2017学年甘肃省张掖市肃南一中高一下学期期末数学试卷及参考答案

2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|x+2y﹣4=0}，集合B={（x，y）|x=0}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{（0，2）}C．（0，2） D．∅2．（5分）cos（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）与直线l：3x﹣4y+5=0平行且过点（﹣1，2）的直线方程为（）A．4x﹣3y+10=0B．4x﹣3y﹣11=0 C．3x﹣4y﹣11=0 D．3x﹣4y+11=0 4．（5分）已知向量=（2，4）与向量=（﹣4，y）垂直，则y=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣6．（5分）下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx|7．（5分）已知tanα=2，则的值是（）A．B．3 C．﹣ D．﹣38．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（﹣）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x+）9．（5分）已知sin（α﹣）=，则cos（）=（）A．﹣ B．C．﹣D．10．（5分）已知△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC的值等于（）A．或B．C．D．或11．（5分）设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，0）∪（0，+∞）B．（﹣，+∞）C．[﹣，0）∪（0，+∞）D．（﹣，0）12．（5分）定义一种运算a⊗b=，令f（x）=（cos2x+sinx）⊗，且x ∈[﹣]，则函数f（x﹣）的最大值是（）A．B．C．D．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知角α的始边与x轴正半轴重合，终边在射线3x﹣4y=0（x＜0）上，则sinα﹣cosα=．14．（5分）已知，则的值是．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=1，B=，当△ABC的面积等于时，tanC=．16．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=2，则•（+）=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=2sin（2x+）+1．（1）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时x的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．18．（12分）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（θ）=，θ∈（，），求sin2θ的值．19．（12分）已知A（﹣1，2），B（2，8）．（1）若=，=﹣，求的坐标；（2）设G（0，5），若⊥，∥，求E点坐标．20．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）求f （x）在[0，]上的最大值和最小值．21．（12分）已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），设函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．22．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当x∈（﹣，）时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．2016-2017学年甘肃省张掖市肃南一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|x+2y﹣4=0}，集合B={（x，y）|x=0}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{（0，2）}C．（0，2） D．∅【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={（x，y）|x+2y﹣4=0}，集合B={（x，y）|x=0}，∴A∩B═{（x，y）|}={（x，y）|}={（0，2）}，故选：B．2．（5分）cos（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】原式利用余弦函数为偶函数变形，利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：cos（﹣）=cos=．故选：A．3．（5分）与直线l：3x﹣4y+5=0平行且过点（﹣1，2）的直线方程为（）A．4x﹣3y+10=0B．4x﹣3y﹣11=0 C．3x﹣4y﹣11=0 D．3x﹣4y+11=0【分析】求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．【解答】解：与直线l：3x﹣4y+5=0平行的直线的斜率为：．与直线l：3x﹣4y+5=0平行且过点（﹣1，2）的直线方程为：y﹣2=（x+1）．即：3x﹣4y+11=0．故选：D．4．（5分）已知向量=（2，4）与向量=（﹣4，y）垂直，则y=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根据两个向量垂直可得•=0，再利用向量的坐标表示出两个向量的数量积，进而得到关于y的方程并且求出y的数值．【解答】解：因为平面向量=（2，4）与向量=（﹣4，y）垂直，所以•=0，即2×（﹣4）+4×y=0，解得：y=2．故选：D．5．（5分）已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出tanα的值．【解答】解：∵向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，∴3cosα﹣4sinα=0，∴=；即tanα=．故选：A．6．（5分）下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx|【分析】根据函数单调性，周期性和奇偶性分别进行判断即可得到结论．【解答】解：A．函数y=tanx为奇函数，不满足条件．B．函数y=|sinx|满足既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数．C．y=cosx的周期为2π，不满足条件．D．y=|cosx|在（0，）上是减函数，不满足条件．故选：B．7．（5分）已知tanα=2，则的值是（）A．B．3 C．﹣ D．﹣3【分析】利用三角函数的基本关系式将1写成α的正弦、余弦平方和的形式，然后利用商数关系化为tanα的代数式，代入求值．【解答】解：原式===；故选：B．8．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（﹣）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x+）【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由函数的最小值为﹣2可得A=2，再根据==﹣（﹣）=，求得ω=2，再根据五点法作图可得2×（﹣）+φ=，求得φ=，故函数的解析式为y=2sin（2x+），故选：D．9．（5分）已知sin（α﹣）=，则cos（）=（）A．﹣ B．C．﹣D．【分析】运用﹣α、﹣α的诱导公式，计算即可得到．【解答】解：sin（α﹣）=，即为sin（﹣α）=﹣，即有sin[﹣（+α）]=﹣，即cos（）=﹣．故选：A．10．（5分）已知△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC的值等于（）A．或B．C．D．或【分析】由cosB的值及B为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinB大于sinA，得到A为锐角，由sinA的值求出cosA的值，将cosC 变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：在△ABC中，sinA=，cosB=，∴sinB==＞=sinA，∴A为锐角，∴cosA==，则cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=．故选：B．11．（5分）设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，0）∪（0，+∞）B．（﹣，+∞）C．[﹣，0）∪（0，+∞）D．（﹣，0）【分析】若设θ为与的夹角，θ为锐角⇒cosθ＞0，且cosθ≠1，根据条件及两向量夹角的余弦公式即可求得λ的取值范围，并且在求时，先求它的平方．【解答】解：=（1，2）•（1+λ，2+λ）=3λ+5，=5+6λ+2λ2，；∴设与的夹角为θ且θ为锐角，则：cosθ==＞0，且∴解得：λ，且λ≠0．∴实数λ的取值范围是．故选：A．12．（5分）定义一种运算a⊗b=，令f（x）=（cos2x+sinx）⊗，且x ∈[﹣]，则函数f（x﹣）的最大值是（）A．B．C．D．1【分析】由题意求得f（x）=1﹣sin2x+sinx，可得f（x﹣）=﹣．由x∈[﹣]，可得cosx∈[0，1]，利用二次函数的性质求得函数f（x﹣）取得最大值．【解答】解：由于cos2x+sinx=﹣＜，∴f（x）=（cos2x+sinx）⊗=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx，∴函数f（x﹣）=1﹣sin2（x﹣）+sin（x﹣）=1﹣cos2x﹣cosx=﹣．由x∈[﹣]，∴cosx∈[0，1]，故当cosx=0时，函数f（x﹣）取得最大值为1，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知角α的始边与x轴正半轴重合，终边在射线3x﹣4y=0（x＜0）上，则sinα﹣cosα=．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的始边在射线3x﹣4y=0（x＜0）上，∴在射线上取点P（﹣4，﹣3），则r=|OP|==5，则sinα﹣cosα==+=，故答案为：14．（5分）已知，则的值是．【分析】通过，利用两角和的正切函数，求出tanα，然后对表达式的分子、分母同除cosα，然后代入即可求出表达式的值．【解答】解：可得tanα=，因为===；故答案为：．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=1，B=，当△ABC的面积等于时，tanC=﹣2．【分析】由可求c=4，由余弦定理可求b=，从而可求cosC，sinC，进而可得tanC．【解答】解：，即=，∴c=4，由余弦定理，得=1+16﹣4=13，∴b=，==﹣，sinC===，∴tanC==﹣2，故答案为：﹣2．16．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=2，则•（+）=﹣．【分析】由题设条件+=2=，故可得•（+）=﹣2，由于线段PA 长度可以求出，故可解出•（+）的值．【解答】解：M是BC的中点，=2，AM=1=．故应填﹣．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=2sin（2x+）+1．（1）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时x的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【分析】（1）直接利用整体思想求出正弦型函数的最值．（2）利用整体思想求出函数的单调递增区间．【解答】解：（1）当，即时，f max（x）=3；（2）令：（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数f（x）的递增区间是（k∈Z）．18．（12分）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（θ）=，θ∈（，），求sin2θ的值．【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用整体思想，求得单调递增区间．（2）根据（1）的关系式，进一步利用定义域求出函数的值，在求值的过程中注意使用角的恒等变换．【解答】解：（1）f（x）=cos2x﹣sinxcosx+1．=令：（k∈Z），得综上所述，函数f（x）的单调递增区间是：．（2）∵，∴，，∵，∴，∴．19．（12分）已知A（﹣1，2），B（2，8）．（1）若=，=﹣，求的坐标；（2）设G（0，5），若⊥，∥，求E点坐标．【分析】（1）求出的坐标，根据=得出的坐标；（2）设E（x，y），根据⊥，∥列方程求出E的坐标．【解答】解：（1）∵，∴，，∴．（2）设E（x，y），则，，∵，，，∴，解得∴E点坐标为．20．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）求f （x）在[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）利用向量数量积的运算，求解f（x），将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．（Ⅱ）x在[0，]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，【解答】解：（Ⅰ）由题意：函数f（x）==sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x）．最小正周期T=．所以函数f（x）最小正周期为：π．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（2x）．x在[0，]上时，则（2x）∈[，]，根据正弦函数的图象和性质可知：当（2x）=时，函数f（x）取得最小值为：；当（2x）=时，函数f（x）取得最大值为：1．所以，f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，．21．（12分）已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），设函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．【分析】（1）由向量运算和三角函数公式可得f（x）=（+）•=sin（2x+）+2，可得周期；（2）易得A=，由余弦定理可得b值，可得面积．【解答】解：（1）由题意可得f（x）=（+）•==cos2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=cos2x+sin2x+2=sin（2x+）+2，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）由（1）知f（x）=sin（2x+）+2，又f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，A为锐角，可得A=，由余弦定理可得12=b2+3﹣2b××，解得b=1或b=2当b=1时，三角形ABC的面积S=bcsinA=，当b=2时，三角形ABC的面积S=bcsinA=．22．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当x∈（﹣，）时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．【分析】（1）f（x）=2sin（ωx+φ﹣），利用函数是奇函数，0＜φ＜π，且相邻两对称轴间的距离为，即可求出当x∈（﹣，）时，f（x）的单调递减区间；（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=g（x），即可求出当x ∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2﹣1=sin（ωx+φ）﹣cos （ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）∵函数是奇函数，0＜φ＜π∴φ=，∴f（x）=2sinωx，∵相邻两对称轴间的距离为，∴=π，∴ω=2，∴f（x）=2sin2x，∵x∈（﹣，），∴2x∈（﹣π，），∴f（x）的单调递减区间为（﹣，﹣）；（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，可得函数y=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）的图象；再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）=2sin（4x﹣）的图象．当x∈[﹣，]时，4x﹣∈[﹣π，]，﹣1≤sin（4x﹣）≤∴函数g（x）的值域为[﹣2，]．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。