线性分组码编码分析与实现.
线性分组码编码的分析与实现
吉林建筑大学电气与电子信息工程学院信息理论与编码课程设计报告设计题目：线性分组码编码的分析与实现专业班级：电子信息工程 111学生姓名：学号：指导教师：设计时间： 2014.11.24－2014.12.5 教师评语：成绩评阅教师日期第1章 概述1.1设计的作用、目的随着计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交换、处理和存储技术得到了广泛的应用，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出了越来越高的要求。
因此，如何控制差错、提高数据传输和存储的可靠性，成为现代数字通信系统设计的重要课题。
目前，绝大多数的数字计算机和数字通信系统中广泛采用二进制形式的码。
而线性分组码具有编译码简单，封闭性好等特点，采用差错控制编码技术是提高数字通信可靠性的有效方法，是目前较为流行的差错控制编码技术。
对线性分组码的讨论都在有限域GF(2)上进行，域中元素为{0,1},域中元素计算为模二加法和模二乘法。
分组码是一组固定长度的码组，可表示为（n , k），通常它用于前向纠错。
在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。
在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。
对于长度为n的二进制线性分组码，它有种2n 可能的码组，从2n 种码组中，可以选择M=2k 个码组（k<n）组成一种码。
这样，一个k比特信息的线性分组码可以映射到一个长度为n码组上，该码组是从M=2k 个码组构成的码集中选出来的，这样剩下的码组就可以对这个分组码进行检错或纠错。
1.2设计任务及要求设计一个（7,3）线性分组码的编译码程序，完成对任意序列的编码，根据生成矩阵形成监督矩阵，得到伴随式，并根据其进行译码，同时验证工作的正确性，最基本的是要具备对输入的信息码进行编码，让它具有抗干扰的能力。
1. 理解无失真信源编码的理论基础，掌握无失真信源编码的基本方法；2. 掌握哈夫曼编码/费诺编码方法的基本步骤及优缺点；3. 深刻理解信道编码的基本思想与目的，理解线性分组码的基本原理与编码过程4. 能够使用MATLAB或其他语言进行编程，编写的函数要有通用性。
信息论与编码_第7章线性分组码
Information and Coding Theory
第7章 线性分组码
王永容 机械与电气工程学院 wangyr416@
1
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
2
线性分组码概念 (n, k)线性分组码=“(n, k)分组”+“线性” 2元 (n, k)分组码 f : S=(F2)k C (F2)n m=(m2,…,mk)c=(c1c2,…,cn) C是(F2)n的一个k维线性子空间！
系统生成矩阵 1 0 0 1 1 1 Gs 0 1 0 1 1 0 I | P 0 0 1 0 1 1
校验矩阵 1 1 0 1 0 0 H P T | I 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
1 1 1 0 1 1 [000]. 0 0 1 0 0 1
17
线性分组码的校验矩阵
例7-2（续2）：求对偶码C
1 1 0 1 0 0 对偶码的生成矩阵=校验矩阵H 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
c mH , c1 m1 m2 m3 c m m 1 2 2 c3 m2 m3 c4 m1 c5 m2 c6 m3
f
F2n S=F2k
C
4
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
5
线性分组码的生成矩阵
生成矩阵 C是F2n的一个k维线性子空间，设{g1,g2,…, gk}是C的一个基
信息论基础线性分组码PPT
设码字x5 (x0 , x1, x2 , x3, x4 )， 可得 信息位 码字
00 00000 01 01101 10 10111 11 11010
x2
x3
x0 x0
x1
x4 x0 x1
20
线性分组码的基本概念
改写为
1 1
x0 x0
1 0
x1 x1
1 x2 0 0 x2 1
二战期间在路易斯维尔大学当教授，1945年参加曼哈顿计划， 负责编写电脑程式，计算物理学家所提供方程的解。该程式 是判断引爆核弹会否燃烧大气层，结果是不会，于是核弹便 开始试验。
1946至76年在贝尔实验室工作。他曾和约翰·怀尔德·杜奇、 克劳德·艾尔伍德·香农合作。1956年他参与了IBM 650的程 式语言发展工作。
码字无关！
记S= en·HT ，称之为接收序列rn的伴随式.
36
线性分组码的译码
（n，k）线性分组码的校验矩阵，用列向量
表出：
h1,1
h1,2
H
h2,1
h2,2
h1,n
h2,n
h1
h2
hn
hnk
,1
hnk ,2
hnk
,n
其中，hn-i为H矩阵的第i列.
37
线性分组码的译码
设en=(e1， e2，…，en)=(0，…，ei1，0，…，ei2，0，…， ei3，0，…，eit，0，…，0)
信息位 码字
00 00000
1(01) 1(10) 11
01 01101 10 10111
f (11) 11010
11 11010
1(01101) 1(10111) 11010
f (1(01) 1(10)) 1(01101) 1(10111)
线性分组码编码器设计
线性分组码编码器设计1.引言2.线性分组码的基本原理线性分组码是由生成矩阵和校验矩阵组成的。
生成矩阵用于将数据进行编码，而校验矩阵用于检测和纠正错误。
生成矩阵是一个m×n的矩阵，其中n是数据位的数量，m是冗余位的数量。
生成矩阵的每一行表示一个码字，通过将生成矩阵与数据矩阵相乘，可以得到编码后的数据。
校验矩阵是一个n×m的矩阵，用于对编码后的数据进行检测和纠正。
3.线性分组码编码器的设计步骤3.1确定数据位数和冗余位数：根据实际应用需求确定数据位的数量和冗余位的数量。
3.2生成生成矩阵和校验矩阵：根据数据位数和冗余位数生成相应的生成矩阵和校验矩阵。
3.3将生成矩阵和校验矩阵存储在编码器中。
3.4输入数据：将待编码的数据输入到编码器中。
3.5编码：将输入的数据与生成矩阵进行矩阵乘法运算，得到编码后的数据。
3.6输出数据：将编码后的数据输出。
4.线性分组码编码器的性能分析线性分组码编码器的性能主要与生成矩阵和校验矩阵有关。
生成矩阵的选择决定了编码器的纠错能力，校验矩阵的选择决定了编码器的错误检测和纠正能力。
通常情况下，生成矩阵和校验矩阵都需要满足一些特定的性质，如生成矩阵需要满秩，校验矩阵需要是生成矩阵的逆。
5.线性分组码编码器的应用总结：线性分组码编码器是一种常见的错误检测和纠正编码方法。
它通过生成矩阵和校验矩阵来对数据进行编码，并能够检测和纠正多位错误。
线性分组码编码器的设计步骤包括确定数据位数和冗余位数、生成生成矩阵和校验矩阵、将生成矩阵和校验矩阵存储在编码器中、输入数据、编码和输出数据。
线性分组码编码器广泛应用于通信和存储领域，提高了通信和存储的可靠性。
分组编码原理
分组编码（group coding）是一种编码技术，它将数据分成多个分组（group）进行编码，以提高数据传输效率和减少数据冗余。
分组编码通常用于数据传输和存储系统中，例如在网络传输、光盘存储和硬盘存储等领域中。
分组编码的原理是将数据分成多个分组，每个分组包含相同数量的数据位，然后对数据分组进行编码。
编码后的数据分组可以通过简单的位操作进行合并，以生成完整的数据流。
分组编码的目的是减少数据冗余，提高数据传输效率，同时保持数据的可靠性。
分组编码通常有两种方式：线性分组编码和非线性分组编码。
线性分组编码是一种基于线性代数的编码方式，它将数据分组成多个线性组合，然后对线性组合进行编码。
非线性分组编码则是一种基于非线性变换的编码方式，它将数据分组成多个非线性组合，然后对非线性组合进行编码。
分组编码的应用非常广泛，例如在网络传输中，它可以减少数据包的大小，提高数据传输速度；在光盘存储中，它可以减少光盘的存储容量，提高光盘的存储密度；在硬盘存储中，它可以减少数据的传输和存储时间，提高数据的读写速度。
线性分组码 实验报告
线性分组码实验报告《线性分组码实验报告》摘要：本实验旨在研究线性分组码在通信系统中的应用。
通过对线性分组码的理论知识进行学习和探讨，结合实际通信系统的应用场景，设计了一系列实验方案，并进行了实验验证。
实验结果表明，线性分组码在通信系统中具有较高的纠错能力和可靠性，能够有效提高数据传输的质量和稳定性。
引言：线性分组码是一种常用的纠错编码技术，广泛应用于通信系统中。
它通过在数据传输过程中添加冗余信息，以实现对传输数据的纠错和恢复。
在实际通信系统中，线性分组码可以有效提高数据传输的可靠性和稳定性，对于提高通信系统的性能具有重要意义。
因此，对线性分组码的研究和应用具有重要的理论和实际意义。
实验目的：1. 了解线性分组码的基本原理和编码、解码过程；2. 掌握线性分组码在通信系统中的应用方法；3. 验证线性分组码在通信系统中的纠错能力和可靠性。
实验方法：1. 学习线性分组码的基本原理和编码、解码过程；2. 设计实验方案，包括构建通信系统模型、选择适当的编码方式和参数等；3. 进行实验验证，对比不同编码方式和参数下的通信系统性能。
实验结果和分析：通过实验验证，我们发现线性分组码在通信系统中具有较高的纠错能力和可靠性。
在不同的编码方式和参数下，线性分组码都能有效提高通信系统的数据传输质量和稳定性。
这表明线性分组码在通信系统中具有重要的应用价值，能够有效提高通信系统的性能。
结论：线性分组码是一种有效的纠错编码技术，在通信系统中具有重要的应用价值。
通过本实验的研究和验证，我们对线性分组码的原理和应用有了更深入的理解，为通信系统的性能优化提供了重要的参考和支持。
希望本实验结果能够对相关领域的研究和应用提供有益的参考和借鉴。
信息论与编码 8 线性分组码
。所以非空集合{0,1}是两种运算法则 和
GF(2):{0,1}
8.plus 线性分组码的代数结构
5 线性空间及子空间
（一）线性空间
设GF是一个数域，N是任一类运算对象的非空集合，如在“+”和“∙”
两种运算法则下，满足下列条件： （1）非空集合N是“+”运算法则的一个交换群； （2）非空集合N对另外一种运算符“∙”，满足封闭性； 设有c ϵGF，V ϵN，则有 (c∙V) ϵN （3）非空集合N对两种法则“+”和“∙”，满足分配率 设c1,c2 ϵGF, V1,V2 ϵN，则有 c1∙(V1+V2) = (c1∙V1) + (c1∙V2)
(c1+ c2)*V1 = (c1∙V1) + (c2∙V1)
则称非空集合N为GF上的线性空间。
把信息序列按一定长度分成若干信息码组, 每组由 k 位
组成;
编码器按照预定的线性规则（可由线性方程组规定），
把信息码组变换成 n 重（n>k）码字，其中 (n－k) 个附 加码元是由信息码元的线性运算产生的。 (2) 线性分组码的码字数：信息码组长 k 位，有 2k 个不同 的信息码组，有 2k 个码字与它们一一对应。
g1-1* g2 ϵH 令g1 =3，g2 =9，则g1-1* g2 ϵH
定理8.9（正交性）：设H是群G的子群，H的两个不同的陪集一定不相交。
如gi*H和gj*H是H的两个不同的陪集，则这两个陪集中没有共同的元素；否 则gi*H和gj*H 是相同的陪集。
令g1 =3，g2 =9， g1的陪集g1*H为{3,5,7,9,1}， g2 的陪集g2*H为{9,1,3,5,7}，是
同一陪集。
线性分组码
C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
7
1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
4
码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中， 任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的 重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。 码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元 线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。 码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的 最小值，称为码的最小重量，表示为：
限， 性能界限，即码的译码错误概率的上、下 限。 对码距限而言，最重要的限是汉明限，普 洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉 明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达 到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯 特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的 下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
6
2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
吉林建筑大学电气与电子信息工程学院信息理论与编码课程设计报告设计题目：线性分组码编码的分析与实现专业班级：电子信息工程学生姓名：学号:指导教师：设计时间：2014.11.24—2014.12.5第1章概述1.1设计的作用、目的《信息论与编码》是一门理论与实践密切结合的课程，课程设计是其实践性教学环节之一，同时也是对课堂所学理论知识的巩固和补充。
其主要目的是加深对理论知识的理解，掌握查阅有关资料的技能，提高实践技能，培养独立分析问题、解决问题及实际应用的能力。
通过完成具体编码算法的程序设计和调试工作，提高编程能力，深刻理解信源编码、信道编译码的基本思想和目的，掌握编码的基本原理与编码过程，增强逻辑思维能力，培养和提高自学能力以及综合运用所学理论知识去分析解决实际问题的能力，逐步熟悉开展科学实践的程序和方法。
1.2设计任务及要求设计一个(6, 3)线性分组码的编译码程序：完成对任意序列的编码，根据生成矩阵形成监督矩阵，得到伴随式，并根据其进行译码，同时验证工作的正确性。
1•理解信道编码的理论基础，掌握信道编码的基本方法；2•掌握生成矩阵和一致校验矩阵的作用和求解方法；3•针对线性分组码分析其纠错能力，并能够对线性分组码进行译码；4•能够使用MATLAB或其他语言进行编程，实现编码及纠错，编写的函数要有通用性。
1.3设计内容已知一个(6,3)线性分组码的Q矩阵：设码字为(C5, C4, C3, C2, C1, co)_0 1 1 Q= 1 01■1 1 0求出标准生成矩阵和标准校验矩阵，完成对任意信息序列( 23个许用码字)的编码。
当接收码字R 分别为(000000), (000001), (000010), (000100), (001000), (010000), (100000), (100100时，写出其伴随式S,以表格形式写出伴随式与错误图样E的对应关系。
纠错并正确译码，当有两位错码时，假定C5位和C2位发生错误。
第2章写所设计题目2.1设计原理1. 线性分组码的标准生成矩阵和标准校验矩阵(1) (n , k )线性分组码的性质1、 封闭性。
任意两个码组的和还是许用的码组。
2、 码的最小距离等于非零码的最小码重。
对于长度为n 的二进制线性分组码，它有种2n 可能的码组，从2n 种码组中， 可以选择M=2k 个码组(kvn )组成一种码。
这样，一个 k 比特信息的线性分组 码可以映射到一个长度为n 码组上，该码组是从M=2k 个码组构成的码集中选出 来的，这样剩下的码组就可以对这个分组码进行检错或纠错。
对于码组长度为n 、信息码元为k 位、监督码元为r = n -k 位的分组码，常 记作(n ，k )码，如果满足2r - 1 >n 则有可能构造出纠正一位或一位以上错误 的线性码。
(2) 生成矩阵和校验矩阵线性分组码码空间C 是由k 个线性无关的基底g k d，…g 1 g o ，张成的k 维n 重子空间，码空间的所有元素都可以写成 k 个基底的线性组合，即C = 口小」 陀1 m o g o这种线性组合特性正是线性分组码。
为了深化对线性分组码的理论分析， 可将其 与线性空间联系起来。
由于每个码字都是一个二进制的 n 重，及二进制n 维线性 空间Vn 中的一个矢量，因此码字又称为码矢。
码字仅由G 矩阵决定，因此称这k n 矩阵G 为该n k 线性分组码的生成矩阵。
用g i 表示第i 个基底并写成1 n 矩阵形式 g i = i(n 4)，g i(n-2)， ，g i1, g io 1再将k 个基底排列成k 行n 列的G 矩阵，得： ■g k 个基底即G 的k 个行矢量线性无关, (k 4)(2) a+ g (k/)1 a g (k 4)0 a g1(n^l) g 11 g 10 g 0(n 4) g 01g 00 矩阵G 的秩- -定等于 k ，当 丿 1k …，g 1, g °」=基底不是唯一的，生成矩阵也就不是唯一的。
事实上，将 k 个基底线性组合 后产生另一组k 个矢量，只要满足线性无关的条件，依然可以作为基底张成一个 码空间。
不同的基地有可能生成同一个码集，但因编码涉及码集和映射两个因素， 码集一样而映射方法不同也不能说是同样的码。
基底的线性组合等效于生成矩阵G 的行运算，可以产生一组新的基底。
利用 这点可使生成矩阵具有如下的“系统形式”：1 0 …0 : 『：1 0 1… 0 : G = I k ・P 」=--百[0 0 0 1 :这里P 是k n-k 矩阵；I k 是k k 单位矩阵，从而保证了矩阵的秩是 K 与任何一个n,k 分组线性码的码空间C 相对应，一定存在一个对偶空间D 。
事实上，码空间基底数k 只是n 维n 重空间全部n 个基底的一部分，若能找出另 外n-k 个基底，也就找到了对偶空间 D 。
既然用k 个基底能产生一个n,k 分组 线性码，那么也就能用n-k 个基底产生包含2nA个码字的n,n-k 分组线性码， 称n,n-k 码是n,k 码的对偶码。
将D 空间的n - k 个基底排列起来可构成一个n-k n 矩阵，将这个矩阵称为码空间C 的校验矩阵H ,而它正是n,n-k 对偶 码的生成矩阵，它的每一行是对偶码的一个码字。
C 和D 的对偶是互相的，G 是 C 的生成矩阵又是D 的校验矩阵，而H 是D 的生成矩阵，又是C 的校验矩阵。
由于C 的基底和D 的基底正交，空间C 和空间D 也正交，它们互为零空间。
因 此，n,k 线性码的任意码字c 一定正交于其对偶码的任意一个码字， 也必定正交 于校验矩阵H 的任意一个行矢量，即cHT =0。
由于生成矩阵的每个行矢量都是 一个码字，因此必有GH T = 0。
对于生成矩阵符合“系统形式” G 的系统码，其 校验矩阵也是规则的，必为：H - L p T | * _k 1上式中的负号在二进制码情况下可以省略，因为模 2减法和模2加法是等同的。
(3) 信息码元及对应码字的关系(n , k )码字中的任一码字C i ，均可以由这组基底的线性组合生成，即 P （k _|）（n _k_1）…a + P （k _1）1 1 P （k _1）0「 P 1（n 」_1） P 11 P 10 P 0（n 」_1） P 01 P 00式中m i mv^ III m n± 1的是k个信息元组的信息组，因此其信息码元及对应码字的关系如表一所示：2.线性分组码的伴随式与译码(2)码的距离及检错能力两个码字之间，对应位取之不同的个数，称为汉明距离，用d表示。
一个码的最小距离d min定义为d min=min灯(⑷,j式j,o, c乏(n,k)},两个码字之间的距离表示了它们之间差别的大小。
距离越大，两个码字的差别越大，则传送时从一个码字错成另一码字的可能性越小。
码的最小距离愈大，其抗干扰能力愈强。
任何最小距离d min的线性分组码，其检错能力为d min-1纠错能力t为最小距离d min表明码集中各码字差异的程度，差异越大越容易区分，抗干扰能力自然越强，因此成了衡量分组码性能最重要的指标之一。
估算最小距离是纠错码设计的必要步骤，最原始的方法是逐一计算两两码字间距离，找到其中最小者。
含2k个码字的码集需计算2^2个距离后才能找出d min，费时太多，实用中还有一些更好更快的方法。
线性分组码的最小距离等于码集中时非零码字的最小重量，即d m i m i nw Cj ! G C及G = 0这里利用了群的封闭性，由于分组码是群码，任意两码字之和仍是码字，即C j二c k =G • c。
因此任意两码字间的汉明距离其实必是另一码字的重量，表示为d C j,C k二wC j二C k二wC i ,mi n站C j ,C k》= mi n「w G ）于是可将最小距离问题转化为寻找最轻码字问题，含2k个码字的码集仅需计算2k次。
码的检错能力取决于码的最小距离，但还需说明的另一点是码的总体检错能力不仅仅与d min有关。
检错能力t只是说明距离t的差错一定能纠，并非说距离大于t的差错一定不能纠。
事实上，如果有2k个码子，就存在2k2k-1；2个距离, 这并非相等的。
比如最小距离d min =3，检错力t=1，是由码C2C1的距离决定，只要C2朝C i方向偏差大于1就会出现译码差错；然而若C2朝C3方向偏差3, 译码时仍可正确地判断为C2而非C3。
可见，总体的、平均的纠错能力不但与最小距离有关，而且与其余码距离或者说与码子的重量分布特性有关，把码距（码重）的分布特性称为距离（重量）谱，其中最小的重量就是 d min。
正如信息论各符号等概时熵最大一样，从概念上可以想象到：当所有码距相等时是（重量谱为线谱）码的性能应该最好；或者退一步说，当各码距相当不大时（重量谱为窄谱）性能应该叫好。
事实证明确实如此，在同样的 d min条件下，窄谱的码一般比宽谱的码更优。
纠错重量谱的研究具有理论与现实意义，不仅仅是计算各种译码差错概率的主要依据，也是研究码的结构、改善码集内部关系从而发现新的好码的重要工具。
但目前除了少数几类码如汉明码、极长码等的重量分布已知外，还有很多码的重量分布并不知道，距离分布与性能之间确切的定量关系对于大部分码而言尚在进一步研究当中，特别当n 和k较大时，要得出码重分布是非常困难的。
重量谱可以如下多项式来表示，称为重量算子，即nA(x )= A。
+Ax 十 A x2+ A X33+A x4^|| A n x n=送A i x n1\=式中的含义：在码长n的码集里，包括重量为0的码子A o个(线性码一定包含一个重量为0的全0码)，码重为1的码字A个，…，重量为n的码字A n个。
(2)伴随式与译码码字C =(血,川，JG, Q在传输过程中受到各种干扰，接收端收码R二r n」,IH,r2,r i,r°已不一定等于发码C，两者间的差异就是差错，差错是多样化的，我们定义差错的式样为差错图样E,即E=e n二，l||,e i,e o 二R —C 二 f 丄—Gn」，| 11, r i —G,r° -■ Co对于二进制码，模2减等同模2加，因此有E = R C 及 R=C E mod 2利用码字与校验矩阵的正交性 CH T，可检验收码R是否错误，即二0RH T二 C E H T=CH T EH T =0 EH T二EH T严0定义RH T运算结果为伴随式S,即S 二Sn^4jH,S|,S0 二RH T=EH T可见，虽然R本身与发码有关，但乘以H T后的伴随式RH T=S=EH T仅与差错图E有关，只反映信道对码字造成怎样的干扰而与发什么码C无关了。
于是可以先利用收码R和已知的H算出的伴随式S ；再利用S算出差错图样E。