常数。
1 e E dS
S
1 e E dS V d V 均匀分布带电体 0 S
例2 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿轴 线方向单位长度带电量为。 解： 电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, 高为l,半径为r
sE dS 侧面 E dS E 2 rl
由高斯定理知 E
r
20lr （1）当r<R 时， q 0
d
dS E
dS d 2 r q d e d 4 0
S
+
高斯定理
2. 高斯定理
2.2 任一闭合曲面S包围该电荷
d e
q 4 0
e
例三、求无限长均匀带电直线的场强分布。 设线电荷密度为 e 该电场分布具有轴对称性。 距离导线 r 处一点 p 点的场强方向 一定垂直于带电直导线沿径向，并 且和 p点在同一圆柱面（以带电直 导线为轴）上的各点场强大小也都 相等，都沿径向。
S
l
O
r
E
p
e
以带电直导线为轴，作一个通过p点， 高为 l 的圆筒形封闭面为高斯面 S， 通过S面的电通量为圆柱侧面和上下 底面三部分的通量。
3. 均匀带电无限大平面的电场
4. 均匀带电球体的电场 5. 均匀带电球体空腔部分的电场
高斯定理的应用
例1 均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
2 E dS E 4r
S
q
0
E
40 r
4 3 a.rR时，高斯面内电荷 q d V 3 r
q E 2 4 0 r
S
2 E d S E 4 r
q
0
r
R
4 3 b.rR时，高斯面内电荷 q R 3
E r 3 0 3 R 1 E 3 0 r 2
q
2
rR时，高斯面无电荷，
+ + + +
+
+ +
R
+
r
+
E 0
+
+ + + +
q
+ +
高斯定理的应用
rR时，高斯面包围电荷q，
E
q 40 r
2
均匀带电球面的电场分布
q 40 R 2
E
Er 关系曲线
+ R + + + + +
+
+ +
+
q
r
R
2
+ +
+ + + +
r
0
r
高斯定理的应用
e 0 高斯定理可看出：当闭合曲面内电荷为正时， e 0 当闭合曲面内电荷为负时， 表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。 注意： 虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是面上电场 却与面内、面外电荷都有关。
0
q
S内
i
点电荷系
高斯定理的应用
3. 高斯定理的应用
当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律,选 取适当的闭合曲面（高斯面），使面积分 SE dS 中的 E 能以标量形式提出来，即可求出场强 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场
q
l
E 0
高斯定理的应用
（2）当r>R 时，
q l
E 20 r
均匀带电圆柱面的电场分布
r l
1
20 R
E
Er 关系曲线
r
R
0
r
高斯定理的应用
例3 均匀带电无限大平面的电场. 解： 电场分布也应有面对称性， 方向沿法向。
E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
面对称性
（2）选择适当的高斯面
①高斯面必须通过所求的场强的点。 ②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该面元线平行；或者使一部分 高斯面的法线与场强方向垂直；或者使一部分场强为零。 球对称：同心球面 轴对称：同轴柱面 面对称：与平面垂直的圆柱面
③高斯面应取规则形状
（3）算出通过整个闭合曲面的电通量以及该闭合曲面所包围的电量的代数 和，应用高斯定理列出方程求解。 （4）对某些复杂的电荷分布，要注意到带电体的各个部分，若具有某种高 度对称性，可分别使用高斯定理，然后再用场强叠加原理求总场强分布。
由电场叠加原理
k E Ei Ei
i
i 1
i k 1
E E
i i 1
n
n
i
高斯定理
2. 高斯定理
2.1 当点电荷在球心时 2.2 任一闭合曲面S包围该电荷
2.3 闭合曲面S不包围该电荷
q e E dS S 0 q e E dS S 0 e E dS 0
小结
§2 静电场的高斯定律 1、 电通量、高斯定律 2 、 利用高斯定律求静电场的分布 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场
3. 均匀带电无限大平面的电场
4. 均匀带电球体的电场
练习题： 5-9，13，15
课堂习题1、求无限长均匀带电直线的场强分布。
设线电荷密度为 e
S
l
O
r
E
q r dS d e E dS 2 4 0 r r q cosdS 2 4 0 r q dS 2 4 0 r S
E
dS
q
+
r
高斯定理
2. 高斯定理
2.2 任一闭合曲面S包围该电荷
dS dS cos
是dS在垂直于电场方向的投影。 dS对电荷所在点的立体角为
E
Ψ e E dS 0
S
+
高斯定理
2. 高斯定理
2.4 闭合曲面S包围多个电荷q1-qk，同时面外也有多个 电荷qk+1-qn
qi n k e E dS Ei dS Ei dS S内 i 1 S i k 1 S 0 S
1 q e E dS r dS 3 高斯 S S 4 0 r dS q dS 2 4 0 r S E q 2 4 r q 2 40 r + r
q 0
高斯定理
2. 高斯定理
2.2 任一闭合曲面S包围该电荷 在闭合曲面上任取一面积元 dS，通过面元的电场强度通量
e l
e
0 e E 2 0 r
e side
face
1 E dS E side dS E 2rl e l
face
其方向沿求场点到直导线的垂线 方向。正负由电荷的符号决定。
高斯定理的应用
均匀带电球体的电场分布
E
E
R 3 0
r 3 0 3 R 1 2 3 0 r
rR
R
rR
Er 关系曲线
r
O R
2
r
总结：用高斯定理求场强步骤
（1）对称性分析 分析场强分布，判断能否用高斯定理求场强
点电荷 球对称性 均匀带电球面 均匀带电球壳 球体 电荷分布对称性 →场强分布对称性 无限带电直线 轴对称性 无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面 无限大平面 无限大平板 若干无限大平面
sE dS 两底 E dS 2 ES 圆柱形高斯面内电荷 q S
由高斯定理得
S
E
E
2 ES S / 0
E 2 0
σ
高斯定理的应用
例4 均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密度为 解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
e E dS side E dS
S
E dS E dS
top bottom
face
S
因上、下底面的场强方向与面平行， 其电通量为零。即式中后两项为零。 此闭合面包含的电荷总量
inside
l
O
r
E
p
q
i
§5-3
高斯定理
1. 电场强度通量 2. 静电场的高斯定理 3. 高斯定理的应用
1. 电场强度通量
电场中穿过与电场线垂直的平面S的电场线总数，称 为通过该平面的电场强度通量。 n ds
e ES
将曲面分割为无限多个面 元，称为面积元矢量
dS dSn
则电场穿过该面元的电通量为 dΨ e E dS 电场穿过某曲面的电通量为
e E d S
S
电场强度通量
n
• 不闭合曲面： 面元的法向单位矢量可 有两种相反取向，电通量可 正也可负； • 闭合曲面： 规定面元的法向单 位矢量取向外为正。 电场线穿出，电通量为 正，反之则为负。
n n n
高斯定理
2. 高斯定理
2.1 当点电荷在球心时
S
2.4 闭合曲面S包围多个电荷q1-qk，同时面外也有多个 电荷qk+1-qn qi
e E dS
S
S内
0
高斯定理
高斯定理: 在真空中，静电场通过任意闭合曲面的 电通量，等于面内所包围电荷的代数和除以真空介 电常数。
1 e E dS
S
1 e E dS V d V 均匀分布带电体 0 S
例2 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿轴 线方向单位长度带电量为。 解： 电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, 高为l,半径为r
sE dS 侧面 E dS E 2 rl
由高斯定理知 E
r
20lr （1）当r<R 时， q 0
d
dS E
dS d 2 r q d e d 4 0
S
+
高斯定理
2. 高斯定理
2.2 任一闭合曲面S包围该电荷
d e
q 4 0