高考试题数学(理工类).doc

高考试题数学(理工类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．limn →∞2123nn ++++＝( )(A) 2 (B) 4 (C)21(D)0 解：2221(1)11212lim lim lim 22n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++⋅⋅⋅+===,选(C) 2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32(C) 2(D)2解：点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离2=,选(D) 3．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 2541 解：f[f(12)]=f[|12-1|-2]=f[-32]=2114313131()24==+-,选(B)4．在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限解：1i i ++(1＋3i )2=12i --i=32-i,故在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点为(32-故选(B)5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121解：(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8=5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x------=--,(1-x)5中x 4的系数为455C =,-(1-x)9中x 4的系数为-49126C =-,-126+5=-121,故选(D)6．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 解：命题②有反例,如图中平面α∩平面β=直线n,l ,m αβ⊂⊂ 且l ∥n,m ⊥n,则m ⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)7．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()解：由题意可知0010.111x y x y x y x y x y x y x y y x>⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪--+>⎪--+>⎩得102102112x y x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩由此可知A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A )8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1解：y ＝cos2x ＋k (cos x －1)=2cos 2x+ k (cos x －1)-1,当cosx=1时,y=1,当cosx ≠1时,cosx-1<0,则y>2cos 2x-4(cos x －1)-1=2(cosx-1)2+1≥1,故y 的最小值为1,选(A)9．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5) (D){1，2，6，7}解：^P ={0,1,2},N ð^P ={n ∈N|n ≥2},Q ∧={1,2,3},N ðQ ∧={n ∈N|n=0或n ≥4}, 故P ∧∩N ðQ ∧={0},Q ∧∩N ðP ∧={3},得(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝{0,3},选(A) 10．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则 (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )解：由|a －t e |≥|a －e |得|a －t e |2≥|a －e |2展开并整理得222210,,(2)480t aet ae t R ae ae -+-≥∈=-+-≤由得,得()0e a e -=,即()a a e ⊥-,选(C)第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卡的相应位置。

11．函数y ＝2xx +(x ∈R ，且x ≠－2)的反函数是_________．解：由y ＝2x x +(x ∈R ，且x ≠－2),得x=21y y -(y ∈R,y ≠1),所以函数y ＝2xx +(x ∈R ，且x≠－2)的反函数是f -1=21xx-(x ∈R,x ≠1). 12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．解：如左图,在平面AED 内作MQ ∥AE 交ED 于Q,则MQ ⊥ED,且Q 为ED 的中点,连结QN,则NQ ⊥ED 且QN ∥EB,QN=EB,∠MQN 为二面角A －DE －B 的平面角,∴∠MQN=45°∵AB ⊥平面BCDE,又∠AEB=∠MQN=45°,MQ=12在平面MQN 内作MP ⊥BQ,得QP=MP=12EB,故PB=QP=12EB,故QMN 是以∠QMN 为直角的等腰三角形,即MN ⊥QM,也即MN 子AE 所成角大小等于90°13．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．解：由题意可得2b ac a=+,即c 2-a 2=a 2+ac,化成关于e 的方程e 2-e-2=0,解得e=212．从集合{O ，P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O ，Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．解：分三种情况：情况1.不含O 、Q 、0的排列：214394C C P ⋅⋅；情况2.O 、Q 中只含一个元素的排列：11242394C C C P ⋅⋅⋅；情况3.只含元素0的排列：214394C C P ⋅⋅.综上符合题意的排法种数为 224394C C P ⋅⋅+11242394C C C P ⋅⋅⋅+214394C C P ⋅⋅=8424三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ． (Ⅰ) 求f (256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41sin α的值．解：(Ⅰ)∵22512525252525sin,cos ()sin cos 06266666f ππππππ==∴=+= (Ⅱ)1()2sin 2.2f x x x =+11()cos sin 222242f ααα∴=+-=-,16sin 2α-4sin α-11=0,解得sin α=18±∵α∈(0,π),∴sin α>0,故sin α=18+ 16．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＝2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|．解：(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x q ,y q 关于原点的对称点(x,y),则020,2q q x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即,.q q x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∵点Qx q ,y q )在函数f(x)的图象上,∴-y=-x 2+2x.,故g(x)=-x 2+2x(Ⅱ)由g(x)≥f (x )－|x －1|可得2x 2-|x-1|≤0,当x ≥1时,2x 2-x+1≤0,此时不等式无解,当x<1时,2x 2+x-1≤0,∴-1≤x ≤12,因此,原不等式的解集为[-1,12]17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1PF 2最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．解：(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(a>0,b>0),半焦距为c,则|MA 1|=2a a c-,|A 1F 1|=a-c由题意,得22222()24a c a c c a a b c ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴,c=1.故椭圆的方程为22143x y += (Ⅱ)设P(m,y q ),|m|>1,当y q =0时,∠F 1PF 2=0,当y q ≠0时,0<∠F 1PF 2<∠PF 1M<2π, ∴只需求tan ∠F 1PF 2的最大值即可. 设直线PF 1的斜率k 1=1q y m+,直线PF 2的斜率k 2=1q y m -,∴tan ∠F 1PF 2=2122122||2||||11q q y y k k k k m y -=≤=+-+当且仅当||q y =时,∠F 1PF 2最大,∴Q(m,18．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(Ⅰ)求证：OD ∥平面P AB ；(Ⅱ)当k ＝21时，求直线P A 与平面PBC 所成角的大小； (Ⅲ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？解：解法一(Ⅰ)∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点：∴OD ∥PA,又AC ⊂平面PAB,∴OD ∥平面PAB. (Ⅱ)∵AB ⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP ⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.取BC 中点E,连结PE,则BC ⊥平面POE,作OF ⊥PE 于F,连结DF,则OF ⊥平面PBC ∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角.又OD ∥PA,∴PA 与平面PBC 所成角的大小等于∠ODF. 在Rt △ODF 中,sin ∠ODF=OF OD =,∴PA 与平面PBC 所成角为(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF ⊥平面PBC,∴F 是O 在平面PBC 内的射影.∵D 是PC 的中点,若F 是△PBC 的重心,则B 、F 、D 三点共线,直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD,∵OB ⊥PC.∴PC ⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,当k=1时,三棱锥O-PBC 为正三棱锥,∴O 在平面PBC 内的射影为△PBC 的重心. 解法二：∵OP ⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA ⊥OB,OA ⊥OP,OB ⊥OP.以O 为原点,射线OP 为非负x 轴,建立空间坐标系O-xyz 如图),设AB=a,则A(2a,0,0).B(0,2a,0),C(-2a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).ABCDOP(Ⅰ)∵D 为PC 的中点,∴1(,0,),22OD a h =-又21(,0,),,22PA a h OD PA OD =-=-∴∥PA , ∴OD ∥平面PAB.(Ⅱ)∵k=1,2则PA=2a,∴,∴2(,0,),2PA a =可求得平面PBC 的法向量(1,1,n =- ∴cos 210(,)30||||PA n PA n PA n ⋅==⋅设PA 与平面PBC 所成角为θ,刚sin θ=|cos(,PA n )|=30.∴PA 与平面PBC 所成的角为arcsin30.(Ⅲ)△PBC 的重心G(1,,663a a h -),∴OG =(1,,663a a h -).∵OG ⊥平面PBC,∴,OC PB ⊥又(0,,),PB h =-∴2211063OC PB a h ⋅=-=,∴h=2a ,∴a =,即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC 为正三棱锥. ∴O 为平面PBC 内的射影为△PBC 的重心.19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p ．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ． (Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p 的值．解：(Ⅰ)(1∙)22241218()()33381C ⨯⨯⨯=.(Ⅱ)随机变量ζ的取值为0、1、2、3.由n 次独立重复试验概率公式P n (k)=(1)kk n k nC p p -=-,得P(ζ=0)=055132(1)3243C ⨯-=,P((ζ=1)=1451180(1)33243C ⨯⨯-=, P((ζ=2)=22351180()(1)33243C ⨯⨯-=,P((ζ=3)=3280217124381+⨯-=.随机变量ζ的分布列是ζ的数学期望是E(ζ)= 32243×0+80243×1+80243×2+1781×3=13181(Ⅱ)设袋子A 中有m 个球,则袋子B 中有2m 个球, 由122335m mpm +=,得p=1330.20．设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，n x 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0),C 1：y=x 2-7x+b 1.设点P(x,y)是C 1上任意一点,则|A 1=令f(x)=(x-1)2+(x 2-7x+b 1)2,则21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x '=-+-+-由题意得,2()0f x '=, 即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-=又P 2(x 2,0)在C 1上,∴2=x 22 -7x 2+b 1 解得x 2=3,b 1=14.故C 1方程为y=x 2-7x+14.(Ⅱ)设P(x,y)是C 1上任意一点,则= 令g(x)=(x-x n )2+(x 2+a n x+bn)2,则2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a '=-++++,由题意得,1()0n g x +'=,即211112()2()(2)n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++=0,又∵2112n n n n n x a x b ++=++,∴(x n+1-x n )+2n (2x n+1+a n )=0(n ≥1),即(1+2n+1)x n+1-x n +2n a n =0, (*) 下面用数学归纳法证明x n =2n-1. ① 当n=1时,x 1=1,等式成立.② 假设当n=k 时,等式成立,即x k =2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)x k+1-x k +2k a k =0, (*)又a k =-2-4k-112k +,∴1122112k k k k k x a x k ++-==++. 即当n=k+1,时等式成立.由①②知,等式对n ∈N +成立,∴{x n }是等差数列.情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字 9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。