(3x+1)问题初探
3x3矩阵跟3x1矩阵乘法例题
3x3矩阵跟3x1矩阵乘法例题矩阵乘法是数学中常用的一种运算，它是把两个矩阵的元素做乘法的积，按照一定的规律合并，最终形成一个新的矩阵，这就是矩阵乘法。
本文将通过一个例题来描述3X3矩阵和3X1矩阵的乘法，以加深大家对矩阵乘法运算的理解。
3X3矩阵跟3X1矩阵乘法我们以如下矩阵为例：A=│7t9t6│3t2t1│6t5t7│B=│9│2│8│首先我们要确保两个矩阵相乘的条件，要求A的列数和B的行数相等，也就是3X3矩阵的列数等于3X1矩阵的行数，这一点在这里都满足，所以可以完成矩阵乘法的运算。
实际运算有了上面的矩阵后，接下来就可以开始进入实际的矩阵乘法运算，它就是把矩阵里面的元素按照一定的规律做相应的乘法，然后把结果相加，最后形成一个新的矩阵。
A*B=│159│37│170│要进行矩阵的乘法，可以按照如下的公式：(A*B)ij=(A)ik*(B)kj上面的公式有三个变量，其中i是A的行号，j是B的列号，而k是共同的行列号，因此每次乘法的结果都只有一个，它的计算公式就是把行号和列号相等的元素相乘，再把结果相加，最后得出结果。
以上面的两个矩阵为例，它们相乘得到的新矩阵应该是：A*B=│159│37│170│上面的计算公式说明，新矩阵里面的每一个元素都是原始矩阵里面行号和列号相等的元素乘积，再把这些乘积按照规律进行合并，最终得到新的矩阵。
以上就是3X3矩阵和3X1矩阵的乘法运算的具体过程，结合实际的例子可以加深大家的理解。
矩阵乘法的应用矩阵乘法是一种常用的运算，它在计算机科学和数学中都有大量的应用，特别是在矩阵告诉编码、图像处理和计算机视觉领域都有大量的应用。
矩阵乘法也是在很多领域里面常用的一种运算，特别是在线性代数和概率论中，用它来进行数据分析，预测未来趋势，预测各种参数等，都有很大的帮助。
结论本文通过一个实际的例子描述了3X3矩阵和3X1矩阵的乘法运算，介绍了它的实际操作过程，以及它在线性代数、概率论等各个领域的应用。
一个著名的数学问题——3x+l问题
千丈 ” 很 快 地 跌 落 到 １ 例 如 ： 一 ６ ５ ６ 则 ， ． Ｎ ５３ ，
有：
６ ５３ ５ ６— ３２ ６ ７ ８— １ ３ ６ ８４— ８１ ２— ４Ｏ ６— ９ ９ ２ ８ １ ２ ０４ — Ｏ ４— ５ ２— ２ ６— １ — ６ — ３ １ ５ ２８ ４ ２— １ — ６
这一 结 果 如 此 奇 异 ， 令 人 难 以置 信 的． 是
曾经有 人 拿 各 种 各 样 的 数 字 来 试 ， 迄 今 为 但
止， 总是 发现它 们最 后都 无一 例 外地 进 入“ — １
４ ２ １这个 死循 环． — — ”
任意 给 一个 自然 数 』 ， 果 它 是偶 数 ， ＼如 ， 就 将 它 除 以 ２ 即将 它 变成 ； ， 如果 它 是 奇 数 ， 就 将 它乘 以 ３后再 加上 １ 即变 成 ３ ， Ｎ＋ ｌ ；
“ 冰雹 猜 想 ” 有 这 样 的 意 思 ， 算 来 算 就 它 去 ， 字上 上下 下 ， 后 一下 子像 冰雹 似 地 掉 数 最
下来 ， 变成 一个数 字 ：１ 。 “ ” 这 个数 学猜想 的通 俗说 法是 这样 的 ：
它 的变化 并无规 律 ， 真是变 化无 穷 、 奇莫测 ． 神
乎能轻 而 易 举 地 挫 去你 智 慧 的锋 芒 。这 就 是 尚未解 决 的数学 难 题 之一— — ３ ＋１问题 （ ｚ 也 称角 谷猜想 、 克拉 茨 问题 、 拉古 问题 ） 叙 。
“ 角谷 猜 想 ” 又称 “ 雹 猜 想 ” 冰 。它 首 先 流
有一 点 更 值 得 注 意 ， 如 Ｎ 是 ２的 正 整 假 数方 幂 ， 则不论 这个 数字 多 么庞 大 ， 它将 “Байду номын сангаас落 一
下一个费马猜想_3x_1问题
f ( P)
= PA·BC +
PD·CA +
PC·AB .
(1) 求证 :
当 f ( P) 达到
最小值时 , P、
A 、B 、C 四 点
共圆 ;
(2) 设 E
图1
是 △ABC 外
接圆 ⊙O 的AB上一点 ,满足
AE AB
=
3 2
,
BC EC
=
3- 1,
∠ECB
=
1 2
∠ECA ,
又 DA 、DC 是 ⊙O 的切线 , AC = 2 ,求 f ( P) 的最小值.
2 3
n
, 若
n
≡0 (mod
3)
;
g ( n) =
4 3
n
-
1 3
, 若 n ≡1 (mod 3) ;
4 3
n+
1 3
, 若
n ≡2 (mod 3) .
14
它实际上相当于给出了自然数的一个置
换 P: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
P = 1 3 2 5 7 4 9 11 6 … . 同时 ,卡拉兹又提出了确定 P 的圈结构 问题. 且问道 : 置换含有 8 的圈是否是有限的 ? 换言 之 ,迭代 g ( k) (8) 能否保持有界 ? 1950 年 ,他在美国坎布里奇 ( Cambridge) 市召 开 的 国 际 数 学 家 大 会 上 公 布 了 他 的
在此还想指出一点 :上述运算的步骤 (或 路径) 数与运算过程中的峰值 (最大数) 出现 得毫无规律 ,人们所能预见的是 :
随着给定数 x 的增长 ,路径与峰值一般 会增大.
顺便讲一句 ,若把 3 x + 1 运算稍稍“改 造”(即前面的推广形式) ,则还可有 :
3x+1猜想的证明
可 以看 出迭 代轨 迹序 列形 式 １ 、 形式 ２交替 出现 ， 直 至形 式 １ 。
当 ＝１ 时 形式 １
迭代。 显然 ， 若所 有 奇数 符合 ３ Ｎ＋ １猜 想 ， 则所 有 的 自然 数 也 符 合
ｃ （ ｎ ） ＝ ２ （ ３ ｍ ． ２ ‘ ＋ ３ ）一 １ ＝ ３ ｍ ． ２ ‘ ＋ ２
ｒ ０ ， 当 ＝ Ｏ （ 瑚 ） 时；
６ ３ 在压 缩迭 代下是 同高 为 ３ ９且 同路 于 ９ １ 的 ！因 此得 到 如 下定
） ｛ １ ， 当 ｌ ＝ ｌ （ ｍ ｏ ） 时 ， 得 矢 量
（ ｎ ） ＝｛ 。 （ ｎ ） ， 。 （ ｎ ） ， （ ｎ ） ， …， （ ） ， …｝ 称 为 ｎ的奇 偶 矢
（ Ｃ ｏ （ ｎ ） ， Ｃ （ ） ， ｃ ２ （ １ ７ ， ） ， ｃ ’ （ ｎ ） ， …）
２ ｎ ＋１ ＝（ …１ ０１ … ） ２ ＝（ …１ １ ０ …６— １ ） ２ ＝（ ４ ｍ＋ ３ ） ２ “ 一 １
ｃ
其中： ｃ 。 （ ） ＝ ｎ ， 经 过 有 限 的迭 代 次数 ， 必可使得 ｃ ‘ （ ｎ ）
＝
。 （ ／ ／ ， ） ＝ ３ （ ４ ｍ＋ ３ ） ２ 。 一１ ＝ ｎ 为奇数
１ 。并且 定 义 为 ／ ７ ， 的高 ， 记作 Ｃ （ Ｎ） ＝ 。 依上 式进 行 的迭 代 曾经是 多数学 者所 采 用 的迭代 ， 称为 通 常
ｃ （ ２ ｎ＋ １ ） ＝ ３ （ ４ ｍ＋ ３ ） ２ 一 １ ＝ ２ ｎ ＋１ 为奇数
ｃ （ ２ ｎ ＋１ ） ＝ ２ 强 一 （ ３ ｍ ． ２ ‘ ＋ ３ ） 一１ ＝ ６ ｍ ． ２ ＋ ５
角谷猜想的证明
角谷猜想一简介考拉兹猜想，又称为3n+1猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想，是由日本数学家角谷静夫发现，是指对於每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。
取一个数字如n = 6，根据上述公式，得出6→3→10→5→16→8→4→2→1。
（步骤中最大的数是16，共有7个步骤）如n = 11，根据上述公式，得出11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。
（步骤中最大的数是52，共有13个步骤）如n = 27，根据上述公式，得出:27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214→107→322→161→484→242→121→364→182→91→274→137→412→206→103→310→155→466→233→700→350→175→526→263→790→395→1186→593→1780→890→445→1336→668→334→1 67→502→251→754→377→1132→566→283→850→425→1276→638→319→958→479→1438→719→2158→1079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232→4616→2308→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976→488→244→122→61→184→92→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10→5→16→8→4→2→1。
（步骤中最大的数是9232，共有111个步骤）考拉兹猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤後，最终都会得到1。
注意：与角谷猜想相反的是蝴蝶效应，初始值极小误差，会造成巨大的不同；而3x+1恰恰相反，无论多么大的误差，都是会自行的恢复。
3x+1猜想的近似证明和一些相关知识;20221112
3x+1猜想的近似证明定义1：3x+1型操作指“如果是奇数，则执行操作‘×3，+1’一次；如果是偶数，则执行操作‘÷2’一次”。
（x-1）/3型操作指“如果是奇数，则执行操作‘×2’有限次；如果是偶数且‘-1，÷3’后为整数，则执行操作‘-1，÷3’一次；如果是偶数且‘-1，÷3’后不为整数，则执行操作‘×2’一次”。
定义2：3x+1型数列指由初始整数和经过每次3x+1型操作后获得的数所构成的数列。
（x-1）/3型数列指由初始整数和经过每次（x-1）/3型操作后获得的数所构成的数列。
定义3：A型（x-1）/3型操作指“如果是奇数，则执行操作‘×2’一次；如果是偶数且‘-1，÷3’后为整数，则执行操作‘-1，÷3’一次；如果是偶数且‘-1，÷3’后不为整数，则执行操作‘×2’一次”。
定义4：实A型3x+1型数列指向正向和反向无限延续后的数列中的连续的多个偶数中都是存在且仅存在一个“‘-1，÷3’后为整数的偶数”的3x+1型数列。
准A型3x+1型数列指不包含4、2、1且向正向和反向无限延续或最大延续后的数列中的连续的多个偶数中都是存在且仅存在一个“‘-1，÷3’后为整数的偶数”的3x+1型数列。
A型3x+1型数列泛指实A型3x+1型数列和准A型3x+1型数列。
AA型3x+1型数列指以3的整数倍这一奇数为初始项的准A型3x+1型数列。
上述“最大延续”指无法不延续至4、2、1时地最大限度地延续。
定义5：A型（x-1）/3型数列指由初始整数和经过每次A型（x-1）/3型操作后获得的数所构成的数列。
AA型（x-1）/3型数列指以3的整数倍这一奇数为最后一项的A型（x-1）/3型数列。
定义6：数列的延续指数列的按照数列的变化规律地增加项；数列的延伸指数列的不改变数列相应类别地延续。
3x+1猜想 不循环的思路
3x+1猜想不循环的思路3x+1猜想（又称考拉兹猜想）是一个历史悠久、备受研究者关注的数学难题。
猜想的表述非常简单，即对于任何一个正整数n，如果它是奇数，则对它进行如下操作：n → 3n + 1如果它是偶数，则对它进行如下操作：得到的结果再进行同样的操作，直到结果变成1。
众所周知，无论以什么数作为起点，最终都会到达1。
虽然这个猜想看上去很简单，但实际上仍然是一个未解决问题，它至今仍是数学界的一个挑战。
在这篇文章中，我们要介绍的是一个不循环的思路来研究3x+1猜想。
我们会探讨如何通过数学证明来解决这个难题。
首先，我们要考虑的是奇数的情况。
对于任意一个奇数n，经过一次操作后得到的结果是3n+1，如果继续进行下去，最终所得到的结果应该是一个偶数，因为它一定可以被2整除，即：3n + 1 → 3(3n + 1) + 1 → 9n + 4 → 3(3n + 2) + 1 → 27n + 13 → ...显然，上面的计算过程会一直进行下去，但我们知道，最终得到的一定是一个偶数。
因此，我们可以通过逆向思维，证明在偶数序列中每个数的紧随着的一个数都拥有更小的环长，即证明每个偶数序列都会在某个数处进入奇数序列，从而达到1。
假设我们有一个偶数m，且将它除以2得到的结果为n。
我们令m的环长为L(m)，n的环长为L(n)，则根据上面的假设，有：L(m) > L(n)但是，我们还可以从另一个角度来看待这个问题。
我们可以将严格大于号转化成不等式，即：这个不等式的意义是：如果将m除以2得到n，则m的环长至少比n的环长多1。
因此，如果我们有一个偶数序列：m1 → m2 → m3 → ...根据上面的不等式，每次进行除以2的操作后，序列的环长减少至少1。
根据这个性质，所有偶数序列最终都会进入一个奇数序列，然后继续按照猜想所述的操作，最终走到1。
综上所述，我们可以利用逆向思维，通过数学证明来解决3x+1猜想。
我们证明了每个偶数序列都会在某个数处进入奇数序列，最终达到1。
阅读材料有趣的“3x+1问题”
别忘了在以后的数学 学习中多思考哦！
当x为奇数 3x+3
当x为偶数 1 x
2
输出
通过以上试验我们发现: 最后总是落入了12、6、3的“黑洞”. 所以我猜想:
无论x取任何正整数最后总是落入了12、 6、3的“黑洞”.
当然这也仅仅是猜想而已
它又称“3x+1问题”姐妹问题
拓展运用
1.(2011中考题)如下图
输入正 整数x
当x为奇数
3x+1
当x为偶数 1 x
2
输出
(1)当第一次输入x=48时,最少经过几 次计算才会得到数字1?
(2)当第一次输入x=48时,第20次输出的 数是多少? 第2011次输出的数又是多少?
小结:
1.知道了什么是“角谷猜想”;
2.明白了数学学习中要善于发现、大胆猜想、 然后想办法验证;
3.体会了数学是很奇妙的、有趣味的.
1到7×1011的所有整数
拓展
请同学们尝试设计一个“黑洞”问题.
思考 我们以下边这个为例进行试验.
输入正 整数x
当x为奇数 3x+3
当x为偶数 1 x
2
输出
请同学们取一些数(至少6个,还要包括
自己的生日号数)做尝试计算,并记录在学案 上,观察归纳看你有什么发现?并与同桌交流.
试验记录:
输入正 整数x
希望同学们认真学习,打好基础, 长大后攻克这个数学猜想,为祖国争 光.
拓展视野：
补充作业 1.现有两个代数式：
3x-1…①
1 x…②
2
如果随意给出一个负整数,记为x,像刚才 那样计算,又会是怎样呢?还会有“黑洞”吗?
这些“黑洞”都相同吗?
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文 章 编 号 ：６ ４— ２ ５ ２ １ ） ５— ０ １ １ １７ ９ ３ （ ００ ０ ０ ０ —１
（ ＋１ 问题 初 探 ３ ）
刘育 人 刘江 涛 。
（． １开封教育学 院 数 学系 ， 河南 开封 ４ ５０ ２ 开封市第二 十五中学 ， ７ ０４；． 河南 开 封 ４ ５０ ７ ０４） 摘 要 ： 文建 立了一次线性递推数列 与（ ＋１ 问题 的联 系， 本 ３ ） 并给出 了（ ＋１ 简化 问题 变换表及变换数阵． ３ ）
青 海 民族大 学学 报 （ 教育 科学 版 ）
Ｊ Ｒ Ｌ ＯＦ ＱＩ ＧＨＡＩ ＡＴ ｏＮ Ｉ Ⅲ ＳＵＮ Ｅ Ｉ Ｙ ｏＵ ＮＡ Ｎ Ｎ Ｉ ＡＬ Ｔ Ⅳ ＲＳＴ
（ ｄ ｃｔ ｎＳ ｉ ｃ ｉｏ ） Ｅ ｕ ａｉ ｃ ｎ ｅＥ ｔ ｎ ｏ ｅ ｄ ｉ
２１ 年第 ５ ００
关键词 ： 一次线性 递推数列 ；３ （ ｘ＋１ 问题 ； ３ ） （ ＋１ 简化 问题 ；３ ） （ｘ＋１ 简化问题变换表 ；３ ） （ ＋１ 简化 问题变换数阵 ）
中 图分 类 号 ： １２４ ０ ２． 文献标识码 ： Ａ
１ 引 言
据文 献 ［ ］ ［ ］ ［ ］介 绍 ， （ｘ＋１ １ 、２ 、３ 在 ３ ）问题 的研 究 中 ， 然 “ 出各 种 对 数 学 发展 很 有 用 的问 题 ” 但 虽 引 ， 是， 至今仍 “ 有人攻 克 这个 堡 垒”， 当代 伟 大的数 学 家之一 爱 多什 （ ｒｏ）也不 无 悲观地 承认 ：当代数 学 没 连 Ｅ ｄｓ “ 还没 有发 展到解 决 这个 问题 的水 平． ”究 其原 因 ，有 的计 算 过 程 很 长 ” “ “ ， 比如从 ２ ７算 到 １需 要 １２步 ”及 １ “ 出来 的数 字忽大 忽小 ”、一点 规律 也没 有 ”是 两大 障碍 ， 般认 为 后 者 为主 、 者 为次． 者 在 长期 探求 算 “ 一 前 笔 其规 律无 果 的情况 下转 而求 其次 ， 图通 过过程 的简化 发 现 隐 藏其 中 的规 律． 将 依 据 大量 数 据所 得 “ １ 试 在 以 为根 ”的“ 限树 ”中 的偶 数 略去 ， 无 仅保 留奇 数及 与其 相关 的变 换通 道 时 ， 复 推敲 果 有所 获 ， 破解 该 问题 反 使
２ 基本概 念与 定理
定义 １ Ⅳ 为正奇数 集 ， 任意 的 ｔ 对 ／ ７ 实施变 换 ： ｏ＋１＝２・ （ｉ∈Ⅳ，， ，ｌ ， 、 ０∈Ｊ ｒ ３ ‘ ｔ ｔ ／ Ｎ ）ｒ 叫做 的 。Ｅ ／ ，
象 ， 叫做 凡 的原象 ， 叫做 的指数 ， 。 ｆ ． 记作 （ ）：凡 ， 。用图 ｎ — ｎ 表示 ， 。 …… 一般地 ， 对
Ｌ Ｉ ；
上２ ２
ｌ ９
０ ２８ ’ ３ ●’ 一 １ ６． ６ １
１ ９ 。 一 ０ 。 。 １
８ ２ ． —一 ３ ．
４ｌ ６
２ ７ ７ ●—一
ｌ ；
４ ３ ｊ
８ ・—上 】：一 ５． Ｉ＿ ｊ
２ ） ・ — 一 ６ ■ —— １ ８ — ９ － 一
的信 心 陡增． 者不 妨先 从下 面 的 图示 中 自行分 析 一二 ， 阅后文 ． 读 再
２ １ ０
２７ ｉ ２１
Ｊ ６（ —一 ４ ： ——一 —‘ ３ ５１ ● 】 ２ ０ 中■一 ３ ４ ５１ ２
２ ６ — — ８５ ５ ●一 ６ ０ Ｒ ３ ４ ●—一 ０ １０ ７ ¨ １ ．— ＿３ １ ＋—一
ｌ４ ０ ２ ●—一 】 ●—一 ７
２ ６
图 １ （ ＋１ ３ ）问题 “ 限 树 ” 无 收 稿 日期 ：０ ０— — ７ ２ １ ０ ２
作者简介 ： 刘育人 （９ ０一） 男 ， 南开封人 ， １４ ， 河 开封教育学 院数学 系高级讲 师
青 海 民族 大学 学 报 （ 育科 学 版 ） 教
推数 列分别 记作 ｛ 、ｂ｝ ｛ 、ｄ 例 如 ： 口 ｝ ｛ 、ｃ ｛
｛ ｌ ： ， ２ ，５ ３ １ １６ ，４ １ … … ； 口 ｝ １５，１８ ，４ ，３ ５ ５ ６ ， ｛２｝１ ，５ １ １ ７ ５ ２ ０ ，１ ０ ， … ； ｂ ：１ ４ ，８ ，２ ，９ １ １６ ５ … ｛５ ：３ ２ ３ １７ ，６ ３ １７ ３ ７ ０ ３ …… ； ｃ ｝７ ，９ ，１ ３ ４ ９ ，８ ７ ，５ ９ ， ｛ １｝ １５ ５ １ ２ ６ ，６ １ ３ ６ ５ ……． ｄ可 ：３ ，４ ，１５ ８６ ，４ ４ ，
ｔ
实施变
换 Ｔ３ ＋ ：ｎ １：２ （ “ ｔ ∈Ｎ， 、 ∈Ｎ ）ｎ 叫做 １ 的象 ， 叫做 ｎ 的原象 ， 叫做 ｎ 的指数， ｎ ｎ ， １ ， ｎ ｔ 记作
一
（ ¨ ）＝ｎ ， ， Ｉ 用图ｎ — ｎ 表示 ， 叫做 ｎ 的 阶象 ， 。 记作 ’ｎ ）＝ｎ ， ＝１ （０ ｜ 时 ¨ （ｏ 筒记作 ｎ） ｌ ｝ ｎ） ０． 定义 ２ 首项为 且满足 ＝ｓ ＋ （、 ∈Ｒ， 。 … ｘ ｔ ｆ ｉ Ｓ≠０ 的数列 ｝ ） 叫做以 为首项以（ ， 为参数的 ｓｔ ） 次线性 递推数 列．
显然 ， 首项为 口 、 差为 ｄ的等 差数列 是 以 口 为首项 以（ ， ） 公 １ ｄ 为参 数 的一次线 性递推 数列 ； 首项 为 ０ 、 ．公
比为 ｑ的等 比数列是 以 ０ 为首 项以 （ ，）为 参数 的一次线 性递 推数列． ｇ０ 为便 于研究 ， 本文 规定 以 １ ｉ ５ ８ 一５ １ ｉ 、ｉ （ ６ 一１ 、ｉ 、６ 一７ ８ 一１ ｉ∈Ｎ）为首 项 ， ４ １ 以（ ， ）为参数 的一 次线性递