纠错编码线性分组码演示文稿
矢量空间运算法则
对于矢量Vi (vi0 , vi1, vi(n1) ), Vj (v j0 , v j1, 标量a F,有如下运算法则:
v j(n1) )及
矢量加：Vi Vj (vi0 v j0 , vi1 v j1, vi(n1) v j(n1) ) 标乘：a Vi (avi0 , avi1, avi(n1) ) 点积或内积：Vi Vj vi0 v j0 vi1 v j1 vi(n1) v j(n1) 以上三者，矢量加和标乘所得结果为矢量，而内积
纠错编码线性分组码演示文稿
（优选）纠错编码线性分组码
线性分组码
• 矢量空间与码空间 • 线性分组码编码 • 线性分组码伴随式与译码 • 码的纠检错能力与MDC码 • 完备码与汉明码 • 分组码的性能极限
矢量空间与码空间
分组码： 信息：I (i1,i2, ik ) - - - - k位信息 码字：C (c1,c2, cn ) - - - - n位码字
集合V中矢量元素在矢量加运算下构成加群(V, )； 集合V中矢量元素与标量的标乘封闭在V中，即 a F和Vi V, a Vi V; 分配律、结合律成立，即 a,b F和Vi , Vj V a(Vi Vj ) aVi aVj , (a b)Vi aVi bVi , (ab)Vi a(bVi ) 则称集合V 是数域F上的n维矢量空间，也称n维线性 空间，n维矢量又称n重，因此码字也叫码矢。
矢量空间相关定义和解释
线性相关： 若a1 a2 ai 0时，a1V1 a2V2 aiVi 0 才成立，则称矢量V1, V2, Vi线性无关。 若线性相关，则可以通过移项将V1, V2, Vi中任一 矢量表示成其他矢量的线性组合。 若线性无关，则V1, V2, Vi这组矢量中的任何一个 都不能由其他矢量的线性组合生成。
矢量空间相关定义和解释
矢量空间的基底：如果存在一组线性无关的矢量
V1, V2 , Vk，这些矢量的线性组合的集合可以构成一个 矢量空间，则称这组矢量为这个矢量空间的基底。n维
矢量空间应包含n个基底，即n个基底张成了n维矢量空间。
子空间：若矢量空间V的一个元素子集Vs也能构成一个
矢量空间，则称Vs为V的子空间。
码字与矢量、矢量空间
码字Ci是n个码元的有序排列，是n维n重矢量空间Vn 的元素之一，但是矢量空间Vn的元素不一定是码字。
例如：k位二进制信息有2k 种组合，如果将一个信息 组合对应成一个码字，那么总共有2k 个码字；而n重码 矢所在的n维n重矢量空间Vn应包含2n 种n重矢量，显然 还存在着 2n - 2k 种n重矢量不是码字。
码字与矢量、矢量空间
为便于区分，码字Ci写作(ci0 , ci1, , ci(n1) )，将码字 的集合写作C，称为码集。码集C不一定能构成Vn的一个 子空间，线性分组码的码集C一定是Vn的一个子空间。
对于一般q进制(n, k)分组码，编码前有qk种信息组合， 属于q元域上k维k重矢量空间；编码后有qn种可能的码字 得结果为标量。
矢量空间相关定义和解释
线性组合： 对于域F上的若干矢量V1, V2 , Vi及Vk V,若满足 Vk a1V1 a2V2 a3V3 aiVi (ai F )，则称Vk是 V1, V2 , Vi的线性组合。 线性相关：
对于域F上的若干矢量V1, V2 , Vi V,若满足 a1V1 a2V2 aiVi 0 (ai F，且ai不全为零)，则 称矢量V1, V2 , Vi线性相关。
码字又可以看成一个n重矢量（n维线性空间中的 一个矢量）, n个码元正是n个矢量元素，这样可以从 矢量空间的角度来分析和理解分组码。
矢量空间定义
对于数 域（F, , ）上n重有序元素的集合V， V {Vi}，Vi (vi0 , vi1, vi(n1) ), vij F , j 0,1, 2, , n 1 若满足条件：
(x, y) -x (-1, 0) - y (0, -1)
例3-1 基底及其性质
由例3 -1可知： 基底并非是唯一的。 把矢量元素中包含一个"1"，而其余为"0"的那组 基底称为自然基底，如(1, 0)和(0,1)。 自然基底在保持正交的前提下任意缩放或旋转后 仍然是基底。如(1, 0) (1, 0) (0,1) (0, -1)。
分组码编码任务
分组码的任务： 在q n种可能的组合中选择其中q k 个构成一个k维 n重子空间作为码空间。 确定由k维k重矢量空间 映射到 n维n重矢量空间的 映射方法。
例3-1 基底及其性质
例3 -1 直角坐标系中的任何点都可以用一个二维矢量 (x, y)来表示，其中x, y R(实数域)，则可以认为：
两维空间是由两个矢量(1, 0)和(0,1) 作为基底张成的，空间的任意一矢量 可由这两个基底线性组合而成。 (x, y) x (1, 0) y (0,1) 两维空间是由两个矢量(-1, 0)和(0, -1)作为基底张成的， 空间的任意一矢量可由这两个基底线性组合而成。
注意
任何子空间都包含零矢量，因为它是矢量加法单位元。 n维矢量空间的元素可用n重来表示，其维数和重数是 一致的；引入子空间概念后，维数指线性空间基底的 个数，重数指构成矢量的有序元素的个数，两者不同。 矢量空间与其子空间一定具有相同的重数，不同的维 数。维数 重数，当维数 重数，表明是子空间。
矢量正交：若两个矢量的点积为零，即 Vi Vj 0，
则称Vi和V
正交。
j
矢量空间相关定义和解释
矢量空间正交： 若某矢量空间中的任意元素与另一个矢量空间中的 任意元素正交（Vi Vj =0），称这两个矢量空间正交。 若两个矢量空间的基底正交，这两个矢量空间一定正交。 对偶空间： 若n维矢量空间Vn中的两个子空间V1和V2正交，称 V1和V2为对偶空间，其中一个空间是另一个空间的零空间 （也称零化空间）。
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纠错码Lecture5-线性分组码(II).
信道编码理
20
Lecture 5 线性分组码(II)
线性码的纠错能力
Plokin限和Hamming限都是必要条件，也就是说 任何线性或非线性码都是必需满足的，否则码就 构造不出。越接近这个限越有效，等于时码达到 最佳。 V－G限是充分条件，并限定于线性码，满足这一 条件必存在一个最小距离为d的[n,k]线性码。
信道编码理
7
Lecture 5 线性分组码(II)
增广(Augmented)码
基本原理
在原码基础上，增加一个信息元，删去一个校验元得 到 [n, k+1, da]码
基本实现方法
在原码生成矩阵G的基础上，再选择一个与G中各行都 不相关的n维向量，得到新矩阵Ga，该矩阵有n列，k+1 行，即得到一个[n, k+1, da]码 若原码中没有全1码，可在其G矩阵上增加一组全为1的 行，得到增广码的生成矩阵为：
信道编码理
11
Lecture 5 线性分组码(II)
RM码
Hadamard变换
1 1 H2 0 1
1 0 H4 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1
H2m H2
m
1 0 0 0 H8 0 0 0 0
增余删信(Expurgated)码
基本原理
在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩阵 有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码 若[n, k, d]码的最小汉明距离d为奇数，则挑选所有偶数 重量的码字，即可构成[n, k-1, d+1]增余删信码 [Recall: 任何[n, k, d]线性分组码，码字的重量或全部为 偶数，或者奇数重量的码字数等于偶数重量的码字数]
纠错编码线性分组码演示文稿
编码中最重要的是要研究信息与码字的一一对应 映射关系，即(mk1mk2 , m1m0 ) 线性映射(cn1cn2 , c1c0 )
第25页，共106页。
线性分组码生成矩阵
对线性分组码：码集C中任意一个码字C的第j个码元 c j都是信息元mk1, mk2 , m1, m0的线性组合，规则如下：
c j m g k 1 (k 1) j mk 2 g(k 2) j m1g1 j m0 g0 j 其中 gij {0,1}, i k 1, 1, 0 实际上 gij表示第i个信息元mi对第j个码元的影响。 写成矩阵形式：
第14页，共106页。
码字与矢量、矢量空间
为便于区分，码字Ci写作(ci0 , ci1, , ci(n1) )，将码字 的集合写作C，称为码集。码集C不一定能构成Vn的一个 子空间，线性分组码的码集C一定是Vn的一个子空间。
对于一般q进制(n, k)分组码，编码前有qk种信息组合， 属于q元域上k维k重矢量空间；编码后有qn种可能的码字 组合，属于q元域上n维n重矢量空间；通常qn qk
对于二元(n, k)分组码：Rc k / n
对于q元(n, k)分组码：Rc
ln M N
ln qk n
k ln q n
第19页，共106页。
例3-3 线性分组码生成矩阵
例3 - 3： (6,3)二进制线性分组码输入信息组是m (m2m1m0 ) 编码输出是C (c5c4c3c2c1c0 )；已知输入输出码元 之间的关系式是c5 m2; c4 m1; c3 m0; c2 m2 m1; c1 m2 m1 m0; c0 m2 m0;
由以上推导可知（续1）： 编码涉及 " 码集 " 和"映射 " 两个因素，而构成空间的 基底并非唯一的，所以不同的基底或生成矩阵可能 产生相同的码集；码集相同，映射方法不同时，仍 称为不同的编码，或称为等效编码。 由于子空间是k维的，因此生成矩阵的秩是k。
第25页，共106页。
线性分组码生成矩阵
对线性分组码：码集C中任意一个码字C的第j个码元 c j都是信息元mk1, mk2 , m1, m0的线性组合，规则如下：
c j m g k 1 (k 1) j mk 2 g(k 2) j m1g1 j m0 g0 j 其中 gij {0,1}, i k 1, 1, 0 实际上 gij表示第i个信息元mi对第j个码元的影响。 写成矩阵形式：
第14页，共106页。
码字与矢量、矢量空间
为便于区分，码字Ci写作(ci0 , ci1, , ci(n1) )，将码字 的集合写作C，称为码集。码集C不一定能构成Vn的一个 子空间，线性分组码的码集C一定是Vn的一个子空间。
对于一般q进制(n, k)分组码，编码前有qk种信息组合， 属于q元域上k维k重矢量空间；编码后有qn种可能的码字 组合，属于q元域上n维n重矢量空间；通常qn qk
对于二元(n, k)分组码：Rc k / n
对于q元(n, k)分组码：Rc
ln M N
ln qk n
k ln q n
第19页，共106页。
例3-3 线性分组码生成矩阵
例3 - 3： (6,3)二进制线性分组码输入信息组是m (m2m1m0 ) 编码输出是C (c5c4c3c2c1c0 )；已知输入输出码元 之间的关系式是c5 m2; c4 m1; c3 m0; c2 m2 m1; c1 m2 m1 m0; c0 m2 m0;
由以上推导可知（续1）： 编码涉及 " 码集 " 和"映射 " 两个因素，而构成空间的 基底并非唯一的，所以不同的基底或生成矩阵可能 产生相同的码集；码集相同，映射方法不同时，仍 称为不同的编码，或称为等效编码。 由于子空间是k维的，因此生成矩阵的秩是k。
纠错LDPC的原理讲解幻灯片PPT
8
Tanner 图
• Tanner图 Tanner图里有两类节点:消息比特(message bit)节点和校验
(check)节点。 例如一个(8,4)乘积码，
11100000
CHT:(1×8)(8×4)=1×4， H =
00011100
10010010
01001001
校验节点(行） f0 f1 f2 f3
1110100
H=
1101010 1011001
非稀疏矩阵
•码字和校验矩阵的关系：CHT=0 或HCT=0
4
LDPC 码结构特点(1)
•说(n,k)分组码校验矩阵H (n-k行n列)是稀疏矩阵，指其
每行每列只有极少个“1”而最小距离dmin又较大。
•正则（规则）的LDPC码:
指H矩阵每列(column)有同样wc个“1”，
(4)
这是因为
同理 iii度i 节 n/总 点 i/总 边 数 边 数 数 i度信 n 息节 ~i 点数
i
i
i度校 n验 k 节点 ~数 i
于是可知，度数为i的信息节点数是
度数为i 的校验节点数是（nk，）~而i
n
~，i
（ n k ） ~ i n nk ~ i 1 n k n ~ i 1 r， n ~ i (5) 14
本PPT课件仅供大家学习使用 请学习完及时删除处理 谢谢！
LDPC （低密度校验）码
（Low Density Parity Check）
基本思路： 校验矩阵是稀疏矩阵，极长码。只对“1”迭代Turbo 译码 LDPC码历史
•Robert Gallager 1960 年在MIT Ph. D. 论文中提出，但由于 1. 计算量大 2. RS码的引入 3. RS＋卷积码被认为是最佳搭配
Tanner 图
• Tanner图 Tanner图里有两类节点:消息比特(message bit)节点和校验
(check)节点。 例如一个(8,4)乘积码，
11100000
CHT:(1×8)(8×4)=1×4， H =
00011100
10010010
01001001
校验节点(行） f0 f1 f2 f3
1110100
H=
1101010 1011001
非稀疏矩阵
•码字和校验矩阵的关系：CHT=0 或HCT=0
4
LDPC 码结构特点(1)
•说(n,k)分组码校验矩阵H (n-k行n列)是稀疏矩阵，指其
每行每列只有极少个“1”而最小距离dmin又较大。
•正则（规则）的LDPC码:
指H矩阵每列(column)有同样wc个“1”，
(4)
这是因为
同理 iii度i 节 n/总 点 i/总 边 数 边 数 数 i度信 n 息节 ~i 点数
i
i
i度校 n验 k 节点 ~数 i
于是可知，度数为i的信息节点数是
度数为i 的校验节点数是（nk，）~而i
n
~，i
（ n k ） ~ i n nk ~ i 1 n k n ~ i 1 r， n ~ i (5) 14
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LDPC （低密度校验）码
（Low Density Parity Check）
基本思路： 校验矩阵是稀疏矩阵，极长码。只对“1”迭代Turbo 译码 LDPC码历史
•Robert Gallager 1960 年在MIT Ph. D. 论文中提出，但由于 1. 计算量大 2. RS码的引入 3. RS＋卷积码被认为是最佳搭配
西电纠错码课件第三章线性分组码
GIkP 或 GPkI 典型生成矩阵
H P TIn k H In kP T 典型校验矩阵
西电纠错码课件第三章线性分组码
国家重点实验室 五、线性分组码的最小汉明距离
定理3.1.1 ［n ， k ， d］线性分组码的最小距离等于非 零码字的最小重量。
dCm i[n,ki]n(Ci)
国家重点实验室
推论3.1.1 GF(2)上线性分组码任3个码字C1， C2， C3之 间的汉明距离， 满足以下三角不等式
d(C1， C2)+d(C2， C3)≥d(C1， C3)
定理3.1.3 任何［n ， k ， d］线性分组码， 码字的重 量或全部为偶数， 或者奇数重量的码字数等于偶数重 量的码字数。
国家重点实验室
• 定义2(域F上的线性组合)
ub 1v1b 2v2 b kvk
vi V,bi F
• 定义3(线性相关和线性无关)
加法和乘法运算均是在域F上定义的加和乘运算
西电纠错码课件第三章线性分组码
国家重点实验室
• 定义4(张成)：给定线性空间V和V中的一个子集S，若 V中的任意一个矢量均可用S中的矢量线性组合生成， 则称S张成了矢量空间V。
1 c4 0 c4
1 c0 0 c6 1 c5 1 c4
西电纠错码课件第三章线性分组码
国家重点实验室
Examples
c6 c4 c3 0
c
6
c5 c6
c4 c1
c2 0
0
c5 c 4 c 0 0
西电纠错码课件第三章线性分组码
国家重点实验室
若用矩阵形式，这些线性方程组可表示为：
加法和乘法运算均是在域F上定义的加和乘运算
西电纠错码课件第三章线性分组码
H P TIn k H In kP T 典型校验矩阵
西电纠错码课件第三章线性分组码
国家重点实验室 五、线性分组码的最小汉明距离
定理3.1.1 ［n ， k ， d］线性分组码的最小距离等于非 零码字的最小重量。
dCm i[n,ki]n(Ci)
国家重点实验室
推论3.1.1 GF(2)上线性分组码任3个码字C1， C2， C3之 间的汉明距离， 满足以下三角不等式
d(C1， C2)+d(C2， C3)≥d(C1， C3)
定理3.1.3 任何［n ， k ， d］线性分组码， 码字的重 量或全部为偶数， 或者奇数重量的码字数等于偶数重 量的码字数。
国家重点实验室
• 定义2(域F上的线性组合)
ub 1v1b 2v2 b kvk
vi V,bi F
• 定义3(线性相关和线性无关)
加法和乘法运算均是在域F上定义的加和乘运算
西电纠错码课件第三章线性分组码
国家重点实验室
• 定义4(张成)：给定线性空间V和V中的一个子集S，若 V中的任意一个矢量均可用S中的矢量线性组合生成， 则称S张成了矢量空间V。
1 c4 0 c4
1 c0 0 c6 1 c5 1 c4
西电纠错码课件第三章线性分组码
国家重点实验室
Examples
c6 c4 c3 0
c
6
c5 c6
c4 c1
c2 0
0
c5 c 4 c 0 0
西电纠错码课件第三章线性分组码
国家重点实验室
若用矩阵形式，这些线性方程组可表示为：
加法和乘法运算均是在域F上定义的加和乘运算
西电纠错码课件第三章线性分组码
线性分组码在纠错编解码的应用
性 分 组 码 的 编 码 和伴 随式 译 码 过 程 。
关 键 词 ： 片机 ； 单 纠错 码 ； 性 分 组 码 ； 随 式译 码 线 伴
中 图 分 类 号 ： Ｎ９ ９ ３ Ｔ １． 文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ７ ９ ４ （ ０ Ｏ ０ —０ １ — ０ １０ — １ ９２ １ ）６ ０ ９ ５
进行 处理 ， 如果 不可靠 ， 丢弃重 发或 者进 行修 复 。 就
１校 验 码 技 术 概 述
有 ２ 种 取值 。 编码 器按 一定 规则 ， 将输 人 的信息组 编 制成 长为 ｎ的码字 ， 码字 的前 ｋ位 为信 息元 ， 别与信 分
息 组的 ｋ个信息元 依次——对 应相 等。 码字 的后ｒ － —ｎ
的Ｐ ０口显 示 出 来 。 ２ ２线 性 分 组 码 编 码 程 序 设 计 ．
（ ， 字 为 （ 。 。 。当已知 信息 组 Ｃ Ｃ Ｃ ）码 ＣＣＣＣＣＣＣ ） 验
时 按 以下 规 则 得 到校 验 元 ：
一
校
矩
阵 为
Ｈ 一
Ｃ Ｃ ＋ Ｃ Ｃｓ Ｃ ＋ ＋
黄 炳 ， 涛 林 ， 周 刘 旭
（ 江西 应用 工程 职业 学院 电气工 程系 ， 西 萍 乡 ３ ７ ０ ） 江 ３ ０ ０
摘
要 ： 今 社 会 通 信 及 高 速 通 信 数 据 网 的 飞 速 发 展 ， 据 的交 换 、 理 和 存 储 技 术 得 到 了 广 泛 的 应 用 ， 们 对 数 据 当 数 处 人
传 输 和 存 储 系统 的可 靠 性 提 出 了 越 来 越 高 的要 求 。 本 系 统 介 绍 在 纠 错 编 解 码 中 很 常 用 的 一 种 方 法 —— 线 性 分 组 码 ，
关 键 词 ： 片机 ； 单 纠错 码 ； 性 分 组 码 ； 随 式译 码 线 伴
中 图 分 类 号 ： Ｎ９ ９ ３ Ｔ １． 文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ７ ９ ４ （ ０ Ｏ ０ —０ １ — ０ １０ — １ ９２ １ ）６ ０ ９ ５
进行 处理 ， 如果 不可靠 ， 丢弃重 发或 者进 行修 复 。 就
１校 验 码 技 术 概 述
有 ２ 种 取值 。 编码 器按 一定 规则 ， 将输 人 的信息组 编 制成 长为 ｎ的码字 ， 码字 的前 ｋ位 为信 息元 ， 别与信 分
息 组的 ｋ个信息元 依次——对 应相 等。 码字 的后ｒ － —ｎ
的Ｐ ０口显 示 出 来 。 ２ ２线 性 分 组 码 编 码 程 序 设 计 ．
（ ， 字 为 （ 。 。 。当已知 信息 组 Ｃ Ｃ Ｃ ）码 ＣＣＣＣＣＣＣ ） 验
时 按 以下 规 则 得 到校 验 元 ：
一
校
矩
阵 为
Ｈ 一
Ｃ Ｃ ＋ Ｃ Ｃｓ Ｃ ＋ ＋
黄 炳 ， 涛 林 ， 周 刘 旭
（ 江西 应用 工程 职业 学院 电气工 程系 ， 西 萍 乡 ３ ７ ０ ） 江 ３ ０ ０
摘
要 ： 今 社 会 通 信 及 高 速 通 信 数 据 网 的 飞 速 发 展 ， 据 的交 换 、 理 和 存 储 技 术 得 到 了 广 泛 的 应 用 ， 们 对 数 据 当 数 处 人
传 输 和 存 储 系统 的可 靠 性 提 出 了 越 来 越 高 的要 求 。 本 系 统 介 绍 在 纠 错 编 解 码 中 很 常 用 的 一 种 方 法 —— 线 性 分 组 码 ，
九差错控制编码PPT课件
分组码：每组信息码附加若干监督码的编 码集合。在分组码中，监督码元仅监督本 码组中的信息码元。用(n，k)表示 。
an-1
an-2
…
ar ar-1
…
a0
k
r
n
码重：码组中非零码元的数目。
码距：两码组中对应码位上具有不同二进制码
元的位数。
2019年6月21日
5
最小码距的有关结论：
在一个码组内检测e个误码，要求最小码距 dmin e 1
k 2r 1 r 1 r 1 r
n 2r 1
2r 1
n
2019年6月21日
16
三、监督矩阵
分组码的监督方程
aa66
码。其中的监督位数目=信息位数目。监
督码元与信息码元相同或者相反，由信息
码中“1”的个数而定。
2019年6月21日
10
（1）当信息位中有奇数个“1”时，监督码为正码。 （2）当信息位中有偶数个“1”时，监督码为反码。
接收端译码方法：
（1）信息位+监督位=合成码组（产生校验码组）。
（2）接收码组的信息位中有奇数个“1”，则合成 码组=校验码组；接收码组的信息位中有偶数个 “1”，则合成码组的反码=校验码组；
a2 a6 a5 a4 a1 a6 a5 a3
a0 a6 a4 a3
给定信息位，可直接按上式计算出监督位（P289表9-
5）。根据监督位可判断错码情况。如：收到码组为0000011；
因为s1s2s3=011，故a3位有错码。
（7，4）汉明码的最小码距d0=3，所以能纠正一位错码 或检测两个错码。汉明码是一种高效码。
在一个码组内纠正t个误码，要求最小码距 dmin 2t 1
an-1
an-2
…
ar ar-1
…
a0
k
r
n
码重：码组中非零码元的数目。
码距：两码组中对应码位上具有不同二进制码
元的位数。
2019年6月21日
5
最小码距的有关结论：
在一个码组内检测e个误码，要求最小码距 dmin e 1
k 2r 1 r 1 r 1 r
n 2r 1
2r 1
n
2019年6月21日
16
三、监督矩阵
分组码的监督方程
aa66
码。其中的监督位数目=信息位数目。监
督码元与信息码元相同或者相反，由信息
码中“1”的个数而定。
2019年6月21日
10
（1）当信息位中有奇数个“1”时，监督码为正码。 （2）当信息位中有偶数个“1”时，监督码为反码。
接收端译码方法：
（1）信息位+监督位=合成码组（产生校验码组）。
（2）接收码组的信息位中有奇数个“1”，则合成 码组=校验码组；接收码组的信息位中有偶数个 “1”，则合成码组的反码=校验码组；
a2 a6 a5 a4 a1 a6 a5 a3
a0 a6 a4 a3
给定信息位，可直接按上式计算出监督位（P289表9-
5）。根据监督位可判断错码情况。如：收到码组为0000011；
因为s1s2s3=011，故a3位有错码。
（7，4）汉明码的最小码距d0=3，所以能纠正一位错码 或检测两个错码。汉明码是一种高效码。
在一个码组内纠正t个误码，要求最小码距 dmin 2t 1
线性分组码编码和译码PPT讲稿
对于系统码，已知校验矩阵H就可以确定典型生成矩阵G，反之，已知 生成矩阵也就可以确定校验矩阵。
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例题
【例】设二元(7,4)码的生成矩阵为 1 0 0 0 1 1 0
G 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1
求其一致校验矩阵？
h0 h0,0
H
h1
h1,0
h
n
k
1
hnk 1,0
h0,1 h1,1
hnk 1,1
h0,n1
h1,n1
hn
k
1,n1
现在您浏览的位置是第十二页，共三十四页。
典型一致校验矩阵
系统码的一致校验矩阵为
h0,0
h0,1
h0,nk1 1 0 0
H
h1,0
h1,1
h1,nk 1 0 1
一此个，rs=与n-ek不维存矢在量一，一共对有应关系个。，）而最错终误根图据样译e码是准n维则矢选量取2n，其k共中有一个，个常，常因
选取重量最轻的为错误图样e的估计2值n ，从而得到发送码字的估计值，体
现最小距离译码的思想。
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译码思路2
(n,k)分组码的2k个码字，是n维矢量空间Vn中的一个k维子空间，它在 GF(2)上是一个子群。利用分元陪集的方法，可以利用该子空间的2k元素 ，生成Vn中的所有2n个元素。
译码器就是从接收码字r得到发送码字的估计值，或者说从接收码字中确 定错误图样e，然后由c=r-e得到发送码字的估计值。如果估计正确则译码 正确，否则译码错误。
如何得到发送码字的估计值，根据什么准则？
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例题
【例】设二元(7,4)码的生成矩阵为 1 0 0 0 1 1 0
G 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1
求其一致校验矩阵？
h0 h0,0
H
h1
h1,0
h
n
k
1
hnk 1,0
h0,1 h1,1
hnk 1,1
h0,n1
h1,n1
hn
k
1,n1
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典型一致校验矩阵
系统码的一致校验矩阵为
h0,0
h0,1
h0,nk1 1 0 0
H
h1,0
h1,1
h1,nk 1 0 1
一此个，rs=与n-ek不维存矢在量一，一共对有应关系个。，）而最错终误根图据样译e码是准n维则矢选量取2n，其k共中有一个，个常，常因
选取重量最轻的为错误图样e的估计2值n ，从而得到发送码字的估计值，体
现最小距离译码的思想。
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译码思路2
(n,k)分组码的2k个码字，是n维矢量空间Vn中的一个k维子空间，它在 GF(2)上是一个子群。利用分元陪集的方法，可以利用该子空间的2k元素 ，生成Vn中的所有2n个元素。
译码器就是从接收码字r得到发送码字的估计值，或者说从接收码字中确 定错误图样e，然后由c=r-e得到发送码字的估计值。如果估计正确则译码 正确，否则译码错误。
如何得到发送码字的估计值，根据什么准则？
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《信道编码纠错码》PPT课件
19
传输冗余比特必然要动用冗余的资源。 时间：
比如一个比特重复发几次,或一段消息重复发几遍,或 根据收端的反馈重发受损信息组。
频带：
插入冗余比特后传输效率下降,若要保持有用信息的速 率不变,方法之一是增大符号传递速率(波特率),结果 就占用了更大的带宽。
功率：
采用多进制符号,用8进制ASK符号代替4进制ASK符号来 传送2比特信息,可腾出位置另传1冗余比特。
对二进制传输系统,符号差错等效于比特差错;对多 进制系统,一个符号差错对应多少比特差错却难以确 定
31
差错率
根据不同的应用场合对差错率有不同的要求:
在电报传送时,允许的比特差错率约为: 10－4～10－5；
计算机数据传输,一般要求比特差错率小于: 10－8～10－9；
在遥控指令和武器系统的指令系统中,要求有更小的误比特率或码组差 错率
01 禁用码组
10
11雨
11
• 插入1位监督码后具有检出1位错码的能 力,但不能予以纠正。
16
检错与纠错原理
000晴 111雨
000
001
晴
010
100
011
101
雨
110
111
• 在只有1位错码的情况下,可以判决哪位是错 码并予以纠正,可以检出2位或2位以下的错码。
17
检错与纠错原理
最大似然译码：
14
差错控制系统分类
混合纠错(HEC)：
是FEC与ARQ方式的结合。 发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组,收端收到码组后,检查差
错情况,如果差错在码的纠错能力以内,则自动进行纠正。 如果信道干扰很严重,错误很多,超过了码的纠错能力,但能检测出来,则
传输冗余比特必然要动用冗余的资源。 时间：
比如一个比特重复发几次,或一段消息重复发几遍,或 根据收端的反馈重发受损信息组。
频带：
插入冗余比特后传输效率下降,若要保持有用信息的速 率不变,方法之一是增大符号传递速率(波特率),结果 就占用了更大的带宽。
功率：
采用多进制符号,用8进制ASK符号代替4进制ASK符号来 传送2比特信息,可腾出位置另传1冗余比特。
对二进制传输系统,符号差错等效于比特差错;对多 进制系统,一个符号差错对应多少比特差错却难以确 定
31
差错率
根据不同的应用场合对差错率有不同的要求:
在电报传送时,允许的比特差错率约为: 10－4～10－5；
计算机数据传输,一般要求比特差错率小于: 10－8～10－9；
在遥控指令和武器系统的指令系统中,要求有更小的误比特率或码组差 错率
01 禁用码组
10
11雨
11
• 插入1位监督码后具有检出1位错码的能 力,但不能予以纠正。
16
检错与纠错原理
000晴 111雨
000
001
晴
010
100
011
101
雨
110
111
• 在只有1位错码的情况下,可以判决哪位是错 码并予以纠正,可以检出2位或2位以下的错码。
17
检错与纠错原理
最大似然译码：
14
差错控制系统分类
混合纠错(HEC)：
是FEC与ARQ方式的结合。 发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组,收端收到码组后,检查差
错情况,如果差错在码的纠错能力以内,则自动进行纠正。 如果信道干扰很严重,错误很多,超过了码的纠错能力,但能检测出来,则
《线性分组码》PPT课件
3.从剩下的元素中任取一个重量最轻的，按相同方式 构成第三行，依此类推…
34
伴随式译码
陪集首 陪集
伴随式
35
伴随式译码
(6,3)码的标准阵
陪集首
伴随式
36
伴随式译码
BSC下，二元线性码正确译 码的概率：
第l个陪集
首的重量
重量为i的陪 集首的数量
37
伴随式译码
译码步骤： 计算接收矢量的伴随式 由伴随式确定陪集首 将陪集首作为错误图样e
将v译为c=v-e
38
最小距离和纠错能力
Th. v属于码字集合的充要条件是v的非 零码元与H相应列的乘积之和为0。
推论：若矩阵H中任意d-1列线性无关，相应码的最小距离至少为d。
39
最小距离和纠错能力
1.最小距离与纠错能力：(n,k) 线性码能纠t个错误的充要条件是码的最小距离 为
[证明]：设码C的最小距离为dmin,以码字为中心，以 t为半径的球应不相交。反证若相交，设V为其中元 素，C1,C2来自两相交球的码字，有三角不等式。
所以码字又称为码矢。 编码速率/编码效率/码率/传信率：R=k/n。它说明了信道的利用效率，R是衡量码
性能的一个重要参数。
2
线性分组码
码字重量：码字中非0码元符号的个数，汉明重量。 在二元线性码中，码字重量是码字中含“1”的个数。
等重码: 所有码字具有相同的重量. 汉明距离：在(n,k)分组码中，两个码字 U、V 之间 对应码元位上符号取值不同的个数。 最小距离dmin：任意两个码字间距离最小值.
10
线性分组码
证明 （要证明，第一个码中任一个码字也是第二个 码中的码字；第二个码中任一个码字也是第一个码 中的码字）
34
伴随式译码
陪集首 陪集
伴随式
35
伴随式译码
(6,3)码的标准阵
陪集首
伴随式
36
伴随式译码
BSC下，二元线性码正确译 码的概率：
第l个陪集
首的重量
重量为i的陪 集首的数量
37
伴随式译码
译码步骤： 计算接收矢量的伴随式 由伴随式确定陪集首 将陪集首作为错误图样e
将v译为c=v-e
38
最小距离和纠错能力
Th. v属于码字集合的充要条件是v的非 零码元与H相应列的乘积之和为0。
推论：若矩阵H中任意d-1列线性无关，相应码的最小距离至少为d。
39
最小距离和纠错能力
1.最小距离与纠错能力：(n,k) 线性码能纠t个错误的充要条件是码的最小距离 为
[证明]：设码C的最小距离为dmin,以码字为中心，以 t为半径的球应不相交。反证若相交，设V为其中元 素，C1,C2来自两相交球的码字，有三角不等式。
所以码字又称为码矢。 编码速率/编码效率/码率/传信率：R=k/n。它说明了信道的利用效率，R是衡量码
性能的一个重要参数。
2
线性分组码
码字重量：码字中非0码元符号的个数，汉明重量。 在二元线性码中，码字重量是码字中含“1”的个数。
等重码: 所有码字具有相同的重量. 汉明距离：在(n,k)分组码中，两个码字 U、V 之间 对应码元位上符号取值不同的个数。 最小距离dmin：任意两个码字间距离最小值.
10
线性分组码
证明 （要证明，第一个码中任一个码字也是第二个 码中的码字；第二个码中任一个码字也是第一个码 中的码字）
纠错码Lecture4-线性分组码(I)详解
显然，qn 个 n 维数组( n重)组成一个GF(q)上的 n 维线
性空间。如果 qk (或 2k)个码字集合构成了一个 k 维线性子 空间，则称它是一个 [n, k] 线性分组码。
信道编码理论
3
Lecture 4
线性分组码
[n, k]线性分组码是 GF(q)上的 n维线性空间 Vn 中 的一个 k 维子空间 Vn,k。 由于该线性子空间在加法运算下构成阿贝尔群， 所以线性分组码又称为群码。 通常用 [n, k, d] 或 [n, k]，而 [n, M, d] 表示码字数 目为 M 的任何码，此时码率 R=n-1logqM。
H = [-PTIn-k] （-PT 是 P 矩阵的转置） 系统码的特点 ：系统码的编码相对而言比较简单，且由G 可以方便的得到 H（反之亦然），容易检查编出的码字是 否正确。同时，对分组码而言，系统码与非系统码的纠错
能力完全等价。
信道编码理论
16
Lecture 4
缩短码
缩短码 : 在 [n, k, d] 码的码字集合中，挑选前 i 个信息位
错能力至少与原 [n, k, d] 码相同。
信道编码理论
17
Lecture 4
缩短码
表1的[7, 3, 4]码：0000000，0011101，0100111，
0111010，1001110，1010011，1101001，1110100
[6, 2, 4]缩短码为： 000000，011101，100111，111010
cn1 cn2 cnk cnk 1 cnk 2 c0
k个信息位 nk个校验位
n-k个校验位可用k个已知的信息位表示出来
c nk 1 hnk 1,n1 c n1 hnk 1,n2 c n2 hnk 1,nk c nk c nk 2 hnk 2,n1 c n1 hnk 2,n2 c n2 hnk 2,nk c nk c0 h0,n1 c n1 h0,n2 c n2 h0,nk c nk