江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考试卷(数学)

江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ，则=B A▲ ．2．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m = ▲ ． 3．若命题“R x ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围 ▲ ．4．某算法的程序框图如图，若输入4,2,6a b c ===，则输出的结果为 ▲ ．5．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为 ▲ ．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A cB b+=，则角A 的大小为 ▲ ．7．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )⋅(a +3b )=33，则a 与b的夹角为 ▲ ．8．已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．9．已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2—7n, 且满足16＜a k +a k +1＜22, 则正整数k = ▲ ．10．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，四面体11D ACB的体积为 ▲ ． 11．曲线13++=ax x y 的一条切线方程为12+=x y ，则实数a = ▲ ．12．已知函数22log (1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩ 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．13．当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 14．已知ABC ∆三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果m b =)(*N m ∈，则符合条件的三角形共有 ▲ 个（结果用m 表示）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分) 设函数()f x =·a b ，其中向量(,cos 2)m x =a ，(1sin 2,1)x =+b ，x R ∈，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 的最小正周期；（3）求()f x 在[0，2π]上的单调增区间． 16．(本小题满分14分) 如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，正方形（2012/4/23）ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是,AE DF 的交点.（1）求证：//GH 平面CDE ；（2）求证：BD ⊥平面CDE ．17．（本小题满分14分）如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上。

（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积．18．(本小题满分16分) 已知圆C ：034222=+-++y x y x ； （1）若圆C 的切线在x 轴，y 轴上的截距相等，求此切线方程；（2）从圆C 外一点),(11y x P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P 点的坐标．19．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项135a =，13,1,2,21n n n a a n a +==+ ． （1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2) 记12111n n S a a a =++ ，若100n S <，求最大正整数n ．（3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列且1,1,1m s n a a a ---成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分) 已知二次函数)(x g 对任意实数x 都满足)1()(x g x g -=，)(x g 的最小值为89-且1)1(-=g ．令89ln )21()(+++=x m x g x f （0,>∈x R m ）． （1）求)(x g 的表达式；（2）若0>∃x 使0)(≤x f 成立，求实数m 的取值范围； （3）设e m ≤<1，x m x f x H )1()()(+-=，证明：对∀1x 、],1[2m x ∈，恒有1|)()(|21<-x H x H ．江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ，则=B A（2,3） ．2．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m = －1 ． 3．若命题“R x ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围(1,3)- ．4．某算法的程序框图如图，若输入4,2,6a b c ===，则输出的结果为6 ．5．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为23． 6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A cB b+=，则角A 的大小为3π． 7．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )⋅(a +3b )=33，则a 与b的夹角为 120︒ ．8．已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为12+ ．9．已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2—7n, 且满足16＜a k +a k +1＜22, 则正整数k = 8 ． 10．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，四面体11D ACB的体积为 31． 11．曲线13++=ax x y 的一条切线方程为12+=x y ，则实数a = 2 ．12．已知函数22log (1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩ 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m的取值范围是 (0,1) ．13．当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值为 1322a -≤≤ ．14．已知ABC ∆三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果m b =)(*N m ∈，则符合条件的三角形共有 2)1(+m m 个（结果用m 表示）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分) 设函数()f x =·a b ，其中向量(,cos 2)m x =a ，(1sin 2,1)x =+b ，x R ∈，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 的最小正周期；（3）求()f x 在[0，2π]上的单调增区间． 解：（1）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x =⋅=++， ………………3分∵图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =． ………………5分 （2）当1m =时，π()1sin 2cos 22sin 214f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ………………7分∴22T ππ== ………………9分 （3）]2,0[π∈x ,],0[2π∈x ,∴]45,4[42πππ∈+x ………………11分 由2424πππ≤+≤x ,得80π≤≤x ………………13分∴()f x 在[0，2π]上的单调增区间为]8,0[π. ………………14分16．(本小题满分14分) 如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是,AE DF 的交点.（1）求证：//GH 平面CDE ； （2）求证：BD ⊥平面CDE ．证明：⑴G 是,AE DF 的交点，∴G 是AE 中点，又H 是BE 的中点， ∴EAB ∆中，AB GH //， ------------------------3分 CD AB //，∴//GH CD ，又∵,CD CDE GH CDE ⊂⊄平面平面∴//GH 平面CDE -----------------------7分⑵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ， ∵AD ED ⊥，ED ADEF ⊂平面∴ED ⊥平面ABCD ， --------------------10分 ∴BD ED ⊥，又∵CD BD ⊥，CD ED D ⋂=∴CDE BD 平面⊥ ----------------------14分17．（本小题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。

（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积．18．(本小题满分16分) 已知圆C ：034222=+-++y x y x ； （1）若圆C 的切线在x 轴，y 轴上的截距相等，求此切线方程；（2）若圆Q 与圆C 关于直线03=--y x 对称，求圆Q 的方程；（3）从圆C 外一点),(11y x P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P 点的坐标．解：（1）∵切线在x 轴，y 轴上的截距相等， ∴第一种情况：切线的斜率是±1． ----------------------1分分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x ＋y －3=0, x ＋y ＋1=0, ----------------------2分∴第二种情况：切线经过原点（0,0）． ----------------------3分 设此时切线斜率为k ，直线为kx-y=0，用点到直线的距离公式可求得62±=k ，解得切线方程0)62(=-±y x ----------------------5分 综上，此圆截距相等的切线方程为x ＋y －3=0, x ＋y ＋1=0, 0)62(=-±y x . ------------6分(2) 将圆的方程化成标准式（x ＋1)2＋(y －2)2=2，圆心C （－1，2），半径r= 2 ， 圆心C （－1，2）关于直线03=--y x 的对称点Q （5，－4），圆Q 半径r= 2 -----9分 所以圆Q 得方程为（x －5)2＋(y+4)2=2 --------10分 (3) ∵切线PM 与CM 垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x 1－4y 1＋3=0． ----------------------12分|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P 点到直线2x 1－4y 1＋3=0的距离，即3510．----13分 从而解方程组2211119202430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩， ----------------------15分得满足条件的点P 坐标为（－310 ，35 ）． ----------------------16分19．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项135a =，13,1,2,21n n n a a n a +==+ ． （1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2) 记12111n n S a a a =++ ，若100n S <，求最大正整数n ．（3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列且1,1,1m s n a a a ---成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．（3）假设存在，则22,(1)(1)(1)m n s m n s a a a +=-⋅-=-， ……………………10分∵332n n n a =+，∴2333(1)(1)(1)323232n m snm s -⋅-=-+++．…………………12分 化简得：3323mns+=⋅， ……………………………13分 ∵332323m n m n s ++≥⋅=⋅，当且仅当m n =时等号成立．……………………15分 又,,m n s 互不相等，∴不存在． ……………………16分（Ⅱ）x m x x m x g x f ln 2189ln )21()(2+=+++=（0,>∈x R m ） ①当0>m 时，由对数函数性质，)(x f 的值域为R ；②当0=m 时，2)(2x x f =，对0>∀x ，0)(>x f 恒成立；③当0<m 时，由0)('=+=xmx x f 得m x -=， …………………7分 列表：x),0(m -m -),(+∞-m )('x f — 0 + )(x f减极小增这时，m m mm f x f -+-=-=ln 2)()]([min ． 00,0ln 20)]([min<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<>-+-⇔>m e m m m mx f ．综合①②③若0>∀x ，0)(>x f 恒成立，则实数m 的取值范围为]0,(e -．故存在0>x 使0)(≤x f 成立，实数m 的取值范围为),0(],(+∞⋃--∞e ． ………10分 （Ⅲ）证明：因为对],1[m x ∈∀，0))(1()('≤--=xm x x x H ，所以)(x H 在],1[m 内单调递减．于是21ln 21)()1(|)()(|221--=-≤-m m m m H H x H x H ， 023ln 21121ln 211|)()(|221<--⇔<--⇔<-mm m m m m x H x H ． ………13分记m m m m h 23ln 21)(--=（e m ≤<1），则031)311(2323121)('22>+-=+-=m m m m h ， 所以函数m m m m h 23ln 21)(--=在],1(e 上是单调增函数，所以02)1)(3(2312)()(<+-=--=≤ee e e e e h m h ，故命题成立． …………16分。