线性规划化问题的简单解法

简单线性规划问题的几种简单解法

依不拉音。司马义（吐鲁番市三堡中学，838009）

“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。

简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。简单线性规划问题的标准型为：

1112220(0)0(0),(),0(0)

m m m A x B y C A x B y C m N z Ax By A x B y C +++≥≤⎧⎪++≥≤⎪∈=+⎨⎪⎪++≥≤⎩L

约束条件 目标函数 ，

下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。

1. 图解法

第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。

⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c 不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。

⑵B 判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C ＞0（＜０）表示的区域在直

线Ax+By+C ＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C ＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的下方。（即若B 与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；若B 与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方）

用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。

第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这

个可以用下面的两种办法解决。

⑴y 轴上的截距法：若b >0，直线y a b x z b

=-

+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，便是z 取得最大值（最小值）的点；若b <0，直线y a b x z b =-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，是z 取得最小值（最小值）的点（提醒：截距不是距离，截距可以取正负）。

例1．设x,y 满足约束条件x y y x y +≤≤≥⎧⎨⎪⎩

⎪10,,,求z x y =+2的最大值、最小值。

解：如图1作出可行域，因为y 的系数1大于0，目标函数z x y =+2表示直线

y x z =-+2在y 轴上的截距，

当直线过A （1，0）时，截距值最大z max =⨯+=2102，当直线过点O （0，0）时，截距值最小min 2000z =⨯+=。

y y=x

x+y-1=0

A(1,0)

O x

图1

例2．若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩

，求2z x y =-的最大值和最小值。

解：如图作出可行域，y 的系数-2小于0，过点

A(1,-1)时在y 轴上的距最小，目标函数2z x y =-取

得最大值，所以max 12(1)3z =-⨯-=；过点B （-1,1）

时在y 轴上的截距最大，目标函数2z x y =-取得

最，所以min 1213z =--⨯=-。

⑵法向量法：目标函数z Ax By =+ 的法向量

为（A ，B ），它垂直于目标函数直线的向量。当目标函数的值线沿目标函数法向量方向平移时，目标函数值逐步增加，与可行区域最后（最先）相交的点上取最大值（最小值）；当等值线沿目标函数法向量反方向平行移动时，目标函数值逐步减少，与可行区域最后（最先）相交的点上取最小值（最大值）。

例3．点P(x , y )在以A(2, 1)、B(–1, –6)、C(–3, 2)为顶点的三角形区域（包括边界）

内，求z= 4x –3y 的最大值与最小值。

解：目标函数z= 4x –3y 的法向量为（4，-3），

目标函数的直线沿法向量的方向平移时，最先与

可行域在C 点上相交，最后在B 点上相交（因

为目标函数的等值线从左上角平移过来）。所以

目标函数在点C （-3,2）上取最小值

min 4(3)4218z =⨯--⨯=-，在点B （-1，-6）

上取最大值max 4(1)4(6)14z =⨯--⨯-=。

图解法虽然直观、形象，它容易使人具体地认识线性规划模型的求解过程，但是，这里难点至少有二；一是必要考虑y 的系数b 的正负，否则容易得出反相的结论；二是要注意直线束的倾斜程度，尤其，要注意与约束条件中的一条或两条只想的倾斜程度的关系，即斜率大小对直线倾斜程度的影响。其中，当斜率为负值时，是学生最感头疼的，也是学生最易出错的。为此，下面介绍通过向量数量积解决线性规划问题的方法，这种方法尽量避开以上两个难点，使解法更直观，更简单，更不易出错。

2. 向量的数量积法 把z Ax By =+看成平面内的向量(,)OM A B =u u u u r 与(,)ON x y =u u u r 的数量积，即

cos ,z OM ON OM ON OM ON Ax By ==<>=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r g 。因为OM u u u u r 为定值，所以当且仅当

cos ,ON OM ON <>u u u r u u u u r u u u r 取最大值（最小值）时，z 取最大值（最小值），即当且仅当ON u u u r 在OM

u u u u r 上的射影取最大值（最小值）时，z 取最大值（最小值）（注意：在OM u u u u r 正方向上的射影是

正值，在OM u u u u r 负方向上的射影是负值）。这样目标函数z Ax By =+在约束条件下的最大值

（最小值）问题，就转化为研究点O 与可行域内的任意一点N 所组成的向量ON u u u r 在OM u u u u r 上

的射影的最大值（最小值）问题。即线性规划最大值（最小值）问题就转化为一向量在另一向量上的射影的最大值（最小值）问题。

例4．若实数x ，y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩

，求z x y =-+的最小值。

解：设z x y =-+是向量(1,1)OM =-u u u u r 与(,)ON x y =u u u r 的数量积。

因为2OM =u u u u r ，所以当且仅当cos ,ON OM ON <>u u u r u u u u r u u u r 取最小值

时z 取最小值，即当且仅当ON u u u r 在OM u u u u r 上的射影OP 取最小值时，

取得最小值。如图，当点N 与点B （4，-2）重合时，ON u u u r 在OM

u u u u r 负方向上的射影OP 取最小值，所以最小值为min 426z =--=-。

3. 顶点法

目标函数的最优解肯定在可行区域的顶点上（这个命题可以证明）。因此，首先求约束表示的可行区域顶点的坐标，代入目标函数，然后从计算出来的几个函数值里面选最大（或最小）的即可。把约束条件中的每两个不等式组成一个方程组，方程组的解是两条边界线的交点。有些交点肯能不属于可行区域，所以每个交点必须代入约束条件检验不等式是否成立。