高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖
高考数学二轮专题复习——涂色问题解析
涂色问题解析一、单选题1．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）如图，用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）A．12种B．24种C．48种D．72种【答案】D【分析】先涂C区域，再涂D，涂A，涂B，根据分步乘法计数原理可得解.【详解】先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2⨯⨯⨯=种涂法.种涂法，由分步乘法计数原理，共有433272故选：D.2．（21-22高二下·山东滨州·期中）用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是（）（用数字填写答案）A．24B．48C．72D．120【答案】D【分析】根据图形的位置关系，由分类加法原理计算即可得答案.【详解】对图形进行编号如图所示：第一类：若区域⑥与区域④相同，涂区域⑤有4方法，涂区域①有3种方法，涂区域④有2种方法，涂区域③有2种方法，涂区域②有1种方法，则不同的涂色方案的种数为：4322148⨯⨯⨯⨯=种；第二类：若区域⑥与区域④不相同，涂区域⑤有4方法，涂区域①有3种方法，涂区域④有2种方法，涂区域⑥有1种方法，再分类，若涂区域③和⑥一样，涂区域②有2种方法；若涂区域③和⑥不一样，涂区域②、③有1种方法，则不同的涂色方案的种数为：()43212172⨯⨯⨯⨯+=种；根据分类加法计数原理，共有4872120+=种；故选：D.3．（22-23高二下·河北石家庄·期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A ．600种B ．1080种C ．1200种D ．1560种【答案】D 【分析】分三类：用5种、4种、3种颜色涂在5个面上，再由分步计数及排列组合数求不同的涂色方案.【详解】若用5种颜色，从6种颜色任选5种再作全排，即56A 720=种；若用4种颜色，从6种颜色任选4种有46C 15=种，再任选一种颜色涂在其中一组对面上有1142C C 8=种，其它3种颜色作全排有33A 6=，所以，共有1586720⨯⨯=种；若用3种颜色，从6种颜色任选3种有36C 20=种，再任选两种颜色涂在两组对面上23A 6=种，余下的一种颜色涂在底面有1种，所以，共有2061120⨯⨯=种；综上，不同的涂色方案有7207201201560++=种.故选：D二、填空题4．（21-22高二上·四川攀枝花·期中）如图，用4种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有种．【答案】48【分析】先涂色A区,接着涂色B区，再涂色C区，然后涂色D区，由分步计数原理可得答案.【详解】从A开始涂色，A有4种涂色方法，B有3种涂色方法，C有2种涂色方法；由D区与B，C涂不同色，与A区颜色可以同色也可以不同色，则D有2种涂色方法．⨯⨯⨯=种涂色方法．故共有432248故答案为：485．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）如图所示，用4种不同的颜色分别给A，B，C，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种．AB C D【答案】48【分析】通过适当分步，结合分步乘法计数原理求解即可.【详解】事件给4个区域涂色可分为4步完成，第一步，给A区域涂色，有4种颜色可选；第二步，给B区域涂色，有3种颜色可选；第三步，给C 区域涂色，有2种颜色可选；第四步，给D 区域涂色，由于D 区域可以重复使用区域B 中已有过的颜色，故也有2种颜色可选．由分步计数原理知，共有432248⨯⨯⨯=（种）涂色方法．故答案为：48.6．（23-24高二下·山西临汾·期中）如图，这是一面含A ，B ，C ，D ，E ，F 六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有种不同的涂色方法.【答案】1200960【分析】直接由分类、分步计数原理即可求解.【详解】第一空：若C ，E 的涂色相同，则共有54323360⨯⨯⨯⨯=种方法；若C ，E 的涂色不相同，则共有()54321322840⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法.故共有1200种不同的涂色方法.第二空：因为区域D 不能涂甲油漆，所以区域D 的涂色方法有4种.若C ，E 的涂色相同，则共有44332288⨯⨯⨯⨯=种方法；若C ，E 的涂色不相同，则共有()44321322672⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法.故共有960种不同的涂色方法.故答案为：1200，960.7．（22-23高二下·北京海淀·期中）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是．（用数字作答）【答案】14【分析】根据给定条件，求出涂成红色的方格数为偶数的涂色方法数即可计算作答.【详解】当不涂红色时，有32种，当红色方格数为2时，有232C 种，所以共有：32322C 14+=.故答案为：14.8．（22-23高二上·辽宁沈阳·期中）如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有．【答案】72【分析】对,A C 进行分类，再利用分步计数原理，进行求解.【详解】分两种情况：①A ，C 不同色，先涂A 有4种，C 有3种，E 有2种，B ，D 有1种，有43224⨯⨯=种；②A ，C 同色，先涂A ，C 有4种，再涂E 有3种，B ，D 各有2种，有432248⨯⨯⨯=种．故不同的涂色方法有482472+=种．故答案为：72三、解答题9．（22-23高二下·全国·课后作业）用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A ，B ，C ，D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的涂色方法？【答案】480(种)【分析】法一、按A ，D 是否涂同色分类计算；法二、按分步计数原理，先涂B 区域，再涂C 区，最后A 、D ，计算即可.【详解】方法一:分类计数，第一类，A ，D 涂同色，有6×5×4＝120(种)涂法，第二类，A ，D 涂异色，有6×5×4×3＝360(种)涂法，共有120＋360＝480(种)涂法．方法二:分步计数，先涂B 区，有6种涂法，再涂C 区，有5种涂法，最后涂A ，D 区域，各有4种涂法，所以共有6×5×4×4＝480(种)涂法．10．（23-24高二上·云南曲靖·期末）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？【答案】1050【分析】利用分类加法计数原理，结合排列应用问题列式计算即得.【详解】由图形知，Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用3种颜色，也可用4种颜色，用3种颜色涂色，有37A 种方法，用4种颜色涂有47A 种方法，所以不同的涂色方法种数是3477A A 2108401050+=+=.。
概率与统计微专题(涂色或染色问题培优版)
概率与统计微专题涂色（染色）问题【培优版】与涂色（染色）问题有关的试题新颖有趣，是近几年高考考查的热点、高频考点，其中包含着丰富的数学思想，解题方法技巧性强且灵活多变．本专题总结涂色（染色）计数问题的常见类型及求解方法，侧重于分类加法计数原理、分步乘法计数原理在涂色（染色）问题中的应用．一、涂色问题与染色问题涂色问题和染色问题都是数学中的组合数学问题，它们有一些相似之处，但严格来说涂色问题与染色问题是有区别的，举例如下：（1）涂色问题的例子：在一个方格纸上，按照一定的规律，如螺旋式或交替式，给每个方格涂色．给一个几何图形，如三角形、正方形等，用不同颜色进行涂色，使得满足某种对称或美观要求．（2）染色问题的例子：给定一个地图，能否用有限种颜色给各个国家或地区染色，使得相邻国家或地区颜色不同．在一个网络中，确定能否用有限种颜色给节点染色，使得相邻节点颜色不同．可以看出，涂色问题更注重颜色的排列和组合方式，以及如何达到特定的视觉效果；而染色问题更关注如何满足特定的限制条件，如相邻区域或节点的颜色不同．本文在中学范围内，探讨涂色问题与染色问题的解法，因此对它们不加以区别，认为它们是相同类型的问题．二、涂色（染色）问题主要类型在中学范围内，涂色（染色）问题主要有以下几种类型：（1）点线面染色问题：涉及对点、线、面的染色；（2）区域染色问题：将一个平面区域按照一定的规则进行染色；（3）图形染色问题：对各种几何图形进行染色，如三角形、正方形等；（4）染色方案问题：确定满足一定条件的染色方案的数量；（5）染色规律问题：寻找染色过程中的规律；（6）限定条件染色问题：在特定限制条件下进行染色，等等．三、涂色（染色）问题的常用解题策略选好分类标准，优化分类顺序的策略．分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答．因此，采用分类策略解答染色问题时，我们可以从三个方面入手考虑，（1）从确定染色顺序入手根据染色问题的要求，先确定好区域的染色顺序，对各个区域分步染色，再由乘法原理计算出染色的种数，是处理这类问题最基本的方法．（2）从使用颜色的种类入手按照染色问题中的题设要求，从使用了多少种颜色分类讨论入手，分别计算出各种情形的种类，再用分类计数原理求出不同的染色方法的种数．（3）从相对区域是否同色入手从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求中不同的染色方法的种类．四、应用两个计数原理解决涂色（染色）问题的一般步骤（1）明确问题：仔细理解涂色染色问题的具体要求和限制条件；（2）分解步骤：将整个涂色染色过程分解为若干个相互独立的步骤；（3）分类或分步：①分类：根据不同的情况或条件进行分类，每类相互独立；②分步：按照一定的顺序进行分步操作．（4）确定方法数：在分类的情况下，分别计算每类的方法数；在分步的情况下，相乘得到总的方法数．（5）计算总数：如果既有分类又有分步，需要明确先分类再分步计算，还是先分步再分类计算；（6）检查结果：检查计算结果是否满足问题的限制条件．五、应用两个计数原理解决涂色（染色）问题注意事项应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决涂色（染色）问题时，需要注意以下几点：（1）确保分类或分步的合理性和完整性，避免遗漏情况．（2）注意题目中的限制条件，不符合要求的方案应排除．（3）对于复杂的问题，可以通过列举部分情况来辅助理解和分析．当然，对于复杂的问题，可能需要建立模型，比如递推数列来解决问题．类型一点染色问题点染色问题，要注意对各点依次染色，主要方法有：（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对顶点是否同色分类讨论．【典例1】将一个四棱锥S ABCD−的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？图1【解析】设想染色按S A B C D −−−−的顺序进行，对 , , S A B 染色，有54360⨯⨯=种染色方法．由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 与A ，C ，S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 有2种颜色可供选择，从而对C ，D 染色有13227⨯⨯＋＝种染色方法．由乘法原理，总的染色方法数是607420⨯=种．【总结与反思】图1中的连接状况是本质条件，而是否空间图形则无关紧要．下面的两个问题，尽管与例题表述方式不同，但具有相同的数学模型，所以都可以转化为本例来解决．（1）如图2，用五种颜色给图中的5个车站的候车牌A 、B 、C 、D 、E 染色，要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少种不同的染色方法．图2（2）如图3所示为一张有5个行政区划的地图，今要用5种颜色给地图着色，要求相邻的区域不同色，共有多少种方案？图3【举一反三】（2023下广东河源高二期中考试）1．将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 ．【答案】1920【分析】利用分步计数原理进行计算即可.【详解】设在三棱台ABC DEF −中，首先对,,A B C 着色，有543⨯⨯种；然后：D 点可以用B 或C 点的色，也可以用剩下的两种色．现分类：（1）用B 或C 点的色，由对称性，不妨设用B 点的色，则E 点有4种色可以选择，又分为两类：①E 与C 同色，则F 有3种色可选择；②与C 不同色，则F 有2种色可选择，共有2(1332)⨯⨯+⨯，（2）用剩下的两种色，则E 点有3种色可选择，又分为两类：①E 与C 同色，则F 有3种色可选择；②与C 不同色，则F 有2种色可选择，共有：()21322⨯⨯+⨯．所以不同的染色方法的总数是()()54321332213221920⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⎣⎦． 故答案为：1920．类型二 线段染色问题【典例2】如图5，用红、黄、蓝、白、四种颜色染矩形ABCD 的四条边，每条边只染一种颜色，且使相邻两边染不同的颜色，如果颜色可能反复使用，共有多少种不同的染色方法．图5解法一：（1）使用四种颜色，每条边一种，应用分步乘法计数原理，有432124⨯⨯⨯=种； （2）使用三种颜色染色，则必须将一组对边染成同色，故有423248⨯⨯⨯=种； （3）使用两种颜色时，则两组对边必须分别同色，有4312⨯=种．因此，所求的染色方法数为24481284++=种．解法二： 染色按AB BC CD DA −−−的顺序进行，对 , AB BC 染色有4312⨯=种染色方法．由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分类讨论： 当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜色可供选择；当CD 与AB 不同色时，CD 有2种可供选择的颜色，DA 有2种可供选择的颜色，从而对CD ，DA 染色有13227⨯+⨯=种染色方法．由乘法原理，总的染色方法数为12784⨯=种．【总结与反思】要注意对各条线段依次讨论，主要方法有：（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对的线段是否同色分类讨论．【举一反三】（2023辽宁大连一中月考）2．正五边形ABCDE 中，若把顶点A ，B ，C ，D ，E 染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 种．【答案】240【解析】根据题意，不妨先染顶点A ，再染B ，E ，讨论B 、E 同色，B 、E 不同色两种情况，结合分步乘法与分类加法计数原理，逐步计算，即可得出结果.【详解】由题意，不妨先染顶点A ，则有14C 种染法；再染B ，E ，当B ，E 同色时，B ，E 共有13C 种染法，则C ，D 共有2232C A 种染法；当B ，E 不同色时，B ，E 共有23A 种染法，则C ，D 的染色情况可以分以下三类： ①若C 与A 颜色相同，则D 有2种不同染色方法；②若D 与A 颜色相同，则C 有2种不同染色方法；③若C 、D 与A 颜色都不相同，则C 、D 有3种不同染色方法；综上，不同的染色方法有()1122243323223240C C C A A ⎡⎤+++=⎣⎦种. 故答案为：240.【点睛】思路点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．类型三 面染色问题【典例3】如图6，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）图6A.36B.48C.72D.108【答案】C【分析】对面SAB 与面SDC 同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案．【解析】当面SAB 与面SDC 同色时，面ABCD 有4种方法，面SDC 有3种方法，面SAD 有2种方法，面SAB 有1种方法，面SBC 有2种方法，即4321248⨯⨯⨯⨯=种，当面SAB 与面SDC 不同色时，面ABCD 有4种方法，面SDC 有3种方法，面SAD 有2种方法，面SAB 有1种方法，面SBC 有1种方法，即4321124⨯⨯⨯⨯=种，即不同的染色方法总数为482472+=种，故选C ．【总结与反思】应用两个计数原理解决面染色问题需要注意以下几点：（1）确定面的数量和颜色种类；（2）分析面之间的关联，找出相互独立的染色步骤；（3）对不同情况分类讨论，计算每一类的染色方法数．特别要注意：按相对的面是否同色，分情况讨论；（4）按照分步计数原理，将每一步的方法数相乘，得到总的染色方法数．【举一反三】3．如图所示的几何体由三棱锥−P ABC 与三棱柱111ABC A B C 组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【答案】C 【解析】三棱锥−P ABC 三个侧面的颜色各不相同，先进行染色，然后再给三棱柱111ABC A B C 的侧面染色，保证组合体中相邻的侧面颜色不同即可.【详解】先涂三棱锥−P ABC 的三个侧面，有1113216C C C =种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有1112112C C C =种情况，共有6212⨯=种不同的涂法．故选：C ．类型四区域染色问题【典例4】要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图8）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？图8【解析】先给四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48种．【总结与反思】本例是分步乘法计数原理在染色中的应用．根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法．【举一反三】（2024下山东滨州高二月考）4．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（）A．48B．56C．72D．256【答案】A【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数.A B C D，如下图所示：【详解】将四个区域标记为,,,第一步涂:4A 种涂法，第二步涂:3B 种涂法，第三步涂:2C 种涂法，第四步涂:2D 种涂法，根据分步乘法计数原理可知，一共有432248⨯⨯⨯=种着色方法.故选：A.【典例5】如图11，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同不同，且两端格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．图11【答案】630【解析】不妨将图中的4个格子从左到右依次缩号为①②③④．第一类情况：①③同色．第一步，涂①有6种方法；第二步，涂②有5种方法；第三步，涂③只有1种方法；第四步，涂④也有5种方法．依分步乘法计数原理，有6515150⨯⨯⨯=种方法．第一类情况：①③不同色．涂②有6种方法；涂②有5种方法；涂③有4种方法；涂④时应与①③不同色，也有4种方法，依分步乘法计数原理，有6544480⨯⨯⨯=种方法．最后由分类加法计数原理，共有150480630+=种方法．【举一反三】（2023下山东济南高二期中考试）5．某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜鹃四种不同的花可供采购，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案个数为（ ）A ．24B ．36C ．48D ．96【答案】C 【分析】由分步乘法计数原理求解即可.【详解】先种区域1有4种选择，区域2有3种选择，区域3有2种选择，区域4有1种选择，区域5有2种选择，区域6有1种选择，则共有：43212148⨯⨯⨯⨯⨯=种.故选：C.【典例6】如图13，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）图13【典型错解】按A B C D E →→→→的顺序分五步着色：（1）A 有4种染法；（2）B 与A 不同色，有3种染法；（3）C 与 , A B 不同色有2种染法；（4）D 与 , A C 不同色有2种染法；（5）E 与 , , A B D 不同色，有1种染法，因此不同的着色方法共有43221448⨯⨯⨯⨯=种．【错解剖析】上述解法犯了一个处理染色问题最常见的错误．事实上，在第五步，若 , D B 不同色，则E 有1种染法；若 , D B 同色，则E 有2种染法．可见D 的染色不同，E 的染色方法数不同．【启示】按某种顺序着色分步计算时，要注意考虑前一步的染法对后继染色的影响，谨防出错．请看下面几种正确解法．解法一：从相邻最多的区域开始分步计算受错解启发最后者一步可以将 , D E 两个区域合在一起，按的 , A B C D E →→→顺序分四步着色：（1）（2）（3）染法同上；（4） , D E 着色分两种情况：若D 与B 同色，则D 有1种染法，E 有2种染法；若D 与B 不同色，则 , D E 有1种染法，根据分步乘法计数原理，不同的着色方法共有：()432121172⨯⨯⨯⨯+⨯=种．【总结与反思】为了使前一步的每一种染法对后继染色的影响小一些，尽量降低出错机会，习惯上，第一步染色常常从相邻最多的区域开始，即最大相邻原则．解法二：从不相邻的区域入手分类计算以 , B D 是否同色为标准分类：（1）若 , B D 同色，按 , B D A C E →→→的顺序着色，则有432248⨯⨯⨯=种方法； （2）若 , B D 不同色，按 , B D A C E →→→的顺序着色，则有4321124⨯⨯⨯⨯=种方法， 所以不同的着色方法共有482472+=种．【总结与反思】在解法一，按某种顺序染色，前后染色关系繁杂难以理顺时，解法二往往是一种行之有效的方法．【分析】依题意至少要选用3种颜色，先分类，在每类中再利用分步乘法原理计数． 解法三：从被选用颜色的种数入手分类计算【解析】依题意至少要选用3种颜色，因此分如下三类：（1）第一类：当选用三种颜色时，区域 , B D 必须同色，区域 , C E 必须同色，由分步乘法原理可得，有43224⨯⨯=种；（2）当用四种颜色时，若区域 , B D 同色，则区域 , C E 不同色，有432124⨯⨯⨯=种；若区域 , C E 同色，则区域 , B D 不同色，有432124⨯⨯⨯=种，故用四种颜色时，共有22448⨯=种，由加法原理可知满足题意的着色方法共有：244872+=．解法四：去杂法（1）按A B C D E →→→→的顺序着色，先不考虑E 与B 不同色的限制，有4322296⨯⨯⨯⨯=种着色方法，但在这个计算中，包括E 与B 同色的情况，不符合条件，此时可把 , E B 合并为一个区域． （2）按()A B E C D →→→的顺序着色，得出不符合条件的着色方法有432124⨯⨯⨯=种， 因此符合条件的不同着色方法共有962472−=种．【总结与反思】解法三根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同染色的方法总数．按颜色分类与按区域分步（区域也可以分类），对应着组合计数的加法原理与乘法原理，它们都是“通法”，都有独立存在的价值，并且相互之间有内在联系，还常常要交叉综合使用，没有必要厚此薄彼，也没有证据表明两种算法的一致性是“巧合”．【举一反三】（2023江苏盐城滨海三校高二下期中联考）6．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有( )种A ．540B ．360C ．300D ．420【答案】D 【分析】分②和④涂同种颜色和不同种颜色是讨论即可.【详解】分两种情况讨论即可：(i)②和④涂同种颜色时，从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有5×4×1×3×3＝180种涂法；(ii)②和④涂不同种颜色时，从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有5×4×3×2×2＝240种涂法；∴总共有180＋240＝420种涂色方法．故选：D﹒【典例7】（2024辽宁名校联盟联考）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成A B C D E五个部分（如图15所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），,,,,每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（）图15A.48种B.36种C.24种D.12种．【答案】A【分析】满足条件的涂色方案可分为,B D区域同色，且和其它区域不同色和,C E区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可【解析】满足条件的摆放方案可分为两类，第一类,B D区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域A有4种方法，第二步，摆放区域,B D有3种方法，第三步，摆放区域C有2种方法，A B C不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域E有1种方法，第四步，考虑到区域,,由分步乘法计数原理可得第一类中共有432124⨯⨯⨯=种方案，第二类，,C E区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，满足条件的方案可分四步完成，第一步，先摆区域A有4种方法，第二步，摆放区域B有3种方法，第三步，摆放区域,C E有2种方法，A B C不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域D有1种方法，第四步，考虑到区域,,由分步乘法计数原理可得第一类中共有432124⨯⨯⨯=种方案，根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有48种，故选A．【总结与反思】本例根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论．从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数．综合上面几例，我们可以总结出一类区域染色问题的解题程序，分三步叙述于下：第一步，进行几何结构的分析．主要是弄清一共有几块区域，区域与区域之间哪此存在相邻关系（异色），哪此不存在相邻关系（可同色，也可异色）．为了简化图形并凸显关系，可将区域模型图对应为模式结构图．（从表层结构到深层结构）第二步，根据图形的深层结构各个击破，或分步计数或分类计数，或以区域为主计数或以颜色为主计数．在以区域为主分步计数时，要执行“最大相邻原则”，每次都从相邻最多的区域开始染色．第3步，反思回顾，“防假、防漏、防重”．为了防止在第二步计算中出现：渗杂了不合条件的染法，遗漏了符合条件的染法，或重复了符合条件的染法，反思回顾是一个必要步骤．根据解题的时间和环境，可采取画树树状图、多解对照、推进到一般等措施．同时，要注意积累成功的经验与失败的教训．【举一反三】（2023下江苏常州高二期中考试）7．如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（）A．12B．18C．24D．30【答案】B【分析】先对A区域种植，再对B区域种植，最后分两类：D块与B块相同、D块与B块不相同，对C 、D区域种植，根据计数原理即可求解.【详解】根据题意，分3步进行分析：(1)对于A 块，可以在3种不同的花中任选1种，有3种情况；(2)对于B 块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有2种情况；(3)对于C 、D 块，分2种情况：若D 块与B 块相同，则C 块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有2种情况， 若D 块与B 块不相同，则C 块有1种情况，D 块有1种情况，此时C 、D 有1种情况， 则C 、D 共有213+=种情况；综合可得：一共有32318⨯⨯=种不同的种法.故选：B类型五 区域种植问题近几年在各级各类考试中经常出现这类试题：在给定的几个区域中栽种植物，要求在相邻的区域中栽种不同的植物，求共有多少不同的栽种方法．这类问题实际上是一类染色问题（或地图着色问题）．【典例8】在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如图17，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案．图17【解析】以A ，C ，E （相间）栽种植物情况作为分类标准：①考虑A ，C ，E 栽种同一种植物，有4种栽法；B ，D ，F 各有3种栽法，∴ 共有 4333108⨯⨯⨯＝种栽法． ②考虑A ，C ，E 栽种同两种植物，此时种A ，C ，E 有343⨯⨯种，种B ，D ，F 有322⨯⨯种栽法（若A ，C 栽种同一种植物，则B 有3 种栽法，D ，F 各有2种栽法），因此，共有343322432⨯⨯⨯⨯⨯=种方法．③考虑A ，C ，E 种3种植物，有43224⨯⨯=种栽法；B ，D ，F 各有2种栽法，∴ 共有 2422192⨯⨯=种栽法．综合①、②、③三类，共有 108432192732++=种栽法．【总结与反思】进一步的，问题可以推广到一般的情形：用()2m m ≥种不同的颜色，给图18中()2n n ≥个彼此相连的区域12 , , , n A A A 染色，且任何相邻的2个区域染不同的颜色，则不同的涂色方案种数为：()()()111n n n a m m =−+−−．注意：上述问题中的m 种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的．图18【举一反三】8．如图，用5种不同颜色给图中标有1、2、3、4各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）A ．160种B ．240种C ．260种D ．360种【答案】C 【分析】按：1234→→→的顺序进行涂色，结合分类加法、分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】先给第1部分涂色，有5种涂色方法；再给第2部分涂色，有4种涂色方法； 再给第3部分涂色：若第3部分颜色与第2部分相同，则第3部分只有1种涂色方法，再给第4部分涂色，有4种涂色方法；若第3部分颜色与第2部分不相同，则第3部分有3种涂色方法，再给第4部分涂色，有3种涂色方法．所以不同的涂色方法一共有54(1433)260⨯⨯⨯+⨯=种．故选：C【典例9】（2023四川绵阳南山中学高二月考）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图20所示．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有（ ）图20A.80种B.120种C.160种D.240种【答案】B【分析】由题意，按照一定顺序，由1，2，3，5的顺序，在5号区域的选择上进行分情况，根据分类加法原理和分步乘法原理，可得答案．【解析】第一步，对1号区域，栽种有4种选择；第二步，对2号区域，栽种有3种选择； 第三步，对3号区域，栽种有2种选择；第四步，对5号区域，栽种分为三种情况， ①5号与2号栽种相同，则4号栽种仅有1种选择，6号栽种有2种选择，②5号与3号栽种相同，则6号栽种仅有1种选择，4号栽种有2种选择，③5号与2、3号栽种都不同，则4、6号只有1种；综上所述，()4322211120⨯⨯⨯++⨯=种．故选：B ．【总结与反思】用()2m m ≥种不同的颜色，给图21中()()12n n +≥个彼此相连的车轮型区域012 , , , , n A A A A 染色，且任何相邻的2个区域染不同的颜色，则不同的涂色方案种数为：()()()212n n n a m m m ⎡⎤=−+−−⎣⎦．图21【举一反三】9．某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分（如图），现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有 种．（用数字作答）【答案】72【分析】根据题意，分析可得本题是分类计数问题，分2种情况讨论，当选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色，从4中颜色中选3中，在三个元素上排列；当4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，先选出同色的一对，再用四种颜色全排列，由分类计数原理计算可得答案．【详解】由题意，分2种情况讨论：第一：当选用3种颜色时②④同色，③⑤同色，共有涂色方法3343C ?A 24=种， 第二：4色全用时涂色方法，即②④或③⑤用一种颜色，共有1424C ?A =48种， 根据分类加法原理知不同的着色方法共有24+48=72种．故答案为：72．。
涂色问题的常见解法及策略
解题篇经典题突破方法高二数学2019年5月涂色问题的常见解进及策曜■江苏省盐城市时杨中学刘长柏对于涂色问题的解法，拨云破雾、还其本来面目，就会发现实质是用分类或分步计数原理导航，通过深入缜密分析题意，将原题化归为熟悉的排列、组合或综合题型，逐类分步推理求解的。
涂色问题的常见解法：根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；根据共用了多少颜色分类讨论；根据不相邻区域是否同色分类讨论等。
一・根据分步计数原理，对各个区域分步涂色伸I f用红黄绿三种颜色给图1中的5个带状格子涂色。
要求每格涂一种颜色且相邻格子不能涂同一种颜色•共有多少种不同的涂法？图1分析：根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
解：从满足一格一颜色、邻格不同色的限制条件入手，分成三类：一类是左边三个邻格从红黄绿中任取3色，涂法有A；种，且右面两相邻格涂法有A；种。
共有Aj・A；=12（种）。
二类是左起4格涂成红绿红绿的类似模式有A；种，末一格涂法有A；种，共有A；・A；=12（种）。
三类是左起4格涂成红绿红黄的类似模式有A：种，其中产生与一类重复的有6种（如红绿红黄绿与一类的红绿红黄绿）。
综上得：A；A；+A；A；+（A：—6）=42（种）。
点评：带状区域的涂色问题的解法，与推导排列数公式A；的思想方法类似，可构造排好顺序的m个空位（格），从n个不同元素中任取m Cm^n'）个填充。
此类涂色题一般可转化成有限制条件的排列或组合问题。
练习1：用5种不同的颜色给图2中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色•相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种•由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5X4X3X4=240（种）。
二、根据共用了多少颜色分类讨论制2如图3所示，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能栽种同颜色的花卉，相邻两池的花卉颜色不同，则最图3多有多少种栽种方案？分析：本题要完成的事件是花池内栽种花卉；由于5种不同颜色的花卉可供选择，所以可选择3种、4种、5种不同颜色的花卉栽种•可见有3类方法可独立完成这件事，而每一类又不能“一次性”完成，所以分步进行。
涂色问题的解题思路2
涂色问题的解题思路2解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1)2) 区域3与53)4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2 24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情① ②③④ ⑤ ⑥形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
涂色问题的解题技巧
ʏ江苏省张家港中等专业学校 张 娴 韩文美排列组合中有一类常见问题涂色问题,此类问题基于两个计数原理与排列组合知识,关注图形的结构特征,解决方法技巧性强且灵活多变,有利于培养同学们的创新思维能力㊁分析问题与观察问题以及解决问题的能力,已成为数学命题中比较常见的一类基本题型,备受各方关注㊂1.直线型涂色问题图1例1 (2022 2023学年江苏省常州一中高二下学期段考数学试卷)现有6种不同的颜色,给图1中的5个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用4种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有种㊂分析:根据题设条件,选出的颜色可以是2种,3种或者4种,依次通过直线型的图形结构特征求出方法数,通过分类法求和,即可得以分析与求解㊂解:由题意选出的颜色可以是2种,3种或者4种,规定左边起为第一个空,不同情况如下㊂当选出2种颜色时,第一个空有2种选择,第一个空颜色确定后,其余空颜色就确定了,共有C 26ˑ2=30(种)方法㊂当选出3种颜色时,第一个空有3种选择,第二个空有2种选择,第三个空可分为与第一个空颜色相同和不同的情况,第四个空和第五个空都各有2种选择,但要去掉整体只用了2种颜色的情况,共有C 36C 13C 12㊃(C 12C 12+C 12C 12)-2C 36C 23=840(种)方法㊂当选出4种颜色时,必有2种颜色相同,可采用插空法,将这2种相同颜色去插入另外3种颜色形成的空,共有C 46C 14A 33C 24=2160(种)方法㊂综上分析,不同的涂色方法共有30+840+2160=3030(种)㊂点评:直线型涂色问题往往从第一个位置入手,逐一分析,在前一个已涂色的条件下涂下一个位置,注意对不同位置的分析加以合理分类讨论与分步处理,进而确定直线型涂色问题的种数㊂2.区域型涂色问题图2例2 (2022 2023学年湖北省武汉市高二下学期期中数学试卷)七巧板是古代劳动人民智慧的结晶㊂图2是某同学用木板制作的七巧板,它包括5个等腰直角三角形㊁一个正方形和一个平行四边形㊂若用四种颜色给各板块涂色,要求正方形板块单独一色,其余板块两块一种颜色,而且有公共边的板块不同色,则不同的涂色方案有种㊂分析:根据题设条件,先对七巧板中的不同区域加以合理标记,并通过画图分析其中四板块A ,B ,C ,D 必涂上不同颜色,再根据分类㊁分步计数原理计算剩下的部分即可得以分析与求解㊂解:由题意知,对七巧板中的不同区域加以合理标记,如图3所示㊂93解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年3月图3由于一共4种颜色,板块A 需单独一色,剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色,且板块B ,C ,D 两两有公共边不能同色,故板块A ,B ,C ,D 必定涂不同的颜色㊂①当板块E 与板块C 同色时,则板块F ,G 与板块B ,D 或板块D ,B 分别同色,共有2种情况㊂②当板块E 与板块B 同色时,则板块F 只能与D 同色,板块G 只能与C 同色,共1种情况㊂又板块A ,B ,C ,D 颜色可排列,故共(2+1)ˑA 44=72(种)方案㊂点评:区域型涂色问题,应该给区域依次标上相应的序号,以便分析问题㊂在给各区域涂色时,要注意不同的涂色顺序,其解题就有繁简之分㊂在实际解答时,应按不同的涂色顺序多多尝试,看哪一种最简单㊂3.立体型涂色问题图4例3 (2024届上海市七宝中学高三上学期期中数学试卷)某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具,如图4所示,现给图中的正方体展开图的6个区域涂色,有红㊁橙㊁黄㊁绿4种颜色可选,要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同,共有种不同的涂色方法㊂分析:根据题设条件,由正方体展开图的平面图形回归正方体的立体图形,先从涂A 入手,再分C 与F 同色㊁C 与F 不同色两种情况讨论,利用分步㊁分类计数原理分析与运算可得答案㊂图5解:如图5所示,还原回正方体后,D ㊁B 为正方体的前后两个对面,A ㊁E 为正方体的左右两个对面,F ㊁C 为正方体的上下两个对面,先涂A有4种涂法㊂①当C 与F 同色时,涂C 有3种涂法,若D 与B 同色,则有2种涂法,最后涂E 有2种涂法;若D 与B 不同色,则有A 22种涂法,最后涂E 有1种涂法㊂则有4ˑ3ˑ(2ˑ2+A 22ˑ1)=72(种)涂法㊂②当C 与F 不同色时,涂C 有3种涂法,涂F 有2种涂法,此时D 与B 必同色且只有1种涂法,E 也只有1种涂法㊂则有4ˑ3ˑ2ˑ1ˑ1=24(种)涂法㊂综上分析可得,一共有72+24=96(种)不同的涂法㊂点评:立体型涂色问题,往往要同时考虑平面几何的结构特征,又要考虑立体几何的结构特征,综合 二维 与 三维 中的涂色要求与限制条件,全面考查同学们的空间想象能力与逻辑推理能力㊂4.环状型涂色问题图6例4 (2024届浙江省名校联盟高三上学期9月份月考数学试卷)五行是华夏民族创造的哲学思想,多用于哲学㊁中医学和占卜方面㊂五行学说是华夏文明重要的组成部分㊂古代先民认为,天下万物皆由五类元素组成,分别是金㊁木㊁水㊁火㊁土,彼此之间存在相生相克的关系㊂图6是五行图,现有5种颜色可供选择给五 行 涂色,要求五行相生不能用同一种颜色(例如金生火,水生木,不能同色),五行相克可以用同一种颜色(例如水克火,木克土,可以用同一种颜色),则不同的涂色方法种数为( )㊂A.3125 B .1000C .1040D .1020分析:根据题设条件,从数学文化场景中加以合理转化,抽象问题的本质与内涵,通过环状型涂色问题来转化,并加以分析,先根据不相邻区域是否同色进行分类,确定涂色顺序,再分步计数即可㊂解:依题可知五行相克可以用同一种颜4 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年3月色,也可以不用同一种颜色,即无限制条件而五行相生不能用同一种颜色,即相邻位置不能用同一种颜色㊂故问题转化为图7中A ,B ,C ,D ,E 5个区域,有5种不同的颜色可用,要求相邻区域不能涂同一种颜色,即5种颜色5个区域的环状涂色问题㊂图7分为以下两类情况㊂第一类,A ,C ,D 3个区域涂3种不同的颜色㊂第一步涂A ,C ,D 区域,从5种不同的颜色中选3种按顺序涂在不同的3个区域上,则有A 35种方法;第二步涂B 区域,由于A ,C 颜色不同,则有3种方法;第三步涂E 区域,由于A ,D 颜色不同,则有3种方法㊂由分步计数原理知,共有3ˑ3ˑA 35=540(种)方法㊂第二类,A ,C ,D 3个区域涂2种不同的颜色㊂C ,D 不能涂同种颜色,则A ,C 涂色相同,或A ,D 涂色相同,两种情况方法数相同㊂若A ,C 涂色相同,第一步涂A ,C ,D 区域,A ,C 可看成同一区域,且A ,D 区域不同色,即涂2个区域不同色,从5种不同的颜色中选2种按顺序涂在不同的2个区域上,则有A 25种方法;第二步涂B 区域,由于A ,C 颜色相同,则有4种方法;第三步涂E 区域,由于A ,D 颜色不同,则有3种方法㊂由分步计数原理知,共有4ˑ3ˑA 25=240(种)方法㊂若A ,D 涂一色,与A ,C 涂一色的方法数相同,则共有2ˑ240=480(种)方法㊂由分类计数原理可知,不同的涂色方法数为540+480=1020㊂选D ㊂点评:求解环状型涂色问题,是基于直线型涂色问题加以分析与处理,同时要考虑最后一个位置与原来第一个位置之间的限制,这样才能形成一个闭环,这也是解决问题中比较容易出错的一个环节,要加以高度重视㊂5.探究型涂色问题例5 (2023年吉林省长春市高考数学质检试卷)将圆分成n (n ȡ2,且n ɪN *)个扇形,每个扇形用红㊁黄㊁蓝㊁橙四色之一涂色,要求相邻扇形不同色,设这n 个扇形的涂色方法为a n 种,则a n 与a n -1的递推关系是㊂分析:根据题设条件,对n 个扇形依次加以编号,按n =2与n >2两种情况加以分类讨论a n 的情况,由分步计数原理得到a n 与a n -1之间的关系㊂解:将圆分成n 个扇形时,将n 个扇形依次设为T 1,T 2, ,T n ㊂设这n 个扇形的涂色方法为a n 种㊂当n =2时,a 2=4ˑ3=12㊂当n >2时,T 1有4种涂法,T 2有3种涂法,接着T 3,T 4, ,T n -1,T n ,依次有3种涂法,故共有4ˑ3n -1种涂法㊂但当T n 与T 1的颜色相同时,有a n -1种涂法,a n =4ˑ3n -1-a n -1㊂点评:求解探究型涂色问题,往往从最简单的图形入手,依次分析两个图形涂色之间的联系与差别,进而加以合理推理,构建相应的关系式,得以解决对应的探究性问题,从而实现问题的解决㊂对于涂色问题,抓住探究问题的本质,结合涂色图形的结构特征,以及涂色的种数与限制条件,从关键点入手,结合选取颜色加以分析,合理分类讨论,借助两个计数原理以及排列组合知识,注意 重 或者 漏 的情形,进而加以合理操作与计算㊂(责任编辑 徐利杰)14解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年3月。
高中数学中涂色问题的解法
高中数学中涂色问题的解法涂色问题是高中数学中的一类比较复杂而且重要的问题，高考中多次涉及。
这种题目根据条件可分为颜色必须用完和不必用完两种。
根据需要涂色的图形可分为条状结构和环状结构两种。
解决问题的方法也有依次去涂和按所用颜色种数分类讨论两种。
作题时只要弄清条件和图形的结构，再把每种结构下解决问题的方法弄清楚，就可以了。
下面我们就用历年高考题中的涂色问题作为例子。
一、条状结构例1：将3种作物种植在5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，共有多少种种植方法？分析：从数学角度上来看，这是一个条状结构且颜色必须用完的问题。
我们先用依次来涂的方法，再用所用颜色种数来讨论的方法。
解1：只管从左到右依次来种。
若三种作物可种完可不种完共有3·2·2·2·2=48 种方法，其中只种两种作物共有C23·2=6种方法，所以共有48-6=42 种方法。
解2：三种作物必须种完，那就不必讨论颜色种数。
（1）把这五块地分为3，1，1三组。
①③⑤必为一组，所以地块分组只有一种方法，再种上三种作物共有A33=6 种方法。
（2）把这五块地分为2，2，1 三组。
①③同组时，②④也可和⑤同组，有两种方法，同理①④同组时也有两种方法，①⑤同组时有1 种方法，①自己一组时有1 种方法，所以地块分组共有6 种方法，再种有6A33种方法。
由（1），（2）知共有42种方法。
可见：条状结构若不按颜色分类，只管依次去涂即可，非常简单，只要考虑清楚颜色必须用完还是可不用完即可。
若按颜色分类，颜色有几种就把图形中的区域分为几组，再往每组涂色即可，结果即是分组的办法数与Amn的积。
其中n 为全部可用颜色种数，m 为实际使用颜色种数。
变式：用5种不同的颜色给图中A，B，C，D 四个区域涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？分析：因为D 区域和其他三区域都相邻，A 和C 又不相邻，所以把D 涂完后，就是条状结构的问题。
_涂色型_排列组合问题的求解策略
第 4期
高中数学教与学
涂色型 排列组合问题的求解策略
杨瑞强 (湖北省黄石实验高中, 435000)
涂色型 的排列 组合问 题, 是通 过实 际 问题情境给出图 形按要 求涂色 的一 种排列 组
合题型, 是近几 年试题 改革的 一个 新的亮 点. 此类试 题立 意新 颖、构 思精 巧、解法 灵活, 能 较好地 考 查 学 生 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力. 解决此 类 问题 的 关键 是 找准 入 手点 进 行 分类讨论. 本文通 过对若 干例 题的分 析, 试 图 说明此类问题的常见求解策略, 供大家参考.
同, 且两端的格子的颜 色也不 同, 则 不同 的涂
色方法共有
种. (用数字作答 )
思路 1 着 眼于 位 置 . 以格 子 为主 分
步、分类: 从左至右第一格涂色有 6种方法; 第
二格涂色有 5种 方法; 若第 三 格与 第 一格 同 色, 则第四格有 5种涂 法; 若 第三格 与第 一格 不同色, 则有 C14 C12 种. 由分步、分类 计数 原理 共有 6 ! 5 ! ( 5 + C14 C12 ) = 390种, 故填 390.
+
2A
4 4
=
24 +
2 ! 24 =
高考中常见的涂色问题
高考中常见的涂色问题ʏ河南省平顶山市第一高级中学 景路明涂色问题是高考中比较常见的一类问题,这类问题新颖独特,具有一定的难度,能全面考查同学们的创新思维能力㊁分析问题与解决问题的能力㊂那么涂色问题主要有哪些呢?一、平面区域的涂色问题图1例1 如图1,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有㊂分析:由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件知宜采用分步处理方法,又相邻区域不同色,可按区域1和区域3是否同色分类求解㊂解:按区域1与3是否同色分类:(1)区域1与3同色,先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A 33种方法,因此,区域1与3涂同色,共有4A 33=24(种)方法;(2)若区域1与3不同色,先涂区域1与3有A 24种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有1种方法,第四步涂区域5有3种方法,此时,共有A 24ˑ2ˑ1ˑ3=72(种)方法㊂故由分类加法计数原理可知,不同的涂色种数为24+72=96㊂点评:解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序㊂切实选择好分类标准,分清楚哪些可以同色,哪些不能同色㊂二、立体图形中的点涂色问题例2 如图2,用4种不同颜色给图中的A ,B ,C ,D ,E ,F 6个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的2个端点涂不图2同颜色,则不同的涂色方法共有种㊂分析:先分类,再分步,综合应用分类㊁分步计数原理加以解答㊂解:先涂A ㊁D ㊁E三个点,共有4ˑ3ˑ2=24(种)涂法,然后再按B ㊁C ㊁F 的顺序涂色,分为两类:一类是B 与E 或D 同色,共有2ˑ(2ˑ1+1ˑ2)=8(种)涂法;另一类是B 与E 或D 不同色,共有1ˑ(1ˑ1+1ˑ2)=3(种)涂法㊂所以不同的涂色方法共有24ˑ(8+3)=264(种)㊂点评:求解排列组合问题的思路: 排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘㊂三、立体图形中的面涂色问题图3例3 如图3所示的几何体是由一个正三棱锥P -A B C 与正三棱柱A B C -A 1B 1C 1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有种㊂分析:解答本题要注意底面A 1B 1C 1不涂色这一条件,同时要分清是排列问题还是组合问题㊂解:先涂三棱锥P -A B C 的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有C 13ˑC 12ˑC 11ˑC 12=3ˑ2ˑ1ˑ2=12(种)不同的涂法㊂点评:解答排列组合问题,要仔细审题,判断是排列问题还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分类;还要深入分析,注意分清是乘法还是加法,防止重复或遗漏㊂(责任编辑 徐利杰)42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2018年5月。
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高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法一.区域涂色问题根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=1、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=722、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？分析：可把问题分为三类： ① ②③ ④ ⑤ ⑥（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为45A ；（2） 有且仅两个区域相同的颜色，（3） 即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为12542C A ； 5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A ，因此，所求的涂法种数为212255452260A C A A ++=3、 根据相间区使用颜色的种类分类例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可1A 解（1）当相间区域A 、C 、E有4种着色方法，此时， B 、D 、F 各有3种着色方法， 此时，B 、D 、F 各有3种着色方法 故有4333108⨯⨯⨯= 种方法。
（2）当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F 有322⨯⨯种着色方法，故共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种着色方法。
（3）当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F各有2种着色方法。
此时共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之解：设分成n 个扇形时染色方法为n a 种 （1） 当n=2时1A 、2A 有24A =12种，即2a =12（2）当分成n 个扇形，如图，1A 与2A 不同色，2A 与A 色，，1n A -与n A 不同色，共有143n -⨯种染色方法， 但由于n A 1邻，所以应排除n A 与1A 同色的情形；n A 与1A 同色时，可把n A 、 1A 看成一个扇形，与前2n -个扇形加在一起为1n -个扇形，此时有1n a -种染色法，故有如下递推关系：1143n n n a a --=⨯-1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+⨯=--+⨯+⨯21321234343434343n n n n n n n a a -------=-⨯+⨯=-+⨯-⨯+⨯124[33(1)3](1)33n n n n n --==⨯-++-⨯=-⨯+二.点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色， A如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D 四点，此时只能A 与C 、B 与D 分别同色，故有125460C A =种方法。
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有24A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C ，而D 与C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C =种方法。
（3）若恰用五种颜色染色，有55120A =种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二：设想染色按S —A —B —C —D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有54360⨯⨯=种染色方法。
由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论： C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 应与A （C ）、S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 也有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有13227⨯+⨯=种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是607⨯解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图， 对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ 二.线段涂色问题 对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：6) 根据共用了多少颜色分类讨论7) 根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD 的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解法一：（1）使用四颜色共有44A 种;（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有112423C C A 种，（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有24A 种因此，所求的染色方法数为411224423484A C C A A ++=种解法二：涂色按AB －BC －CD －DA 的顺序进行，对AB 、BC 涂色有4312⨯=种涂色方法。
由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分类讨论： 当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜色可供选择CD 与AB 不同色时，CD 有两种可供选择的颜色，DA 也有两种可供选择的颜色，从而对CD 、DA 涂色有13227⨯+⨯=种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为12784⨯=种例8、用六种颜色给正四面体A BCD -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有36A 种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有3466C A 种方法。
（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有1536C A 种方法。
（4）若恰用六种颜色涂色，则有66A 种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为4080665613462336=+++A A C A C A 种。
三.面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理30!351=⨯=n（2）共用五种颜色，选定五种颜色有656=C 种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）9035562=⨯⨯=C n ；(3)共用四种颜色,仿上分析可得9024463==C C n ；(4)共用三种颜色,20364==C n例10、四棱锥P ABCD -，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？⇒解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有34A 种；（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有1424C A ；故满足题意总的涂色方法总方法交总数为31442472A C A +=用三种不同的颜色填涂如右图33⨯方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法种数共有（ D ）A 、48、B 、24C 、12D 、6“立几”中的计数问题求解策略在近几年的高考试题和各地模拟试题中频繁出现以“立几”中的点、线、面的位置关系为背景的计数问题，这类问题题型新颖、解法灵活、多个知识点交织在一起，综合性强，能力要求高，有一定的难度，它不仅考查相关的基础知识，而且注重对数学思想方法和数学能力的考查。
现结合具体例子谈谈这种问题的求解策略。
1. 直接求解例1：从平面α上取6个点，从平面β上取4个点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？ 解析: 利用三棱锥的形成将问题分成α平面上有1个点、2个点、3个点三类直接求解共有BC132231646464194C C C C C C ++=个三棱锥例2: 在四棱锥P-ABCD 中，顶点为P ，从其它的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有 A.40 B. 48 C. 56 D. 62种解析: 满足题设的取法可以分成三类（1） 在四棱锥的每一个侧面上除P 点外取三点有35440C =种不同取法；（2） 在两个对角面上除点P 外任取3点，共有3428C =种不同取法；（3） 过点P 的每一条棱上的3点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有1248C =种不同取法,故共有40+8+8=56种评注：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类不重复、不遗漏。