普宁华侨中学2012-2013学年度第二学期期末检测(理数)

普宁华侨中学2012-2013学年度第二学期期末检测数学试题（理科）一、选择题。

1．已知集合(){},|0,,A x y x y x y R =+=∈(){},|0,,B x y x y x y R =-=∈，则集合A B =（ ）A ．)0,0(B ．{}0C ．{})0,0(D ．∅ 2．复数ii+-11的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3．已知向量=(1,2)-，=(,2)x ，若⊥，则||=（ ） AB．C ．5D ．204．已知11()122xf x =--,()f x 则是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇且偶函数 5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中： ①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα⊥，α⊥l ,则β//l ③．若α//l ，α⊂m ,则m l //④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m ，其中真命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．给出计算201614121++++ 的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）． A ．10>i B ．10<i C ．20>i D ．20<i 7．“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．规定记号“⊗”表示一种运算，即2a b ab a b ⊗=++ (,)a b 为正实数，若31=⊗k ，则k =（ ）A ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2 二、填空题。

9．6)1(xx -的展开式中的常数项是 ．（用数字作答）10．上图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为 ．11．设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为 ． 12．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中*,x y N ∈)则样本在区间 [10，50 ) 上的频率 ．13．已知数列{}n a 满足12a =,*121()n n a a n N +=+∈,则该数列的通项公式n a =．14．已知函数()212121x x a x f x a a x ⎧+-⎪=⎨⎪->⎩≤，，，．若()f x 在()0+∞，上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．15．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF mAB nAD(m,n R )=+∈，则mn的值为 ． 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．设三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 4,a c ==sin 4sin A B =．（1）求b 边的长；（2）求角C 的大小；（3）求三角形ABC 的面积S 。

17．一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望。

18．如图，四边形ABCD 为矩形，且2,1AD AB ==，PA ABCD ⊥平面，E 为BC 上的动点.(1) 当E 为BC 的中点时，求证：PE DE ⊥；(2) 设1PA =，在线段BC 上存在这样的点E ，使得二面角P ED A --的平面角大小为4π. 试确定点E 的位置.19．已知点C （1，0），点A 、B 是⊙O ：229x y +=上任意两个不同的点，且满足0AC BC ⋅=，设P 为弦AB 的中点．（1）求点P 的轨迹T 的方程；（2）试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线1x =-的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．DP20．已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=- ，（其中实数x 和y 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥ ，当||2x ≥时，//a b．（1）求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）若对[)(,2]2,x ∀∈-∞-+∞ ，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．21．已知数列{}n a 、{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S .（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设2n n n T S S =-，求证：1n n T T +>； （3）求证：对任意的n N *∈有21122n n S n +≤≤+成立．普宁华侨中学2012-2013学年度第二学期期末检测数学试题（理科）参考答案一．选择题。

二．填空题．9．－20 10．411．3. 12．0.7. 13．1321n -⋅-. 14．(]12， 15． -2三、解答题16．解：（1）依正弦定理sin sin a bA B=有sin sin b A a B =。

又4,a =sin 4sin A B =，∴1b = （2）依余弦定理有222161131cos 22412a b c C ab +-+-===⨯⨯。

又0︒＜C ＜180︒，∴60C ︒= （3）三角形ABC 的面积11sin 41sin 6022S ab C ︒==⨯⨯⨯=17．解： （1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球.因此它的概率P 是：11113322111155551225C C C C P C C C C =⋅+⋅=（2）设摸得白球的个数为ξ，则ξ=0，1，2。

21123232222555331(0);(1);(2);10510C C C C P P P C C C ξξξ⋅========= ξ的分布列为：510251100=⨯+⨯+⨯=ξE 18．方法一：(1) 证明：当E 为BC 的中点时，1EC CD ==，从而DCE 为等腰直角三角形，则45DEC ∠= ，同理可得45AEB ∠= ，∴90AED ∠=，于是DE AE ⊥，又PA ABCD ⊥平面，且DE ABCD ⊂平面，∴PA DE ⊥， AE PA A = ∴DE PAE ⊥平面，又PE PAE ⊂平面，∴DE PE ⊥.(2) 如图过A 作AQ DE ⊥于Q ，连,AE PQ ，则PQ DE ⊥，∴PQA ∠为二面角P ED A --的平面角.设BE x =，则2CE x =-.,, 1.4Rt PAQ PQA AQ PA π∆∠=∴== 在中,,,Rt ABE AERt AQE EQ x ∆=∴∆= 在中在中Rt AQD DQ ∆在中于是DE x =Rt DCE ∆在中，有22((2)1x x =-+解之得2x =点E 在线段BC 上距B 点的32-处.方法二:向量方法.以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图.（1）不妨设AP a =，则(0,0,),(1,1,0),(0,2,0)P a E D ，从而(1,1,),(1,1,0)PE a DE =-=-，于是(1,1,)(1,1,0)110PE DE a =--=-= ，所以,PE DE ⊥所以PE ⊥（2）设BE x =，则(0,0,1),(1,,0),(0,2,0)P E x D ，则(1,,1),(1,2,0)PE x DE x =-=-易知向量(0,0,1)AP = 为平面AED 的一个法向量.设平面PDE 的法向量为，则应有0,0,n PE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0(2)0a bx c a b x +-=⎧⎨+-=⎩解之得2c b =，令1,b =则2c =，2a x =-， 从而(2,1,2)n x =- ，依题意cos 42n AP n AP π===解之得12x =，22x =所以点E 在线段BC 上距B 点的32-处19．解：（1）法一：连结CP ，由0AC BC ⋅=，知AC ⊥BC∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝1||2AB ，由垂径定理知222||||||OP AP OA += 即22||||9OP CP += 设点P （x ，y ），有2222()[(1)]9x y x y ++-+= 化简，得到2x x -法二：设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，P (,)x y ，根据题意，知222211229,9x y x y +=+=，12122,2x x x y y y =+=+∴2222221122112242,42x x x x x y y y y y =++=++故22222211121222121244()(22)()182(x y x y x x y y x y x x +=+++++=+又0AC BC ⋅=，有1122(1,)(1,)0x y x y --⋅--=∴1212(1)(1)0x x y y -⨯-+=，故121212()121x x y y x x x +=+-=-代入①式，得到2244182(21)x y x +=+- 化简，得到224x x y -+=（2）根据抛物线的定义，到直线1x =-的距离等于到点C （1，0）的距离的点都在抛物线22y px =上，其中12p=，∴2p =，故抛物线方程为24y x = 由方程组22244y x x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2340x x +-=，解得121,4x x ==- 由于0x ≥，故取1x =，此时2y =± 故满足条件的点存在的，其坐标为(1,2)-和(1,2)20．解：（1）当||2x <时，由a b ⊥ 得2(3)0a b x x y ⋅=--=，33y x x =-；（||2x<且0x ≠） 当||2x ≥时，由//a b . 得23x y x =-- ∴ 323,(220)().(22)3x x x x y f x x x x x ⎧--<<≠⎪==⎨≥≤-⎪-⎩且或（2）当||2x <且0x ≠时，由2'33y x =-<0,解得(1,0)(0,1)x ∈- ，当||2x ≥时，222222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>-- ∴函数()f x 的单调减区间为（－1，０）和（０，1）（3）对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞ ，都有230mx x m +-≥ 即2(3)m x x -≥-，也就是23xm x≥- 对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞ 恒成立，由（2）知当||2x ≥时，222222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>-- ∴ 函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增。