线性分组码的编码原理
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线性分组编码
背景
在通信中，由于信息码元序列是一种随机序列，接收端无法预知码元的取值，也无法识别其中有无错码。所 以在发送端需要在信息码元序列中增加一些差错控制码元，它们称为监督码元（校验元）。这些监督码元和信息 码元之间有确定的关系。
在信息码元序列中加监督码元就称为差错控制编码，差错控制编码属于信道编码。
信息码元和监督码元之间有一种关系，关系不同，形成的码类型也不同。可分为两大类：分组码和卷积码。 其中，分组码是把信息码元序列以每k个码元分组，编码器将每个信息组按照一定规律产生r个多余的码元（称为 校验元），形成一个长为n=k+r的码字。
感谢观看
校验矩阵H
这也表示由G的行矢量所扩张成的k维子空间与H矩阵行矢量所扩张成的r维子空间是正交的。
G与H中只要有一个确定，另一个就是可以确定的。只要校验矩阵给订=定，校验码元和信息码元之间的关系 就完全确定了。
举例
下面是一个（7,3）线性分组码，有信息组(m2m1m0),信息组在码字的前部，即： 生成矩阵为 信息组和对应的码字由表3.1给出。 则其校验矩阵为
基本概念
当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时（用线性方程组），这种分组码就称为线性分组码。 包括汉明码和循环码。
对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码字，从中可以选择M=个码字（k<n）组成一种编码，其中 码字称为许用码字，其余码字称为禁用码字。这样，一个k比特信息可以映射到一个长度为n的码组中，该码字是 从M个码字构成的码字集合中选出来的，剩下的码字即可以对这个分组码进行检错或纠错。
在线性分组码中，两个码字对应位上数字不同的位数称为码字距离，简称距离，又称汉明距离。 编码中各个码字间距离的最小值称为最小码距d，最小码距是衡量码组检错和纠错能力的依据，其关系如下： （1）为了检测e个错码，则要求最小码距d>e+1; （2）为了纠正t个错码，则要求最小码距d>2t+1; （3）为了纠正t个错码，同时检测e个错码，则要求最小码距d>e+t+1,e>t。
信息论与编码_第7章线性分组码
信息论与编码
Information and Coding Theory
第7章 线性分组码
王永容 机械与电气工程学院 wangyr416@
1
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
2
线性分组码概念 (n, k)线性分组码=“(n, k)分组”+“线性” 2元 (n, k)分组码 f : S=(F2)k C (F2)n m=(m2,…,mk)c=(c1c2,…,cn) C是(F2)n的一个k维线性子空间！
系统生成矩阵 1 0 0 1 1 1 Gs 0 1 0 1 1 0 I | P 0 0 1 0 1 1
校验矩阵 1 1 0 1 0 0 H P T | I 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
1 1 1 0 1 1 [000]. 0 0 1 0 0 1
17
线性分组码的校验矩阵
例7-2（续2）：求对偶码C
1 1 0 1 0 0 对偶码的生成矩阵=校验矩阵H 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
c mH , c1 m1 m2 m3 c m m 1 2 2 c3 m2 m3 c4 m1 c5 m2 c6 m3
f
F2n S=F2k
C
4
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
5
线性分组码的生成矩阵
生成矩阵 C是F2n的一个k维线性子空间，设{g1,g2,…, gk}是C的一个基
Information and Coding Theory
第7章 线性分组码
王永容 机械与电气工程学院 wangyr416@
1
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
2
线性分组码概念 (n, k)线性分组码=“(n, k)分组”+“线性” 2元 (n, k)分组码 f : S=(F2)k C (F2)n m=(m2,…,mk)c=(c1c2,…,cn) C是(F2)n的一个k维线性子空间！
系统生成矩阵 1 0 0 1 1 1 Gs 0 1 0 1 1 0 I | P 0 0 1 0 1 1
校验矩阵 1 1 0 1 0 0 H P T | I 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
1 1 1 0 1 1 [000]. 0 0 1 0 0 1
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线性分组码的校验矩阵
例7-2（续2）：求对偶码C
1 1 0 1 0 0 对偶码的生成矩阵=校验矩阵H 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
c mH , c1 m1 m2 m3 c m m 1 2 2 c3 m2 m3 c4 m1 c5 m2 c6 m3
f
F2n S=F2k
C
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线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
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线性分组码的生成矩阵
生成矩阵 C是F2n的一个k维线性子空间，设{g1,g2,…, gk}是C的一个基
线性分组码编码器设计
线性分组码编码器设计1.引言2.线性分组码的基本原理线性分组码是由生成矩阵和校验矩阵组成的。
生成矩阵用于将数据进行编码，而校验矩阵用于检测和纠正错误。
生成矩阵是一个m×n的矩阵，其中n是数据位的数量，m是冗余位的数量。
生成矩阵的每一行表示一个码字，通过将生成矩阵与数据矩阵相乘，可以得到编码后的数据。
校验矩阵是一个n×m的矩阵，用于对编码后的数据进行检测和纠正。
3.线性分组码编码器的设计步骤3.1确定数据位数和冗余位数：根据实际应用需求确定数据位的数量和冗余位的数量。
3.2生成生成矩阵和校验矩阵：根据数据位数和冗余位数生成相应的生成矩阵和校验矩阵。
3.3将生成矩阵和校验矩阵存储在编码器中。
3.4输入数据：将待编码的数据输入到编码器中。
3.5编码：将输入的数据与生成矩阵进行矩阵乘法运算，得到编码后的数据。
3.6输出数据：将编码后的数据输出。
4.线性分组码编码器的性能分析线性分组码编码器的性能主要与生成矩阵和校验矩阵有关。
生成矩阵的选择决定了编码器的纠错能力，校验矩阵的选择决定了编码器的错误检测和纠正能力。
通常情况下，生成矩阵和校验矩阵都需要满足一些特定的性质，如生成矩阵需要满秩，校验矩阵需要是生成矩阵的逆。
5.线性分组码编码器的应用总结：线性分组码编码器是一种常见的错误检测和纠正编码方法。
它通过生成矩阵和校验矩阵来对数据进行编码，并能够检测和纠正多位错误。
线性分组码编码器的设计步骤包括确定数据位数和冗余位数、生成生成矩阵和校验矩阵、将生成矩阵和校验矩阵存储在编码器中、输入数据、编码和输出数据。
线性分组码编码器广泛应用于通信和存储领域，提高了通信和存储的可靠性。
分组编码原理
分组编码（group coding）是一种编码技术，它将数据分成多个分组（group）进行编码，以提高数据传输效率和减少数据冗余。
分组编码通常用于数据传输和存储系统中，例如在网络传输、光盘存储和硬盘存储等领域中。
分组编码的原理是将数据分成多个分组，每个分组包含相同数量的数据位，然后对数据分组进行编码。
编码后的数据分组可以通过简单的位操作进行合并，以生成完整的数据流。
分组编码的目的是减少数据冗余，提高数据传输效率，同时保持数据的可靠性。
分组编码通常有两种方式：线性分组编码和非线性分组编码。
线性分组编码是一种基于线性代数的编码方式，它将数据分组成多个线性组合，然后对线性组合进行编码。
非线性分组编码则是一种基于非线性变换的编码方式，它将数据分组成多个非线性组合，然后对非线性组合进行编码。
分组编码的应用非常广泛，例如在网络传输中，它可以减少数据包的大小，提高数据传输速度；在光盘存储中，它可以减少光盘的存储容量，提高光盘的存储密度；在硬盘存储中，它可以减少数据的传输和存储时间，提高数据的读写速度。
通信原理(Ⅱ)第11章 -线性分组码-一般原理
110 101
I
k
Q
G
（11.5-15）
0001
011
G称为生成矩阵,具有[IkQ]形式
的生成矩阵称为典型生成矩阵 6
生成矩阵G 可以产生整个码组
a6a5a4a3a2a1a0 a6a5a4a3 G
A [a6a5a4a3]G
（11.5-16） （11.5-17）
a6 a4 a3 a0 0
式中已将模２ 加简写成“+”。
1 a6 1 a5 1 a4 0 a3 1 a2 0 a1 0 a0 0
1 a6 1 a5 0 a4 1 a3 0 a2 1 a1 0 a0 0 （11.5－8）
② 错码较多（超过该编码的检错能力），即式（11.5-10） 成立,B变为另一许用码组，这样的错码不可检测。
10
7、线性分组码的性质
封闭性： 指一种线性码中的任意两个码组之和仍为这种码的另一个码组。
Q
a6
1011 001
a5
a4
（11.5-12）
a3
Q为一个k × r阶
（11.5-13） 矩阵，Q=PT
011
上式表示，信息位给定后，用信息位
的行矩阵乘以矩阵Q就得到监督位。 若在Q的左边加上1个k × k阶单位方阵
1000 111
0100 0010
1 a6 0 a5 1 a4 1 a3 0 a2 0 a1 1 a0 0
a6
a5
1110100 1101010
a
4
a3
0 0
（模2）
1011001
线性分组码
C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
7
1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
4
码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中， 任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的 重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。 码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元 线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。 码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的 最小值，称为码的最小重量，表示为：
限， 性能界限，即码的译码错误概率的上、下 限。 对码距限而言，最重要的限是汉明限，普 洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉 明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达 到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯 特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的 下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
6
2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C
知识点7-4 线性分组码.
行矩阵 B ， 即
B =［bn-1bn-2 ...b0］ （7.24）
第7章
纠错编码
则发送码组和接收码组之差为
B -A= E （模2） （7.25）
式中， E 是传输中产生的错码行矩阵， 其值为 E =［en-1 en-2 ...e0］ 其中: （7.26）
0, bn an en 1, bn an
第7章
纠错编码
注： 上式中将“⊕”简写为“+”。 在本章后面， 除非另加说明 ， 这类式中的 “ +” 都指模 2 加。 式 （7.14）又可以表示成
a6 a 5 1110100 a 4 0 1101010 a 0 3 1011001 a2 0 a1 a0
接收端收到每个码组后， 先按式（7.9）~式（7.11） 计算出S1、 S2和S3， 再按表7.3判断错误情况。 例如， 若接收码组为0000011， 则按式（7.9）～式（7.11）计 算可得S1=0， S2=1 ， S3=1。 由于S1S2S3等于011， 故 根据表7.3可知在a3位有一错码。
第7章
纠错编码
第7章 纠错编码
7.1 差错控制方式 7.2 纠错编码的基本原理
7.3 常用的简单编码
7.4 线性分组码
7.5 卷积码
习题与思考题
第7章
纠错编码
7.4 线 性 分 组 码
7.4.1 线性分组码的概念
前面介绍的奇偶监督码其编码原理利用了代数关系式， 我们把这 类建立在代数基础上的编码称为代数码。 在代数码中， 常见的是线性码。 线性码中的信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着的， 或者说， 线性码是按一组线性方程构成的。 这里将以汉明码为例引入线性分组码 的一般原理。 按式（7.6a）条件构成的偶数监督码由于使用了1位监督位a0， 因 此它就能和信息位an-1 …a1一起构成一个代数式， 如式（7.6a）所示。 在 接收端解码时， 实际上就是计算
[理学]信息论与编码原理第8章线性分组码PPT课件
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1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
(8.2.3)
将式(8.2.2)可写成：
H ·CT=0T 或 C ·HT=0 CT、HT、0T 分别表示 C、 H、0 的转置矩阵。
17.07.2020
Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng
c0 c5
c4
(8.2.1)
表 8.2.1 (7,3)分组码编码表
信息组 对应码字 000 0000000 001 0011101 010 0100111 011 0111010
c6 0 c4 c3 0 0 0 0
cc66
c5 c5
c4 0
0 0
c2 0 0 c1
0 0
0 0
0 c5 c4 0 0 0 c0 0
Department of Electronics andc0Infocr5mation, Nc4CUT Song Peng
第7页
8.2 一致监督方程和一致监督矩阵
(1) 一致监督方程
一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元 规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码 字都按同一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验 方程。
100 101 110 111
1001110 1010011 1101001 1110100
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17.07.2020
Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng
第9页
8.2 一致监督方程和一致监督矩阵
(3) 一致监督矩阵
为了运算方便，将式(7.2.1)监 督方程写成矩阵形式，得：
(8.2.3)
将式(8.2.2)可写成：
H ·CT=0T 或 C ·HT=0 CT、HT、0T 分别表示 C、 H、0 的转置矩阵。
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c0 c5
c4
(8.2.1)
表 8.2.1 (7,3)分组码编码表
信息组 对应码字 000 0000000 001 0011101 010 0100111 011 0111010
c6 0 c4 c3 0 0 0 0
cc66
c5 c5
c4 0
0 0
c2 0 0 c1
0 0
0 0
0 c5 c4 0 0 0 c0 0
Department of Electronics andc0Infocr5mation, Nc4CUT Song Peng
第7页
8.2 一致监督方程和一致监督矩阵
(1) 一致监督方程
一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元 规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码 字都按同一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验 方程。
100 101 110 111
1001110 1010011 1101001 1110100
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8.2 一致监督方程和一致监督矩阵
(3) 一致监督矩阵
为了运算方便，将式(7.2.1)监 督方程写成矩阵形式，得：
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间的最小距离，称为该编码的最小汉明距离，简称为最小码距，用 d min 表示。例如码长 n =3 的重复码，只有 2 个许用码字，即 000 和 111， 显然 d min ＝3。
《通信原理课件》
《通信原理课件》
信道编码的效用
《通信原理课件》
[例9.2.1]
《通信原理课件》
《通信原理课件》
9.2.2 信道编码的译码方法
《通信原理课件》
《通信原理课件》
编码中的几个定义
在信道编码中， n 长码字中非零码元的数目定义为码字的汉明
（Hamming）重量，简称码重。例如“10101”码字的码重为 3，“01111” 码字的码重为 4。
两个 n 长码字 x，y 对应码元取值不同的个数定义为码字的汉明距离，
简称码距，用 d(x，y)表示。在一种编码中，码字集合中任意两码字
9.1 引言
《通信原理课件》
在无记忆信道中，噪声独立随机地影响着 每个传输码元，因此接收的码元序列中的错 误是独立随机出现的，以高斯白噪声为主体 的信道属于这类信道。在有记忆信道中，噪 声和干扰的影响往往前后相关，错误成串出 现。还有些信道既有独立随机差错也有突发 性成串差错，称为混合信道。对不同类型的 信道，需要设计不同类型的信道编码，才能 收到良好效果。按照信道特性和设计的码字 类型进行划分，信道编码可以分为纠独立随 机差错码、纠突发差错码和纠混合差错码。 本章将只讨论纠独立随机差错码。
《通信原理课件》
9.2.1 信道编码的检错和纠错能力
信道编码的检错和纠错能力是通过信息 量的冗余度来换取的。为了便于理解，先 通过一个简单的例子来说明。例如，要传
送A和B两个消息，可以用一个二进制码元 来表示一个消息，比如“0” 码代表A， “1”码表示B。在这种情况下，若传输中产
生错码，即“0”错成“1”，或“1”错成 “0”，接收端将无法检测到差错，因此， 这种编码没有检错和纠错能力。
样不变，后 r 位为监督码元。
图9-3 (n，k）线性分组码为系统码的结构
《通信原理课件》
9.3.1线性分组码的编码
在介绍线性分组码的原理之前，首先我 们来看一种简单而又常用的线性分组码— —奇偶监督码（也称为奇偶校验码），分 为奇数监督码和偶数监督码。无论信息码 元有多少，监督码元只有一位。在偶数监 督码中，监督码元的加入使得每个码字中 “1”的数目为偶数；在奇数监督码中，监 督码元的加入使得每个码字中“1”的数目 为奇数。
元，构成 n k r 个码元组成的码字。线性码是指监督码元与信
息码元之间的关系是线性关系，它们的关系可用一组线性代数方程 联系起来。
线性分组码一般用符号 n, k 表示，其中 k 是每个码字中二进制信
息码元的数目； n 是码字的长度。
《通信原理课件》
一个 n 长的码字 C 可以用矢量 C cn1,cn2 , ,c1,c0 表示。线性分组码 n, k 为系统码的结构如图 9-3 所示，码字的前 k 位为信息码元，与编码前原
《通信原理课件》
一、最大后验概率（MAP）译码
《通信原理课件》
二、最大似然（ML）译码
《通信原理课件》
三、最小汉明距离译码
《通信原理课件》
9.3 线性分组码
线性分组码既是分组码，又是线性码。分组码的编码包括两个
基本步骤：首先将信源输出的信息序列以 k 个信息码元划分为一 组；然后根据一定的编码规则由这 k 个信息码元产生 r 个监督码
《通信原理课件》
《通信原理课件》
本章我们将讨论常见的信道编码和译码的方法。信道编码的数字 通信模型如图 9-1 所示。进入信道编码器的是二进制信息码元序列
M 。信道编码根据一定的规律在信息码元中加入监督码元，输出码 字序列 C 。由于信道中存在噪声和干扰，接收码字序列 R 与发送码 字序列 C 之间存在差错。信道译码根据某种译码规则，从接收到的码 字 R 给出与发送的信息序列 M 最接近的估值序列 Mˆ 。
监督子 S1S2 的可能值就有 4 种组合，故能表示 4 种不同的信息，如果用其中
一种表示无错，则其余 3 种就可以用来指示一位错码的 3 种不同位置。同理，
监督子 S1S2 Sr 的可能值就有 2r 种组合，可以用其中一种表示无错，其余
2r 1 种用来指示一个错码的 2r 1 个可能的位置。
《通信原理课件》
如果用两个二进制码元来表示一个消息，有4 种可能的码字，即“00”、 “01”、“10”和
“11”。比如规定“00”表示消息A， “11”表示 消息B。码字“01”或“10”不允许使用，称为禁
用码字，对应地，用来表示消息的码字称为许用 码字。如果在传输消息的过程中发生一位错码， 则变成禁用码字“01”或“10”，译码器就可判决 为有错。这表明在信息码元后面附加一位监督码 元以后，当只发生一位错码时，码字具有检错能 力。但由于不能判决是哪一位发生了错码，所以 没有纠错能力。
《通信原理课件》
线性分组码的编码原理
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
一般地，在 n, k 线性分组码中，设 M 是编码器的输入信息Байду номын сангаас元序列，
如果编码器的输出码字 C 表示为 C＝M G
（9.3-14）
则 G 为该线性分组码 n, k 码的生成矩阵。生成矩阵G 为 k n 矩阵。容易看
《通信原理课件》
9.2 信道编码的基本原理
香农的信道编码定理指出：对于一个给
定的有扰信道，如果信道容量为C，只要发 送端以低于C的信息速率R发送信息，则一
定存在一种编码方法，使译码差错概率随 着码长的增加，按指数规律下降到任意小 的值。这就是说，通过信道编码可以使通 信过程不发生差错，或者使差错控制在允 许的数值之下。
《通信原理课件》
《通信原理课件》
如果 S 0 ，则认为无错，反之有错。式（9.3-2）称为监督关系式或校
验关系式，S 称为监督子或校验子。由于只有一个监督码元，则只有一个监督 关系式，S 的取值只有两种，只能代表有错和无错这两种信息，不能进一步指 明错码的位置。可以推测，如果将监督码元增加一位，则有两个监督关系式，
《通信原理课件》
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信道编码的效用
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[例9.2.1]
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9.2.2 信道编码的译码方法
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编码中的几个定义
在信道编码中， n 长码字中非零码元的数目定义为码字的汉明
（Hamming）重量，简称码重。例如“10101”码字的码重为 3，“01111” 码字的码重为 4。
两个 n 长码字 x，y 对应码元取值不同的个数定义为码字的汉明距离，
简称码距，用 d(x，y)表示。在一种编码中，码字集合中任意两码字
9.1 引言
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在无记忆信道中，噪声独立随机地影响着 每个传输码元，因此接收的码元序列中的错 误是独立随机出现的，以高斯白噪声为主体 的信道属于这类信道。在有记忆信道中，噪 声和干扰的影响往往前后相关，错误成串出 现。还有些信道既有独立随机差错也有突发 性成串差错，称为混合信道。对不同类型的 信道，需要设计不同类型的信道编码，才能 收到良好效果。按照信道特性和设计的码字 类型进行划分，信道编码可以分为纠独立随 机差错码、纠突发差错码和纠混合差错码。 本章将只讨论纠独立随机差错码。
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9.2.1 信道编码的检错和纠错能力
信道编码的检错和纠错能力是通过信息 量的冗余度来换取的。为了便于理解，先 通过一个简单的例子来说明。例如，要传
送A和B两个消息，可以用一个二进制码元 来表示一个消息，比如“0” 码代表A， “1”码表示B。在这种情况下，若传输中产
生错码，即“0”错成“1”，或“1”错成 “0”，接收端将无法检测到差错，因此， 这种编码没有检错和纠错能力。
样不变，后 r 位为监督码元。
图9-3 (n，k）线性分组码为系统码的结构
《通信原理课件》
9.3.1线性分组码的编码
在介绍线性分组码的原理之前，首先我 们来看一种简单而又常用的线性分组码— —奇偶监督码（也称为奇偶校验码），分 为奇数监督码和偶数监督码。无论信息码 元有多少，监督码元只有一位。在偶数监 督码中，监督码元的加入使得每个码字中 “1”的数目为偶数；在奇数监督码中，监 督码元的加入使得每个码字中“1”的数目 为奇数。
元，构成 n k r 个码元组成的码字。线性码是指监督码元与信
息码元之间的关系是线性关系，它们的关系可用一组线性代数方程 联系起来。
线性分组码一般用符号 n, k 表示，其中 k 是每个码字中二进制信
息码元的数目； n 是码字的长度。
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一个 n 长的码字 C 可以用矢量 C cn1,cn2 , ,c1,c0 表示。线性分组码 n, k 为系统码的结构如图 9-3 所示，码字的前 k 位为信息码元，与编码前原
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一、最大后验概率（MAP）译码
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二、最大似然（ML）译码
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三、最小汉明距离译码
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9.3 线性分组码
线性分组码既是分组码，又是线性码。分组码的编码包括两个
基本步骤：首先将信源输出的信息序列以 k 个信息码元划分为一 组；然后根据一定的编码规则由这 k 个信息码元产生 r 个监督码
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本章我们将讨论常见的信道编码和译码的方法。信道编码的数字 通信模型如图 9-1 所示。进入信道编码器的是二进制信息码元序列
M 。信道编码根据一定的规律在信息码元中加入监督码元，输出码 字序列 C 。由于信道中存在噪声和干扰，接收码字序列 R 与发送码 字序列 C 之间存在差错。信道译码根据某种译码规则，从接收到的码 字 R 给出与发送的信息序列 M 最接近的估值序列 Mˆ 。
监督子 S1S2 的可能值就有 4 种组合，故能表示 4 种不同的信息，如果用其中
一种表示无错，则其余 3 种就可以用来指示一位错码的 3 种不同位置。同理，
监督子 S1S2 Sr 的可能值就有 2r 种组合，可以用其中一种表示无错，其余
2r 1 种用来指示一个错码的 2r 1 个可能的位置。
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如果用两个二进制码元来表示一个消息，有4 种可能的码字，即“00”、 “01”、“10”和
“11”。比如规定“00”表示消息A， “11”表示 消息B。码字“01”或“10”不允许使用，称为禁
用码字，对应地，用来表示消息的码字称为许用 码字。如果在传输消息的过程中发生一位错码， 则变成禁用码字“01”或“10”，译码器就可判决 为有错。这表明在信息码元后面附加一位监督码 元以后，当只发生一位错码时，码字具有检错能 力。但由于不能判决是哪一位发生了错码，所以 没有纠错能力。
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线性分组码的编码原理
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一般地，在 n, k 线性分组码中，设 M 是编码器的输入信息Байду номын сангаас元序列，
如果编码器的输出码字 C 表示为 C＝M G
（9.3-14）
则 G 为该线性分组码 n, k 码的生成矩阵。生成矩阵G 为 k n 矩阵。容易看
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9.2 信道编码的基本原理
香农的信道编码定理指出：对于一个给
定的有扰信道，如果信道容量为C，只要发 送端以低于C的信息速率R发送信息，则一
定存在一种编码方法，使译码差错概率随 着码长的增加，按指数规律下降到任意小 的值。这就是说，通过信道编码可以使通 信过程不发生差错，或者使差错控制在允 许的数值之下。
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如果 S 0 ，则认为无错，反之有错。式（9.3-2）称为监督关系式或校
验关系式，S 称为监督子或校验子。由于只有一个监督码元，则只有一个监督 关系式，S 的取值只有两种，只能代表有错和无错这两种信息，不能进一步指 明错码的位置。可以推测，如果将监督码元增加一位，则有两个监督关系式，